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主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相 同的角的正弦函数值也
相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，这一公式体现了求任意 角的正弦函数值转化为求0°～
360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐 角的正弦函数，那么任意角
的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
复习：（公式1）sin(360k+) = sin
对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角）

 当0

，90

)


180
< br>）

180当90，



270
）

180当180，

360

当270

，360

）





为第一象限角
为第二象限角
为第三象限角
为第四象限角
（以下设为任意角）
公式2：

设的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+终边与单位圆交于点P’(-x,-y)， 由正弦线
可知： sin(180+) = sin



P (x,y)

o
，
y
P(x,y)
x
P (-x,-y)
P’(x,-y)

M
y
o
x

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4．公式3：
如图：在单位圆中作出α与－α角的终边，同样可得：
sin() = sin,
公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180) = sin[180+()] = sin() = sin,
同理可得： sin(180) = sin,
6．公式5：sin(360) = sin
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
求下列函数值
7
（1）sin(－1650)； （2）sin(－15015’)； (3)sin(－
4
π)
解：（1） sin(－1650)＝－sin1650＝－sin(4×360＋210)＝－sin210 ＝－sin(180
1
＋30)＝sin30＝
2

(2) sin(－15015’)＝－sin15015’＝－sin(180－2945’)＝－s in2945’＝
－0.4962
2
7


(3) sin(－
4
π)＝sin(－2π＋
4
)＝sin
4＝
2

sin

2




sin

3




例2．化简：sin






sin

3




sin



< br>


解：（略，见教材P24）
学生练习

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教材P24练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思





第二课时 正弦函数的性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质 的几个角度，你还记得
有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像， 下面请同学们
根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：
正弦函数的定义域是什么？
正弦函数的值域是什么？
它的最值情况如何？

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它的正负值区间如何分？
ƒ(x)＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
定义域：y=sinx的定义域为R
值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]

3．最值：1对于y＝sinx 当且仅当x＝2k＋
2
,kZ时 ymax＝1

当且仅当时x＝2k－
2
, kZ时 ymin＝－1
2当2k＜x＜(2k+1) (kZ)时 y＝sinx＞0
当(2k-1)＜x＜2k (kZ)时 y＝sinx＜0
4．周期性：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin(2k＋x)＝sinx也可以说明
结论：y＝sinx的最小正周期为2
5.奇偶性
sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x∈R)是奇函数
6．单调性
x
sinx

－
2

－1
…

0
0
…


2

1
…

π
0
…

3

2

－1

增区间为[－
2
＋2kπ，
2
＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；

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
3

减区间为[
2
＋2kπ，
2
＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材P26）
2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题．
四、课后反思







§5 余弦函数（2课时）

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教学目标：
知识与技能 < br>（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱
导 公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数
的图像 推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形
结合思想分析问题 、解决问题的技能。
过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函 数定义的基础上，将三角函数定
义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式， 自主探究出余弦函
数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分 析得
到余弦函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体 会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，
激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问 题的能力；让学生体验自身探索成功的
喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问 题的有效途经；培养学生
形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念 是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角
的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们 就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数

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的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方
法作 出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板












第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
邻边
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数 ，sinα＝
斜边
。同样地，当我们把
角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦 函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】

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1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈R).
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则

y
P(a，b)
r
O M x
ba
角α的正弦和余弦分别为：s inα＝
r
，cosα＝
r
.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
π－α

α
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
π＋α
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cosα
cos(－α) ＝ cosα
cos(2π－α) ＝cosα
cos(π＋α) ＝－cosα
cos(π－α) ＝－cosα
P(x,y)
M
M’
o
P’

x
y
－α

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
请同学们观察右图，角α与角
2
＋α的正弦、余弦函数值有什么关

系？由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标 sin(
2
＋α)

相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos (
2
＋α)互为相反数。我们可以得到：

sin(
2
＋α)＝cosα cos(
2
＋α)＝－sinα

问题与思考：验证公式 sin(
2
＋α)＝cosα

cos(
2
＋α)＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦
y
函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评

例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角α的余弦
函数值。
解：∵x＝2，y＝－4 ， ∴ r＝|OP|＝2
5

－4
P
2 x
5
x
∴cosα＝
r
＝
5

例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数值。 < br>解：(提示：在r＝|OP|＝2
5
|t|中，分t＜0和t＞0两种情况，见教材P3 1)
例3．求值：

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11

9

3

（1）cos
6
（2）cos
8
（3）cos(－
4
)
（4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’)
3
1 1



解：（1）cos
6
＝cos（2π－
6
）＝cos
6
＝
2

9


（2）cos
8
＝cos（π＋
8
）＝－cos
8
≈－0. 9239
(3)、（4）、（5）略，见教材P33
cos

2




cos

3




例4．化简：
cos




< br>
cos

3




cos






解：（略，见教材P33）
学生练习
教材P31的练习1、2、3 和 P34的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思

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第二课时 余弦函数的图像与性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中，我们知道正弦函数y＝sinx的图像，是通过等分 单位圆、平移正弦线而得到
的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。那么，对于余弦函数y ＝cosx的图
像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数y＝cosx的图像
由诱导公式有：

与正弦函数关系 ∵y＝cosx＝cos(－x)＝sin[
2
－(－x)]＝sin(x＋
2
)

结论：（1）y＝cosx, xR与函数y＝sin(x＋
2
) xR的图象相同

（2）将y＝sinx的图象向左平移
2
即得y＝cosx的图象

（3）也同样可用五点法作图：y＝cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) (
2
,0) (,-1)
3

(
2
,0) (2,1)



2


－1
y
1
o
1
-
1
y

2

3

2
2

x
x
（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y＝cosx x[2k,2(k+1)] kZ,k0的图像

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与 y＝cosx x[0,2] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）

