西藏人力资源-漓江学院

初中几何热点问题探究
一 几何作图及操作探究问题
这类问题是应用所学 的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题
型，它涉及日常生活中的方方面面 ，出现的类型有：寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、
几何设计问题．这类试题是让学生通过具 体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知
识，以达到动手动脑的目的．解决这类问题时， 一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交
流、反思等实践活动过程，利用已有的感知与发现结论 从而解决问题.关键是要学生学会自觉地运用
数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示 其数学本质，并转化为我们所熟悉的数
学问题，适合现有的知识水平和实践能力．
(一)几何作图题
1、尺规作图题
例 （2007南京）已知直线l及直线l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留作图痕
迹.
⑴在图1-1中，只用尺规在直线l上画出两点B、C,使得点A、B、C是一个等腰三角形的三
个顶 点；
⑵在图1-2中，只用圆规在在线l外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线l平行.
解析
⑴画法一：以A点为圆心，大于A点到直线l的距离为半径画弧，与直线l交于B、< br>C两点，则点B、C即为所求.（如图1-3）
画法二：在直线l上取一点B，以B为圆心，A B的长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B、
C即为所求.（如图1-4）
⑵画法：在直 线l上任取B、C两点，以A为圆心，BC的长为半径画弧，以C为圆心，AB的
长为半径画弧，两弧交 于点P，则点P即为所求.（如图1-5）
A
l
图1-1
A
l图1-2
A
l
B
图1-3
C
P
l
C< br>A
l
B
图1-4
A
CB
图1-5

评点：
本题利用尺规作图，作等腰三角形和平行线，方法比较新颖，既考查了学生的作图能
力， 更考查了学生对原理的分析理解能力.第⑴问作等腰三角形要注意有两种情况，而第⑵问过直
线外一点作 已知直线的平行线则是利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法．熟悉
一种基本作图，并 能运用规范的语言对步骤进行描述是作图题的基本技能.

练习：
（2006锦州） 在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板
上画一个
1
直角三角形，方 法是：画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于
2
点C，连 接AC；再以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AC和延长线于点D，连接BD，则△ABD就
是直角 三角形.
⑴请你说明其中的道理；
0
⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为30（不写作法，保留作图痕迹）.

D
C
A
图2-1
B

2、格点作图
例1 如图2-1，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请作
出∠AOB的平分线.
BB
P
3
P
2
O
AO
P
1
A

图3-1

图3-2

解析
在正方形网格中找到适当的格点，利用网格中有些 线段的端点在格点上，可以计
算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等.如 图3-2在正方形网格中
找到P
1
，P
2
，P
3
这 三个点，作射线OP，射线OP即为所求.
评点：
本题利用格点作图，作一个角的角平分线， 方法新颖，思路巧，考查了学生对角平线
原理的分析理解能力以及解题方法和技巧上的创新能力.正确利 用格点作图要充分运用好网格中隐
含的平行、垂直、特殊关系的角以及相等的线段和线段的长，处理好网 格中计算.
例2 如图，在一个“10×10”的正方形DEFG网格中有一个△ABC．
⑴在网格中画出△ABC向下平移三个单位得到的△A
1
B
1
C
1< br>；
0
⑵在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转90得到的△A
2
B
2
C；
⑶若以EF所在的直线为x轴,ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标 系,写出A
1
,A
2
两点的坐标.
y
DG
GA
2
B
B
2
A
B
1
A
1C
1
x
F
D
B
C
A
C
E(O)
E

图4-1 图4-2
F

解析
⑴图形平移时,图形上的每个点都 平移相同的距离,如图4-2中所示△A
1
B
1
C
1
;⑵图 形
旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△A
2
B
2C;⑶平面直角坐标系如图4-2所示,易
知:A
1
(8,2),A
2< br>(4,9).
评点:
平移、旋转的简单作图多以网格和坐标系为背景，借点的坐标的变 化引起图形的变

化．因此，画平移、转后的图形时，关键是确定图形的关键点，然后根据 相应顶点的平移方向、平
移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种“以局部 代整体”的作图方
法是平移和旋转作图是最常用的方法．
练习
1.（2007宁波 ）面积为１个平方单位的正三角形,称为单位正三角形．下面图中的每
一个小三角形都是单位正三角形． 三角形的顶点称为格点．在图5-1，图5-2，图5-3中分别画出
一个平行四边形、梯形和对边都不 平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点都在格点、面积都为１
２个平方单位．
图5-1

