中矿大银川学院-关于真诚的作文

几何画板目录梳理
编者按：
老师可根据自己的需求，在口录中先选择自己要讲解的题口及答案（可在“视 图”< br>中点击“文档结构图”，直接找到题目与解析的位置），然后再按
Ctrl
点击题目后面 的链接即
可打开文件.
选填重难题型
题型一线段最值问题《共
3
题〉
1.2016
陕西
14< br>题
（gsp
文件;
gif
文件）
2. 2017
安徽
10
题
（gsp
文件;
gif
文件）
3. 2016
安徽
10
题
（gsp
文件;
gif
文件）
题型二 分析判断函数图象（共
2
题） ...................
1.2018
安徽
10
题
（gsp
文件;
gif< br>文件）
2. 2014
安徽
9
题
（gsp
文件;
gif
文件）
题型三几何图形的对称（共
4
题》
1.2017
安徽
14
题
（gsp
文件;
gif
文
2. 2016
河南
15
题
（gsp
文件;
件）
gif
3. 2017
河南
15
题
（gsp
文件;
文件）
4. 2018
河南
15
题
gsp
文件;
gif
文
其他题型（共
2
题）
1.2017
河北
16
题
（gsp
文件;
gif
文件）
2. 2018
河北
19
题
（gsp
文件;
gif
文件）
解答重难题型
题型一二次函数综合题（共
26
题） ...................
1. 2016
陕西
24
题
（gsp
文件;
gif
文件）
2. 2016 III
西
23
题
（gsp
文件;
mif
文件）
3. 2013
山西
26
题
（gsp
文件;
gif
文件
1； gif
文件
2）
4. 2015
云南省卷
23
题
（gsp
文件;
gi
「文件）
5. 2016
云南昆明
2 3
题
（gsp
文件;
gif
文件
1； gif
文件
2）
6. 2013
陕西
24
题
（gsp
文件;
gif
文件）
7. 2017
陕西
24
题
（gsp
文件;
百
if
文件
gif
文件
2)
8. 2014
山西
24
题
（gsp
文件;
1;
gif
文件
2)
9. 2018
山西
23
题
（gsp
文件;
gif
文件
1;
10. 2 013
云南昆明
24
题
（gsp
文件;
gif
文件
1； gif
文件
2）
11.2015
江西
23
题
（gsp
文件;
gif
文件）
12. 2018
河南< br>23
题
（gsp
文件；
gif
文件
1； gif
文件
2）


3
10

13. 2018
云南曲靖
23
题
（gsp
文件;
gif
文件
1； gif
文件
2）
14. 2015
山西
24
题
@sp
文件;
gi
「文件
1； gif
文件
2）
15. 2012
河南
23
题
（gsp
文件;
gi f
文件
1； gif
文件
2）
16. 2014
云南昆明
23
题
（gsp
文件;
gif
文件
1； gif
文件
2） （gsp
文件;
gif
文件）
17. 2014
陕西
24
题
（gsp
文件;
gif
文件
1；
18. 2010
江西
24
题
（gsp
文件;
gif
文件）

文件
2）
19. 2018
陕西
24
题
（gsp
文件;
gif
文件
1；
20. 2017
河南
23
题
（gsp
文件;
gif
文件）
gif
文件
2）
21.2015
河南
23
题
（gsp
文件;
gif
文件
1；
22. 2017
山西
23
题
（gsp
文件;
gif
文件）
gif
文件
2）
23. 2017
江西
22
题
24. 2017
陕西副题
24题
（gsp
文件;
gi
「文件
1； gi
「文件
2）
25. 2018
江西
23
题
（gsp
文件;
gif
文件）
26. 2013
云南曲靖
24
题
（gsp
文件;
gif
文件）
题型二几何综合题（共
15
题〉
gi
『文件
1;
gi
「文件
2. 2018
河北
23
题
（gsp
文件;
gif
文件）
2）
1.2017
河北
25
题
（gsp
文件;
3. 2014
河北
25
题
(gsp
文件;
gif
文件）
4. 2017
云南
23
题
(gsp
文件;
gif
文件）
5. 2016
河北
25
题
(gsp
文件;
gif
文件
1;
6. 2018
河北
25
题
（gsp
文件;
gi
「文件
1;
gif
文件
2）
7. 2017
江西
23
题
（gsp
文件;
gif
文件）
无「文件
2）
8. 2009
江西
25
题
（gsp
文件;
gif
文件
1;
9. 2018
江西
22
题
（gsp
文件;
gif
文件）
10. 2016
江西
题
gsp
文件;
gif
文件）
22
题
（gsp
文件;
gif
文件
1;
gif
文件
2)
11.2013
江西
23
题
（gsp
文件;
gif
文件
1;
gif
文件
2)
12. 2017
河南
22
题
（gsp
文件;
gif
文件
1;
gif
文件
2)
14. 2018
河南
22
题
（gsp
文件;

文件） 15.2018
云南
23
题
（gsp
文件;
gif文件
1； gif
文件
2）

75
题型三综合与实践《共2题〉
.......................................... 107
1.2016
陕西
25
题
（gsp
文
3. 2018
陕西
25
题
件;
4. 2017
山西
22
题
（gsp
文
gif
文件
1;
酊
f
文件
2. 2017
陕西
25
题
件;
gsp
文
gif
文件）
2）
gif
文件
1；
gif
文件
2）
5. 2016
山西
22
题
(gsp
文件;
gif
文件）
6. 2013
山西
25
题
(gsp
文件;
gif
文件
1;
7. 2015
陕西
25
题
(gsp
文件;
gif
文件）
8. 2013
陕西
25
题
(gsp
文件;
gif
文件）
9. 2012
陕西
25
题
(gsp
文件;
g
订文件）
10. 2017
陕西副题
25
题
（ gsp
文件；
gif
文件
1； gif
文件
2）

选填重难题型
题型一线段最值问题
1. （2016
陕西
14
题）
（gsp
文件;
g if
文件）
如图•在菱形
ABCD
中.
厶
ABC
=60MB =2.
点
P
是这个 菱形
内部或边上的一点.若以点
5C
为顶点的三角形 是等
18
三
角形•则
P
、< br>D（P
、
D
阿
点不
JR
合）两点间的最短 距离为
______________ ・
第
14
题图
2A-2【解析】本题考査了菱形的性质、等腰三角形的性质、 两点之间最短距离问题以及分类讨论思想.
如解图•连接皿、 B〃，交点为O,则M丄BD. v四边形ABCD是菱形,^ABC = 6（）%.
△
WC和
ZUCO都是等边三角形,・.• AB =2.. BO - AB
・

80二2戌⑴如解图①•当BP = BC时•点P 在以点B为圆心,2为半轻的圆弧上，
其中当点P在B1
）
与圆弧 的交点上时・最短•此时PD = BD
・
BP
二
2
良如
解图 2 •当处二PC时
•点P在BC的垂直平分线上，此时的最短 距离为加•即M二2
；
（3）如解图③•当CB = CP
时.点P在以点 C•为圆心,2为半径的圆弧上•由于点“是在菱形内部或边上的 一点，且点“、〃不
重合* PD的最短距离为〃九即I»D = 2.综 上所述JD两点间的最短距离为2再・2.
图① 图②
第
14
题解图
图③
屋
I
題厨解題的难点是对点
P
的位
JL
需分三种廿况讨论•分 别
求出在这三种榆况中
PD
的最短距鬲，然后进行比较■得出适 短

距离.
2. （2017
安徽
10
题）
（gsp
文件;
g
辻文件）
如图，在矩形
AHCD
中,
.4
〃
=5=3.
动 点
P
満足
“厶加
=*-则点
P
到
A
上两点 距离之和
PA + PB
的最
小值为
A.
V
59 B.
y34
C.5Q D. TT

第
10
题
图
【忠维教煤】婺求动点冋题的线毀和的最小伍•首先根据已知条 伴稈出动点的运劝仇
逝■然&利用对你性廉确定最小值点•再诃
r
4


D
【解析］如解图所示•设△
PW
底边
M
上的髙 为
h. •:
»砂=〒

用勾狀定理即可求解.
H

定值•在上裁取
A£=2.
作血〃丽■交 第
10
题解图
f
：
B
于
F.
故卩点在直线
EF
上•作点・
4
关于直线
EF
的对称点

按A8
交直线
EF
于点
P
•此时
PA + PR
俎小.fl
PA + PB

= 4
r
fi= Zt4
ri

+AB
=丿“
+5
、二屁
2
3. （2016
安徽
10
题）
（gsp
文件;
gif
文件）
如图,KlA4^C中•刚丄BC4B=6.^
：
= 4.P是△』肌:内部的一个动点•且满 足LPAH =
厶
PBC.则线段CP长的最小備为

（
）
8 U
13
I).
13

B
［解析］如解图，-•
APAB = , AABC
=90°,.
ABAP^ 乙PR4
=90°.. Z.4Pfl=90.
点
P
始终在以
AB
的中点
O
为 阀心•以
O4=Oe=OP = ^-4fi = 3
为半径的阿上，由解图知•
只 有当在点
P
在
O C与QO
的交点处时，
PC
的氏最小.在
R
MBC
中皿=
JoG
+加二
后
彳
4,
=5.
化
P
C = OC- OP
=5
亠
2
二线段
CP
长的最小值为
2.

ff









第
10
題解
图

题型二分析判断函数图象
1. （2018
安徽
10
题）
（gsp
文件;
g if
文件）
如图，直线. A都与直线I垂直，垂足分别为 A = 正方
形ABCD的边长为Q.对角线AC 在直线上•且点C位于
点M处•将正方形ABCD 沿向右平移.直到点4与点N
重合为止•记点C 平移的距离为- 正方形ABCD的边位于
人仏之 间部分的长度和为八则）关于x的函数图象人

A
【解析】设对角线必的中点为
O
•则
4C=2.
①当< br>OW*<1
时（即点
o
、
c
分别任直线人的两侧）•如解
图①•此时
y = x
X
7T
X
2 =2
念;②当
1 WX <2
时（即点
O
在
直线.仏之间•点
c
•在直线
A
的右侧）•如解图②•此
时
y
=2
屈③当
20W3
时（即点屮在直线,厶之间•点
O
在直线
A
的右侧）•如解图③，此时
y = [l-（x-2）] x
7T
X
2=
综合孑选项中的图象•故选
A.

弟
10
題解田① 第
10
題解图②
1

°
z


L)
亠

1
0 c

.4
z

r
第
10
题解田③

人
、

1

2. （2014
安徽
9
题）
（gsp
文件 ;
gif
文件）
如图•矩形ABCD中，川
23
・皿
4< br>・动点
P
从
.4
点出发•按.—
：
的方向在 AB和BC上移动•记PA
点I
）
到直线PA的距离为八则
y
关于*的函数图 象大致是
B
【解析】
4
題结合几河动点冋題苇盘甬数 图
（ ）
H P
第
9
题
图
象判断.根据題
jg
可知•書
分两种情况讨 论;①当
P Z

(:
I
上时丿的取備枪圖足
0<
上
«3
•此时点“列
PI
的亚离等于3的氏度
4
•所以，
XT<
的谶散阳象足一条千行于・ 第
9
趙解田
抽的
A«ll'2 I H<*
的取
（ft
他国囚「.
5 J
仏•&
L
H<
>
♦
厶DAE ■
♦
厶仇•••厶
■ Z
乂
T
LH ■

厶DEA
= 90
。..・.△
MP1.
=晋.-•.十=十・• •,=
1 r
—J
法二：观察图形可知』“二= 丄八
DE^— AD^AB,

X
即斗•• —
r
=
-L
x4x3
.--»=—
的険数图象足
収曲线的一耀分•由
4 ■ 12 ftlffrtttftS-ftMH vM
•的增大而 法小怂合①
2
可知
B
環正編
题型三几何图形的对称
1. （2017
安徽
14
题）
g sp
文件;
gif
文件）
在三角形纸片川垃中•
G =90 rC = 3O 4C=3O < tn.
将该尿片沿过点
B
的直线折叠•使点
4
落在料边
M：
上
的一点*'处•折粮记为加（如图丨
）.WiAC>r
后用列双煨△创旧 如图
2
）
.
再沿祢过△〃处 泉顶点的血
线将
：< 形开石的平面图形中何一个是于行四边形•则所得平行四边形的冏|〔
7j _______________











图
1
图
2

【思堆教毎】若在重叠的三角册中从茂点进
ftf
有两仲情 况泡・沿过£点的立找芳开.幷刊
以
AD DE
为邻边的平行日 边
形;b
沿过
0
点的宜线方开，存到以厶
B
为顶角
.BD为对館罠
的平行四边対；然后抿揺题中所给義伴即可求解.
40
或笛返【解 析】在
RiZUBC
中・；=
30,
厶
（7 = 30
。.町得0
=BE
= 10 7T.
由对称性
<4
知
厶ABD =厶EBD
= 30°..-.
在
R1A4BD
中,AD = 10...AD
= D£ = 10,
CD
= 20. a.
如解图
1
所示. 当
沿 过
E
点的
jg
线豹开•展开后所得平行四边形是以
W
和DE
为邻边的平行囚边形
WEF
时・
丁
4D = D£ = 10..
所越平行四 边形
ADEF
的周长为
4.40=40
；
第□题解图① 第
M
题解图②
B-
如解图
2
所示•当沿过〃点的直线穷开，展开后所得平行四 边形是以乙
B
为頂角•〃
“为对角线的平行四边
DFBG
0j.
由 折酸性质町得
DG = DF、DFH*、:.
DF
：

