严以用权-上海一本大学

分类号________________ 论文选题类型 师范类教育研究
U D C 编号




本科毕业论文（设计）



题 目
几何画板与学生自主学习的整合

华中师范大学
学位论文原创性声明

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的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集< br>体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
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目录
摘要 ................................... ............................ 1
关键词 ........... .................................................. 1
Abstract ................................... ........................ 1
Keywords .......... ................................................. 2
1. 引言 ...................................... ...................... 3
1.1几何画板的介绍 .............................................. 3
1.2几何画板的使用现状及推广意义 ................................ 3
2. 几何画板给学生自主学习带来的变化 ................................ 4
2.1预习多样化 .................................................. 4
2.2动态演示图像 ................................................ 4
2.3立体图形清晰直观 ............................................ 5
3.几何画板与学生自主学习案例整合 ................................... 6
3.1三角函数图像变换案例设计 .................................... 7
3.2 函数交点问题案例设计 ....................................... 11
4. 对几何画板与学生自主学习整合的几点思考 ......................... 14
5. 结论 ........... ................................................ 14
参考文献: ..................................... .................... 16

摘要：几何画板作为计算机辅助教学的一种，它以文本、图像、动画 、视频、声
音等多媒体形式传达教学信息,为学生提供一种新奇的教学环境，通过动态的形式展
示教学内容，不仅直观、形象，而且可以激发学生的兴趣和好奇心。可以说它给教学
方式、教学手段、教 学内容带来了深刻的变革。利用几何画板,可以使静态的图形动
态化,抽象的概念形象化,枯燥的内容有 趣化；可以更好地揭示知识的本质以及知识与
知识之间的内在联系,暴露知识发生、发展的过程;可以让 学生进行操作、观察、分析,
从而提高学生学习的主动性。论文主要分为五部分，首先介绍了几何画板及 其使用现
状和推广意义，然后通过案例展示几何画板给学生自主学习如预习、课后习题解答及
概 念、数学问题的深入探讨及拓展带来的影响，接着是本文的重点内容,主要是透过
案例阐明如何把几何画 板与学生学习进行整合，最后总结，为了适应社会发展的需要,
教师需要合理高效的把信息技术运用到教 学中来。但是,我们不能盲目的使用信息技
术,用它来取代教师在教学活动中的地位。教学活动的核心, 是师生之间的情感互动交
流过程,这个过程是信息技术无法取代的。
关键词：几何画板 学生自主学习 探究 数学实验


Abstract: Geometry drawing board as a kind of computer assisted
instruction, it with text, images, animation, video, audio, and other forms
of multimedia teaching information communicated, to provide a novel teaching
environment for students, through the form of a dynamic display teaching
content, not only intuitive, image, but also can stimulate students' interest
and curiosity. Can say it to teaching methods, teaching means, teaching
content has brought profound changes. Geometry drawing board, can be used to
make the graphics of the static dynamic, abstract concept of visualization,
boring content interesting; Can better reveal the nature of knowledge and the
inner link between knowledge and knowledge, exposing knowledge occurrence and
development process; Can let the student to carry on the operation,
observation, analysis, so as to improve students learning initiative. Thesis
mainly is divided into five parts, first of all introduces the geometry
sketchpad and use present situation and promotion, and then through case shows
1

students' autonomous learning, such as the geometry sketchpad preview,
homework problems to solve and concepts, mathematical problems deeply explore
and expand the impact of followed by the main content of this article, mainly
through case to clarify how the geometry sketchpad and integrating students'
learning, and finally concluded, in order to meet the needs of the development
of the society, teachers need to reasonable and effective to apply information
technology to the teaching. However, we cannot blindly use of information
technology, using it to replace the status of teachers in teaching activities.
The core of teaching activities, is the emotional interaction between teachers
and students exchange process, this process is information technology cannot
be replaced.
Key words: The geometric sketchpad Students' autonomous learning To
explore the Mathematics experiment













