读书摘记-端午节哪天

1.1.4 直观图画法
学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.

知识点 斜二测画法
思考1 边长为2 cm的正方形
ABCD
水平放置的直观图如下，在直 观图中，
A
′
B
′与
C
′
D
′
有 何关系？
A
′
D
′与
B
′
C
′呢？在原图 与直观图中，
AB
与
A
′
B
′相等吗？
AD
与
A
′
D
′呢？





思考2 正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C< br>1
D
1
的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？



梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

(2)立体图形直观图的画法规则
1 12

画立体图形的直观图 ，在画轴时，要多画一条与平面
x
′
O
′
y
′垂直的轴O
′
z
′，且平行于
O
′
z
′的线段长度不变 ，其他同平面图形的画法.

类型一 平面图形的直观图
例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.



引申探究
若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？






反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键 之一，一
般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，
借助于平 面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.
跟踪训练1 如图所示，为一个水平放置的 正方形
ABCO
，它在直角坐标系
xOy
中，点
B
的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点
B
′到
x′轴的距离为
________.

类型二 直观图的还原与计算
命题角度1 由直观图还原平面图形
例2 如图所示，△
A
′
B< br>′
C
′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图
形.
2 12

反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键
(1)平行
x
′轴的线段长度不 变，平行
y
′轴的线段扩大为原来的2倍.
(2)对于相邻两边不与
x′、
y
′轴平行的顶点可通过作
x
′轴，
y
′轴的平行 线确定其在
xOy
中的位置.
跟踪训练2 如图所示，矩形
O
′< br>A
′
B
′
C
′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O
′
A
′＝6 cm，
C
′
D
′＝2 cm，则原图形是________.

命题角度2 原图形与直观图的面积的计算
例3 如图所示，梯形
A
1
B
1
C
1
D< br>1
是一平面图形
ABCD
的直观图.若
A
1
D
1
∥
O
′
y
′，
A
1
B
1∥
C
1
D
1
，
A
1
B
12
＝
C
1
D
1
＝2，
A
1
D
1
＝
O
′
D
1
＝1.试画出原四边形的形状，并求 出原图形的面积.
3



反思与感悟 (1)由原图形求直观图 的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中
的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长 度为原来一半的线段，这样可得出所求图
形相应的高.
(2)若一个平面多边形的面积为S
，它的直观图面积为
S
′，则
S
′＝
2
S< br>.
4
跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形
A
′
B
′
O
′，若
O
′
B
′＝1，那么原三角形
ABO
的面积是________.
3 12

类型三 简单几何体的直观图
例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体
ABCD
—
A
′
B
′
C
′
D
′
的直观图.




反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则
(1)用斜二测画 法画空间图形的直观图时，图形中平行于
x
轴、
y
轴、
z
轴 的线段在直观图中
应分别画成平行于
x
′轴、
y
′轴、
z< br>′轴的线段.
1
(2)平行于
x
轴、
z
轴的线段在 直观图中长度保持不变，平行于
y
轴的线段长度变为原来的.
2
(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.
跟踪训练4 用斜二测画法画出 六棱锥
P
－
ABCDEF
的直观图，其中底面
ABCDEF
为正六边形，
点
P
在底面上的投影是正六边形的中心
O
.(尺寸自定 )





1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的________.(填序号)

2.已知一个正方 形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为
__________. 3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点
到底 面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之
间的距离为________ cm.
4.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)
4 12

5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上，下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)







1.画水平放置的平面图 形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角
坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作 出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量
多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中 互相垂直的
Ox
、
Oy
轴，在直观图中画成
O
′
x
′、
O
′
y
′轴，使
∠
x
′
O< br>′
y
′＝45°或135°.
(2)二测：在直观图中平行于
x轴的长度不变，平行于
y
轴的长度取一半，记为“横不变，
纵折半”.

答案精析
问题导学
知识点
思考1
A
′
B
′∥
C
′
D
′，
A
′
D
′∥B
′
C
′，
A
′
B
′＝
AB
，
A
′
D
′＝
AD
.
思考2 没有都画成正方形．
梳理 45° 135° 水平面
x
′轴或
y
′轴的线段 保持原长度不变 一半
题型探究
例1 解 (1)在已知的直角梯形
OBCD
中，以底边
OB
所在直 线为
x
轴，垂直于
OB
的腰
OD
5 12
1< br>2

所在直线为
y
轴建立平面直角坐标系．画出对应的
x
′轴和
y
′轴，使∠
x
′
O
′
y
′＝45°，
如图①②所示．

1
(2)在
x
′轴上截取
O
′
B
′＝
OB
，在
y
′轴上截取
O
′
D
′＝
OD
，过点
D
′作
x
′轴的平行线
2
l
，在
l
上沿
x
′轴正方向取点
C
′使得
D
′
C
′＝
DC
.连结
B
′
C
′，如图②.
6 12

(3 )所得四边形
O
′
B
′
C
′
D
′就是直角 梯形
OBCD
的直观图，如图③.