AB = CD：
C4
=2
：
3. 41? =10
J3.. DF
=卫名・.••所得平行四边形
DFBG
的周长为
4
-3 -
2. （2016
河南
15
题）
（gsp
文件;
g if
文件）
如图•已知丄=3.点£为射线BC上一个动点•连接筋,将
4ABE沿2：折豪•点B瘠在点了处■过点川作的垂线■分别交于
点
小
当点出为线段“、的三等分点时•肚的长为 ________________ ・
〃
E C
第15题图
字或孕【解析】肖点为线段的三等分点时•需分两 种悄况讨论：(1 )如解图1
・
3 X ” =

AB±HC. M、丄
时・ ••• WHC,
=*4〃 二 .由折從
的性质可得 出=UT = 3.厶“'£ =
厶
ABC = 90
・
.
・・・
AM =
、=乙 wur..
・・

△
4MT s
△
M、F
；
・.・・需二需・即牛=
以二卒・・・・ HE = HN -AV =2 75■-牢=^;(2)iU«ira 2
・
H*W =

JV 时.
■ z s
•
・・
AI
》
R(
：
、
H 丄 HC. 丄 HC.
・
•. H
r
1 =壬、八=4〃 = 2,
=1, B = 4 W. . .41 =
性质可得
乙刖‘ £
= 90
9
. r.
=冷-F =点，出折叠
> = Z. M4M.
・
•
・
AAMB
f
s
E' B'N
an
E I a* z 2 2^5
ur

氐
B NE•萨T而•即亍二歹解得£' =石二寺・• • 8

3. （2017
河南
15
题）
（gsp
文件;
gif
文件）
如图•在 M△磁 中.Z-4=9O°. 4B= = @ + 1 •点 ”,N 分别是边 BC.
AB I
：
的动点•沿、八所住的H线折
桂厶
B.便点“的对应点用始终落金边皿
• •
上•若△ WTC为直角三角形•则的长为 _______________
第15題图

咎
1
或1【解析】（I ）当
乙
BM
：
为直角时，此时点1在BC的
中点位置时•点出与< br>点
A
重合•如解图①，则旳
f
长度为
斗甌二 耳丄;
（
2）当乙为直角
时•如解图②.根据折叠性质曾.
二
“'
二
RWM
〃
R
；
晋二窘・即舲
%=近、

•耆
M
•即哙瞥罕•即齡罕―
. HM
二
L
故
HM
长为咎丄或
L








B


图①
图②
第15题解图
4. （2018
河南
15< br>题）
（gsp
文件;
gif
文件）
)
L
，
WC关于BC所壮直蛻对贰湫”上分*
益需钉的心曲三血E
4@
或
4
【解析】①当
Z.4TF
是直角时，如解图①，延长
山祇为



'
「

交
AB
于点〃■则
471
AB.
V
点
E
是
BC
中点.
Ex
AB^AC
丄
AB.:. lill
= -yJB = =2
f
.
ZA47 = 30°.
在
Rt A4 JIC
中.・.・点
E
是
BC
的中点，
. VE = BE..・. Z.I3EH -
60
。,.・.
BH
= 2
AB =
2BH
= 4 yi;
②当
厶AW
是直角时•如解图②，则
A F±
£F, v
乙
C4'B
M
9O°, A7?
〃
DF.
・
.
・

DF〃4B..・.A'B 丄
AB,.・.
四边 形
ABVC
为矩形.
Z4BC= z4W
：
=45°..-.
四边形
4R4 C
为正方形.•・也=
4C = 4
；③.・
厶EV F
＜厶CA，B.

••.厶EYF媳
终是锐角•不可能为直角.综合所述川〃的长
图①
第
15
题解田
图②
其他题型
1.
（
2017
河北
16
题）
（gsp
文件;
gif
文 件）
已知正方形
MNOK
和正六边形
ABCDEF
边长均为
1,
把正方形放在正六边形中，使
OK
边与
AB
边重合，
如图
10
所示.按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点
B
顺时针旋转 ，使
KM
边与
BC
边重合，
完成第一次旋转；再绕点
C< br>顺时针旋转，使
MN
边与
CD
边重合，完 成第二次旋转；…在这样连续
6
次旋转的过程中，点
B, M
问的距离可能是（）
A. 1.4
B. 1
」
C. 0.8
D. 0.5

月(°) 恥)
第
16
题解图
C【解析】
这
6
次旋转过程分别如解图①〜⑥所示，观察可知，当点
M在解图①②⑤⑥ 的位置
时，
BM
最大，最大值为
1；
当点M
在解图③④时，最小，以解图③为例，连接
BD,
过点
C
作
CG
丄
BD
于点
G,
・.•六边形
ABCDEF< br>是正六边形
，:・
BC=CD, ZBCD= 120
。,
:.ZCDB=30°
f
VZCDE= 120°,
ZONM=90
。,
:. ZCNM=30
。,
・'.B
、
G
、
D
三点共线，
•・•在
RtACDG
中，
CD=1,
:
・
DG^
Y
，
:.BD=y^, *.*DM=
1,
：.BM=
^3-1^0.7, T

0.7<0.8<1,
:.B.
M
间的距离可能是
08























.1(.W) ?(N)
图⑥
第
16
题解图
2.
（2018
河北
19
题）
（gsp
文
件;
gi
『文件）
如图
10-1,
作乙
BPC
平分线的反向延氏线
PA .

现要分别以
乙APB, LPC
,乙
BPC
为内角作正多 边形,且边
氏均为
1
,将作出的三个正多边形填充
不同花纹后成为一个图案.
图
10-2
10-1

例如，若
Z
BPC
为内角，可作出一个边长为
1
的
90°
正方形，此时乙
BPC
=90%
而年-=
45
。是
36（）
。（多
边形外角和）的*,这样就恰好可作出两个边长
均为
1
的正八边形，填充花纹后得到一个符合要
求的图案，如图
10-2
所示.
图
10-2
中的图案外轮廓周氏是
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周氏最大
的定为会标，则会标的外轮廓周氏是

14
；
21
【解析】由题意可得，图中是
2
个正八 边形和
1
个正方 形，
外轮廓周长
=2 X8+4-6 = 14
；
设上方和下方的正多边形的 边数分别
为〃、仁则上方正多边形的每个内角的度数为
180
。-
—,根据题意可知，下方的
1
个正多边形边数二
-~ 二亠勺，其中〃工
3
工
3,
且均为整数，则
亠
(
180
。_型)「
2
2
n

当“
=3
时乂 =
12,
此
［1
寸夕卜轮廓周长
=3 +2xl2-6=21
；
^n=4
时朮
=8,
此时夕卜轮廓周长
=4 +2 x8 -6 = 14
；
当〃
=6
时
K =6,
此时外轮廓
周长
=6+2x6-6 = 12
；
当! =
10
时
,A=5,
此时外 轮廓周长=
10+2x5—6
= 14
；
当
n=5 J .8
、
9
、
11
或
n^l2
时丄 均不为整数•综上可知•外
轮廓周长最大为
21.
解答重难题型
题型一 二次函数综合题
1. (2016
陕西
24
题)
(gsp
文件;
gi
「文件)
如图•在平面直角坐标系中•点O为坐标原点.抛物线y = mJ +肛+ 5经过点 M(1.3)
和 N(3.5)
・
(】)试判断该抛物线与x轴交点的悄况；
(2)平移这条抛物线•使平移后的地物线经过点.4(
・
2.0).且与y轴交于点 仇同时满足
以.4、〃”为顶点的三角形是等腰直角三角形•请你写出平移过 程,并说明理由.
第24题图

(1)
【思维教练】要求拋物线与*轴交点个数・可以联系到一元 二次方程根的情况数•
确定出噸敌解析式•令＞=0.根据一元二 次方什根的判别式•即可得出抛拐线与丄轴
的交点悄况•
r« + 6 +5 s3
1
l9«>36>5 =5.
解阳 •
16=
・
3
・•・抛物线的表达式为厂宀3
・
....................................... (2分)
对于方程
，
-3上令5=0.
・・・
b
2
-4ae = ( -3)2 -4x1 x5=9-20= -11 vO.
抛物线与才轴无交点. ................................ (3分)
(2)
【思维教练】要求平移过程•则先需要求得平移后的解析式. 根1KA.40B是等腰
住角三角形町附点〃的坐标为^(0.2)或 心(()・-2).然麻分卿种悄况门平移拆的抛物线
经过点4和点
:②平移后的拋物线经过虑4和点血：分别利用待定系数法 求出平移后的抛物线的
解析式•通过甘比平移前百抛物线的顶 点坐标•即口J得到平移过程.
解：如解图.I MOB是等 腰直角三角形•点』樂标为 (-2,0).点B在)轴上.
••・点B的坐标为B
t
(0.2) 或附
(
0,-2)
・
…
(
5分)
i殳平移历的抛物线的表达 式为
y =i + mx + n.
(I) 巧抛物线经过点1( -2.0).
«i(0
t
2)时.
・・・该抛物线顶点坐标为(-丰
・-*)・
而原抛物线顶点坐标为(斗・¥).
：
r m x * 解叫
“=2
・••平移后的抛物线)丄+3鼻+2.
(7分)

・•・将原抛物线先向左平移3个单位，再向卜平移3个单位即町 获得
符合条件的抛物线. ....................................
（
8分）
②当抛物线过点.4（ -2.0）.^（0,-2）时丿：2「2
14 -2?n + n = 0
&

rm = 1
解得{
[n = -2
.
・•・平移后的抛物线为）=+戈-2. ....................................... （9分）
・
1 9
・•・该抛物线顶点坐标为（-十•-亍）•
・
3 11
而原拋物线顶点坐标为（亍•子）・
・•・将原抛物线先向左平移2个单位•再向卜平移5个单位即口J 获得
符合条件的抛物线. ....................................
（
10分）
2.
（
2016
山西
23
题）
（gsp
文件;
gif
文件）
（衣題
14
分）综合与探究
如图•在平面貞角坐标系中•已知抛物线一
oxU
加・
8
与乂轴交于
.4
•〃曲点，与，
轴殳于点
G fi线
经过坐标原点〃，勺拋物线的一个仝点为>.
1
线的对称紬仝于点
氏连接
C£d
知点儿〃的坐杯分别为（
-2.0）
・（
6
・・
8）.
（1）
求枢物线的嘶数©达式•并分别求出点
H
和点
E
的坐标：
（2）
试探究抛物线上見介仔任点八使△
HgZCE
・若仔住.请覆肓岀点
若不 存在•请说明理由；
（3） 若点
P
是
r
轴负半轴上的一个动点•设其坐标为
（O.m）.< br>直线
PB
与直线交于
点
Q.
试探 究：当加为何值时是等腰三角形•
【思路分析】（
1）
等点，、“的土标代入、
=2

♦
氐解出
“4
的值•求出抛轲罠解析
式•进.而求得樋转钱.的时件
P
表达式.•再 利则牠转线的时件栓滋合点
.4
的土标求
出点〃的圭标 线与时杵轻的表达式即可求再点£的土标；（
2）
由三角审全予 的艮虞
可知
PO = FC.
..点尸一龙崔罠斤兀的生直平分线上. 由抛转线.与»紬的史点土标可
I?
出点尸的纵圭悼•鯨后暮点
F
的如圭标代入解析丸印可求出点尸的横圭标；（
3）
农题
在风丸 △
f
为寻濮三筒邢时
•去分OP = OQ
和= 遗
行讨论.
M:（l）vM^
线
♦
加・
8
经过点 “
-2.0）.>（6.
・
8）
・
f 4辂仏〃购点的坐标代入冯匚 一
w«r
,=
~ ........ .................................................. .........................
（
I
分）
{bs
-3
A M*
线的达式为口片-
3
一
8. .......................................... （2
分）
•••尸斗『
-3> _8
工+（*-
3）
：-半.
V W
•・・抛樹线的时称输为直 < br>又.•拋拐线与*釉交于
4.
两点•点
.4
的坐杯为（
-2. 0）.