2

1引言

1.1几何画板的介绍

几何画板（The Geometer’s Sketchpad），它的全名是《几何画板——21世纪的
动态几何》，由Key Curriculum Press美国发行,1995年3.05版由人民教育出版社引人
我国并汉化 。它的最大特色是动态性,并能展示在变化状态下保持不变的几何关系，
是一个十分优秀的教育软件。它 既可以用于平面几何、解析几何、三角函数、立体几
何等内容的教学或学习中，也可以用于化学、物理等 课程的教学中。几何画板作为计
算机辅助教学的一种，它以文本、图像、动画、视频、声音等多媒体形式 传达教学信
息,为学生提供一种新奇的教学环境，通过动态的形式展示教学内容，不仅直观、形
象，而且可以激发学生的兴趣和好奇心。可以说它给教学方式、教学手段、教学内容
带来了深刻的变革。 利用几何画板,可以使静态的图形动态化,抽象的概念形象化,枯燥
的内容有趣化;可以更好地揭示知识 的本质以及知识与知识之间的内在联系,暴露知识
发生、发展的过程;可以让学生进行操作、观察、分析 ,从而提高学生学习的主动性。


1.2几何画板的使用现状及推广意义

目前国内外对几何画板技术的研究相对较多而 且较深入,也涌现了很多优秀的教
师,他们对推进几何画板与数学的整合起着重要的作用。然而在制作、 运用几何画板
课件方面也存在着以下不足：（1）老师重视演示现象,传授知识,却往往忽视了揭示知< br>识形成的过程、知识的本质教学,及对学生们能力的培养。表现在老师把几何画板作
为教师教学课 堂演示的工具，在图形的运动变化多、快,学生不能亲自参与其中，也
没有充分的时间思考背后的数学本 质;（2）注重教师的“教”,忽视学生的“学”。表现在
教师按照自己的思路设定好一定的程序,上课 时按部就班地播放,表面上是“启发式”教
学,实际上对学情分析不到位以及对学生可能遇到的学习困难 估计不足，导致学生对
所学知识理解不到位。（3）老师时间的投入与产出不成正比,投入多,产出少. 表现在教
师在制作几何画板上花费了大量时间,但学生只看到老师制作成果，却不能自己亲自
动 手研究，无法在这过程中发现问题、提出问题、解决问题，从而无法很好地体现几
何画板的使用价值。因 此，让学生了解几何画板、学会运用几何画板，让几何画板不
仅仅是教师的教学应用软件，也是学生自主 学习数学的软件工具是十分有必要的！随
3

着计算机的普及大部 分学生对电脑的操作都已很熟练，让学生们自己操作几何画板进
行数学问题研究是可行的。这将进一步发 挥学生的主观能动性也将极大培养学生解决
问题的能力和创新意识。
2几何画板给学生自主学习带来的变化

几何画板给教师的教学注入了新的活 力，同时也可以给学生自主学习如预习、课
后习题解答及概念、数学问题的深入探讨及拓展带来了巨大的 变化。
2.1预习多样化
在传统教学中，学生较多的是通过阅读课本、做课后习题 和阅读参考资料来预习
新内容，然而有了几何画板学生就可以用它在预习时进行简单的自主探索，利用几 何
画板演示过程，化抽象为形象。例如：在讲解邻补角的平分线互相垂直这个命题之前
可以让学 生提前用几何画板进行预习，并提供适当的步骤给同学们一些提示：先画平
角∠AOB ，过点O任意作 一条射线OC，作∠AOC和∠BOC的平分线分别是OD、
OE，再用度量工具度量∠AOC、∠BO C、∠COD、∠COE，并显示在屏幕上，然后
用计算工具计算∠COD与∠COE的和。并进一步拖 动点C，观察当所度量的四个角
的大小都发生了变化时，∠COD与∠COE的和是否发生变化。 这样 通过学生自己动
手操作，观察这些数据的变化，有助于其发现其中的规律，加深对命题的理解。并且由于几何画板的使用课堂节奏会稍稍加快，有的同学思维节奏较慢，而让同学们学会
使用几何画板， 并用它来进行课前预习，同学们有了动态定量的认识作为基础，再在
课堂上定性地证明也就成为一件比较 容易的事了。
2.2动态演示图像