----

y
-
o
1

2345
432

1
   

  


y
2．余弦函数y＝cosx的性质
观察上图可以得到余弦函数y＝cosx有以下性质：
（1）定义域：y=cosx的定义域为R
（2）值域： y=cosx的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）
(3)最值：1对于y＝cosx 当且仅当x＝2k,kZ时 ymax＝1
当且仅当时x＝2k＋π, kZ时 ymin＝－1

2当2k-
2
2
(kZ)时 y=cosx>0

3

当2k+
2
2
(kZ)时 y=cosx<0
(4)周期性：y＝cosx的最小正周期为2
(5)奇偶性
cos(－x)＝cosx (x∈R) y＝cosx (x∈R)是偶函数
(6)单调性
增区间为[（2k－1）π， 2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。

6
x

x

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【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．请画出函数y＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。
解：（略，见教材P36）
2．课堂练习
教材P37的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P38的习题8、9、10、11
四、课后反思


§6 正切函数（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（ 3）掌握正切
线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的 图
像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结
合思想分析问题、解决问题的技能。

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过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数 之间的关
系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，
激发 学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的
喜悦感，培养学生 的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函 数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把
锐角的正、余弦函数推广到任意角的情 况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，
得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函 数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；
通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结 出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板

第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三 角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助

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于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习 方法，在直角坐标系
内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】
正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠
2
＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交
bb
于点P（a， b），唯一确定比值
a
.根据函数定义，比值
a
是角α的函数，我们把它叫作 角α

的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠
2
＋kπ，k∈Z .
sin


比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝
cos

(α∈R，α≠
2
＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦 、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角
函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角
o
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：
210
A

x
y
30

T
当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，
我们称有向线段AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
P

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（1）首先考虑定义域：
x k



2

kz


（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：

tan

x



sin

x

< br>sinx


tanx

xR,且xk

,kz

cos

x


co sx2




ytanx

xR,且x k

,kz

2

的周期为
T

（最小正周期） ∴




,< br>
（3）因此我们可选择

22

的区间作出它的图象。












根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数
ytanx
O
y


2

2
x
xR
，且
x


2
k


kz

的图像，称“正切曲线”

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y
3


2




2
0

2

3
x

2

从上图可以 看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝
2
＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线
组 成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3．正切函数y＝tanx的性质
引导学生观察，共同获得：



x|xk
,kz

2

， （1）定义域：

（2）值域：R
观察：当
x
从小于
k



2

kz


，
xk



2
时，
tanx
当
x
从大于
2
k


kz

，
x

2
k


。 时，
tanx

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（3）周期性：
T


（4）奇偶性：
tan

x

tanx
奇函数。





k

,k


kz
2

（5）单调性：在开区间

2
内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思


第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图 像与性质的。在学正切
函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，
y
π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？





3


2




2
0

2

3
x

2

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我们可以归纳出以下公式：π－α，
tan(2π＋α)＝tanα
tan(－α)＝－tanα
tan(2π－α)＝－tanα
tan(π－α)＝－tanα
tan(π＋α)＝tanα
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
2例1．若tanα＝
3
，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
2
解：∵tanα＝
3
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角
2< br>（1）如果α是第一象限的角，则由tanα＝
3
可知，角α终边上必有一点P（3，2 ）.
x
313
y
213
所以x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝
13
∴sinα＝
r
＝
13
， cosα＝
r
＝
13
.
x
y
213313
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝
r
＝－
13
， cosα＝
r
＝－
13
.

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tan

2




tan< br>
3




例2．化简：
tan





tan

3




tan








tan


tan

tan

tan





1
解：原 式＝

tan






t an






tan






＝
tan


tan


tan


＝－
tan

.
2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P45习题A组1—11
四、课后反思


§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）进一步理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx＋φ的含 义；（2）熟练掌握由
ysinx
的图象得到函数
yAsin(x)k( xR)
的图象的方法；（3）会由函数y＝
Asin(ωx＋φ)的图像讨论其性质；（4） 能解决一些综合性的问题。
过程与方法
通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像；并根据图像求

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解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节 的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问
题情景，激发学生分析 、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的
缜密性。
二、教学重、难点
重点:函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质。
难点: 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、余弦、 正切函数的性质，如：定义域、值域、最值、周期性、单
调性和奇偶性，那么，对于函数y＝Asin( ωx＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节
课就研究这个问题。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函 数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也
是高考 的热点，因为，函数y＝Asin(ωx＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我
们的生活息 息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由
ysinx
的图象得到 函数
yAsin(x)
的图象？
（2）如何用五点法作
yAsin(x)
的图象？
（3）
A、、
对函数
yAsin(x)
图象的影响作用

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函数
yAsin(x ),x

0,),(其中A0,0)
的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：
T
2

往复振动一次所需的时间，称为“周期”
1

T2
单位时间内往返振动的次数，称为“频率” f：
f
x
：称为相位

：x = 0时的相位，称为“初相”

yAsin(x),(A0,0,||)< br>2
的最小值是2，其图象最 例一．函数
高点与最低点横坐标差是3，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。
T1
2
3
6
3
解：易知：A = 2 半周期
2
∴T = 6 即

从而：
1
y2sin(x)
3
设： 令x = 0 有
2sin1

||

1
y2sin(x)
2
∴
6
∴所求函数解析式为
36
又：

1
ysinx
2
例二．函数f (x)的横坐标伸长为原来 的2倍，再向左平移
2
个单位所得的曲线是
的图像，试求
yf(x)
的解析式。
解：将
y

11
sinxysin(x)< br>222
的图像向右平移
2
个单位得：
1
11
y cosxycos2x
22
即的图像再将横坐标压缩到原来的
2
得：
1
yf(x)cos2x
2
∴

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例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。
411

（1）y＝sinx－2 (2)y＝
3
sin
2
x (3)y＝
2
cos(3x＋
4
)

解：（1）当x＝2 kπ＋
2
(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx－2取最大值－1； < br>3