点〃的坐标为
（8,0）. ................................................. （4
分）
设直线的函数表达式为
y = b.
•.点
0（6.
・
8）
在直线
f
上.
代人
得62-8、
解得“-十.
・•・宜线的函数表达式为 ............... （
5
令）
丫点
卜:为直
线
1
■的交点.
・••点
A
的横坐杯为
1
•讽蚩杯为・
T
K
3
S
•£・即点忙的帑
标 为
（3.-4
卄 ................................ （
6
分）
（2）
抛掬线卜仔在点
Att AAO£-AAYX A
的半怀为
（
3- S7. -4）.（3+ I7.-4）
；
............................................ （K
令）
【饶法提示】.• △
FUEgbFCEj FO m
FC..
•.点
F
的以坐标为: ）＞ =
—yc
•令*工°
甘」二一
8..
・
.c
（
o.-8）
・
•
・・

悬
尸在抛场线上，. « » =
-4
代入可
-31-8=
-4,
解 得:心
=3 + v47
宀
=3 - 717... Mlrft
上有崔点化使△
FOE
^
△
FCE
•为几（
3- i7
・
-4）
・
B
（
3*
皿-
4）.
（3）
窩分两种情况进行讨论：
①当
OP^OQ
时.厶
OPQ是
等矗三角
l
①.
••点
E
的坚标为（
3.
・
4）
・
:、OK
=丿
3
、
=5.
过点府作氏线
W仲、处、

轴
F
点
1WTAW
・
训欧堕・

*op
吸
A OI=O£=5
・
............. （9
分）
••点
M
的坐杯为
（0.-5）
・

第
23
題解图①
设直线
V£
的甬数表达云为,
=1^ -5.
A3A|-5=-4,HQA
l
=-|-
・•
・
W£
的响
ft
衣达式为》=+«・
3.
♦ y«O.«|»iBlS
・
・・・点〃的生标为
（15.0）. ........................................ （10
分）
X V
“ PR.

*

* OM
O
■即
5 13
・
（11
分）

2
%QO 二




QP
时
•
△
OE tw
如解图
2 •


J2
・
•. (
；
£x 3
*(8-4) s5.


OE
s
d：.



•
・
• J
・

Ll.


乂・・如艸・



• •点
c
的坐标为
ZJ
・厶
3.
爲
23H
解圉

A
LI
® 厶
二
CEPB.

3.
2
（12
分）
皿线
CE
交戈笹于点、・其函数表达式为厂切
-8.
A3i
2
-8= -4
•解得 .
.•-直线宓的函数表达式为
yg—8,
令，
=0,
得十—
8=0.
. x =6.
•・点
V
的坐标为
(6.0),
v
CN
H P&

OP OH

(13
分｝
••花二帚 烁上所述・十刪的
（A
为-十成-刊
3叫
三介形.
... . ........... ............ ......... ⑴分)
32
-亍
［一赠參篇】当«
»o H.»
・
4~
丿
-3* -8 ■ ■&
・
A A
c
的坐标为（
0. -8）
t
•点£的坐悴为
«3.
・
4）.
・'• OE = yrW^5
9
CE-
（8-4）
2
43
2
=5.
：• OE = CE.

•••乙
1 =
厶
2.
设极扬线的对称柚支宜线
PB
于点分两种
掃况讨论二

①当
QO = QP
时
■
△
OR
为爭戻三再彫■知解图
IX
. Z1 x
乙 3.

:.厶
2 =
厶
3.
A
PBCE,
.............................. （9
分）
XV
HMffy
M
・
・・.呵边谢川見平行日迫够・
. £W «
CP
s -H-m.
■•• V
・ 〃
E ♦
-«8-3.5.
J ♦ （ ■ 8 ■
曲）■
青
23
题解田①
・・・

〃
y
紬.
•・• bBMMs'BOP.

（10
分）



32
（II

②当
O
P = OQ
时.
bOPQ
为辛叙三鸳审■如解■②.
分）
・.• EUy
柚,.・.
bOPQ~5EMQ・

EQ EM

OQ
^7
）
P
・


:.EQ = E M.
...................... （12
...............................................
令）
B X

■•・ EU
二二
O£ -UQ
二
OE -OP

=、■（-删）
:.W s4-（5 >m） s • I • wi
・・・w
第
23 4
解
⑴分）
轴.
V
〃〃“
l
・
m 5
・■ ■ ■ ■ * '■■■'■ W ‘
・
2 ■■.
OP BO'
8
1



8
炼上所连•当™的值为- 十克-年
时仏OPQ
为爭朕三馬形.

3. （2013
山西< br>26
题）
（gsp
文件;
gif
文件
1
；< br> gif
文件
2）
（
本题
14
分）综合与探究:如图・
1|
物线> = 与
X
轴交于
A丄
两
点（点〃在点
1
的右侧），与 」轴交于点匚连接甌•以
皿：
为一边，点
O
为对
称中心作菱形也堆 匚点
P
是工轴上的一。动点•设点
P
的坐标为（
m.O）
•过
点”作
X
轴的垂线交抛物线于点
Q.

（1）
求点
AHC
的坐标'
（2）
当点
P
在钱段
OH
上运动时•在线分剧交

于点 仏・试探究
m
为
何tf（时■四边形
（：QMD是
平行
B 9
边形•此时•情月壽网边形
CQBM
的形状.
井说明用山；
（3）
、气点
r
隹线段
EH
|运动时•是
Sff tEA Q・*bR叫
为氏角三
角形■杵

搖丐出点
Q
的坐标：若不仔在•请说明理由.
■ ・ • •

【思路分析】（
1 ） I
占为抛物线与
X
铀的交点
.G
为施物线与
v
轴 的交点•因
而分别令
y=0fnx=0.»
方程或计算代数式即可得 点』上《的坐标
;
（
2）
由題査点
P
、
Q.W
三点横坐标 相同•可以 用点
P
的横坐标来表示点的横坐标，此时由于
点”卫分 别在直线〃〃与抛物线上•可号陀用它们所在图象的解析式来 灰水
点

的纵坐标•这饌笛菱求出亶线
P
〃的解析式，进而 列出线段
”0
的代散式.
勺四边
JB
CQMI）
为平行网边形时•根据 其性阪得列对边相器即町建立等董关
求，的值；（
3）
分
Z.
叭
=90°
・厶

二
W
和厶
= 90
。三种侑况进行讨论.
鋼：（
HFy
・
0
时•+丿
--p-4.0, «
・
2
宀■&
•・•点
B
在点
A
的右鶴.
• •点九〃的坐标分别为
:
（
-2.0）.（8.0>,
当
x
=0
时* *
点
C
的坐标为
（0.-4）
；
........................................... （3
分）
（2）
由菱形的对
称性可知•点〃的至标为
（0.4）.
设应线
M）
的解析式为、二
Li • 6
•则




（2
分）

A
直线
BD
的解析式为
y =
-亠丄
+2
（4
分）

得
＞0（
會仝》•
m
：
••当
«-4
时•四边
■呻Dtk
平行
ea
边葩 ........存分）
此时•四边形
CQBM
MTSH
边影. .................（
8
分）
鋼法一:
=4,
点
P
足OB
中点•••
Hi
W.A
lh
轴
Dp
J>|f
△〃
p”5
••釜工签=十•
AW
= aw.
…（10
分）
of 9 tut ■

V
四边形
CQHD
是
Y
行四边形••・•
MtJlCQ.

A
BMlCQ.
J
.
四边
^CQBM
为乎行四边形. ............（
12
分）
{




&. = -4.
A
Kttac
的解析式为》・ ........................
W
分)
又・・・!>
Wl
i BC TA
A
一
4
时』.-
2
・・・
A V
的坐怀为
(4,-2).
由上面可知•点
M.Q
的室标分别为:
V(4.2 ).e
(
4.-6).
.*. AfV =2 - ( -2) =4.
、
Q = —2 - ( -6) =4. .•- V5 =
Q、_ .......

................................ .................................................. .. (10
分)
乂 •，网边形
w
助
efHN
边舷.凶〃
4
・
•
・他、=
厶 g
乂
・・厶”
W Z.Q
、
C
・・・・△0 △(：<>、.・•・
R

8 CX
・・・网边形
CQBM
*TfrR
边影& ................
(12
分)
(3) MMtt t
卜这样的点认分审足
(M
・
2.o
)
(6. f

（14
分）
当
为直两三希制•且
厶BDQ
为直两时（如

图②人由
0
、的圭 存可知.此时点
Q
与
A
遽合•即点
Q
的

坐标为(
-2.0)
；
BZ

(為
26
题)
田③
2
专△〃川为虚*三*劈・
JL
厶個即分直
x
)・此时有 两件方決可以邺
处何・・一什是対扁
R西典
的
♦A.
呉从求
R
後

的解侨丸•桥直线解
忻人和皿貞解祈久联立方程纽.通过 什算求点
Q
的土帳
由RO
丄血＞
・且由(
2)
知働解析式为
y
且- 斗
r
・
4,
知矶的併車为
2.
说旳的解忻天
为、< br>=2(x-a).
且
〃
0
过点
B(8,0),
代入 再
<1=8
.则旳翼析无为
1 =2x-l6.K
立
{

y=2x_16
1 r 3
-6
=
・
厂丁…宁
-4
=8
' = -4
J
另一种是
珀賊RDO5QRP
中纣应边时比例姜系即
可求幷点< br>p
的楼土标血•遗而稈刘点
Q
的土标.过点。作
CB
的
垂找
QP■& RlbBDO
与
KtAV^
中
ZW -
厶BPQ = 90°.
又
Z.
IHO
♦
“RQ
二
Z.
bRO
• Z
Obit
=90
・
.
・・
厶 ARQ
二
厶Q叽：.

ARDOs “QRP

il P
点上栋
go
)・久旳解析人为»
.21-16.
■黑■即
8 - m
- 呂
fl m
»6.^> AM±# A 2
J
» - 16 = -4. •< ( A

4
•佯为
(6.-4).
③当为直*三
4
野.且厶〃＜怡为直角対.以
8
〃为宜径作 间与抛扬线
没有史走•玛此此时走
Q
不存札所以抛物战上存 在两个轩令条件的走
Q( -2.0).(6.-4).

4. (2015
云南省卷
23
题)
(gsp
文件;
gif
文件)
(本小&
9
分)如图，在半面玄角燮标系中 凰物线)加
+c
〈“
H0)
与
x
轴相
交于
.4
出两点•与)轴悄交于点匚玄线尸虹+ ”(
Jt M0)
经过B、C
两
点. 已知
4(1
・
O)
・
C(O.3),
且眈
=5.
< I
)分别求玄线如和地物线的解析式(关系式)；
(2)
布抛物线的对称轴匕是否存在点
P.
使得以
R、C f
三点为頂点的三
角昭 是
a他三
角形？若存在•请求出点
p
的坐标;若不存在•请说明
理由.

(1)
【思维教练】先在
RUOBC
中，利用勾股定理汞得点〃的坐 标•別
用
B、C两虽
坐标求得克钱
M
的解析式，最后将点 的坐标代入抛扬歿
的解析■式中即可.
解:•••点
C
的坐标为
(0,3),
.
・
.OC=3.
•・•在
RiABOC«f,OC=3
上C=5、

.・.OB 二 ^fiC
2
-(X：
2
=4,
・・.点〃的坐标为
(4,0). .................................................. (1
分)
将点〃(
4.0)
.点
C(0.3)
代人直线
y
仏

中.
{
4A +n =0
■解
得
n
=3
.・.宜线〃
C
的鱒析式为
y= --J-X+3. .......................... (2
分)
•.・点
4( 1,0) ,fi(4,0).C(0,3)
在地物线上.
f
a
+ A +c = 0
=0
w


3
:.16a *46
a =

解得
L
4
15.
4

c =3
••・抛物线的解析式为，二弓--爭
43
；
................ (4
分)

（2）
【思畢教 稣】分豹晨示出
PC、PR、肮
的长度•利用为 宜角三角
审•分
zBCP= 90°
•厶
P
故？
=90
。・厶例忙二如。，这三种 情况讨
论.利用勾征龙理列方客衣驛.
解:存在.
由（
I）
知抛物线解析式为厂令―字・
3
・
















则点。的蛰斩为（十・
3）
・点
H
的室杯为
（宁.
0）
・
5

则
CD
二〒・
P
〃
m—H.B—
亍二宁.
5 1
.・• PC
二少宀手*（
3
尸・
2
当△攻是直角三角形时・则有：
（D
当厶
BCP=90°
时•即
PC
丄
BC.
PC
2

2
二 PB
2
.

即+.
4 4
19
解得2十
此时点
P
的樂标为 .............................
W
)
(ii)
当乙
= 90
•时•即肋丄砒.
HI -RC
»pr?
・
即
r
1

♦-2-*25«^*(
I
-3>
2

・
4 4
MW t-
・
2
・
122
此时点『的 ...................................
(7
命)
(iii) *•{
L

・
90
。时.即
CP
1
RP、4i B尸
■ M
2
■
RG ・

UP
卩-
♦
羊・
3
卩
«25
・
4 4

解得
“ «
此时点
P
的士标为（亠• 斗逅＞,事•耳西）・・・••・・
（
8
分） 综上可得•存点満足条件的点
p.
点卩的*标为
（$$¥）.