几何画板可以让学生参与到课堂操作中来。在以往的课堂教学中, 教师讲授知识
时重视定理的阐述与证明,而忽略了直观演示和实验。由此, 学生变成了知识的接受机< br>器和习题演练专家,当却缺乏动手操作能力，课堂上老师和学生也缺少了相应的互动。
数学学习不 应是一个被动吸收知识、呆板记忆、反复练习的强化过程, 而应该是学生
以一个课堂主人翁的角色积极参与课堂学习，调动原有的知识来解决新的问题, 同化
新的知识。而几何画板正好能给学生创造一种积极的探索问题的情境, 让他们在解决
问题 的过程中理解并掌握抽象的概念，从而获得真正的数学经验。例如:在讲解“一元
二次函数的图象性质” 的新知识时, 为了让学生们理解二次函数f(x)=ax
2
+bx+c中的参
4

数a、b、c对其图象的影响, 我们可以利用几何画板设计一个课件，在课堂上让学生
自己去动手探索, 具体制作过程如下:
(1)打开几何画板, 首先定义一个直角坐标系, 在轴上绘制三个点, 并分别以这三个点
为起点作x轴的垂线段, 分别标记为a、b、c。
(2)分别度量出垂线段a、b、c终点的纵坐标, 并修改其标签为a、b、c。
(3)以(2)中的度量结果为参数, 构造一个二次函数f(x)=ax
2
+bx+c, 并绘制出它的图像。
4acb
2
b
(4)计算出

和的值, 分别以它们的值为横坐标和纵坐标绘制点,即抛物线
2a
4a
的顶点； 再过这一点作x轴的垂线，即抛物线的对称轴，如图（1）。


图1
通过这个探索抛物线图象性质的课件，可以让学生在课堂上自己来操作, 学生移
动垂线段a、b、c的终点改变参数a、b、c的大小, 在改变的过程中观察并记录抛物
线的变化情况, 最后由教师带领学生总结归纳出最终结果，这样这堂课 既有学生的参
与又可以通过动态的图像、数形结合使学生获得更深刻的记忆与理解。

2.3立体图形清晰直观

几何画板具有平移、旋转、放缩对象，以及慢镜头的分解动作等功能，可以化抽象为
具体, 化复杂为简单, 化隐形为显形, 从而达到拓宽思维角度, 降低思维坡度, 化解
教学难点, 突出教学重点的目的。在数学中所涉及的立体几何知识，由于教学工具的
5

条件限制，不仅教师在教学时头疼，学生在学习时也很费力。而如今我们可以借助几
何画板形象 的展现几何体的构成，以点带动线、线带动面出发，实现面的展开问题，
从而把立体图形转变成平面图形 ，让学生在观察、探究和交流的过程中轻松地学会知
识，同时培养学生的空间想象能力，避免了因为老师 的表述不到位、学生的想象力不
够而导致立体几何这部分内容成为大家的知识盲点。
例如长方体的截面是重点又是难点。在讲解长方形的截面时，图形比较复杂，
老师直接在黑板上画不准确 、线条多，学生观察图像特别不方便，对于想象力不够丰
富的同学学习起来有很大困难。而利用几何画板 可将截面用色彩标注,如图（2)，这样
方便学生观察，更主要的是可以用动态的形式将整个过程展现给 学生。这种教学方式
降低了理解坡度，增强学生的空间想象能力，形成空间观念。


图2

3几何画板与学生自主学习案例整合

学生自主学习的本质是将科学领域的研究方式引入到中学教学中, 让学生模拟
科学研究的方式进行实践学习， 根据事实论据形成对问题的认识, 选择工具, 及时做
出问题的科学解决方案。几何画板的精髓就在于图像在运动中保持给定的几何性质,
这就为探究提供了有力工具。用几何画板构建问题情境, 让学生根据所学的知识对现
实问题作科学的判断, 制定解决方案。 下面给出两个实例让学生自己建立模型并解
决问题。