图5-2

图5-3

2. 在如图6 所示的平面直角坐标系中，已知△ABC．(1)将△ABC向x轴负半轴方向平移4个
单位得到△A< br>1
B
1
C
1
，画出图形并写出点A
1
的坐标 ；
(2)以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A
2
B
2
C
2
，画出图形并写出点A
2
的坐标；
(3) △A< br>2
B
2
C
2
可以看作是由△A
1
B
1
C
1
先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转
90°得 到的．除此之外，△A
2
B
2
C
2
还可以由△A
1
B
1
C
1
怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形
变换的 步骤．



y
A
C
B



（二）操作探究题
O
x
图6

例1 （20 06连云港）(1)图7-1是一块直角三角形纸片．将该纸片按如方法折叠，使点A
与点C重合，DE 为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；
(2)再将图7-1中的△CBE沿对称轴EF折叠(如7- 2图).通过折叠,原三角形恰好折成两个重
合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无 重叠）所成的矩形，我们称这样的两个
矩形为“组合矩形”。你能将图7-3中的△ABC折叠成一个组 合矩形吗？如果能折成，请在图7-3中
画出折痕；
(3)请你在图7-4中的方格纸中画出 一个斜三角形,同时满足下列条件：①折成的组合矩形为
正方形；②顶点都在格点上；
(4) 有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分
别在原四边形的 四条边上)．请你进一步探究：一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四
边形)满足何条件时 ，一定能折成组合矩形？
A
E
A
E
B
A
D
D
C
图7-1
B
CF
B
图7-2
C
图7 -3
图7-4

解析
(1)由对称性可知∠A=∠ACE ,所以∠ECB=∠B,所以△CEB为等腰三角形；(2)任意三
角形都能折成“组合矩形”，其具体 做法可以参照图7-3的折法,将其分成两个直角三角形，有三
种不同的折法；(3)首先要体现出一条 边与该边上的高相等，这样折出来的矩形才是正方形，再者
要满足正方形的顶点都在格点上；(4)当一 个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个“组
合矩形”．
评点：
此题阅读量 大，对学生研究问题、分析问题的能力提出了挑战，作为一道操作题学生
在可能的情况下可以动手操作， 但更多的是要对操作认真的观察和分析，找出问题的实质所在，同
时要借助给出的操作示例运用类比的思 想，启示(2)问的解题思路，而第(3)、(4)问学生可以先画
图分析再得出结论．
练习 1.
图8-1是一个等腰三角形,把它分成两个全等的三角形,图8-2是个任意三角形,把
它分割成四个全等的三角形,图8-3是个直角三角形,∠C=90，AC=1,BC=2,把这个三角形分成五 个全
等的三角形．
0
A
C
图8-1

B
图8-3

图8-2
例2 （ 2007福建宁德）已知:矩形纸 片ABCD中,AB=26cm,BC=18.5cm,点E在AD上,且AE=6cm,
点P是AB边 上一动点．
按如下操作:
步骤一:折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN(如图);
步骤二:边P作PT⊥AB,交MN所在的直线于点Q,连接QE(如图)．
(1)无论点P在AB边上任何位置,都有PQ QE(填“﹥”、“﹦”、“﹤”号)；
(2)如图所示,将纸片ABCD放在平面直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:
①当点P在A点时,PT与MN交于点Q
1
,Q
1
点的坐标是( , )；
②当PA=6cm时,PT与MN交于点Q
2
,Q
2
点的坐标是( , )；
③当PA=12cm时,在图中画出MN,PT(不要求写画法),并求出MN与P T的交点Q
3
点的坐标;
(3)点P在运动过程中,PT与MN形成一系列的交点Q
1
,Q
2
,Q
3
,……．观察、猜想：众多的交点形
成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．
C'
B'
D
MCE
P
B
D
T
M
Q
p
B
C18
12
6
y
D
Q
2
18
24
C
x
B
18
12
6
y
D
Q
2< br>M
Q
3
G
C
x
B
（P）E
A
N
Q
1
Q
1
图9-1
A
N
图9-2612
O（A）
图9-3
O（A）N
12
18
24图9-4