5 3
皿 $$
3-2
州.....................
（9
分）

（2016
云南昆明
23
题）< br>（gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2）
（本小超
12
分）如图〕.对滋轴为直线
1=4-
的抛物线经过
P（2
・
0）
、口
0
・4）
两
点•抛物线与
x
轴的另一窘点为
4.
（丨）求抛物线的解析式；
（
2）
若点
P
为第一彖限内牠 物线上的一点，设四边形
COUP
的面积为人求
5
的最大
值；
⑶如图
2
,若
M
是线段必上一动点•在
x
轴是否存在这样的点。使△畝疋 为等後三角
形且为恵伯三角形？若存在.求出点
Q
的坐标；若不存在, 请说明理|忆
（1｝
［思维教练】根擔宛输钱的对称轴为克线-可设抛物线 解析式为
y =
a
（x-4-
）

特
B
、
G
两点垫标代入抛物
钱解析■式中•即可求出辭析式一
解：解祛一:•••枪物线的对称轴为直线
x
二斗，
设抛物线的解析式为:
y = a（x-^-）
2
+
l（＜i#0）.…
（
1
分）
V
地物线经过点〃（
2.0）«（0.4）
・

严=・
2
解得：，.
9 • ................... .................................................. .
（
2
分）
:.地物线的解析式为
-2（
一斗
）2
斗斗.
即叮二
-2x
2
+2r+4. .................. ........................................... （3
分）
密法二:•.•地物线的对祢轴为宜线
^=4-.
•4
、〃两点关于直线■二亠对称且放
2,0）.


2

A
设抛物线的耕析式为：(八
........... .................................................. ........................... （I
分）
V
抛物线经过点
C（0.4）,
• -2a
=4,
解得沱二・
2. ................................. ..................................... （2
今）
・・・地扬线的
MWA
为:八
-2（>*l）（x-2）
・
即“ =
-2? ♦♦4. ............................. ........................... .... . （3
分）
解法三：谦她拘线的幅析式为
♦
丛“(“皿).
v MWtt的对你•为flttl *•斗且仗莹点fi（2.0）
f
C（0,4）.
■
2a
2
4<
J
♦ 26 *r aO*
(I
分)
解谭：，
.


(2
分)
(3
分)
2

.抛物线的解析式为
j
二-*亠土
+4.
(2)
【思维教练】设抛扬我上点
P
釣土榜为(“
-2n
4-2n
+
4)
(0求四边形
COEP
的石牧,的爰大值•可用割补法、面
锲公式列出含
n
的代
it
式及示±
5
•从而得出
5
关于
n
的二次
函 戟解析式•再用二次函敕&廈衣出§的最大值.
解:在第一象限内拋物线上取一点几连接
G>
•过点
P
作丹丄
X
轴于点几交
BC
于点£,如解图
J)
・
设贞线
BC
的解析式为
y
二厶
• f(d=0)
V
曲线经过点
B(2.0>,C(0.4).


解鮒
If
・
4
・
・・・titi tic
的解析式为
y
・
-2x
・
4
・
. .................................................. ............................................ （4
分）
2
• P
为節一象垠内妣轲找
t-jfi
・

设卩点世标为5・
-2«
*2
斤・
4
》・甥£：点整 标为（丹.
-2n >4）.
:.PE HEF

=-2rt'
*4 >2
JI
-4
二
-2n
2
+4n
t
................................. （5
分）
•・$$ 十川 第
23
题解图
E
• ^A«W. -
A«P£ *^ACFE
--^-PE ・ BF +、PE • OF

= -i-P£
・（
BIOF）

二斗PE • OB

=-2n
2
+4n
w

• - 边畋
bOCB
+
-^
A
«
FC

= ^-x2x4-2n
2
+4n .......................................... （6
.................................................. .....................
分）
=-2（n-l）
2
6.
「.当
n = 1
时大
=6, ............................ （7
分）
过点卩作您丄）轴于Q如解图②，
・
.
・
P
为第一象限內拋物线上一点.
设
P
点至标为
5
・
-21
，
+2n+4）（0则
E
点至标为
（0, -2n
2
4 2n +4）.
r.
PE
= i .CE =4
^2n
-2n — 4 =2n
2
— 2n.
2
第
23
仪解图②

............................................. ........... （4
分）
S悌砂耐
=4~（n +2）（
-2n
2
+2n +4） = -n
3
-n
2
+4n *4. •••
................................. .................................................. ..... （5
..................................... .................................................. ......
分）
二
s.m私:屈=、厶庶：* -
,|3 +4n +4

=-2n
2
+41+4 ................................................. （6
分）
=-25-1）2 +6,
•'•当
n
=］时边料大
=6. ............ .. ............................ .
（
7
分）
(3)
【思维教练】妥崔x轴上找一点
0
•使为等腰三角形

且为直币三两形•生分情况讨沦：以为克向三角 形分两种
情况：（
i）
乙城 川为直鳶：（
ii）
乙
01
〃为直甬，在这两
轴情况
T
・判斷是否为&淒三可彩•如裏是.則可求出满 足条
伴的点
Q-
解:存在点
Q
・使△
Mg
为等*三角形且△叽出为宜角三角形. < br>点
Q
坐标为
（4
疗
-8.0）
或（-十・
0 ）.
理由如下:

分以
F
曲艸悄况：
⑴解法一：如解图
3
所示汕厶做二
90
•时.
・・• “收用尸.
・・・只
ftB CM ■ MQ
・
lll（2）W:fltt»C
的解析式为
y ■ ■ 2x ♦ 4“
设刖点坐怀为（卿.
-2m*4）（OIM
Q
= -2m
工瞬・
BQ
= 2 -
IR
.
衣川△
0
〃
C
中•〃(：=
.OC
2
二 JE
工
2
用.
・•・MQg

:.
△
BMQs
△肚
O.
饥5厂

. H.f = 4S(
2 -m) =2
JS -JSm.

:.(：m BM = 2 圧-(2 圧- ....................

（9
分）

、:C M = !Q.

. -2m +4
=$$m .m =
J
=4
厅一
8.
疗
.2
A分)
解法二：由(
2)
谢：应线砒的■析式为厂
-2>*4.
设
M(e -2m *4)(0<« <2).
蝎
-2
II
»7.W

=

・M

=

2-
M
・
■处
.2 $$
在
HiAO«C
中:
SC «
金
Ki
△咖中：仙■ Q •
时

^JSm
-21
■疗
(2 -m)



•••仙；・〃
—2
疔・(
2
厅・&)工屁. ........ (
9
分)
V C W M
“仏
..2« +4 -4
Js

・
8.
J5^2

A Q(“-8.0)
・


（10
分）

解法三：如解图
4
所示
:当厶RQM
二如。时.
・・・只能
t W =
MQ・

由（
2）
柑：（ £线伙.的第祈式为一・

・
4
・

设
M
点省怀为（卿・・
2
・
♦4）（0）
•过 点
V
作
H
〃丄'紬干
D.

则
DU = m
9
CI）
=4 •（- 2m
^4） s 2m
9
BQ =
2
在
RtACDI
中:
CM
二
JW
*01
尸二乐.
（9
分）
. CM = !Q ^yfSm ■

OC
4
lan 厶 CBO =訖二〒二一

叫咖二診船寺“ •即色
J
「・
m = 4
厅・
8.
(u)
如餅图
5
所
示自厶QMR
= 90
。时.
（K
）
•.・厶(:MQ= 沁

・•・只施仁・
-2m *4 ) (0 < m < 2 > .11
A
V
作

丄」轴
f V.
分）
则
m
, 1V
・・
2
曲
♦4
>
«
・
2 -m
t

由(
i)
得・
2
厅
•厶QBM工厶・B(：■
厶QIB览厶O)B工心.

雄
23
&解图⑤
Ri△出
W
S
R
IAB
HQ.



：・MQ=2Q迟-冬m、
=4
疗
-2
屁.
ySm
=4
y(5
-2
点
m.
（H
分）



.・.（卞・十〉，、丄*
V. 01
丄砒时.
乙
0” ♦ z Wfi =90°
■厶、
MB ,
厶、〃“
=90°.
•••厶 QMN= m.

贡・•乙〃、乙
1
八
0=W
・
••• RtABVW^RiA VAV>

UnzW = ^





.•- ^5m
=4
K-2
氐
w.



（H
分）
. tf( •
此时
，
J
圧-血=半・
MQ
=竿, .・.昨厢片顾=^罟・
.
・
.^ = ry-o« = ^--2 = -.
（12
分）
6. （2013
陕西
24
题）
（ gsp
文件;
gif
文件）
在平面直角坐标系中•一个二次函数的图象经过 』（1
・
0）启（3
・
0）两点.
（1 ）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这亍二次函数图象的顶点为0与,轴交于点匚它的对称轴与x轴交 于
点仗连接忆、处和
皿
当△ SC与△〃£相似时，求这个二次函数的表 达式-
[提示：如果一个二次函数的图象与％轴的交点为职50）、〃（亠0）・那么
它 的表达式可表示为J =a（x-x
t
）（x-x
2
）.]
3
2

1
LV
o


r

-
2
-ll
i 2 3 4
・
Y

-2
- 3
第
24
题图
解：(
I)
二次鬧故图象的对称袪为直线
x=2. ......... (2
分)

(2)
设二次・数的表达式为
I
=«(.
T
-1)(
X
-3)(<
I
#0).……
.. .................................................. .......................... (3
分)
当
*=0
时』=
3”
；当工=
2
时
j = - a.
「.点
C
坐标为
(0.3a),
頂点
D
坐标为
0C=l3al.
X v.4( 1,0).£(2,0)
・
..O4 = l.£fi = =1 -al = kl. ....................................... (5
分)
当△ A0C与HDER
相似时，由
Z..40C = Z.D£B = 90
。，枚町分以 下科种侑况.
① 暇设
厶OCA =
厶
EBDM畸卜备
即占=¥•
.a=^a=
-辜 ...............................
(7
分)
② 假设厶
OCA = 5B,
MJ
得普=甥
=罟此方程无解. ..................... (
8
分)
煤上可得，所求二次函散的表达式为
“◎一芈+应 —爭-庐 ……(
10
分)
7. (2017
陕西
24
题)
(gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2)
在同一直角坐标系中•抛物线G
：
y = ax
2
-2x -3与抛物线C“y
二,
+ mx + n 关
于y轴对称・G与x轴交于 2 两点•其中点N在点B的左侧.
(1 )求地物线CS的函数表达式；
(2)求两点的坐标;
(3)在勉物线G上是占存在一点化在抛物线C
2
上是占存在一点伏使得以 皿为边
■且以ZBJSQ四点为頂点的四边形是平行四边形？若存在•求出
P.Q两点的坐标;若不存在■请说明理由.
第24題图
(1)［思维教练)要求抛物线G G的苗数表达式•已知G j:
2
关于)轴对称，直接想

到G G的交点在」轴上•且G
、
c
2
的形 状.大小均相同•即町得的值•遊而根
1KG的对称轴求得 c
2
的灯称轴•求得m的值即可得解；
解:v C, 4 (:
2
关于y轴对称.
・
•
・
G与G交点一定在y •上•且G与G的形状•大小均相同.
.a = 1. u = ■ 3. ........... .................................................. .......... （2 分）
・
G的对称轴为
•C2的对称轴为才=-1.
・
m=2
・
.......... .................................................. ................... （3分）
.G
：）
•=『_2工 _3.G ：」=J
+2
J
_3
：
........................ （4 分）
(2) 【思维教练］要求.4
、
B两点的坐标.棍据(1 )中所求Q的函 数表达式•结
合G与工轴交于4、B两点•且点4在点B的左侧. 直接想到利用”令0法”
•即令0中>=0.求解即可；
解：令 Q 中 j=0,Wj jr +2x-3 =0
t

解得刁s -3宀言丨.
••点A在点B左《!•
A 4( -3.0).B(!
t
0)
；
................. ................................................. (6 分)
(3) 【，思维教练】婪求P
、
Q
两池
的坐你•根据*行四边形对边郴 等且平行
的性虞•可9虑设出点P的坐你•即可得点Q的坐标• 分点P任点Q左鶴和
右制购种悄况讨论即可得解.
解:存在. ............................................
(
7分)
如解图•设P(o』)■则Q(»4
・
6)或(一4』)・
①当。(“+4丄)时•得：
a
2
-22
+2( a +4) -3.
解得-2.

b = a
2
—2a -3 =4 +4 —3 =5.