6

3.1三角函数图像变换案例设计

案例一:在研究 函数
yAsin


x


的图像时，老师 可以组织学生进行自主探
究,观察解析式中当参数
A、

、

变化时对函数图像的形状和位置的影响。探究如何
由正弦曲线
ysinx
经过图像 变换得到函数
yAsin


x


图像。
通过学生对问题的自主探究,可以培养学生运用现代信息技术进行动手实践的能
力,及 培养学生团结协作共同分析问题、解决问题的能力,在对问题逐步深入的研究中
唤起学生对数学知识的渴 求,学会数形结合的思想方法，激发学生学习的兴趣和积极
性。
[实验准备]
(1)给网络教室的每台计算机安装几何画板软件。
(2)每个学生分配一台计算机,六人一组.成一个合作学习小组。
[实验过程]
(l)探究函数
yAsin


x


参数< br>A、

、

对函数图像的影响。利用儿何画板软
1
2
1
3
件在同一个坐标系中做出
ysinx
，
y2sin x,y3sinx
，
ysinx,ysinx
的函数图像（图3）,对各函数图 像进行观察比较，思考参数A的变化对函数图像有
什么影响?


图3


7

学生得出的结论:通过在 同一个坐标系中对上述各个函数图像的观察,发现随着参
数A的改变,正弦曲线
ysinx< br>变换到函数
yAsinx
的过程中，图像上所有点的
横坐标不变,只是纵坐标 伸长(A>l)或缩短(O(2)利用几何画板软件在同一个坐标系中做出
ysxi,
y
n
s2ix
,
nysin3x
,
ysin
行观察比较，思考参考数
xx
,
ysin
的 函数图像（图4），对各函数图像进
23

的变化对函数图像有什么影响？


图4

学生得出的结论: 通过在同一个坐标系中对上述各个函数的观察,发现随着参数

的改变,正弦曲线
y sinx
变换到函数
ysin

x
的过程,图像上所有点的纵坐标
不变,只是横坐标伸长(0<

<1)或缩短(

>l)为原来的< br>利用几何画板软件在同一
1

个
倍。
坐标系中做出








ysinx ,ysin

x

,ysin

x
,ysin

x

,ysin

x

的函数图像(图5),
3

4

3

4< br>
对各函数图像进行观察和比较,思考参数

的变化对函数图像有什么 影响?
8

图5

学生得出的结论:通过在同一个坐标系中对上述各个函数图像的观察,发现随着 参数

的改变,正弦曲线
ysinx
变换到函数y=sin(x+

)的过程中,图像上所有的点向左(

>0)
或向右(

<0)平移了

个单位。


(2)探究如何由正弦曲线
ysinx
经过图像变换得到函数
y2sin

3x
的图像。学
4

生在操作过程中出现多种不同的变换方法,在这里列举其中的两 种:
方法l:
先将函数
ysinx
的图像向左平移



个单位,得到函数
ysin

x

的 图像；
4
4

1


将函数
y sin

x

图像上的点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍，得到函数< br>3
4



ysin

3x

的图像;
4



将函数
ysin

3x

图像的点横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,即可得到函4



数
y2sin

3x

的图像。
4


9

方法2:
先将函数
ysinx
图像上的点横坐标不变,纵坐标伸长为原 来的2倍,得到函数
y2sinx
的图像。
1
将函数
y2s inx
图像上的点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
倍,即可得到函数
3
y 2sin3x
的图像;
将函数
y2sin3x
的图像向左平移