当x＝2kπ＋
2
(k∈Z)时，sinx取最小值－1，此时函 数y＝sinx－2取最小值－3；
（2）、（3）略，见教材P59
1

例四．（1）求函数y＝2sin(
2
x－
3
)的递增区间；
1
5

（2）求函数y＝
3
cos(4x＋
6
)的递减区间。
解：略，见教材P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材P60练习3
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1-7第4，5，6题．
七、课后反思


§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2课时）
洋浦实验中学 吴永和

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教学目标：
知识与技能 < br>（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx＋< br>φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变换；
（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位变换
画出函数的图像。
过程与方法
通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作 图的基本要求；通过在同一个
坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要 求学生能利用五
点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固 练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会 运用运动变化的观点认识
事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析 、探求的学
习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像
三、学法与教学用具 < br>在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们
回忆， 然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让
他们画图，教师只是 加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推
广；先分解各个小知识点，再综合 在一起，上升更高一层。

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教学用具:投影机、三角板


第一课时 y＝sinx和y＝Asinx的图像， y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在物理和工程技术的许多问题中，经常会 遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，例如：在简谐
振动中位移与时间表的函数关系就是形如y＝ Asin(ωx＋φ)的函数。正因为此，我们要研究
它的图像与性质，今天先来学习它的图像。
【探究新知】
1
例一．画出函数y=2sinx xR；y=
2
sinx xR的图象（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：







作图：
y=2sinx


1

2
sinx
x
sinx
2sinx
0
0
0
0

2

1
2
1
2


0
0
0
3

2

2
0
0
0
-1
-2
1
-
2

y
2
1
-1
O
-2
1
2
2
1
y=sinx
y=
1
sinx
2


2
2
x

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2
配套练习：函数y＝
3
sin x的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xR(A >0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)
或缩短(02．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。
性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性
变化的有值域、最值、
由上例和练习可以看出：在函数y＝Asinx（A＞0）中，A决定了函数的 值域以及函数的最
大值和最小值，通常称A为振幅。

例二．画出函数y=sin(x+
3
) (xR)和y=sin(x
4
) (xR)的图像（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：


x+
3

0


3


2


6


2

3

3

2

7

6

2
5

3

x

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
0
sin(x+
3
)
1 0 -1 0
y=sinx
1

y=sin(x+

O
1

3
2
3
4

)
4
x
)

y=sin(x-
< br>配套练习：函数y＝sin（x－
15
）的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
y=sin（x＋φ），xR( φ0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位
或向右平移－φ个单位(φ ＜0＝得到的。
性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期
变化的有奇偶性、单调区间与单调性
由上例和练习可以看出：在函数y=sin（x＋φ），xR( φ0)中，φ决定了x＝0时的函数，
通常称φ为初相，x＋φ为相位。

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【巩固深化，发展思维】
课堂练习：P52练习第3题
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思


第二课时 y＝sinx和y＝sinωx的图像， y＝sinx和 y＝Asin(ωx＋φ)的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
上一节课，我们已过y＝sinx和y＝Asinx的图像，y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的 图像间的
关系，请与y＝Asin(ωx＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？
【探究新知】
1
例一．画出函数y=sin2x xR；y=sin
2
x xR的图象（简图）。
解：∵函数y=sin2x 周期T= ∴在[0, ]上作图
t
令t=2x 则x=
2
从而sint=sin2x
列表：
t=2x
x
0
0

2


4


3

2

3

4

2


2

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sin2x
作图：







0 1 0 -1 0
1
y


O
1
y=sin2x
y=sin
1
x
2
4



2
3
4
2
x
y=sinx
x
函数y=sin
2
周期T=4 ∴在[0, 4]上作图
列表
x
t=
2

0
0
0


2


3


2

2
4
0
x
x
sin
2


2
1 0
3
-1
2
配套练习：函数y＝sin
3
x的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较，结论：
1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
1
(ω>1)或 伸长(0<ω<1)到原来的

倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。

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由上例和练习可以看出：在函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)中，ω决定 了函数的周期T＝
2

1


，通常称周期的倒数f＝T
＝
2

为频率。

例二．画出函数y=3sin(2x+
3
) xR的图象。
解：周期T=（五点法），设

t=2x+
3
则x=
t 


2x+
3

0


6


2



3

3

2

7

12

2
5

6

3

t


226

x

12







0
3sin(2x+
3
)
3 0 -3 0
y=sin(2x+

)








小结平移法过程（步骤）


y=sin(x+

)

3
y
1




3
6
3
O
1

5


6
3
4
x
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
沿x轴平 移|
φ
|个单位
得y=sin(x+φ)
横坐标伸 长或缩短
得y=sin(ωx+φ)
横坐标 伸长或缩短
得y=sinωx
沿x轴平 移|

|个单位

得y=sin(ωx+φ)

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两种方法殊途同归
【巩固深化，发展思维】
教材P58练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业:教材P62习题2、3、4
四、课后反思
§8 同角三角函数的关系（1课时）

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教学目标：
知识与技能
（1）能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关 系；（2）能正确运用进行三角函
数式的求值运算；（3）能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函 数（式）的值，并从
中了解一些三角运算的基本技巧；（4）运用同角三角函数的基本关系式进行三角函 数恒等
式的证明。
过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所 学的同角三角函数之间的关系试着进行
证明；掌握几种同角三角函数关系的应用；掌握在具体应用中的一 定技巧和方法；理解并掌
握同角三角关系的简单变形；提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问 题的能力。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位 ；认识事物间存在的内在联系，
使学生面对问题养成勤于思考的习惯；培养学生良好的学习方法，进一步 树立化归的数学思
想方法。
二、教学重、难点
重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
三、学法与教学用具
在初中，学生已 经见过同角三角函数之间的关系，在高中就要求学生能对这些关系进行证明，
最主要的还是在于运用。主 要有三方面的应用，即计算、化简、证明。正因为这样，本节课
通过例题讲评和学生练习的形式开展教学 。

