宽恕就是爱-假如我是校长作文

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11.1.1 空间几何体与斜二测画法
关键能力·素养形成
类型一 水平放置的平面图形的直观图的画法
【典例】画一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图.

【思维·引】依据用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤直接画.
【解析】(1 )在▱ABCD中,以直线AB为x轴,过D垂直于AB的直线OD为y轴,建立直角坐标系xOy,如图1.< br>再建立斜坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,如图2.

(2)在x′ 轴上取O′A′=OA,取O′B′=OB,在y′轴上取O′D′=OD,过D′作D′C′∥x′轴,且D′C′=DC,如图2.
(3)连线:连接B′C′,A′D′,如图2.擦去作图过程中的辅 助线,最后得到的四边形A′B′C′D′即为一个
锐角是45°的平行四边形ABCD的直观图.

【内化·悟】
1.在▱ABCD中,建立直角坐标系xOy时,原点可以选在B点吗?选在AB的中点可以吗?
提示:可以选在B点,也可以选在AB的中点.
2.在斜二测画法中建立直角坐标系xOy的原则是什么?
提示:建立直角坐标系xOy的原则是使得平面图形中尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点.
【类题·通】
画平面图形的直观图的关键点及对策
(1)关键点:画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.
(2)对 策:首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定
它 的两个端点,然后连接成线段.
【习练·破】
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画如图所示水平放置的直角梯形的直观图.

【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中, 以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建
立平面直角坐标系xOy.作出相应 的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图①②所示.
(2)在x′轴上截取O′B′=O B,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作x′轴的平行线
l
,在
l
上 沿x′轴
正方向取点C′使得D′C′=DC.连接B′C′,如图②.
(3)擦去作图过程 中的辅助线,所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图.如图③.

类型二 立体图形直观图的画法
【典例】用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2 cm,3 cm,高为
2 cm.
世纪
【思维·引】先作四棱台的下底面,再依据四棱台的高 确定上底面的位置,并画出其直观图,最后连线成图.
【解析】画法:(1)画轴.画x′轴、y′轴 、z′轴,三轴相交于点O,使∠x′Oy′=45°,∠x′Oz′=90°.
(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3 cm;在y′轴上取线段PQ,使PQ=1.5 cm.分别过点M
和点N作y′轴的平行线,过点P和 Q作x′轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为
四棱台的下底面.
(3)画上底面.在z′轴上取一点O′,使OO′=2 cm,以O′为原点画直线a和直线b,使直 线a∥x′轴,直线
b∥y′轴,在平面aO′b内以O′为中心画水平放置的边长为2 cm的正方形的直观图A′B′C′D′.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).

【内化·悟】
1.棱台的上底面中心与下底面中心的连线与棱台的高有何关系?
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提示:棱台的上底面中心与下底面中心的连线就是棱台的高.
2.在画棱台的直观图时,棱台上底面用哪个轴确定?
提示:画棱台的直观图时,棱台上底面用z轴来确定.
【类题·通】
简单几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
【习练·破】
画棱长为2 cm的正方体的直观图.
【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD,使∠BAD=45°,AB=2 cm,AD=
1 cm.
(2)过点A作z′轴,使∠BAz′=90°,
分别过点A,B,C,D,
沿z′轴的正方向取AA
1
=BB
1< br>=CC
1
=DD
1
=2 cm.
(3)连接A
1< br>B
1
,B
1
C
1
,C
1
D
1
,D
1
A
1
如图①,
擦去辅助线,把被遮住的线改为虚线,得到的图形如图②就是所求的正方体的直观图.

【加练·固】
一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与 圆柱的底面重合,圆柱的底面
直径为3 cm,高(两底面圆心连线的长度)为4 cm,圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm,画出此几
何体的直观图.
【解析】(1)画轴.如图①所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点,使AB=3 cm,且OA=OB,选择椭圆模板中适当的椭圆,使它为圆柱
的下底面,并过A,B两点.
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(3)在Oz上取点O′,使OO′=4 cm,过点O′作平行于Ox的O′x′,类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上
底面.
(4)画圆锥的顶点.在Oz上取点P,使PO′=3 cm.
(5)成图.连线A′A,B ′B,PA′,PB′,整理(去掉辅助线,将被遮挡部分改为虚线)得到此几何体的直观图,
如图②所 示.

类型三 直观图的还原与计算问题
角度1 直观图的还原问题
【 典例】利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形
( 如图),则原图形的形状是 世纪( )


【思维·引】先考虑坐标轴之间的关系,再考虑长度之间的关系.
【解析】选A.因为直观图中正方形的对角线为
满足条件.
角度2 与直观图有关的计算问题
【典例】1.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A′ B′C′的面积为________.
2.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图,则△AOB的面积是__________.
,所以在平面图形中平行四边形的高为2,只有A项

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【思维·引】1.依据斜二测画法,看一看底与高谁变了,谁没变.
2.先确定△AOB的底边OB的长,再确定底边OB的高线长,进而求出面积.
【解析】1.如图,图①,图②所示的分别是实际图形和直观图.从图②可知,A′B′=AB=2,

O′C′=OC=,C′D′=O′C′sin 45°=×=.
所以S
△A′B′C′
=A′B′·C′D′=×2×=.
答案:
2.由题干图易知△AOB中,底边OB=4,底边OB的高线长为8,所以面积S=×4×8=16.
答案:16
【类题·通】
1.直观图的还原问题的关键
直观图的还原问 题的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形,其依据就
是逆用斜二测画 法,也就是使平行于x轴的线段的长度不变,而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.
2.求直观图的面积的关键
求直观图的面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底 边和高.在原来实际图形中的高线,在直
观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段, 以此为依据求出直观图中的高线即可.
【习练·破】
1.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离
为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为

A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm
( )
【解析】选D.因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直,现在距离为5 cm,而在直观图中根据平行于z轴的线
段长度不变,仍为5 cm.
2.如图,平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图,若O′P′=3,
O′ R′=1,则原四边形OPQR中OR的长为________,原四边形OPQR的周长为________.
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【解析】由斜二测画法知,原四边形OPQR是矩形,且OP=O′P′=3,OR=2O′R′=2.
所以,原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.

答案:2 10
【加练·固】
1.如图,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x ′轴上,A′O′和x′轴垂直,且
A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为________.

【解析】由直观图与原图形中与x轴平行或重合的线段长度不变,且S
原
=
2S
直观
,
设OB上的高为h,则OB·h=2××2O′B′.
因为OB=O′B′,所以h=4
答案:4
.
2.如图所示,水平放置的 △ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′,已知A′C′=6,B′C′=4,则AB边的
实际 长度是________.

【解析】在原图中AC=6,BC=4×2=8,∠ACB=90°,
所以AB=
答案:10
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=10.

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