解析
(1)PQ=QE．(2) ①(0,3) ；②(6,6)；③画图，如图所示．方法一 设MN与EP交于点
1
0
F,在Rt△ APE中,∵PE=
AE
2
AP
2
65
,∴PF=PE =
35
．∵∠Ｑ
3
PE+∠EPA=90,∠AEP+∠
2
EPA=90,∴∠Ｑ
3
PE=∠AEP．∴△Ｑ
3
PF∽△PEA, ∴
0
Q
3
P
PE

PF

EA
∴Ｑ
3
(12,15)．方法二 过点E作EG⊥Ｑ
3
P于G,则四边形APGE是矩形．∴GP=6,EG=12．设Ｑ
3
G＝x，

则Ｑ
3
E＝Ｑ
3
P=x+6．在Rt△Ｑ
3
EG中 , ∵EQ
3
=EG+Q
3
G, ∴(x+6)=12+x, ∴x=9, ∴Ｑ
3
(12,15)． (3)
这些点形成的图象是一段抛物线． 函数关系式是： y=
222222
1
2
x+3 (0≤x≤26)．
12
评点：
此题作为一道动手题目，要能看懂题意并能按要求规范操作，只有明确了
所得Ｑ 点
的真正特点，才能正确求出点Ｑ的坐标，另外第(3)问判断Q
1
,Q
2< br>,Q
3
,……形成的图象则考察了学生
的发散思维以及观察推断能力．
练习
(2007桂林)已知:如图，△ABC关于y轴对称,点B、P关于y轴的对称点 分别是点C、
Q．BP=AP=2,P点的坐标为(-1,0)．
(1)分别写出Q点和C点的坐标,并指出与△ABP关于y轴对称的三角形；
(2)M为线 段CQ上的点,若以x轴为旋转轴,旋转△PAM一周形成的旋转体的全面积为
53

,
求线段AM的长；
(3)N为线段AM上一动点(与点A、M不重合),过点N分别作NH ⊥x轴于H,NG⊥y轴于G．求当
矩形OHNG的面积最大时N点的坐标．
A
N< br>G
B
P
图10
OH
QM
C

二 几何应用问题
几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，
几 何应用问题的命题内容和形式趋向多样化，但其主要内容仍以全等的应用、相似的应用、解
直角三角考查 有关几何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力．解决这类问题时，应形
的应用为主．题目材 料新颖，有很强的实用价值．此类问题的表现形式是：由几何图形的性质通过
计算、推理来说明某种几何 设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地结合实际
问题的背景，抽象出几何模型，利 用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、
反思，解题时应特别注意数形结合、分类 讨论等数学思想．
一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三） 几何综合
应用问题．
(一)三角形在实际问题中的应用
例 一块直角三角形木板 的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成
一个面积最大的正方形桌面，甲乙 两位同学的加工方法分别如图11-1，图11-2所示，请你用学过
的知识说明哪位同学的加工方法符 合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
B
F
AE
图1 1-1
D
D
B
E
D
B
E
P
CC
AGF
图11-2
C
AG
H
F
图11-3< br>
解析
由AB=1.5米，S
△ABC
=1.5平方米，得BC= 2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DEAB，
6
CDDE2xx
，即，解得x
。如图11-3，过点B作Rt△ABC斜边

7
CBAB21. 5
AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC＝2米，
S
△A BC
＝1. 5
平方米，C＝2.5米，BH
Rt△CDE∽Rt△CBA ,∴

＝1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，∵DEAC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴< br>解得
y
1.2yy
BPDE
，即，

BHAC 1.22.5
30630
。因为

，即
xy
，
x
2
y
2
，所以甲同学的加工方法符合要求。
37737
点评：
本题是一道利用相似三角形性质来解决的几何应用问题。解决这类问题主要是灵活运
用好 相似找出线段间的相等关系，正确列方程求解，在计算过程中要注意计算的准确性各技巧性．此
题可先设 出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大．
练习
如图；某人 在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东60°
方向。到达B处后，又测得建 筑物C在北偏东45°方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物
C的最近距离是（25
3
+25）米，求AB之间的距离。
C
A