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教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同角三角函数之间的关系我们在初中就已 经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪
些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了 哪些关系？今天这节课，我们就来讨
论这些问题。
【探究新知】
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：
sin
tan
22
sincos1

cos

理论证明：（采用定义）
1


x< br>2
y
2
r
2
yx
,cos

 sin
2

cos
2

1
rr
< br>sin

yxyry
2

当

k

(kZ)时，tan

2cos

rrrxx< br>
且sin


注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关， < br>
sin
2
tan


2
cos
22
2
如：
sin3cos31

2上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立。
3据此，由一 个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平
方关系”公式，最终需求平方 根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一
次）。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评

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3
例1．已知sinα＝－
5
，且α在第三象限，求cosα和tanα.
3
16
22
解：∵
sincos1
∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－
5
)2＝
25

43
sin

又∵α在第三象限，cosα＜0 ∴cosα＝－
5
，tanα＝
cos

＝
4

例2．已知
cosm(m0,m1),
解：若在第一、二象限，则
2
求的其他三角函数值。

sin

1m
若在第三、四象限，则
2
1m
2
tan


m

sin

1m
1m
2
tan

m


例3．化简：
1sin440

2
 
2

2

1sin(36080)1sin80c os80cos80
解：原式
2
cos1sin

cos
例4．求证：
1sin
左边
证一：
cos(1sin)cos(1sin)co s(1sin)

2
(1sin)(1sin)
1sin cos
2



1sin
右边
cos

等式成立
（利用平方关系）
且1sin0,cos0

22
(1sin)(1sin)1sincos
证二：


cos1sin

1sincos
（利用比例关系）
cos1sincos
2
(1sin)(1si n)cos
2
(1sin
2
)


cos(1sin)cos(1sin)cos
证三：
1sin

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cos< br>2
cos
2

cos1sin
0

(1sin)cos
cos
（作差）
1sin
2．学生课堂练习
教材P66练习1和P67练习2
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
教材P68习题中1—6
七、课后反思


本章复习与小结（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意 角、弧度及
三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定
的解题方法，形成较好的能力。
过程与方法
三角函数是一种重要的函数，通过整理 本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统
地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上 升到更高一个水平；启发学生将本章内

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容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。
情感态度与价值观
通过本节 的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何
事，养成一种科学的态 度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国
争光，为洋浦的开发建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的知识结构体系，从 角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，
再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种 题目，从中理顺它们的关系，将它们适当
归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】








弧长与扇形
面积公式
同角三角函
数的关系
诱导公式
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的三
角函数定义
三角函数的
图像与性质

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【知识的概括与引申】
1 ．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意
正角、负角和零 角。为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅
使弧长公式、扇形面积公式得 以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意 角的一种三角函数值，就能求出另一种
三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用的基础。
【例题选讲】
例1．求图中公路弯道处弧AB的长
l
（精确到1m）
图中长度单位为：m
60
R=45
解： ∵
60



3

∴
l
R

3
453.141547(m)

已知是第 三象限角且
cos

2
0

，问
2
是第 几象限角？

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解：∵
(2k 1)



(2k1)



2
(kZ)

∴
k



2


2
k



3

4

(kZ)
则
2
是第二或第四象限角
又∵
cos

2
0

则
2
是第二或第三象限角

∴
2
必为第二象限角
sin4cos
及sin
2
 2sincos的值。
例3．已知
sin2cos
，求
5sin 2cos

解：
sin2costan2


sin4costan421

5sin2cos5tan 2126

2
sin
2
2sincostan
2
2tan426
sin2sincos
222
4 15

sincostan1


ytan

3x

3

的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单 调性。

例4．函数
3x

3
解：由
k


2
得
x
k

5
< br>
318
，
k

5


x|x R,且x,kz

318



所求定 义域为

值域为R，周期
T

3
，是非奇非偶函数。 < br>
k

k

5


,


kz

18

在区间

3183
上是增函数。
【随堂练习】 教材P77复习题一A组1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有 那些？你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？【布
置作业】 教材P77复习题一A组12—15

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【课后反思】








第二章 平面向量
2.1从位移、速度、力到向量（1课时）

一、教学目标：
1.知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
2.过程与方法
通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相
等的 含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善
于独立思考，学会 分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观

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通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学< br>习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习
态度和 勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
【探究新知】
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？
既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重
A B

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性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：
AB

注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段
AB
的长度
有向线段的三要素：起点、方向、长度
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即< br>AB
可表示为
a
（印刷时用黑体
字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？
向量
AB
的大小——长度称为向量的模。
记作：|
AB
| 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为0的向量，记作
0
。
0
的方向是任意的.
注意
0
与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
②
AB
与
BA
是否同一向量？
答：不是同一向量。






a
A(起点)
B
（终点）

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③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
5.向量间的关系：
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：
a
∥
b
∥
c

规定：
0
与任一向量平行
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：
a
=
b

规定：
0
=
0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。




OA
=
a

OB
=
b

OC
=
c

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O 是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量
OA
、
OB
、
OC
相等的向量；②分别写出图中与向量
OD
、
OE
、
O E
共线的向量.