个单位,得到函数
y2sin

3x

的图像。
12
4

(3)总结由正弦曲线
ysin x
经过图像变换得到函数
yAsin


x


的图像有几种办
法可以实现,具体步骤如何?
学生归纳总结:函数
yA sin


x


的图像可以由正弦曲线
ys inx
经过图像变换而
得到,每次变换可以改变
A、

、

三个参数中的一个,根据变换的顺序不同,可以有6
种变换的方式。
(4)思考如何 由余弦曲线
ycosx
经过图像变换得到函数
yAcos

< br>x


的图像?由
正弦曲线
ysinx
经过图像 变换能否得到函数
yAcos


x


的图 像?如果可以,应
该怎样实现?
学生探究得出的结论:
1、余弦曲线
y cosx
经过图像变换得到函数
yAcos


x
< br>
的图像的方法与正弦曲
线
ysinx
经过图像变换得到函数
yAsin


x


的图像完全一致。
2、因为正弦曲线
ysinx
与余弦曲线
ycosx
曲线的形状完全一样 ,因此可以由正弦
曲线
ysinx
经过图像变换得到函数
yAcos

x


的图像,只需先将正弦曲线
ysinx
向左平移

个单位得到余弦曲线
ycosx
,然后按照1的做法即 可.
2
(5)各小组之间交流各自的结论。


10

3.2 函数交点问题案例设计
案例二:在教学中, 我们经常遇到求两个函数的交点个数或一个函数的零点个数等问
题, 而这些函数中常常含有指数函数、幂函数 、对数函数,而这些函数学生和老师们
无法用笔做出精确地图像， 若能巧妙地利用几何画板进行探求, 就能顺利获解. 例如
在求解函数
ya
x
与
yx
a(a>0且a≠1)的图像在
x0
时交点的个数时，利用几何画板
就能让学生对 这类问题进行自主探究。
[实验准备]
(1)给网络教室的每台计算机安装几何画板软件。
(2)每个学生分配一台计算机,六人一组.成一个合作学习小组。
[实验过程]
（一）探究函数
y2
x
与
yx
2
的图象在 x > 0 时有几个交点?
许多学生往往根据自己所画的局部图象, 错误地认为两个函数只有一个交点，其实利
用几何画板画出两函数的图象容易发现有两个交点, 但是两个交点不十分明显。
具体做法：
由函数零点的知识, 利用几何画板画出函数
y2
x
x
2
的图象, 在x正半轴上的两个
交点就十分明显, 横坐标分别为2和4(图6)


图6

可见函数
y2
x
与
yx
2的图象在x>0时有两个交点, 坐标为(2，4) 、( 4, 16) 。（二）
思考一般的函 数
ya
x
与
yx
a
(a>0且a≠1)的图像在
x0
时有几个交点 ？
11

（1）利用函数零点 的知识和几何画板探求函数
f

x

a
x
x< br>a
与 x 轴的交点个数的
变化规律。
具体做法：
度量点 A 的坐标, 绘制函数
f

x



x
A< br>
x
x
x
A
的图象；
拉动点 A 的位置, 观察两函数图象的交点的个数的变化规律。
学生得出结论：
(ⅰ)当0<
x
A
< 1时,函数
f

x



x
A

x
x
x
A
的图象与x轴只有一个交点（图7）


图7 图8










图9 图10
(ⅱ) 当
x
A
>
x
1 时, 存在一个常数 m ≈2.72 ,使得当
x
A
= 2.72时函数
f

x



x
A

x
x
A
的图象与x轴只有一个公共点(图8) 并且当
x
A
> 2 .72或1<
A
<
12
x

2. 72时, 函数
f

x



x
A

x
x
x
A
的图象与 x 轴都有两个交点(图9、10)
（2）利用方程的观点探求交点个数的变化规律。
具体做法：
设
ax
x
a
，由于
x0
，等式两边取对数得
度量点A 的坐标, 绘制函数
f