B
图12

(二)有关方案设计问题应用
例1 (2007福建龙岩)拼图与设计:
(1)如图13-1,四边形ABCD是一位师傅用地板砖铺设地 板尚未完工的地板图形为了节省材料,
他准备在剩余的六块砖中(如图13-2所示)挑选若干块进行铺 设,请你在图13-3所示的网格纸上帮
他设计3种不同的示意图．
(2)师傅想用(1)中 的④号砖四块铺设一个中心对称图形,请你把设计的图形画在图13-4所示
的10×10的方格中．( 要求以O点为对称中心)
D
A
B
图13-1

图13-2
C

D
A
D
AA
D
O
B
C
B
图13-3
CBC
图13-4

解析
(1)首先要确定六块砖的图形特点,然后根据地板的图形特点进行铺设．也可以逆向 操
作，将地板图形进行适当的分割，正确作图如图所示．

D
A
②
①
⑤
D
A
①
⑤
④
D
A
⑥
③
D
A
①
⑤
③
B
C
BCBC
BC

(2)根据中心对称的特征,绕中心O作适当的旋转.此题答案不唯一. 点评：
图形的拼剪问题,目的是通过对图形剪拼的操作,考察学生的动手实践能力、画能力以
及计算能力，培养学生思维的慎密性．解这类问题的要领是：针对给出的实际问题，结合数学中的
分类 讨论思想，画出符合要求的图形．
例2 在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的 一边为AB，顶点C在半圆上，
其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEF N，其中，DE在AB上，如图
的设计方案是使AC＝8， BC＝6．（1）求△ ABC中 AB边上的高 h
（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实 际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大
矩形水池的边上 ？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建
的最大矩形水池能避开 大树．（1999，云南）

11
AC•BC68
解析
(1)由S=AB·h=AB·BC得 h =（2）∵NF∥AB，∴△CNF
4.8
；
22
AB10
25
2
hDNNF10(4.8x)
∽△CAB，∴∴NF=，S
DEFN< br>=
x10x
，∴当x＝2.4时，SDEFN的

4.8
12hAB
值最大． （3）当SDEFN最大时x=2.4，此时F为BC中点． 在Rt△FEB 中，EF＝2.4，BF＝3，∴
22
BE=
BFEF
=
32. 4
=1.8，又BM-1.85＞BE，故大树必位于欲修建的水池边上，应重新
22
设计方案，又∵当x＝2.4时，DE＝5，∴AD＝3.2，由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是如图（2），此时，AC＝6，AD＝1.8，BD＝8.2，此方案满足条件且能避开大树．
点评：
解此类问题经常要通过计算线段长和面积来确定设计方案及其是否最优，因此有关面（体）积公式要非常熟练，同时要熟悉解直角三角形的有关知识和技巧，并会将有关图形转化为
直 角三角形再计算有关线段或面积；有时还要利用轴对称及其性质解题．
练习 1.
如图（1 ）所示是某立式家俱（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高
2米，房间高2.6米，所以不 必从高度方面考虑方案的设计），按此方案，可使该家俱通过图（2）
中的长廊搬入房间，在图（2）中 把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家俱搬入房间的
理由．（注：搬运过程中不准拆卸家俱， 不准损坏墙壁）．（2002，济南市）

2. 小明家有一块三角形菜 地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分
成三角形或四边形不限）。



方案一 方案二 方案三 方案四



(三)综合类几何应用
例 如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30< br>o
，点A处有一所中学，AP=160米。
假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到 噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，
学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果 受影响，已知拖拉机的速度为18千米时，那么学校
受影响的时间为多少秒？

N

A

P



B
D
Q
M
C
解析：
过点A作AB⊥MN，垂足为B，在Rt△ABP中： ∠APB=∠QPN=30°，AP=160米
1
则AB=AP=80米，所以学校会受到噪声影响。
2
以A为圆心，10 0米为半径作☉A,交MN于C、D两点，在Rt△ABC中：AC=100米，AB=80
米，则：< br>BC=
AC
2
AB
2
100
2
80< br>2
60
（米），∴CD=2BC=120（米）；∵18千米小时=5米秒．∴
受影响时间为：120米÷5米秒=24（秒）
点评：
解几何应用问题要求我们必须具备扎 实的几何基础知识，较强的阅读理解能力，以及
对数学思想方法的掌握．本题是一道关于解直角三角形和 圆的几何综合应用问题，要判断是否受到
噪声的影响，只需求出A点到直线MN的距离AB，当此AB≤ 100米时就要受到噪声影响；第二个问
题只需要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间．