B
O
C
F
A



a
b
c
C O B A
D E

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[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.
②向量的模.
③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）
④相等向量与平行向量.
五.作业：P86 习题2—1
六. 课后反思

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2.2从位移的合成到向量的加法（2课时）

一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法 则和平行四边形法则做几个向量的和向量；
能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进 行向量计算.
（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.
（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法

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教材利用同学们熟悉的物理知识引出向 量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两
个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解 向量的加法. 然后用“相反向量”定义
向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生 抽象概括能力和逻辑思维能
力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学 们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认
识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想 ；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，
这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是 的科学学习态度和勇于创新的精
神.
二.教学重、难点
重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.
难点: 向量的减法转化为加法的运算.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
提出课题：向量是否能进行运算？
某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
C A B


A B C

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则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

船速为
AB
，水速为
BC
，
则两速度和：
AB
+
BC
=
AC

提出课题：向量的加法
【探究新知】
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
a


A




强调：
① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点
②可以推广到n个向量连加
③
a00aa

④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
b
a+b
a
B
a+b
A
b
B
C
C
a+b
A
B
a
C
b
a
A B




C


A B
C

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例1、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

作法：在平面内取一点，
作
OAa

ABb

则
OBab

【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则 思考：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同 验证结果相同
从而得到：1向量加法的平行四边形法则
2向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

4．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)（可请学生先上来做，不足之处学生更正）
证：如图：使
ABa
,
BCb
,
CDc

则(
a
+
b
) +
c
=
ACCDAD


a
+ (
b
+
c
) =
ABBDAD

∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)




O
b
a
b
a
A
b
a
D
a+b+c
b+c
a+b
c
C
b
A
a
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例2．如图，一艘船从A点 出发以
23kmh
的速度向垂直于对岸的方
向行驶，同时水的流速为
2kmh
，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设
AD
表示船垂直于对岸的速度，
AB
表示水流的速度，
以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则
AC
就是船实际航行的速度
在
RtABC
中，


B

|AB|2
，
|BC|23

2


2
|AC||AB||BC|4
所以


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因为
ta nCAB
23
3CBA60

2

【探究新知】




思考：已知
a
，
b
，怎样求作
ab
？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念.
5.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作 a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a  b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
6.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a  b
7.请同学们自己解决思考题：



ab
的作法：


方法一、 已知向量
a
、
b
，在平面内任取一点
OAa,OBb
， 则
BA
ab
。O，作



即
ab
可以表示为从向量
b
的终点指向向




a
量的终点的向量
OAa,OBb
则
ABab
。即
ab
也可以表示方法二、在平面内任取一点O，作

为从向量
a
的起点指向向量
b
的起点的向量.




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方法三、在平面内任取一点O，作
OAa,OBb
，则由向量加法的 平行四边形法则可
得
OC

a(b)ab
.
[展示投影]思考与讨论：



< br>


思考：从向量
a
的终点指向向量
b
的 终点的向量是什么？（
ba
）




讨论： 如右图，
a
∥
b
时，怎样作出
ab
呢？






[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例3.已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。
解：在平面上取一点O，作
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
OD
= d, 作
BA
,
DC
, 则
BA
=
ab,
DC
= cd







a
b
d
c
O
C
A B
D






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



b
例4.平行四边形中，
AB
=
a
，
AD=
b
，用
a
、表示向量
AC
，
DB
.




D C
解：由平行四边形法则得：

AC
= a + b,
DB
=
AB
-
AD
= ab

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）

例5.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：

AB
=
AO
+
OB
,
DC
=
DO
+
OC

由已知：
AO
=
OC
,
OB
=
DO

∴
AB
=
DC
即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量加法的三角形法则与平行四边形法则.
②向量加法运算律.
③相反向量及向量减法的运算法则.
五、评价设计
1．作业：习题2.2 A组第1、2、3、4、5、6题．
2．（备选题）：




A B
D C



O


A B

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①证明：对于任意给定的向量
a.b
都有
②证明：
abab

ababab
并说明什么时候取等号？


提示：可用 例5的图当
a
、
b
不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于
第三边得
abACABBCab
、
abACABBCab

即
ababab

六、课后反思：

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2.3从速度的倍数到数乘向量（2课时）

一、教学目标：
1.知识与技能
（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.
（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基 本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量
分解为两个向量。
（4）通过练习使 学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深
刻的理解，并能用来解决一些简 单的几何问题。
2.过程与方法：
教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；
通过正 交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相
应的知识，教材设置 了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能
力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的 认识，让
学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点

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重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.
2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解.
2. 平面向量基本定理的理解.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】

aaaaaaa
1．思考: （引入新课）已知非零向量 作出++和()+()+()





a

O

a

A

a

B

a


a

N

a
M

a
Q

a
C
P

OC
=
OAABBC
=
a
+
a
+
a
=3
a


PN
=
PQQMMN
=(
a
)+(
a
)+(
a
)=3
a


aaaa
讨论：① 3与方向相同且|3|=3||



aaaa
② 3与方向相反且|3|=3||

aa
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ

aa
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

aa
①|λ|=|λ|||

aaaaa
②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
0
（请学生自己解释其

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几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例1.（见P96例1）略
[展示投影]
思考：根据几何意义，你能否验证下列实 数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过
程可根据学生的实际水平决定）

aa
结合律：λ(μ)=(λμ) ①

aaa
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ② 



第二分配律：λ(
a
+
b
) =λ
a
+λ
b
③
结合律证明：

a
如果λ=0，μ=0，=
0
至少有一个成立，则①式成立 
0
aaaa
如果λ0，μ0，

有：|λ(μ)| =|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)
a
|=|λμ||
a
|=|λ||μ||
a
|


aa
∴|λ(μ)|=|(λμ)|

a
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；

a
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。

aa
从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：

a
如果λ=0，μ=0，=
0
至少有一个成立，则②式显然成立

a
如果λ0，μ0，

0


aa
当λ、μ同号时，则λ和μ同向，

aaa
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||

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
aaaaaa a
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||

a
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向
即：|(λ+μ)
a
|=|λ
a
+μ
a
|


a
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向

a
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向

aaa
还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明：


如果
a
=
0
，< br>b
=
0
中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当
a

0
，
b

0
且λ 0，λ1时
1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，





AB
OA
11
=λ
b

1
=λ
a
作
OA
=
a

AB
=
b






OB
1
则
OB
=
a
+
b

λ
a
+λ
b

B
1
B

O
A
A
1
ABAB
由作法知：
AB
∥
11
有OAB=OA1B1 |
AB
|=λ|
11
|



|OA
1
|
∴
|OA|

< br>
|A
1
B
1
|
|AB|

 