；
... .................................................. ..
②当Q(m-4,6)时，得：
a
2
-2a-3 = (a
・
4)2
+
2(a-4)
・
3.
解得a =2.
b =4 —4 -3 = —3.
.•.儿(2
・・
3)卫2
(
-2.-3).
综上所述•所求点的坐标为几(-2,5),0(2,5)
；
第24題解图
”2
(
2
・・
3)
・
6 (
・
2,-3). .......................................
（9分）
10 分） （

8. (2014
山西
24
题)(gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2)
(本題13分)综合与探究：如图，在平面直角坐标系中•四边形仏是 平行四边形
两点的坐标分别为(4.0).( -2.3).抛物线H经过O.4.C 三点，〃是抛物线W的顶点.
(1 )求抛物线W的解析式及顶点I
)
的坐标.
(2) 将抛物线“和CJOABC -起先向右平移4个单位后•再向下平移m(0<3)个单位•猬到抛物线A和
口
W BC 在向下平移的过稈中•设
口
m
与口曲
C
的重叠部分的面枳为S.试探究：当m为何值时S有圮 大值,并求出s的圮大值.
(3) 在(2)的条件下•当S取鼓大値时,设此时抛物线IT的顶点为八若点M 是X
轴上的动点，点、是抛物线旷上的动点•试判断是否存在这样的点”和

(1) 【思路分析】由题中已知条件知抛物线过原点及
.4
工两点, 设出拋物线解
析式•将两点坐标代入解折中•用待定系数法求得 即可.
M
：
V
抛物线
H
过原点
0(0.0).
.•-设抛物线卩的解析式为)=^
2
仏

•••抛狗线
W
经过
A(4.0)G -2.3)
两点.
「
16a446=0,
一
f
a =

・•{—.叫“： .............................. 心分）
A
线Q的解析式为
y = 4~
x2

u
................... 卩分）
・.•）=+
_
X
--L（
X
_2）
2
-1,
A
顶点〃的坐标为
（2.-1）. ............................................. （4
分）
(2) 【思路分析】由平移的性质可知点
C
的横坐
标，并由此可知
RC
丄 、轴，所以过点〃作朋丄
W
轴于点氐则点
C
在恥上•从
而可求得
CE
的民度.即所求丫行四边形
CG
上的高；由平移及 平行线的性质易
证得
MCg
•根据相似三角形对应边
成比例可求得平行四边形
CG
边的氏度,写出平行四边形的面 积表达式•愎后由
二次函数的顶点式求得面积的鍛大值.
解：由
CJOAHC
得
・CB〃gCB = OA
=4.
又点的坐标为(
-2.3),
• 点的坐标为
(2,3). ..... .................................................. .. (5
分)
如解图①，过点
B
作朋丄工轴于点
E,
由平移可知,点以在
BE
上.且
EC =
m. RE

= 3.
OE
= 2.
.••E4=O4
・
0E = 2.

设
C7T
与
BA
交于点
G,C（r与』轴交于点〃・
v
CB
x
轴，
.
・
.ABCG
S
MEA. ............................................
（6
分）
f
・竺■空州竺■空
.・.CG = ^BC
= Y
m
* ................................... ......................
（
7
分）
由平移知,与口加
BC
重叠部分的四边形
CHAG
是 平行四边形.
.
・
.5 =C6
・
C'E
二十加
（3-m）


T — -y- t
|l 0 3 3
・••当» =亍时*有鼓大值为亍. ...............













第
24
①
8
分）



（< /p>

《
3）（
思路分析】分别当
f
•为平行四边垂的边和< br>时角钱时进行 分类讨论•建立力审，求徘
M
的世
贰
篇：存在这样的点和点
A-
点
W
的蚩标分刖为：
叫
（
6.0）
・叫（
14.0}
•叫
（0.0） 3M3. ................ （13
介）
解法提示油
（2）
毎当
m
二斗时
.S
有最大值•绘时
点的土标 为
（
2*4.7-
斗）珀
6.
・丄）.
Z Z
•'•・'的解析
A.
为丿=+（工
・
6）‘
■斗=+'・
3ic +
早.
•・•点〃分封为“」•的仇〈•且！》•■'
开口向上力■紬上 的点」为
F
上的
A.
・•・矣佟以」」.・' 为小点的B边矜为牛疔B
迪超•只隹使 “、〃〃八且
in =or.
it
、（・』）•
MW.0）
用
b-01 =1
-斗-（
-1）2
斗.
V A
&片上.
•・•当尸十臥疔*^亠+号諾
Mff xj =2
宀
-10.
Mff x
5

S
4.
X
4

=».
••
・
M2.
-斗）•九（趴

it
■斗）
M
的解析丸为
＞ =ix
V
伙
2.
•-斗）.

A
的解析式为，二-
”“
二-
・.・ MNDF.

:.可设
W V
的
解析式为）
=
一
*x * 6'.
将
M
再・耳・叫代入〉=- » +『，得―二令
=^~-
.•- WpV,
的解析式为厂■右
4
舟-・比（
6,0）,
A
M
2
N
2
的蚪析式为 y 二
--|-
X
4-^-..I
2
（14.0）,

馮
M
的解
析
乂a
-討均（
0.0
）
.
叫
M
的解析丸为，二-缶*弓-・也（
4.0）
・
第
24
題解图②
9. （2018
山西
23
题）
（gsp
文件;
gif
文件）
（本題13分）综合与探究
如图，抛物线y -
4--t
2
- 4■-
r
・
° ' j
*轴交于4, B 两点（点.4
在点B的左侧）•与y轴交于点匚连 接.点P是
第四象限内抛物线上的一个动 点•点P的横坐标为皿
・过点P作刖―轴•垂足 为点交BC于点Q,过
点P作PEAC交x 轴于点E・交8C于点F.

（1） 求A,B
、
C三点的坐标；
（2） 试探究在点P运动的过程中，是否存在这样 的
点Q・使得以仏C
・
Q为顶点的三角形是等腰三 角形
•若存在，请fi&W出此时点Q的坐标;若不 存在•请
说明理由；•
（3） 请用含m的代数式表示线段QF的长•并求 出
m为何值时QF有最大值.
第23題图

解
：（
1）
由
7=0.
得
……
（
1
分）
解得® = -3.x, =4.
••点儿D的坐标分别为4( -3.0).fi(4.0).……
.................................................. ............... (3 分)
由* =0.得y =
・
4….点C的坐标为C(0,-4).
（2）。（爭・半・4）心（丨・・3》.

（4
分）
【解法提示】设血线毗的解析式为一b
将 (4.0). C(0. - 4) R 人
・・・
H线饥的解析式为y
・
4.
•・•点Q任畑t
放：
Q的横坐标等于点P的横
坐标叫 ・••点0的坐标为（m.m -4 ） • A点坐标为
(-3
・
0).£(0
・
-4)
・
. AC
2
= O.4
2
+处=25.
C^
2
= (m-0)
2
>[m-4-( -4)]
2
=2m
AQ
1
= [ m — ( —3)]
2
4-(m -4 )
2
= 2m
2
— 2m + 25, 耍便
以AX.Q为頂点的三角形为等!8三角形•可 分三种情况
讨论.
(i )
4
I AC = CQ 时•即 AC
2

二
CQ
2

・

25 =2n'・解彳？ m
i

・•点 Q 在第MlillK.A rn >0.m -4 <0.
0 m x . m - 4 x 斗3 - 4 .
・•・点。的坐标为(爭•爭“)；
(ii)半忆时•即4厂=4< .
・
•
・
25 = 2m
2
-2m ♦ 25.
解得 m
3
=0,m
4
= 1.
••点Q在第四象限.
^m= 0时■不合1■意舍去.

m
-4 = 1 -4 = -3
•••点G的坐标为(k-3)
・
(iii)当 AQ = tQ
时.W4^=c^.
. 2m
2
—2m ♦ 25 =2m.解彳3 m$$ =g.
=
17
此时点0在第一象限•不

合题慮•舍去.
综I•.所述•満足使得以I.C.V为頂点的三角形为
等勰三角形的点0坐标XQ
越程
・
4）・@（1
・
■3).
(3) 如解图•过点，作
FG丄®于点亿……
..................... «9 分)
则FG^x轴由H(4. 0). C (0.
・
4) •側 MRC为等直角
三 角形•
_()BC = _QFG =
45。・
第23題解图
. GQ = FG =
•: PEAC
9
. Zl = Z2.
•.• FGx 轴
，
.•.乙2 = Z3. Z1 =厶3.
（10 分）
•.• zFGP=z WC=90
ft
.r.
△
PGP—ZUOC FG CP

m
FC GP
而二旋丁二亍
(11 分)
・
•
・
QP = GQ ♦ GP = g”Q ♦
逹
FQ


・・・
FQ =爭M
•
・・
P丄x轴•点P的横曼低为m
厶

= MB =4 - m .*
:
♦ 令4
・
・
•
・
QP = PM - QU = - +删‘ + +皿 44 - (4 -m)=



...帖=芈少=芈（＞ym）=-亭亦*
堆m. ................. ............................................ （12 分）

=2时.°F有垠大值.
v -y4#
7
10. （2013
云南昆明23
题）
（gsp
文件;
gif
文件
1
； gif
文件
2）
（13
分）
23.
如图，矩形
OABC
在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
在
x< br>轴的正半轴上，点
C
在
y
轴的 正半轴
上，
0
人二
4,003,
若抛物线顶点在
BC
边上，且抛物线经过
O、
A
两点，直线
AC
交抛 物线于点
D.
（1）
求抛物线的解析式；
（2）
求点
D
的坐标；
（3）
若点
M
在抛物线上，点
N
在
x
轴上，是否存在以< br>A
、
D
、
M
、
N
为顶点的四边形是平


第
24
题图
行四边形？若存在，求出点
N
的坐标；若不存在,
解析：
（1）
根据题意可知，抛物线的顶点坐标为
（2
罚,
・・・设抛物线的坐标为一
2
尸+
3,
・・•抛物线经过°,
3
・・.。（
0-2）2+3 = 0,
解得：一
_ 3
2

・・・抛物线的解析式为+亦。
（2）
由题意可知，点」坐标 为耳°）,点“坐标为（丄罚，点
C
坐标为
（0・3）,
・・・设直线
AC
的解析式为
二虹 +
b,
将点
A
、
C
坐标代入直线解析式可
弘
得,
b = 3

3
4,
・・・直线恋的解析式为矽
4
=_C + 3

-—727 + 3 = H
则V
3°
-—m
2
-3m = n

4
・・•点
D
在第一象限, ・••点°的坐标为⑴卫

< br>（3）
①如解图①所示，当点“在匸轴上方时，四边形
ADX1N
为平行四边形 ,
• •
・
DMAN DM = AN
• • ,
9
由对称性可得,
M
蚀）
• DM = 2 AN = 2
• • 9 ,
・••点
Wi
坐标为（’°）,点“丄坐标为
（6 0）
。
②如解图②所示，当点」'厶在运轴下力，月.在抛物线对称轴左侧时，过点°作
D0
丄兀轴于点
0
过点作附
3
戸轴于点匚
・・・四边形为平行四边形，
・・・=叫必，
ZM.N.A =上CAN彳,

在
ADQ
和
△N3M3P
中，
AQAD
=
AAN
3
M
,
AL）
< ZAQD=ZN,PM,,

DA = M,N.

••• AADQ^AN
3
M
3
P(AAS),

.f
3
P = DQ =
，v
3
p =
AQ =
3,
・・•点
A
心在抛物线上，且在抛物线对称轴左侧,

即工
2 + 4
』一
3 = (® - 2)2 _ 7 = 0,
解得丁 =
2
-冉
7,
・・・点
N
啲横坐标为
2 _
育_
3= -1
_莎；

当点人在兀轴下方，且在抛物线对称轴右侧时，

第
24
题解图②
综上所述，故点⑴的坐标为
(&0)
、
(64)
、
(-1 + V7,0)
或(一
1
一莎・°)。
11. (2015
江 西
23
题)
(gsp
文件;
gif
文件)
如图上知二函敌打：尸心’
-2or+“+3(“ >0)
和二次函数厶:，匸
-«(^+i)
2
+ 1(« >0)
图皱的顶点分别为财凡与
y
轴
分别交于点
E,F.

(1) _______________________________________
函数 ‘««*-
2«t + d + 3(<» >0)
的
Ji
i.
-I • (ft
为 ;当二次
函

的
y
值同时随
ft
x
的增大而域小时山的取值范国足 ___ ；
(2)
当
EF
= 1
时，求
a
的值•并判断四边幣
£VFM
的形状(宜接写出•不必 证明)；
(3)
若二次酣数匚的图象与工轴的右交点为
4(
叽
0 ),
当△』、为等腰三角 形时•求方程
-a(x + l)
2
+ != 0
的
解.
第
23
越图

(I)
【思踣分析】刊再二次岳負的股 点堡标即可来
g v
戍的全赫•耳弓■ 求仟品敦匚的爰小值・呀區图
2
牙
知当攵
A
、
M
横金特
g
城内时•岳 敘妇、厶
的
y
二次事毀与儿何图対
减小・附可稈列*的巖值危及. 肚台的蚱台題一芋輾
M
；
3.-l«>*i(jdi-i<>三的也同题
Gd
或
-lH
逮豪示 *二次去•<
1,
・
H A 4 > ••*' -2«« ♦« +3(« >0>.
•
・
• M
成的史林专(・
4
•气仝几
2< 4
・
印(・詳
1±£
斗
2
》化■林
U.3
)
.
2
M
4a
・
•
・
w A>#A(I3).
讥
t,
的
IN
•位冷
3&
视棗图
Ciy g
上虚、、
Wirgii
內才•矗數打、&的
y
值 同时小•二乂再萇-
> = -«(x* l)
J
+
l(a>0).
.•• «i
攥二次函软的顶点乂弔得、媚金杯舟(
-1.1)
・
--.§ AMI,
、
2
的，僅同甘址音工的堆大而戎小时*的取位范
田为一gQ(
A-I<^<1 A-Icr(2)
【思踣分析】述点
M
作㈱丄
x
紬•全足为仇过点、作、(:丄