练习
如图所示，一艘轮船以20里／时的速度由西向东航行，途中接到台风警报 ，台风中心正以
40里／时的速度由南向北移动，距台风中心20
10
里的圆形区域（ 包括边界）都属台风区，当轮
船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB＝100里
（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求船最初遇到台风
的时间；若不会，请说明理由；
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距6 0里的D港驶去，为使台风到
来之前到达D港，问船速至少要提高多少（提高的船速取整数，
1 3
≈3.6）？

三 动态几何探究问题
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与
“ 不变”性；就其运动对象而言有点动、线动、面动；就其运动形式而言有平动、旋转、翻折、滚
动等．动 态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，
动中有静，动 静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，全面考查学生的综合分析和解决
问题的能力，是近几 年中考命题的热点，常常在中考中起到甄选的作用．
解决动态几何问题需要树立联系发展的动态观，用 运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握
图形运动与变化的全过程．一方面要注意将运动过程中的各个 时刻的图形分类画图，由“动”变“静”；
另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系 和变量关系，并特别关注一些不变量
和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件．在求有关图形的变量之 间关系时，通常建立函数模型
或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建 立方程模型求解．
(一)单动点问题
例 (2007连云港)如图19-1,在平面直角 坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶
点A,C在坐标轴上,OA=60cm,OC=8 0cm,动点P从点O出发,以5cms的速度沿x轴匀速向点C运动,
到达C点即停止．设点P运动的 时间为ts.
(1)过P作对角线OB的垂线,垂足为点T．求PT的长y与时间t之间的函数关系式 ,并写出自
变量t的取值范围;

(2)在点P运动过程中,当点O关于直线AP的对 称点O恰好落在对角线OB上时,求此时直线
AP的函数解析式;
(3)探索:以A,P,T 三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC的面积的
y
A
1
1
?请说明理由.
4
A
y
B
B
T
2
A< br>y
B
A
y
B
T
x
OPC
图19-4
O'
x
CO
T
E
C
P
图19-3
xT
O
P
图19-1
C
x
OP
图19-2

解析
(1)在矩形OABC中,∵OA=60,OC=80,∴OB=AC=100．又Rt △OPT∽Rt△OBC,∴
PTOPPT5t80
,y=PT=3t．当P运动到C点时,t 达到最大值为
16
,故t的取值范围
,即
5
BCOB6010 0
为0≤t≤16．

(2)当点O关于直线AP的对称点O恰好在对角线OB上时, A,T,P三点应在一条直线上(如图
19-2).∴AP⊥OB,∠1=∠2∴Rt△AOP∽Rt△ OCB,∴
OPAO

,∴OP=45,∴点P的坐标为(45,0).设
C BCO
直线AP的函数关系式为y=kx+b．将A(0,60)，P(45,0)两点代入解析式要求 直线AP的解析式为
y=

4
x60
．
3
(3 )由(2)知,当t=
45
=9时,A,T,P三点在一条直线上,此时,点A,T,P构不成 三角形．故分两
5
种情况：图19-3,当0＜t＜9时，T点位于△AOP的内部,此时△A PT和面积达不到矩形OABC面积的
1
．图19-4,当9＜t≤16时，点T位于△AOP 的外部, 此时△APT和面积也达不到矩形OABC面积的
4
1
．
4点评：
第(1)问的关键是能利用相似知识得到对应线段成比例；第(2)问需要明白点O关于直< br>线AP的对称点O恰好落在对角线OB上的实质是告诉AP与OB垂直的关系；第(3)问探索以A,P, T

三点为顶点的△APT的面积是否能到矩形OABC面积的

1
,则要分两种情况进行讨论分析．
4
练习
（湖北天门）如图所 示，在平面直角坐标系内，点A和点C的坐标分别为(4，8)、(0，
5)，过点A作AB⊥x轴于点 B，过OB上的动点D作直线y
＝
kx＋b平行于AC，与AB相交于点E，
连结CD ，过点E作EF∥CD交AC于点F。
(1)求经过A、C两点的直线的解析式；
(2)当 点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不
能，请说明理 由；
(3)如果将直线AC作上下平移，交y轴于C’，交AB于A’，连结DC’，过点E作EF’ ∥DC’，
交A’C’于F’，那么能否使四边形C’DEF’为正方形？若能，请求出正方形的面积； 若不能，请说明
理由。
y
F
C
E
O
DB
图20
x
A