λ ∴△OAB∽△OA1B1
|OB
1
|
∴
|OB|



λ AOB= A1OB1

OB
1
|=|λ
OB
|
OB
1
与λ
OB
方向也相同 因此，O，B，B1在同一直线上，|







λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b





当λ<0时 可类似证明：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

∴ ③式成立
A
1
O
B
1
B
A

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【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）



若有向量
a
(
a

0
)、
b
，实数λ， 使
b
=λ
a
则由实数与向量积的定义知：
a
与
b
为共线
向量
< br>






0
bbbb bb
aaaaaaa
若与共线(

)且||：||=μ，则当与同向时=μ； 当与反向时=μ


bb
aa
从而得：向量与非零向量共线 的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）
例2. （见P97例2）略
OA
，
OB
不共线，例3.（P97例3改编）如图：P点在AB上，求证：存在实 数

.

且



1

P


使
OP

OA

OB

O

B
A
（证明过程与P97例3完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
【巩固深化，加强基础】
1.见P98练习1、2、3、4题.
2.如例3图，
OA
，
OB
不共线，
AP
=t
AB
(tR)用
OA
，
OB
表示
OP
.
【探究新知、展示投影】
1．思考：
①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
②．对于平面上两个不 共线向量
e
1
，
e
2
是不是平面上的所有向量都可以用它们 来表示？
2．教师引导学生分析


 

ee
a
设
1
，
2
是不共线向量， 是平面内任一向量

e
1

a

M
C
N B
e
2

O

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
OA
=
e
1

OM
=λ1
e
1

OC
=
a< br>=
OM
+
ON
=λ1
e
1
+λ2
e
2

OB
=
e
2

ON
=λ2
e
2

得平面向量基本定理：如果
e< br>1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

aa
的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1
e
1
+λ2
e
2
.
[注意几个问题]：
①
e
1< br>、
e
2
必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.
② 这个定理也叫共面向量定理.

e
a
③λ1，λ2是被，
1
，
e
2
唯一确定的数量.
④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
[展示投影]例题讲评（教 师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补
充；）
例4．1kg的重物 在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别
成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
|OP|
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30

1
|OP
1
|
=
|OP|
cos60=1 •
2
=0.5 (kg) ∴

30
60
P
1
3
|OP
2
|
=
|OP|
cos30=1•
2
=0.87 (kg)


P
2
P
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg




例5.如图 ABCD的两条对角线交于点M，且AB
=
a
，
AD
=
b
，




b
用
a
，表示
MA
，
MB
，
MC
和
MD

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解：在 ABCD中
D

C
M
B


∵
AC< br>=
AB
+
AD
=
a
+
b





DB
=
AB< br>
AD
=
a

b



b
A
a
1

111





∴
MA
=
2
AC
=
2
(
a
+
b
)=
2
a

2
b

< br>1111

111





MB
=
2
DB
=
2
(
a

b< br>)=
2
a

2
b

MC
=
2
AC
=
2
a
+
2
b


111



MD
=
MB
=
2
DB
=
2
a
+
2
b






例6. 如图，在△ABC中，
AB
=
a
,
BC
=
b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求

向量
AG
1

1





A
解法1：∵
AB
=
a
,
BC
=
b
则
BD
=
2
BC
=
2
b


1


2



BD
=< br>a
+
2
b
而
AG
=
3
AD
∴
AD
=
AB
b
+

a
B
D C
21


3
b
∴
AG
=
3
a
+
A

a
E

F
解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
G
22


a
33
AEAB
∵△AEF∽△ABC ∴ ==

B
b
D
C
2

2

11

21

 



EF
=
3
BC
=
3
b

EG
=
2
EF
=
3
b
∴
AG
=
AE
+
EG
=
3
a
+
3< br>b


例7．设
e
1
,
e
2< br>是两个不共线向量，已知
AB
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1

e
2
,
若三点A, B, D共线，求k的值.
解：
BD
=
CD

CB
=(2
e
1

e
2
)(
e
1
+3
e
2
)=
e
1
4
e< br>2

∵A, B, D共线 ∴
AB
,
BD
共线 ∴存在λ使
AB
=λ
BD


 




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
2


k4

∴k=8
eeee
即2
1
+k
2
=λ(
14
2
) ∴

【巩固深化，发展思维】






1．在 ABCD中，设对角 线
AC
=
a
，
BD
=
b
试用
a< br>,
b
表示
AB
，
BC


2.已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证 ：
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE
.
3.见P100练习1、2题.
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①数乘向量的几何意义理解.


< br>bb
aa
②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
③平面向量基本定理的理解及注意的问题.
五、评价设计
1．作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题．
2.（备选题）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB 中点，








设
AD
=
a
,
AB
=
b
，试以
a
,
b
为基底表示
DC
,
BC
,
MN
< br>
11


解：
DC
=
2
AB
=
2
b
连ND 则DC╩ND

D < br>1


∴
BC
=
ND
=
AD

AN
=
a

2
b




N
M
O
M
C
A
B
1

1


又∵
DM
=
2
DC
=
4
b


∴
MN
=
DN

DM
=
CB

DM
=
BC

DM

 





1

1

1


bbb
aa
244
=( +)=


3.体会向量在平面几何中的应用．

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六、课后反思：

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2.4平面向量的坐标（2课时）

一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.
（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法
教材利用正交分解 引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平
行的坐标表示；最后通过讲解例 题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
3.情感态度价值观

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通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可< br>以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形
结合的 思想；培养学生勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】

a
（回忆）平面向量的基本定理（基底） =λ1
e
1
+λ2
e
2

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
【探究新知】
（一）、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取
x
轴、
y
轴上两个单位向量
i
,
j
作基底，则平面内作一向量
axiyj


aa
记作：=(x, y) 称作向量的坐标
y

c
A





x
OA
=
2i2j
=(2, 2)
b
=
OB
=
2ij
=(2, 1)
O
如：
a
=

a

b
B
C

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c
=
OC
=
i5j
=(1, 5)
i
=(1, 0)
j
=(0, 1)
0
=(0, 0)