全足为
C.
曲两岳敦的审点生林灵片丐束
再、、的區坐 極•从而求痔
'MG VC
的累•&冃耳段龙理在
RiAW'C
屮求得“、的长度•当*为
D
时
印可奈稈疋十的点*辭，得到«
头 亍EF的乂
于•叉因为芝
F=in.
對令
££=M
、印丐求得“值； 从而桌碍取
F
点
的金辕•邊舉
E
、、、
F#ICME
・
it €
更
y
柚于
A .it A wn MP
丄* *・丈
2
*于点尸・別刊用
mu
丈圧印可 求
样
W£s5f.£-
・F.耳耳it件口逸岂£、FM
劫*谢； 朗：如利対①•过点
M
作册丄•■・《址为
勺£丄
v«.*at^c
•.> ・ ai' -
2
M
v ♦ o ♦ .1 ••( w -1)♦ 3.
・•・点财的半杯以
IJO.M
・
3.m
・
Zvy-
rt
(«*l)
3
*l(<>0).
・・・点A Mt^»( -IJ>-
k III A WW
；
«|»
・
VC-2
・、
u
・
2
・

・・
.V.V ■ VC
2
♦ W? « 2
s
>2
5
«2^
......................................... O^>
••• 时
.▼
f
sa( 0
・

« >a(04l)
2
4l «
1 — a.
A
E.F
网点的坐标分
IM
为
(O
. £A =a+3-（l -•> =%
・
Z
■♦3.”
•: EFf

.2«+2=2^»a=^-l
・
--------------------- ---------- -- ……（5
分）
四边形
£VFW
为矩形. ....... ......... .
（6
分）

鷲进建札4 解田
Z.M
轅
»fE
•祗
XC
Xy UTA W
作
MP
丄“轴•文
y
紬于点
P.
•: a=罷、

.£(^2). F(0,2-^>.
A
-i.'Hr Ct
j











VF.
住


A HE «
礼
23“
样旧
2
Rl
△上
M
柯
RtAFKP
屮.
V£ =
、朋
M
宀
(2*)
・
VA = VP
2

^EH
(2
虫).
. NE = ・F.

v£F= WV
t

2
・••四边整

劝整形.
(3)
【思踣分析】二次岳裳厶的圧丄与■紬的左更点
为
.4(
叫
0}
■当△(•、为辛陕三亀电时缶要今三
ft
愉
况讨论:
I.
当
IV =V4
叶
.if
点、作、
O
丄■紬于点
o
•构
it
RikVZM
■利雋勾就 尢戎可歩歼皿关于
4
詢丸
于.
S^(2)f
已卓择
IH
的黑.即 可术得«的值•从石祇林 <
克的上养^鼻铁埠«
MA
m
坐 栋•印可歩昭才
❷
的解；■
書
VI
・
QQ H.4A v n
側石丄・2 于”.仏恂堆用勺■丄
Jt
号眾曷•吳于
V4 A.
干•绪*、丨的钦復巧*样■钟值・
4
石卓暉
4
尤为■林
估心K
与*緒龟的•悻•片可晨件才
4
釣斜：■・
0 »' «
IM M
・蔓 十曲的丸子尢解.閤此比怡北事起
JL
M:lilAAVV
为尊■三角&.可分■卩三弹侑况：
(I
)如解图
3
•当
V5 = V4B|.
过点、作
w
轴•垂足为点
D
・

在
RtA VDA
中
=
of + AD
2
,
即
(27T)
2
=(m+l)
2
+l
2
.
• m
i
=JT・.m、=
■力
I (
不
合題 意•舍去).
••・枪物线、二
-n(x
+ !)
2
+
l(«>0)
的左交点坐标为(
-1
-斤d

• ••方程一
u
的解为冲=存_
1
•七=・
1
■万・・・
..................... .................................................. ........... (7
分)
(U)
如解图④•当
MA^NA
时■过
点
M
作丄
x
轴,垂绘为点
G,
則
有
OG=1 .MSA
= lm-ll.
・・・在
RiAAR24
中
,lf l
2
=
“尸 +
<
；
4
2
.
即
MA
2
=3
2
+(m-
l)<
又
V A^
2
=(m + I)
2
+J
A
(
m+l)
2
+ l
2
=3
2

=2.
.•..4(2,0),
:.舱物线
-a(x + l)
2
+
l(«>0)
的左交点曼标*(
-4.0),
.•.方
^-«(x + l)
2
+1 = 0
的解为
X, =2.
X
2
= -4.……
(
8
分)
(W)g WV= W4
片才
+5-1)—(2
臣
)2.
无实数解，舍去. ..................... (
9
介) < br>综上所述•当厶
UQ
为等
B!
三角形时•方程
-«
(
X + 1
)
2
+ 1 =o
的解为心二万一
1.
心二
-1 -77
坡冲
=2
占 二
-4.…
(
10
分)

12. （2018
河南
23
题）
（gsp< br>文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2）

（H分）'吧胸檢、 灯过耳
〃・
C.

=g
・
*6x tcitz
箱亍
A
上角£

-1）求施物轴祐式； （2 ）过点 ' 的題交直线BC于点M.

I】丸时•过抛输线上一动点玖不与

F
点Q.若以虚八・MP.Q为磁的西锻JL弓&善立殄取宀p馆 横坐


I和


2应樓当宜线人


的W





”与“线BC的夹角乌于厶4CB的:H强:・爲久養可咒宀

BC：・























y

解
：
(l)v直线y = x-5交*轴于点乩交？轴于点C
・
A
fi(5,0),C(0. -5).
丁抛物线r=<«
2
+£过点
B
.
C
.
{
0 =25a 30 4-c ra = - 1

-5=c
・
** lc= -5
・
••・抛物线的解析式为 yJ. 6x-5. ......................... (3分)
(2)d> (4OC=5.厶
・・・
z. W
：
=45
a
.
••抛物线 V -x
1
*6>-5仝工轴F-4.K AA
・
A 4( 1.0).
AH = 4.
• 4.W
丄
BC.
・・・
4M = 2忑
•
・
• PQAM.
・・・
PQ丄BG
若以点4・・化0为頂点的四边形是平行四边形.
则 PQ = 0=
如解图①•过点P作PO±x轴交直线BC于点〃.
则
乙
PDQ=45°.
. PD =4. ....................... ................................ (5 分)
设 P(n. -m
1
+6m -5) D( m.m -5).
分两种情况讨论如下：
(i I'M点P任血线皿上方时.
Pb = - ” ♦ 6m -5 - ( m *5) = -m
:
♦ 5m =4.
m, = 1( 去)•叭=4. ................................................. (7 分)
(ii)当点P在直线必下方时.
PD =m —5 —(
・
rrT
・
6m —5) = m* -5m =4
w


综上所述•点P的横燮标为4或斗旦或二…
£
. ..... ................................... .............................. （9分）

②点M的坐 标
为忤.牛
）或（壬•■刊•…
（
11分）

［解法提 示】如解图②.当厶如卫=2
厶
ACB时•则4比二 御.
•••点虬在线段AC的垂直平分线上.
v.4(l.O).C(O.-5)
・
・•.连线亿的解析式为y = 5x-5.
线段4C的中点H的坐标为(十.-y)
・
・•・此线〃叫的解析式为y二
I 12
联立'八亍F・
.y =x -5
x -
6
-11
门・ 解得
= p
••・点
M
的圭标为焊・-和
②如解图②•当 Z-AM
2
C = 2 AACB 时.M ZLiUf.B = Z4IAC.
AM
t
= AW,.
设线段旳旳的中点为人连接 仏则VX lplA .
••点的坐标为(3.-2)
・
・・・点肌的燮标为(普・・*)•
第23题解图②

13. (2018
云南曲靖
23
题 )
(gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2)
亠5分)如帆
(1)
(2)
咙叽'F-g的对琢输足她
J
求械狗线的解析式，
甲移竹纯纳恤点

「' 蚀段
°B h- A
皿坟股
ociJZ
上.讣
PE
川：
PE 1 pr
:

:
)
r
'的点
r
坐标为
(6. 2 ).
戍£足
1
F
K辘上一亞•户
F
込 > 恤匕八 的








半坏*
时・抛物线上足冷存件点
Q. 1.
十
PEQF
魁顾？如果存在，酬康出
户 如—、〃右-.诫说明理由. .「'

、
P
・
5
p tn
• I •
TO
第
23
题图
23. (1)
【思维教练】要求抛物线的解析式，已知抛物线的对称轴，即可求出
a
的值， 进而根据直线的解析式求出点
A
的坐标，代入即可求出
c
的值，即可得解;
1 4
解：令
y
二
0,
则
0
二一兀—— ,解得
x=4,
3 3
・••点
A
的坐标为
(
4, 0),
2
•・•抛物线
y = d — 3x + c
的对称轴为
x
二寸，
3 3
：•――——,
解得
a
二］,

2a
2
把点
A (4, 0)
代入
y =
x
2
-3x + c
得，
16 —12 + c = 0 ,
解得
c
二一
4,
•I
抛物线的解析式为
y = x
2
-3x-4
；
....................................... ........................... (3
分)
(2)
【思维教练】
要求
PE
丄
PF,
只要证明
ZEPF=90°
即可，由己知可得
ZBPC=90° ,
于是转化为
ZFPC=ZEPB,
根据
PF=3PE,
可得—直接想到通过先证空=-,
PF
3
PF PR

得到—,进而构造
RtAPBE- RtAPCF,
即可得证；
PF PC

证明：
・・・
P B
丄
x
轴，
PC
丄
y
轴，
・・・四边形
OBPC
是矩形，即
OB=PC,
•・•平移肓线
•
y = -x-~
3 3
经过原点
0,
得到肓线
m,
.•-直线
m
的解析式为
y
=
^
x 9

・ PB PB

** OB
_
3
，

PE
1
•
・・
PF
二
3PE,
即—
PF
3
.PE PB

** PF ~ PC
?

・
•
・
RtAPBE^RtAPCF,
・
•
・
ZFPC=ZEPB,
・・・
ZFPC+ZCPE
二
ZEPB+ZCPE,
即
ZFPE=ZCPB,
VZCPB=90° ,
A ZFPE=90°
,即
PE
丄
PF
；
...................... ............................................. (7
分)
(3)
［思维教练】
假设存在这样的点
Q,
设点< br>Q
的坐标为
(
a, _3°-4),
已
PC
3

知四边形
PEQF
是矩形，点
P
的坐标为
(
6,2),
根据点的平移规律可得点
E(a+6, 0)
、
F(0, _30-2),
进而可得
BE
F
,FO_3
Q< br>_4,
然后利用
(
2)
中的结论 —
即可求解.
解：假设存在这样的点
Q,
设点
Q
的坐标为
(
a,
a
2
-3^-4),
・・•四边形
PEQF
是矩形,
・・・
PE=QF,PF=QE,PE
〃
QF,PF
〃
QE ,
・・•点
P
的坐标为
（
6, 2）,
・・・点
E
的坐标为
(a+6, 0),
点
F
的坐标为
(
0, -3°-2),
.♦.BE
二”
，
CF=
一
3
。一
4 ,
由
(2)
知
RtAPBE^RtAPCF,
A —= —= 1,
即
CF=3BE,
FC PF
3
—3a — 4
=
3
ci ,

解得
a
〕
= 2 ,
a
2
= —2
f
d3=3 + VT§,
a
4
=3 —
V13 ,
・••当
q =2
时，夕
-3a-4
二
-6,
当
a? =-2B
寸，
a
2
-3tz-4=6,
当
@=3 + 715
时，
3d-4
二
9 + 3
加，
当勺
=3-715
日寸，
3a —4
二
9-3
伍，
综上所述，满足条件的点
Q
的坐标为
(2, -6)
或
(-2, 6)
或(
3 + V13 , 9 + 3
伍)
或
(3-V13, 9-3V13)
RF
1
FC
3
分)
(12

14. （2015
山西
24
题）
（gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2）
（本题13分）绵合与探究
如图①•在平面直角坐标系龙。中•抛物线W的函数表达式为r二■寻卩
♦

卸
+ 4.抛物线W与x轴交于2
两点（点H在点A的右恻）•与『轴交于点 C.它的对称轴与x釉交于点直线经过
（:、
D两点-
（1 ）求九〃两点的坐标及直线的函数表达式.
（2） 将抛物线”沿龙轴向右平移得到抛物线旷，设抛物线『的对称轴与直 线交于点
化
当厶忆尸为直角
三角形时，求点b的坐标，并直接写出此 时抛物线軻的函数表达式•
（3） 如图②，连接AgB
•将
△
ACD沿％轴向右平移皿个怕立
（
0 < m W5 ）,得 到厶ACIT.设交直线
I于点交CB于点M连接CC
、
MN. 求四边形CMVC的面枳（用含皿的代数式表示）.

