(二) 双点运动问题
例 (2007温州)如图21-1,在△ABC中,∠C=90,A C=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm．现
有两个动点P、Q分别从点A和点B同 时出发,其中点P以1cms的速度沿AC向终点C运动；点Q
以1.25cms的速度沿BC向终点C 运动．过P作PE∥BC交AD于E,连接EQ．设动点运动的时间为
xs．(1)用含x的代数式表示 AE、DE的长度．
(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设△EDQ的面积为y(cm
2
)，求y与时间x的函数关
系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时, △EDQ为直角三角形？
C
D
P
E
A
BDQ
图21-2
P
C
B
E
Q
D图21-3
P
C
A
A
0
B
Q
D
图21-1
解析
(1)在Rt△ADC中,AC=4,CD=3,∴AD=5.又EP ∥DC,∴△AEP∽△ADC,∴
555
1
AE=
x
,DE=5-
x
.(2)∵BC=5,CD=3, ∴BD=2.当点Q在BD上运动x秒后,DQ=2-< br>x
,则y=DQ×
444
2
5
2
75
27
CP=
xx4
.即y与x之间的函数关系式是: y=
xx4
(0＜x＜1.6).(3)分两种情况
8282
5
x2
4x< br>4
0
讨论:①如图21-2,当∠EQD=90时,EQ=PC=4-x,又EQ∥AC ,∴△EDQ∽△ADC,,即,∴

43
x=2.5．②如图21-3,当∠QED =90,∵∠CDA=∠EDQ, ∠EDQ=∠C=90, △EDQ∽△CDA,即
00

5
55
xx2
4

4
,∴x=3.1．综上所 述，当x为2.5s或3.1s时，△EDQ为直角三角形．
35
点评：
本题第( 2)问求面积时注意以DQ为底,高则可以用CP来代表,这样处理比较简单,而

第(3 )问的解答关键在于要分两种情况来分析.
练习
如图，在直角坐标系中，O是原点，A、 B、C三点的坐标分别为A（18，0），B
（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点 P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中
点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿 OC、CB向终点B运动，当这两点有一
点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
⑴ 求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。
⑵ 试在⑴中的抛物线上找一点D， 使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接
写出点D的坐标。
⑶ 设从出发起 ，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出
此时t的取值范围。
⑷ 设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请
说 明理由。

(三) 图形运动问题
例 (2007怀化)两个直角边为6的全等的 等腰直角形(Rt△AOB和Rt△CED)按如图23-1的位置放
置,A与C重合,O与E重合．( 1)求图中的A,B,D的坐标;
(2) Rt△AOB固定不动, Rt△CED沿x轴以每秒2个 单位长的速度向右运动,当D点运动到与B
点重合时停止.设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重 叠部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式;
(3)当Rt△CDE以(2)中的速度和方向运动,运动时间为4秒时, Rt△CDE运动到如图23-2所示
的位置,求经过A,G,C三点的抛物线的解析式;
( 4)现有一半径为2,圆心在(3)中的抛物线上运动的动圆,试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与
x 轴或y轴相切的情况?若存在请求出P点的坐标;若不存在请说明理由．
y
(C) Ax
DO
图23-1
B
y
A
C
x
yA
I
G
C
J
x
A
y
G
Cx
O
DBE
图23-2
D
O
H
EB
图 23-3
2
ODH
B
E
图23-4

解析
(1)A(0,6)，B(6,0)，D(-6,0)．(2)当0≤x≤3时,位置如图23-3所示,作G H⊥DB于H,可
知:OE=2x,EH=x,OD=6-2x,DH=6-x,∴y=2S
梯 形IOHG
=2(S
△GHD
-S
△IOD
)=-3x+12x.当 3≤x≤6时,位置如图
2
23-2所示,可知:DB=12-2x. ∴y=S
△D GB
=x-12x+36.(3)在图中作GH⊥OE于H,当x=4
时,OE=2x=8,D B=12-2x=4,可知:A(0,6)，G(4,2)，C(8,6)，∴过A,G,C三点的抛物线的解析 式
为:y=
1
2
x2x6
.(4)若⊙P在运动过程中存在与坐 标轴相切的情况,设P点的坐标为(x
0
,y
0
),当
4
⊙ P与y轴相切时,有∣x
0
∣=2, x
0
=±2,∴P
1
(-2,11),P
2
(2,3).当⊙P与x轴相切时有∣y
0
∣=2.∴
P
3
(4,2).综上所述,符合条件的圆心P有三个,其坐标分别是: P
1
(-2,11),P
2
(2,3) ,P
3
(4,2).