由以上例子让学生讨论：
①向量的坐标与什么点的坐标有关？
②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？
③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）
[展示投影]思考与交流：
直接由学生讨论回答：






思考1．（1）已知
a
(x1, y1)
b
(x2, y2) 求
a
+
b
，
a

b
的坐标

aa
(2)已知(x, y)和实数λ, 求λ的坐标


解：
a
+
b
=(x1
i
+y1
j
)+(x2
i
+y2
j
)=(x1+ x2)
i
+ (y1+y2)
j



即：
a
+
b
=(x1+ x2,y1+y2)


同理：
a

b
=(x1x2, y1y2)

a
λ
=λ(x
i
+y
j
)=λx
i
+λy
j


a
∴λ=(λx, λy)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
思考2.已知
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
你觉得
AB
的坐标与A、B点的坐标有什么关系？
∵
AB
=
OB

OA
=( x2, y2)  (x1,y1)
= (x2 x1, y2 y1)
结论：③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向
O



A(x
1
, y
1
)
y
B(x
2
, y
2
)
x

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线段终点的坐标减去始点的坐标。
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（教材P104例2）
例2. （教材P104例3）
FF
例3.已知三个力
F
1
(3, 4),
F
2
(2, 5),
3
(x, y)的合力
F
1
+
F
2
+
3
=
0

求
F
3
的坐标.
F
3
=
0
得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0) 解：由题设
F
1
+
F
2
+

32x0

x5

45y0y1
∴
F
3
(5,1) 即：

∴

例4.已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成
平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，
仿例2得：D1=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时，
D
3
仿例2得：D2=(4, 6)
当平行四边形为DACB时，
仿例2得：D3=(6, 0)
【巩固深化，发展思维】
B
D
1
A
O
x
y
C
D
2
1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且
MP

1

2
MN
, 求P点的坐标；
11
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=
2
(-8, 1)=(-4,
2
)
4x1


x3

3

y2
1

y
3

2
∴

2
∴P点坐标为(-1, -
2
)


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2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则
AB
2
BC
=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形。
解：∵
AB
=(-2, 3)
DC
=(-4, 6) ∴
AB
=2
DC

∴
AB
∥
DC
且 |
AB
||
DC
| ∴四边形ABCD是梯形
【探究新知】
[展示投影]思考与交流：


< br>







b
a
思考：共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这 个条件如何用坐标来表示
呢？
设
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
)
其中
b0


x
1


x
2



y
1


y
2
由
a

b
得
(x
1
,y
1
) 

(x
2
,y
2
)
消去λ：
x
1
y
2
x
2
y
1
0
∵
b0
∴
x
2
,y
2
中至少有一个不为0


结论：
a
∥
b
(
b0
) 用坐标表示为
x
1
y
2
x
2
y
1
0

注意：
①消去λ时不能两式相除 ∵y1, y2有可能为0.

②这个条件不能写成
y
1
y
2

x1
x
2
∵
x
1
,x
2
有可能为0.
a

b< br>


x
1
y
2
x
2
y
1
0

a
③向量共线的两种判定方法：∥
b
(
b0
)
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例5.如果向量
ABi 2j,BCimj,其中i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位

向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线

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

1



m2< br>得
m2

i2j

(imj)
解法1.利 用
AB

BC
可得于是

解法2.易得
AB( 1,2).BC(1,m),由AB、BC共线得m20得m2

故当
m2
时，三点共线


例6.若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同，求x


解：∵
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2-x(-x)=0


∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同 ∴x=
2

[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
【巩固深化，发展思维】
1.教材P105练习1--5
），b(x,2),c(3,y),且abc,求x,y的值
2.已知
a(2,1
3．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB∥CD
4．证明下列各组点共线：① A (1,2)，B(-3,4)， C(2,3.5)
② P (-1,2)， Q(0.5,0)， R(5,-6)



5．已知向量
a
=(-1,3)
b
=(x,-1)且
a
∥
b
求x .
[学习小结] （学生总结，其它学生补充）
①向量加法运算的坐标表示.
②向量减法运算的坐标表示.
③实数与向量的积的坐标表示.
④向量共线的条件.
五、评价设计
1．作业：习题2--4 A组第1，2，3，7，8题．

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2．（备选题）：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量
AB
与
CD
平行吗？直线AB与平
行于直线CD吗？
解：∵
AB
=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)
CD
=(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4-1=0 ∴
AB
∥
CD

又∵
AC
=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)
AB
=(2, 4)
2×4-2×60 ∴
AC
与
AB
不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
六、课后反思：
























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2.5从力做的功到向量的数量积（2课时）

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一、教学目标：
1.知识与技能
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物 理意义、几何意
义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学 生
逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们认识到向量 的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；
让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理 背景去理解向量的数量积，有助于
激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.
难点: 运算律的理解
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想

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【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）
思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对
一般的向量a和b，如何定义这种运算？
1.力做的功：W = |F|•|s|cos
是F与s的夹角
2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b = |a||b|cos，
并规定0与任何向量的数量积为0。
3.向量夹角的概念：范围
 = 0
0≤≤180
A
O
B
A
O


 = 180
O
B
B
O
A




[展示投影]
由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
②两个向量的数 量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是
两个数量的积，书写时要严格 区分。
③在实数中，若a0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且 a•b=0，
不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.
④已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是a•b = b•c  a = c
a
如右图：a•b = |a||b|cos = |b||OA|
O


c
b
A
C
A
A
B

O

B
O
C
A
B
F


s


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b•c = |b||c|cos = |b||OA|
a•b=b•c 但a  c
⑤在实数中，有(a•b)c = a(b•c)，但是(a•b)c  a(b•c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a
与c不共线.
[展示投影]思考与交流：
思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.