图①
第24題图
图②
因为点〃在点.4的右侧.所以点A的坐标是（-3.0）.点〃的坐
标是（7.0）. .................................................. ........ （2 分）
抛物线的对称轴是-^-= --^-[2x（ =2.
21
2a
21
所以点〃的坐标是（2.0）. ......................................
（3分）
（3分）
对于二次函&y =-琦出+罟、+4・当“0时.y=4.所以点（: 的坐标为（0,4）.
设直线的函教表达式是
心亿
则

则直线的甬数表达式是y二-2x^4. .......................... （4分）
（2）【思路分析]先毎出草图•境定出只有乙F.4C=90。一种情
况•再利用#童代换及正切值的定心再到話=三
7
设出点尸
4G Ct
的坐标，列出关系式，计算求解即可得到点
0
的坐标•再根攥抛
物找平移的性质即可得別再数
IT
表达丸.

解八•抛物线
w
向右
Y
移貝有一脾情况符合要求•即足厶二
90% ... .................................................. ................................ (5
分)













«24««9 I
设此时拋物线「的交
x
執于点
G.
••• Z1 *
厶
2 =90°
•厶
2
•厶
3 =90°.
F
厂
40 1
・••厶
1 = =3n
厶
3.
・；花=而=亍. ..........
(
6
分)
由点
F
在直线上■设点
F
圭标为《”・
^4).
FG
e(3
•'•呗厶 2 花二 “ .(
J j
= 丁•解得
(7
分)
.•点
f
；坐标为
(5.0).
抛物线―
■寺f

♦
导对粘■仝点堂标址〃(
2
・
0>
・
贝此把励摊物线向
if ^3
个单仪•阳列
It
掬线将的.吸数 左示
为瞅点式阳，・■命丿+罟*
♦

4 #
■寺(*
-4* + 4) ♦ 4
2
♦
普・・
TF
-
•器•如粉线•的潢数衣达成为
(,2)2
11

4 «
即&:>* = -
40
* vp** ................. ................................... (8
分)
(3)
【思路分析］權鼻半芳的呂度•先点
CAD'^±
标及
CCx^.CD
f
CD
•再时用待定系數空忌定出复线.
YC
、毗、
C7T
的表达式
，结含CD
的表方程
fit.
样到点“、
V
的 坐标•
易得四边彩
CIAC
为平行日边彫•孝用平行四边晦面积 计算
公丸即可
ffM-

歸：由平移可 得：点
c
•点
Y
■点的坐标分别为
C（m
t
4）< br>t
川（
-3 ”0） *（2 5.0）
©仏轴
CD
〃叫 -•.直线
A c
的函数表
达式足：
y =
牛+
4 -
十加,
直线
BC
的函数表达式是
j
二■丰
t +4
・
直线
C
的函数表达式是
J = -
2x+2m
+
4,
f
4 . 4
I y =
丁丄
+4 - —m
(9
分)
门=
-2x
^2m

・
4
与
分别解方程组｛
3 3

7
[y = -2x +4
得出:
4
4
+4
与
->
A

^-m+4
7
（10
分）
「•点
M
丿、的坐标分別足
V(■-—m
^4)
、
A( —«, --
—m
7).

Yu
= y
、
• H
”、〃
x
轴.
••• CCx
轴■ •••
CCMN,

••• CP CD、

A
四边形
CMNC为
平行四边形. .................. (
11
分)


（13
分）

15. （2012
河南
23
题）
（gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2）
（H分）如图•在平面玄角坐标系中•直裟y = 与H物线y=oxS&r-3
交于I启两点•点I在x轴上•点8的纵坐标为3•点P是直线AB下方的抛 物
线上一动点（不与点「〃重合）•过点作*轴的垂线交直线4B于点C,作 P〃
丄佃于点O.
⑴求叭6及•inZXCP的值$$
（2）设点P的議坐标为m
①
用存個的代散式丧示线段沪〃的氏•并求出线段M比的ft大侑；
2连搖刖•线段 PC把分m
蹲个三
fh
形.
是弁“在适介的
曲此便
这卿个三
角形的比为9
：
io?
说明理由.

岀皿的備；為不仔住.















解

：（
1）由—x + 1 =0
t
得工
2. .「4(
・
2.0).
・1=3„=4.
二

由冷
P
. fi(4.3)-


2
V y = ox *6x-3经过彳启两点.


r( -2)2 •
fl=

■* 14
2

设恵线M与y轴交于点EJM £(0」)•

T
忆〃y 轴■ . rxcF = rxm


OA
2
. «inZICP =
MW
Z

■■■■ ■ **

«■■■■»
・
・・
・
（3
分）

(2






)
D由的解析式为■
二
P(mm
-3>
（6分）
ft Hl PCD 中〃 二 PC • “n 厶 ICP
.丨丄2衣 =（■ m ♦ m *4 ） x
・
,■■ =・知・2.学
v -f <0
5^ = 1时.有最大值竿
(8分)
（11
分）


②存在满足条件的皿值.皿二弓-或屯. ........

解法提示：
解：如解图■分别过点0作OF
；丄他隹
足分别为 八

A KiAW + .DF
△
PT
DP
■丁 S
・
2Z)…
BG
S

J bZ

'
bPBl：
.S^z

4^
；

=

于=希叭解—=寺； 当严二于二乎时終痔心手
16. (2014云南昆明
23
题)
(gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2)
弟23題祥图
(本小超
9
分)如图，在半面直角燮标系中，抛物线＞
=or
2
4 -3JH0)
与工 轴裳于
点
.4( -2,0)
、〃(
4,0)
两点，与
y
轴企于点
C
(1)
求拋物线的解析式；
(2)
点
P
从
. 4
点出发，在线段朋上以毎秒
3
个单位长度的速度向〃点运动. 同时点
Q< br>从£点岀发，在线段
眈
上以毎秒
1
个单位长度的速度向
c点运 动.苴中一个点到达终
点时，另一个点也停止运动.
当氏PRQ
存在时，求运动 多少秒使△阳
Q
的面枳最大，
最大面积是多少？
(3)
当△*做的面枳最大时，在饥下方的地物线上存在点
A,
使
Sg：S” =
5
：
2
■求
A
：点坐标_










芻
23
題
图

(1)
【思维敦练】阿待定李虽圭孝士邑％找的算析式•把
点仏
B
代入抛拘疑翼折式舅至方程组，左士挙版
4
、筑
片可左出拋物找 时解析天.
解:把讥
-2.0).B(4.0)
代人
v=®' *U-3.
{
4 n-24-3^0
im+46-3=O
.
・•・鉅物线的■析式为…扌丿•
4^
5


(;分)
(2)
［息第敬算】*&牛二*和的
▲
的是用三附
W
til
帜的■屯*人•粹
PH it lb. <6aAIWV^ AWM
：
. M X)
拓似三*够的
4i“*
岀為
K
△円如
4
应
H
•设远动廿觸为
民录岀»和的亟偵•碍洌一牛二次事做的解析
人.些
I =
-書时
•”
M
«
V
曇丸・ 解:设运动
时间为，林. 則
443MQ =1.
A
PR
=6 -3d.
Fhe«m J
；点室标为
(0.-3).
»23«*
图
1
在
RiAWX
：
HBC=
JW
“ =5.
加解图
i
•过。点作
QH
丄嗣
•垂足为
H.

:.QHCO.

••・ bRHQs'BOC.

.*. ■斗阳.
QH
« -y-(6 .JO
・
*i « -
备？
♦
*.…
............................... .................................................. (S
令)
^hPHQ(f^9i.O
：•仏
冲.乂


.•.当运动时间为
1
林时•△円的面枳录大・最夭面枳
为卷•…
.................................................. ........................ . (6
分)
(J)
【思维教练】
4
算图
&A
竹
M
〃■轴•交甌于点
氐求

AWJA
三鳥熔的丽机豪角*的方厶是用令从的代徹人隶
k
承

三希矽的面积.逢点
A
的圭垢-亍顷
-3)
•即可得刑 ,.人
对
O1
的是系•再*
S
UM

标》
解：设点线创：的解折式为匕+<<£工
0
)・

IEH(4
W
O).C(O
W
-3)
代人
W.
♦
$$.an
可
4t
出点
K
的全
{

4& >csO

r ® -3
・•・氏线枕的■併式为■■十・
3.
・•点
A
Mtwn匕・
仗人点争休如
m.—m
- -j-m -3 ).
过点
K
作
KEh
单I •交肚于点£如
解图2 •则E点坐标新・・弓*-

2
(7
分)

当
APB
。的面枳最大时・
・
■
・

、3.血：
••
・
5“
祖=弓-.
• - 9
■ • EK • ■
♦

■ ■


• £1 • (4 • «)












・
x4 x
嵐
A
■ I .Mlj »1
.•.和
1
・■寻)入卩・-¥). ................
(9
令)

17. （2014< br>陕西
24
题）
（gsp
文件;
gif
文件）
已知抛物线经过A（
・
3.0）和〃（0.3）两点.将这条抛物线 的顶点记为它的对称轴与
幺轴的交点记为N.
（1） 求抛物线C的表达式；
（2） 求点M的坐标；
（3） 将抛物线C平移到抛物线抛物线C的顶点记为它的对称轴与x 轴的交点记为如
果以点」厂小’为顶点的四边形是面积为16的平行 四边形•那么应将抛物线C怎样平
移？为什么？
9« ^3b +e = 0
解
：（
1）根据题意，得八心0，解得.
.c = 3 lc =3
a = -
r. y = -jr
2
+2x+3
・
.................................................. .................. （3 分）

••・）= - I
2
+ 2x1+3=4.
A Vf（l,4）. .................................................
（3）在抛物线D上存在符合要求的点D.
平移方式如卜 I
i ）将抛物线£先向左平移3个单位•再向上平移3个单位•口J 得到
口
ABDC.
ii） 将抛物线［先向右平移1个单位•再向上平移3个单位.口 J 得到
口
ABCD.
iii） 将抛物线！先向左平移*个单位，再向卜平移宁个单位，
可得到CMCBO .................................... ............................... （io分）
（6
分）
18. （2010
江西
24
题）
（g sp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2）
如图，
12
知经过原点的拋物线）=
-2t
2

+
4.t
与二轴的乃一交点为九现将它向
右平移
m（m
>0）
个单位，所得擅物线与
x
轴交于
CJJ
两点，与原牠物线交于 点只
（1）
求点』的坐标，并判断△皿』存在时它的形状（不要求说理）；
（2）
在*釉上足否存在两条相等的线段•若存住•请一一找出•并写出它们的
长度（可用含皿的式子表示）；若不存在•请说明理由；
（3）
设△乙
0 P
的面积为
S,
求
S
关于
m
的关系式.

［恩祷分析)(!>•«点」的的備为。・林方牝的
解即町・便判驕三角舷的形状可从圏忠的对帐性|：«与
发现; ■孚移的性矯
t
去分析与突破;
(3) 便探交△住多种 可能愴形.即处
p
町鏡在> ■的匕方•也可范在 >
轴的下方.
M:(l)
令
*4* *0
鞫引“宀
»x
・・点人的卑祢是(
2.0). …… .................................
(
I *)
ZW
見
RII
三角彩 ..........................
(2
分)
(2)“
也
(：D»2.
.......................... ........................ (4 ^>)
•作
WH
■于点仏设代*・》・
V 4(2.0)
t
C(m.O),
. AC
= 2 - m, .
CH «
»*【唱.
.'.x
P
= OH = e

+

—
TJ
—-

= —7—. .......................... (5
分)
杞
Xp = *
；-代人▼ =
-2x
2
+4>
用
” =-4~*
2
*2. ........................ ....................................... (6
分)
V CD » 04x2.

当皿>
2
时.如图< br>2
・作刖―举于点
H.
设
P(”.
》)・
V 4(2.0) ,C(m.O).... 4C = ■ -2..-. W =
把” ■耳代人
-2>
J

.鬥”■-冷
F
‘ *2.
• Cl)
-04
・
2.
.5«4^^
・
w*«-r
x2(

・
'■
)
-2. ........................................
(
9
分)
【思踣分析】(
H
便求
e
的 度飲，应从賞转中右关角度的
变与不 变匕突破
;(2)^
合图形比较容忌秽到置屯“ 垂言平
分的线段.

在证明时覲充分利用百象中近多边中的角度；（
3）
整 探
究
0
■的度

区分
Efttt
边粧及 正奇救边形阿种情形
去思号与求解度敦的夜达式;“）畫探究疋-边離中被
4°H
垂 点平分的线段•也也注童区分
iEfttt
边爲及正奇数边
影网种怖 形去电号与妄破.
（1） ................................................
解：
60--
tt
. U.36--O. （3

介）
（2）
存鉴不唯一•选图
I
•图
I
中
W0K
V
垂直半分
佔. 证阴:•・•
AS
心
与
是金等的寻边三怖融・
昇
A
■彳,■僞卑・■
・・・厶几心% «乙
4
餌勺・・•厶
45
■厶心占申・
“）•・
•••厶叫哲
■乙坷*■•••鸟“■旺
・•・ A M
在嫂刃 |
3
«,
的“
¥ 分线
I
•乂.•
Ms- Ml ..*.
A
q
nnra
＜：«.的”自，分纯
i .
自铁・晞自#分心他.…
.............................. ..................... . ........................ (6^)
ftS(2
•图
2
中*肖线
It
务伦
.id
明
toT
：












爲
25
题
as
;•

•I
Q
^
J
=

4
Q
4>
・
A
厶
to^j
(
2 — Z. 4<> Ijfij.
Xv
厶=厶心“处
=45*.
A
-厶驭風

L
.•，碣
«M4, •.
・・

A
H
tMR
g M
Xv
Wh・Lh
.A A
心
ftitft
活的・
ft WH* L
A fttt
心g .......
.......... ... ................... （6
今）
（3）
半能为研飲时.••殴・
s
w
为偶散时■•■■位...................
（8
介）
（4）“
毎7为奇救跨上找
髦直早
分'屮％ 当”为囲散时•玄找
b
垂肓干分却
匚懂坏应同敏手•识今诉同息如紹决同总.