点评：
本例在解题时,应搞清楚图形的 变化过程,探索动点运动的特点和规律,作出几个符合条
件的草图,并抓住图形在变化过程中不变的量是 关键,然后根据重叠部分的面积的不同的形状来确
定它的面积的求法.

练习 1
.如图2-5-40，在Rt△PMN中，∠P=90
0
，PM=PN，MN=8㎝， 矩形ABCD的长和宽分别为
8㎝和2㎝，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN 不动，矩形ABCD沿MN所在直线
向右以每秒1㎝的速度移动（图2-4-41），直到C点与N点重 合为止．设移动
x
秒后，矩形ABCD
2
与△PMN重叠部分的面积为
y
㎝．求
y
与
x
之间的函数关系式．
P
AB
D
A
D
M
C
图2-4-41
N
P< br>P
A
2
P
H
T
N
A
2
GD
M
2
F
x
C
图2-4-43
G
H
D
Q
T
CN
C
(M)
图2-4-40
N
B
B
B
M
2
F
x
图2-4-44






强化练习题
１、如图，一根绳子OP 的O端拴在柱子上，P端拴着一头小牛，草地的边缘是墙AO、OB、BC，
已知OP＝9m，OB＝3 m，AO∥BC，∠OBC＝120°，小牛只能在草地上活动，其活动区域的最大
面积为（ ）
A、27πm
2
B、30πm
2
C、33πm
2
D、66πm
2

B
P
O
A
120
0

2、如图，把长为10 cm，宽为4 cm的矩形纸片对折，按图中虚线所示剪出一个梯形，则打开后
的梯形的中位线长______ cm，它的腰长______ cm，面积是______ cm．

3、（郑州）用两个全 等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方
形）；（2）矩形；（3）正 方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是( )
（A）①②⑤ （B）②③⑤ （C）①④⑤ （D）①②③

４、且张矩形纸片ABCD，其中AD＝4cm，上面有一 个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相
切，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙， 这时，半圆还露在外面的部分（阴影
部分）的面积是（ ）





_

A
_

D
_

E
_

D
_

B
_

_

C
_

B
_

A
_

_

C

132
A（π－23 ）cm
2
B（ π+3 ）cm
2
C（ π－3 ）cm
2
D（ π+3 ）cm
2

243

5、（2007四川乐山）认真观察图中4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：






（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：_______________ __________________________________；
特征2：______ ___________________________________________．

（2）请在图（10.2）中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

6、(2007上海)如图是４×４正方形网格，请在图中任取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．

7、 在生活中需测量一些球（如足球、篮球…）的 直径。某校研究性学习小组，通过实验发
现下面的测量方法：如图8，将球放在水平的桌面上，在阳光的 斜射下，得到球的影子
AB
，设光线
DA
、
CB
分别与球相 切于点
E
、
F
，则
EF
即为球的直径。若测得
AB
的长为40 cm，∠
ABC
＝30°。请
你计算出球的直径（精确到1 cm）。

C


F

D

E
30

B
A




图（10.2）
8、(2006天门)在方格纸中,每个小的顶点叫格点,以格点为顶点的三 角形叫格点
三角形．如图5-1所示，在４×４的方格纸上，以ＡＢ为边的格点三角形ＡＢＣ的面积为２个平方单位，在图中标出所有符合条件的Ｃ点．
G
O
F
x
E

A
B
图5-1

9、在平面直角坐标 系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）。将一个最短边长大
于2 的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合， 一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片
与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为__ ____________；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方 形相邻两边相交，当这个三
角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三 角形纸片直角顶点的坐
标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．




10、（2007哈尔滨）现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片， 分别放在方格纸中，方
格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形 的顶点重合（如
图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点 画一条裁剪
线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图 形．
要求：（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大
小画出所拼成的符合要求的几何图形；
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．