引申探究
解 画法：(1) 如图①所示，取
AB
所在直线为
x
轴，
AB
中点
O
为原点，建立直角坐标系，
画出对应的坐标系
x
′
O
′y
′，使∠
x
′
O
′
y
′＝45°.
7 12

1
(2)以
O
′为中点在< br>x
′轴上取
A
′
B
′＝
AB
，在
y
轴上取
O
′
E
′＝
OE
，以
E
′ 为中点画出
2
C
′
D
′∥
x
′轴，并使
C
′
D
′＝
CD
.
连结
B
′
C< br>′，
D
′
A
′，如图②所示．

(3)所得的四边 形
A
′
B
′
C
′
D
′就是水平放置的等腰 梯形
ABCD
的直观图，如图③所示．

8 12

跟踪训练1
2

2
例2 解 ①画出直 角坐标系
xOy
，在
x
轴的正方向上取
OA
＝
O< br>′
A
′，即
CA
＝
C
′
A
′； < br>②过
B
′作
B
′
D
′∥
y
′轴，交
x
′轴于点
D
′，在
OA
上取
OD
＝O
′
D
′，过
D
作
DB
∥
y
轴，
且使
DB
＝2
D
′
B
′；
③连结
AB
，
BC
，得△
ABC
.
则△
ABC
即为△
A
′
B
′
C
′对应的平面图 形，如图所示．
跟踪训练2 菱形
例3 解 如图，建立直角坐标系
xOy
，在
x
轴上截取
OD
＝
O
′
D
1
＝1，
OC
＝
O
′
C
1
＝2.
在过点
D
的
y
轴的平行线上截取
DA
＝2
D< br>1
A
1
＝2.
在过点
A
的
x
轴的 平行线上截取
AB
＝
A
1
B
1
＝2.
连结
BC
，即得到了原图形．
9 12

由作法可知，原四边形
ABCD
是直角梯形，上、下底长度分别为
AB
＝ 2，
CD
＝3，直角腰的长
度
AD
＝2，
2＋3
所以面积为
S
＝×2＝5.
2
跟踪训练3 2
例4 解 (1)画轴．如图，画
x
轴、
y
轴、
z
轴，三轴相交于点
O
，使∠
xOy
＝45°，∠
xOz
＝9 0°.

(2)画底面．以点
O
为中点，在
x
轴上取线段
MN
，使
MN
＝4 cm；在
y
轴上取线段
PQ
，使
PQ
3
＝ cm. 分别过点
M
和
N
作
y
轴的平行线，过点
P
和
Q
作
x
轴的平行线，设它们的交点分别
2
为
A< br>，
B
，
C
，
D
，四边形
ABCD
就 是长方体的底面
ABCD
.
(3)画侧棱．过
A
，
B，
C
，
D
各点分别作
z
轴的平行线，并在这些平行线上 分别截取2 cm长
的线段
AA
′，
BB
′，
CC
′，
DD
′.
10 12

(4)成图．顺次连结
A
′，
B
′，
C
′，
D
′(去掉辅助线，将被遮 挡的部分改为虚线)，就得到
长方体的直观图．
跟踪训练4 解 (1)画出六棱锥
P
－
ABCDEF
的底面．①在正六边形
ABCDEF
中，取
AD
所在
的直线为
x
轴，对称轴
MN
所在的直线为
y
轴，两轴相交于点
O
，如图(1)，画出相应的
x
′
轴 、
y
′轴、
z
′轴，三轴相交于
O
′，使∠
x′
O
′
y
′＝45°，∠
x
′
O
′< br>z
′＝90°，如图(2)；
1
②在图(2)中，以
O
′为中 点，在
x
′轴上取
A
′
D
′＝
AD
，在< br>y
′轴上取
M
′
N
′＝
MN
，以点
2
N
′为中点，画出
B
′
C
′平行于
x
′ 轴，并且等于
BC
，再以
M
′为中点，画出
E
′
F
′平行于
x
′轴，并且等于
EF
；③连结
A
′B
′，
C
′
D
′，
D
′
E
′ ，
F
′
A
′，得到正六边形
ABCDEF
水
平放置 的直观图
A
′
B
′
C
′
D
′
E< br>′
F
′.
(2)画出正六棱锥
P
－
ABCDEF< br>的顶点．在
z
′轴正半轴上截取点
P
′，点
P
′异于 点
O
′.
(3)成图．连结
P
′
A
′，
P
′
B
′，
P
′
C
′，
P
′D
′，
P
′
E
′，
P
′
F
′ ，并擦去
x
′轴、
y
′轴
和
z
′轴，便可得到六棱 锥
P
－
ABCDEF
的直观图
P
′－
A
′
B
′
C
′
D
′
E
′
F
′ ，如图(3)．

当堂训练
1．③ 2.16或64 3.5 4.③
5．解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△
ABC
，其中
O< br>为△
ABC
的重心，
BC
＝2
cm，线段
AO与
x
轴的夹角为45°，
AO
＝2
OD
.
11 12

(2)过
O
作
z
轴，使∠
xOz
＝90°，在
z
轴上截取
OO
′＝2 cm ，作上底面等边三角形的直观
图△
A
′
B
′
C
′， 其中
B
′
C
′＝cm，连结
AA
′，
BB
′，
CC
′，得正三棱台的直观图．
12 12