10
今）
（

19. （2018
陕西
24
题）
（gs p
文件;
gif
文件）

一十皿的吧，盯
W
轴相交于
*0
两点］丫在点
弗
M
肿吧盟九的面砂峯求所狮足 *
（Ml
•褪沖巳
心）•郴T 域的
Fit
吋
丸迭
X •
ZH
M
■札:
c?
£'
1
（
1）［
思维教练】要求点
A
、
B
、
C
三点的坐标，在抛物 线表达式屮，令尸
0,
即可求得点
A
、
B
的坐标，令x=0,
求出
y
的值，即可得点
C
的坐标；要求
AAB C
的面积，直接利用三角形面 积
公式即可求解； 解：令
y
二
0
时，即
x
2
+x-6 = 0,
解得%）
= -3 , x
2
= 2 ,
令
x=0,
得
y
二-
6,
A A （-3, 0）, B （2, 0）, C （0, -6）
；
..................................... ........................... （3
分）
•: Swc =*AB
・
0C
二冷^ =
15
；
...... .................................................. ................ （4
分）
（
2）［
思维教练】要 求所有满足条件的抛物线的函数表达式，设抛物线向右平移
m
个单位长
1 75
度，则可得平移后抛物线的函数表达式为
y = （x + --m）
2
-y ,
由平移可知
A' B'
二
AB
二
5,
根
据
S
MBC
= 15,
可求出平移后的抛物线与
y
轴的交点到
x
轴的距离，即
|yc
卜
6,
将点 的坐 标代入
平移后的抛物线表达式求出
m
的值，即可求得满足条件的抛物线的函数表达式.
解：
y = x~
+ x — 6 = （x H—）2 ——,
2 4
25
r
设抛物线向右平移
m
个单位，
・・・L-.y = （x + —
一
72
）
2

一 一-,
4^
彳
2S

I
由平移可知
A' B'
二
AB
二
5, A Iy
r
| =—
vcl
A®

当
x=0, y=6
时， 由
=6,
即当
x=0
时，
y=±6,
1 25
6 = （0 + ---
m）
2
----- , 解得
m
A
= -3
2 4
,

m
2
= 4
； ........................................ （
6
分）
1 25
9

当
x=0, y
二-
6
时，由-
6 = （0 + -----------
my
------ ,解得
= 0
2 4

（舍），

・••当
m=-3
时，抛物线
Z
的函数表 达式为
-,y = x
+7x-6
；
2
当沪
4
时，抛物线厶'的函数表达式为
：
y = x
2
-7x-6
；
当
m
二
1
时， 抛 物 线
厶'的函数表达式为;
（10
分）
y = x -x-6.

20. （2017
河南
23
题）
（gsp< br>文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2）
（11分）如图,直线-y.t+e与*轴北于点4（3,0）,与）轴交于点伏抛物 线尸一令 +加十£经过点*・〃・
（1） 求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2） W（m.O）为工轴上一动点•过点V且垂直于x轴的直线与直线XB及抛物 线分别交于点P
・
N
・
①
点V在线段％上运动•若以B.P..X为顶点的三角形与相似•求 点M的坐标；
②
点W在x轴上白由运动，若三个点WP
小
中恰有一点是其他两点所连 线段的中点（三点重合除
外）•则称IRN三点为“共谐点”.请直接写出 使得三点成为“共谐点“的m的值.

(1)解八直线」二・寻让过讥3.0).
1
代入得・〒”3 ♦e=
R
r <- = 2.
•'•苴线AB衷达式为y = -
-
T
~
X
♦ 2.
. fl(0
t
2). ........................... ...........................................
•・•抛物线? = -y-x
2
+丘“过点2(3
・
0)・纨0
・
2)
・
(1分)
(3*)
(2)依18可知测(■・())
・
•・•临丄
Y
轴交直线丿二-十r
・
2于点化交撤物线y =

A ( m, ■ ~~r~
m
- ♦ P'n • 2 ) . *( e
・
■ -f 2 ).
v A4RW相似于△&%・
①当△ 4P△时、时. 则Z LW*= Z&VP=90*.
・・・RN肛
辆|.
・•・〃・，、的纵坐标相同•療为2.
♦ 2=2,

解得:叫
=0.«2 =4-.
・・•当m =0时与B重合・.・. ABPV芥存在•故舍
去. .
・
.m二斗.
・・・秋斗0)$$ ... .................................................. ..........
(6分)
②当△ 时.则厶乙“
如解图•过点〃作创丄、八于点则

丁
zBP=r wt
:.tan Z.
H.P =
tan
Z_ M
I
・他丝-些_丄
…
M
W
3 ■
ffl
4~J~
解
flhw
。（會民此时点化、
H
合）.
Il it
加
2
s
~.-
m
=—.
（II 分）
:.点的曼标为（壬・0
）
或（¥・°）:

【解法提示】①当点尸为共错点的中点时， 则一次函数图象
崔抛物线与
X
轴之间・
4

> 1° “ 4
（
2 、
-~m + —m
・
2）（叫+2）.




.討冲.2
由“共谐点的屯义得:——” ------------------
2
亍加
+2.
恥得m
i
=—
f
m
2
=3（舍去.此才点P. V
t
A重合）；
②点为“共谐JC的中点
M .T仙也一次畠辙图取乌K输蓟之何・
10 补
（■〒*•
♦
~r
m
* 2
） 曲••屛谱点的丈义碍：
::
—— ------------------------ ———
解得蚀
■ .5
・
3（
會去•此才点
PJCA
兹含）；
③当
A
N的“其谱点■的中点廿. 则抽物线崔一次函數图软与
X
辂之的・
2 .
-—m+2
|
（
|

由•谐点的
t : ------------------ ------ = -
2
♦ W
解得m
t
= - -~,m
2
=0（舍去.it时点f—童合）.
故当皿为*或-十我・
I
时■後痔点
H.P.
三点成为F谐点：
Z 4


r
4
2

21. (2015
河南
23
题)
(gsp
文件;
gif
文件)
(11分)如图,边氏为X的正方形OA8C的两边在坐标轴上•以点C为顶点的 抛
物线经过点I•点P是抛捞线上点-4 «•间的一个动点(含瑞点)•过点
卩
作 丹
丄肌：于点F “ 〃上的坐休分别为(0.6).( -4.0),连接PDJ>EJ)E.
(1 )请直接写出牠物线的解析式,
(2) 小明探究点P的位證发
现岀
J&P
与点
< 或点C重合时•皿打PF的总 为
定他•进+任盘一点与
卄的豪
为 5 请你料斷谏強也 皑習正㈱•并说明理
由；
(3) 小明进•步探究得出结论比的面机为整IT的点记作“好
A・刖存在$$
W
好点”•且ftAW
：
的离歩jib卜钓恵P也是一小“好点”.
岀所彳厂“点”的个也并求岀周氏址小时-好点”的坐标.

(I)【思路分析丨由题:til抛场烦解析丸为v=ax
2

♦
■持4、C ft 点坐标代入冲可.
........................ (3 分)
解：抛物线的解析式为门二■十,+8.
点
,4( -8
f
0)
%
C(0
v
S)>
二次再裁总合題一
枚段问越(涉处列
域虑的救童冥糸和
雋长的H小值)
抛物典解析K为 > =・*丿
♦

鴛法81示：由題意设抛物线解析式为r = a? 4CZ正方册
OHC
边长为趴
(2)
【恩路分析］设* A±H*(x,--pr
2

・
X)
・
«示出M的长 度•构it Pl)为边的
直角三命席・&示出『〃的歩度■从州得別 PI) - PK 的｛£.
解：对于任恿一点化皿与〃的趙为定(fl •这个诸想是正确的. 理由如下：
设则-
十宀8—2・・・・・・・
.............................. (4 分)

二存・
2. .................................... ......................................... （6
分）
・・・”〃・尸上卜」・
2-$$'=2
・故菊世正确. ...... （
7
分）
（1>
【思路分析】将△円“约的血邊
ft
朴代•得別算负枫的衣达 人，悵攥点”橫坐惊的取值总国•能丸
而枳为整做》
r
好点•'的 个戟.再把△
H
贱周歩的聂小位转化成处
♦
PF的和員小.从而 妇
11
为 U'

XA*tt«tA7>£- »
歩最小.•丈点P的坐标. 解:好点共丨丨个. （
9
分）
••半点运 动时.〃
E
的大小不变・・•・
怀
与
P
〃的和最小时. △
P0E
的周氏晟小.
・・
• PD-PF = 2j PD = PF *2
二卩
E*P1
）
= PE
・
2.
・•・当P
、
E
、
F三点共线时.PEtPFgk小.
此 时•点
P
・
E
的横樂标为
-=
・
4
代心=
■右,
*8
•得 厂
6.
二点坐标为（・
4.6）
•此时周氏
jft
小•且△刊兄的面积 为
12
•点
P
恰为-好点J
•・• 周
U
小时点
P
的曼标为（・
46）. ........................ （11
分）
阐进提示：知解图・过
P
作P丄彳〃于点、■由題知.

皿
='电，、
0
〃 *
■
A£M1£
«v
• o£
=—•
（
P. ♦ ob} • o
— -^-p •
E —
=亠其（-
~*X
2
*8 *6）
・
（-x） - 4*x（
■十
J
♦»） （■ 4 ■ ”） ■ ‘ [■
・
6
・
4
=■ -j-x^ >4 = ■ -j-（ * ♦ 6）' '♦-13
由于•
8Cx<0.
可碍
3
.繪以
S
的蹩數{
1
为
1（）
卜
tbff l
象可知.当
5 = 12
时•对虫的■号点有
2
介
•所 以“好
A
w
*
有
II
个.
Q
白突*:第（
2）
何的璀点程于利用勾段定理表示出坂段的 长度；第（
3）
间的难点崔于求出△丹圧用歩
載小时的面 枳•根捋DE不变•料断出 当
P.E.F
三色共技
时
△
PDE
的周长
适小• 再求出点
P
的奎标印
可求
诗
2DE的面枳.

22.
（2017
山西
23
题）
（gsp
文件;
gif
文件
1
；
gif
文件
2）
（本题
14
分）综合与探究
如图•抛物线
丫=£?
♦
半・
3
万与
X
输交于
A,B
两点（点
-I
在点
H
的左侧）・与
y
轴交于点U连接点 沿
M以毎秒
1
个收
位氏度的速度由点
4
向点
f
运动 •同时.点
Q
沿以毎秒
2
个单位长度的速度由点
H
向点 < br>O
运动•半一个点停止运动时•另一
个点也
fit
之停止运动•连接< br>V
过点
Q
作
0
〃丄・轴.与!
t
狗线交于点 〃•与 处 交
H
连接円儿门

的运动时毎为
<»（<>0
）
.
丨
（2）
（
D
MV4th P.D・
点的士标（用X的代飲式
ft«
）
3
卩运动的过竹 二〃时.求*的
ffu
（3）
试探究在点代
Q
运动的过
W
中•是囲存在巣为皿的中点?若“在•请帕&耳出此时
f
的值马 点
F
的坐标;
K
不存在
•坍说明理曲•

【思的臺數表达需求点伏点
c
的 空标•分刖令％输线的解折天？
=0.,
=0
即可
**;（2）
由
.4
工
Z.C4O=6 0
作
P6
丄〃紬，通而可用
f
表示出
W.X
；
的
^,AP±
标即可卡
出•再表示出点
Q
的全标•由 〃
3
丄・轴. 弓•再出.4〃的宝标;
2
要歩
当
FQ=P D
时『的值，主作，〃丄
Q
〃 于点仏再利用寻呉三角形三找含一
说明
W=2Pf
；
,
堆含①中 存列的几〃的点的坐标•刊出关于
f
釣一尢二
次方程•解建金方 程；
（3）
由
（
2）
①可舫点儿〃的坐标
•晏便悬F
为PD< br>的中
島
.可 粹
F
用（表斥出羹•又由
A F 4 jL*H
BC
上列出寻丸
薫点几
f
即可.
鋼：（
1）
由厂
0
•阳-%
♦
半“疔“.
S9«i« - 3
•乃
=9..
・・点〃的堂标为
（9.0）. ...................... （1
分）
由*工
0
・ 殍^
3
尸・・.点（?的坐标为
（0
・
3
疗） ........
（
2
分）
设直线甌的除数表达式为
y = fcr*6.
r 91^6=0
由〃・
C
两点的坐标猖 <
一・

1&=3^r
・•・直线
BC
的析式为厂-牛
,3
圧 .......................
（4
分》