图1
矩形（非正方形）
图2
正方形
图3
有一个角是135°的三角形

11、（1）为创建绿色校园，学校决定对一块正方 形的空地种植花草，现向学生征集设计图案，
图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画 的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又
是中心对称图形，种植花草部分用阴影表示，请你在图③、图④、 图⑤中画出三种不同的设计图案．
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种． < br>（2）如图⑥，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，－1）．①把△ABC向上平移5个单位后得到对应
的 △A
1
B
1
C
1
，画出△A
1
B
1
C
1
，并写出点C
1
的坐标；②以原点O为对称中心，再画出△A
1
B
1
C
1
关于
原点O对称的△A
2B
2
C
2
，并写出点C
2
的坐标．

12、(上海)操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在 对角
线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数
的 定义域；
(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所 有能使△PCQ
成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．(图1 8、图19、
图20的形状大小相同，图18供操作、实验用，图19和图20备用)






13、 在一服装厂里有大量形状为等腰三角形 的边角布料（如图）．现找出其中的
一种，测得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今要从这种三角形中剪 出一种扇形，做成不同形状
的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形与△ABC的其 他边相切．请
设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．






14、小明 在如图所示粗糙的平面轨道上滚动一个半径为8cm的圆盘，已知，AB与CD是水平的，
0
B C与水平方向夹角为45，四边形BCDE是等腰梯形，CD=EF=AB=BC=40cm，
(1)请作出小明将圆盘从A点滚动至F点其圆心所经过的路线示意图
(2)求出(1)中所作路线的长度。





15、如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A(－2，0)、B(8，0)，以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）求C、M两点的坐标；
（2）连接CM，试判断直线CM是否与⊙P相切，说明你的理由；
（3）在x轴上是否存在 一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，

y
请 说明理由．
D
E
C

M


x

A
O
PB



16、
(2007河北) 在△ABC中,AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角形尺按如图所
示的位置 摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经
过点B． < br>⑴在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明
你的结论；
⑵当三角尺沿AC方向平移到图所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另 一条直角边
交BC边与点D，过点D作DE⊥BA与点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的 长度，猜想并
写出DE﹢DF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
F
AB
G
B
E
D
F
G
A
G
EA
F
C
B
D
C
C




17、直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下：
①
②
③
甲
①
②
③

请你用图17-1所示的方法，解答下列问题：
（1）如图17-2所示，对任意三角形，设 计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面
积相等的矩形。
（2）如图17-3 ，对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相
等的矩形。

18、（2007四川资阳）如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合) ，PE
⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图8-2 ，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若
是，请给予证明； 若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边 形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线
段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度 始终相等，并证明你的结论 .










19、如图所示，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性， 决定将到达该景点的步行
台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC 所在地面为水平面）。
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）
A
44
0

20、（05乌鲁木齐）四边形OABC是等腰梯形，O A∥BC。在建立如图的平面直角坐标系中，
A （4，0），B（3，2），点M从O点以每秒2单位 的速度向终点A运动；同时点N从B点出
发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x 轴于P点连结AC交NP于Q，连
结MQ．（1）写出C点的坐标；
（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示
（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；
（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形．
B
C
y
CN
Q
O
M

21、如图 ，形如量角器的半圆O直径DE=12cm，形如三角板△ABC，∠ACB=90°.∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cms的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设< br>运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当 △ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区
域与△ABC三边围 成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
A




D
O

E
CB
B
A
Px

22、 如图，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,B A的延长线交
⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D．（1）求证：DA=DC
（2）当DF：EF=1：8且DF=
2
时，求
ABgAC
的值．
（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论．
E
D
H
B
O
K
A
F
C



23、如图，点B坐标为（7，9） ⊙B的半径为3， AB⊥y轴，垂足 为A，点P从A点出发沿射线
AB运动，速度为每秒一个单位，设运动的时间t（s）：
（1）当点P运动到圆上时，求t值，并直接写出此时P点坐标。
（2）若P运动12s时，判断直线OP与⊙B的位置关系，并说明你的理由。
（3）点P从 A点出发沿射线AB运动的过程中，请探究直线OP与⊙B有哪几种位置关系，并直接写
出相应的运动时 间t的取值范围。

y
A
B
O
x



24、（2005年湖州）如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点） ，AC∥OB，OC⊥BC，AC，
OB的长是关于x的方程x
2
－(k+2)x+5 =0的两个根，且S
△
AOC
：S
△
BOC
=1：5。
（1）填空：0C=________，k=________；
（2）求经过O，C， B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1
个单位的速度运动， 其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连
结PM ，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。