x


1
xloga
x

a
x
log
x
A
x
的图象;
x
A
x
log
x
A
x
图象与轴的交点的个数的变化规x
A
拉动点A的位置, 观察函数
f

x


律。
学生得出结论：函数< br>f

x


x
x
log
x
A
x
图象与轴的交点的个数的变化规律同上，这
x
A
x
里 只画出 a= 2. 72 时的图象（图11）。


图11

（三）我们知道a=2.72只是一个近似值能否进一步知道其准确值？并对 上述观察得
到的结论给予证明。
学生得出结论：由图8可知, 函数
f

x

a
x
x
a
与 x 轴相切于一点(
x
1
,0) , 所以 f
(
x
1
a
) =
a
x
1
x
1
0
即
a
x< br>1
x
1
；又
f'

x

a< br>x
lnaax
a1
，所以
a
a1
f'

x
1

a
x
1
lnx
1
a x
1
0
; 把式代入式得
x
1

a
a
，得
ae
。 由作图中
lna
的 a≈2. 72 让人联想到关于 a 的方程的根是否会是 a = e? 容易验证得 a= e 就是方
13

程③的根, 这时
x
1
= e与作图的结果一致。
(四)各小组之间交流各自的结论并做出总结：
(ⅰ) 当0< a< 1 时, 函数
ya
x
与
yx
a
的图象只有一个交点;
(ⅱ) a= e时, 两函数只有一个公共点,且公共点的横坐标为 e
(ⅲ) 当 a> e 或 1< a < e时, 两函数的图象有两个交点。

4对几何画板与学生自主学习整合的几点思考

几何画板不仅给数学教学带来了新型的 教学模式，而且能帮助学生理解数学概
念、解决数学问题，探索数学知识，因此它给使用者带来了很大便 利，但在教学中还
是有很多值得我们注意的地方。
学生利用几何画板进行自主学习时，教师主 要充当方法指导者的角色，从理论上
和实践上向学生讲解得出结论的方法。具体做法如下：在教师恰当的 启发诱导下，学
生通过自己动手实验并对整个实验过程和结果进行分析，从而得出结论。在这一过程中，教师应将时间和空间让给学生，让学生充分思考并能够经历观察、实验、猜测、
验证、推理、计 算、证明的过程，在几何画板探究学习的过程中，教师不再作为知识
的权威将预先整理的知识系统传递给 学生，而是引导学生探究知识的形成过程。 但
作为教师始终要明确教师的板书演讲、解释传授知识是不 可缺少的，几何画板教学无
法代替教师与学生之间情感的交流，过分的强调几何画板的使用而忽视传统教 育会走
入另一个极端。毕竟，学生利用几何画板进行自主学习中缺少深层次的思维参与,没
有从 思维方法上得到训练和发展,只是简单的用画板解决了相关问题。例如一些求轨
迹的题目, 学生所做的 探索可能就是点击追踪或轨迹操作,可是看到轨迹形成并不算
解决了问题。如果长期使用画板做这样的操 作和探索, 数学教学的意义将被颠倒。
总而言之，利用几何画板进行操作和探索, 应该把培养学生思维和数学能力放在
首位, 几何画板可以成为帮助学生分析问题、探索问题和验证结论的工具但不可以成
为长期解决问题的工具。

5结论

14

信息技术的飞速发展,社会的不断进步,要求学校教育走在发 展的最前端,学校教
育的发展又要求教师更新教学手段和教育观念。为了适应社会发展的需要,教师需要
合理高效的把信息技术运用到教学中来。开展以几何画板为平台的数学教学，充分发
挥信息技术 在学生自主学习、主动探索、合作交流等方面优势的重要方式。对学生而
言几何画板是发现知识、探究知 识的有力工具,有利于培养他们发现问题、解决问题
的能力。信息技术以其特有的优势给教学工作带来了 极大便利。但是,我们不能盲目
的使用信息技术,用它来取代教师在教学活动中的地位。教学活动的核心 ,是师生之间
的情感互动交流过程,这个过程是信息技术无法取代的。因此,积极探索信息技术与数学教学平衡点,使信息技术更好,更高效地服务于数学教学,才是广大教师应努力的方
向。我坚信通 过广大教师和学生的共同努力,几何画板将成为教师教学和学生学习的
得力的助手。













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