定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。
注意：①射影也是一个数量，不是向量。
②当为锐角时射影为正值；
当为钝角时射影为负值；
当为直角时射影为0；
当 = 0时射影为 |b|；
当 = 180时射影为 |b|.
思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向
量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.
O
O
b

A
B
O
B
O
b

O
a
O
A
B
O
b

O
(B)
1
O
O
a
A
a
B
1
O
B
1
O

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几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
①e•a = a•e =|a|cos
②ab  a•b = 0
③当a与b同向时，a•b = |a||b|；当a与b反向时，a•b = |a||b|。
特别的a•a = |a|2或
|a|aa

ab
④cos =
|a||b|
（|a||b|≠0）
⑤ |ab|≤|a||b|
【巩固深化，发展思维】
判断下列各题正确与否：
①若a = 0，则对任一向量b，有a•b = 0. ( √ )
②若a  0，则对任一非零向量b，有a•b  0. ( × )
③若a  0，a•b = 0，则b = 0. ( × )
④若a•b = 0，则a 、b至少有一个为零. ( × )
⑤ 若a  0，a•b = a•c，则b = c. ( × )
⑥若a•b = a•c，则b = c当且仅当a  0时成立. ( × )
⑦对任意向量a、b、c，有(a•b) •c  a• (b•c). ( × )
⑧对任意向量a，有a2 = |a|2. ( √ )
[展示投影]思考与交流：
思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义 ，你能否验证下列向量的数量积是否满
足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
1.交换律：a•b = b•a

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证：设a，b夹角为，则a•b = |a||b|cos，b•a = |b||a|cos
∴a•b = b•a
2.数乘结合律：(

a) •b =

(a•b) = a• (

b)
证：若

= 0， 此式显然成立.
若

> 0， (

a) •b =

|a||b|cos，


(a•b) =

|a||b|cos，
a• (

b) =

|a||b|cos，
所以(

a) •b =

(a•b) = a• (

b).
若

< 0， (

a) •b =|

a||b|cos() = 

|a||b|(cos) =

|a||b|cos，


(a•b) =

|a||b|cos，
a• (

b) =|a||

b|cos() = 

|a||b|(cos) =

|a||b|cos。
所以(

a) •b =

(a•b) = a• (

b).
综上可知(

a) •b =

(a•b) = a• (

b)成立.
3.分配律：(a + b) •c = a•c + b•c
证：在平面内取一点O，作
OA
= a,
AB
= b，
OC
= c，
∵a + b （即
OB
）在c方向上的投影
等于a、b在c方向上的投影和，
即：|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2
∴c• (a + b) = c•a + c•b 即：(a + b) •c = a•c + b•c.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）


A



2
b
B
a

1
O

A
c
B
C
例1.已知：
a2,b3,a与b的夹角为120
0,求(1)ab.(2)ab.
22

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解：（1）
abab495
2
2222

2
（2）
ab(ab)
2
a2abba2abco s

b
22
7

b
都是非零向量，且
a3b与7a5b
垂直， 例2.已知
a、
a4b与7a2b
垂直，求
a、b
的夹角。
解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16a•b 15b2 = 0 ①
(a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30a•b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2设a、b的夹角为，
abb
2
1

2
|a||b|2
∴ = 60
2|b|
则cos =
例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设
AB
=
DC
= a ,
AD
=
BC
= b
∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b|
∴
AC
•
BD
= (b + a)(b  a) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0
∴
AC

BD

即菱形对角线互相垂直。
【巩固深化，发展思维】
1.教材P109练习1、2题
2. 教材P111练习1、2、3、4、5题
[学习小结] （学生总结，其它学生补充）
①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.
②向量数量积的几何意义和物理意义.
③向量数量积的五条性质.


D
A
a
b




C



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④向量数量积的运算律.
五、评价设计
1．作业：习题2.5 A组第3、4、5、6、7题．
2．（备选题）：
①在ΔABC中，设边BC，CA，A B的长度分别为a，b，c，用向量方法证明：
a
2
b
2
c2
2bccosA

②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
解：如图： ABCD中：ABDC
，
ADBC
，
AC
=
AB
+AD

D C

 
∴|
AC
|2=|
AB
+
AD
| 2=
AB
2+
AD
2+2
AB
•
AD

而
BD
=
AB
-
AD

∴|
BD
|2=|
AB
-
AD
|2=
AB
2+
AD
2-2
AB
•
AD

∴|
AC
|2 + |
BD
|2 = 2
AB
2+2
AD
2= |
AB
|2+|
AD
|2+|
BC
|2+|
DC
|2
六、课后反思：

2.6平面向量数量积的坐标表示（1课时）

一.教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
（3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.
2.过程与方法
 



 
A B




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通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用< br>帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的 认识；提高学生迁
移知识的能力.
二.教学重、难点
重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.
难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
[展示投影]引入：
请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】
平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？
1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：
i•i = 1，j•j = 1，i•j = j•i = 0.
∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j
∴a•b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i•j + x2y1i•j + y1y2j2
= x1x2 + y1y2

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从而获得公式：a•b = x1x2 + y1y2
2.长度、角度、垂直的坐标表示
22
xy
①a = (x, y)  |a|2 = x2 + y2  |a| =
22
(xx)(yy)
1212
AB
②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=

ab

③cos =
|a||b|x
1
x
2
y
1
y
2
x
1< br>y
1
22
x
2
y
2
22

④∵ab  a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
【巩固深化，发展思维】
1.设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求a•b
2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.
3.教材P114练习1、2题.
4.已知a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足x•a = 9与x•b = 4的向量x.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1. 教材P113例1.
例2. 教材P113例2.
[展示投影]思考：
1.什么是方向向量？
2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例3. 教材P114例3.
【巩固深化，发展思维】
教材P115习题A第1、2、3、4、5、6题.
[学习小结]