大国工匠观后感-婚庆主持词

抛物线焦点性质的探索（说课）
高中新教材（试验修订本·必修）数学第二册（上）抛物线的习题课

1 教材分析
1、1 教材的地位与作用
“抛物线焦点的性质”是抛物线的重要性质之一，它是在学生学 习抛物线的
一般性质的基础上，学习和研究的抛物线有关问题的基本工具之一；本节教材对
于培 养学生观察、猜想、概括能力和逻辑推理能力具有重要的意义。
1、2 教学目的
全日制普 通高级中学《数学教学大纲》第22页“重视现代教育技术的运用”
中明确提出：在数学教学过程中，应 有意识地利用计算机网络等现代信息技术，
认识计算机的智能图形、快速计算、机器证明、自动求解及人 机交互等功能在数
学教学中的巨大潜力，努力探索在现代信息技术支持下的教学方法、教学模式。
设计和组织能吸引学生积极参与的数学活动，支持和鼓励学生运用信息技术学习
数学、开展课题研究， 改进学习方式，提高学生的自主学习能力和创新意识。因
此本人在现行高中新教材（试验修订本·必修） 数学第二册（上）抛物线这一节
内容为背景材料，以多媒体网络教室为场地，以《几何画板》为教学工具 与学习
工具，设计了一堂《抛物线焦点性质的探索》，具体目标如下：
（1） 知识目标：了 解焦点的有关性质；并掌握这些性质的证明方法；体会数
形结合思想与分类讨论思想在解决解析几何题中 的指导作用
（2） 能力目标：使学生学会研究数学问题的基本过程，能够根据条件建立恰
当 的数学模型；培养辩证唯物主义思想和辩证思维能力（主要包括量变
与质变，常量与变量，运动与静止） 培养学生通过计算机来自主学习的

能力与创新的能力。
（3） 情感目标：培 养学生不畏困难，勇于钻研、探索、大胆创新的精神，在
挫折中成长锻炼，培养学生良好的心理素质和抗 挫折能力，通过抛物线
焦点性质的探索及证明，使学生得到数学美和创造美的享受。
1、3 教学内容、重点、难点及关键
本节安排两节课，第一节课：主要内容是利用《几何画板》探索抛物线的 有
关性质；第二节课：证明第一节所得到的有关性质。
重点：（1）如何利用《几何画板》探索、发现抛物线焦点的性质；（2）如何
证明这些性质。
难点；（1）如何利用《几何画板》探索、发现抛物线焦点的性质；（2）如何
证明这些性质。
2 教学策略及教法设计
学生在网络教室（每人一机），其中装有《几何画板》软件及上课 系统，每
个学生的窗口，其他学生及教师都可以通过教师机切换，从而和其他学生交流，
也可以 通过网上论坛交流研究结果。
3 网络教学环境设计
学生在网络教室（每人一机）中有几 何画板软件，学生通过教师提供的网
络课件，自已阅读，下载有关课件，利用《几何画板》的操作、试验 、猜想，通
过自已的研究获得结论，并互相讨论观察到的现象、交流研究结果。
4 教学过程设计
4．1 使学生学会研究数学问题的基本过程，能够根据条件建立恰当的数学模型
问题1 回顾一下抛物线的定义，并根据抛物线的定义思考用《几何画板》

如何作出焦点在x轴上的抛物线图象。
由于创设了一个创作的《几何画板》的窗口及网络窗 口，学生通过网络学习，
得到以上问题的多种作法，以下就其中的一种作法作为探索、研究抛物线焦点性
质的基本图形。具体作法如下：
（1）在x轴上任取一点，标记为F（作为焦点）
（2）作出点F关于y轴的对称点
F
1
，并过
F
1
作x轴的
垂线，
标记为
l
（作为准线）
（3）在
l
上任取一点E，过点E作
l
的垂线
m
；
（4）连结EF，并作线段EF的中垂线与
m
相交于点A；
（5）生成点A的轨迹（即抛物线
y
2
2px
的图象如右图）
（
说明：将以上创作的作品，以下记作学件1-----学生制作的课件
）-

设置意图：以上过程通过创设了学生学习与创作的《几何画板》窗口与网络窗口，
在《几何画板 》这个窗口中学生轻易地建立了一个研究数学问题的几何模型，培
养了学生的动手能力，激法了学生学习 的兴趣，吸引学生积极参与数学活动。
4．2 利用《几何画板》作图的特点，培养学生试验、猜想的合理思维能力
在完成学件1的基础 上，根据《几何画板》不能直接作出直线与轨迹的交
点的前提下，提出以下问题。
（请下载课件 2----教师自制课件，研究问题2）

问题2 设点A是抛物线上任一点，请作出过焦点F的弦AB与抛物线的另
一个交点B。
师：当AB垂直于x轴时。点B可能有哪些特征能否应用它来解决这个问题
生1：当AB为通径时，发 现点A与点B和它们在准线上的射影
A
1
、
B
1
组成一

个矩形且原点O是对称中心，所以先作出点A在准线上的射影
A
1
，然后作出点
A
1
关
于x轴的对称点
B
1
，再过点
B
1
作准线的垂线与抛物线的交点B。
（具体操作由学
生通过《几何画板》的作图功能来实现）

师：请拖动点A在抛物线上运动来验证一下，是否成立，发现不成功。
生2：当AB为通径时 ，发现点A在准线上的射影
A
1
、O、B三点在一直线上，
因此只要作出直线
A
1
O
与直线AB的交点，
师：拖动点A在抛物线上运动来验证一下，结果成功了。

设置意图： 从以 上的探索过程让学生体会到数学知识发现的一般过程：“数
学事实首先是被猜想，然后是被证实”，即数 学知识的发现是在不断的合情猜想下，
借助数学软件自已独立验证或否定猜想，最后再给出严格的证明。 猜想正是数学
发现与创造的第一步，这一教学流程中数学软件不仅成为教师的教学习工具，又
成 为学生学习的工具，并且让学生感到探索的无限乐趣，由此可见《几何画板》
为学生探索、研究数学知识 提供了一片广阔的天空，为培养学生合理思维能力创
造一个理想的窗口。
4．3 利用《几何画板》探索创造性的解题方法，培养学生的创新能力
问题3 ：（1）抛物线
y
2
2x
上离焦点最近的点是 。
（2）抛物线
y
2
2x
上离点H（a ，0）最近的点恰好是顶点O的a
的范围

（请下载课件3----教师自制课件，研究问题3）

教师启发：当点H （a，0）在x轴的负半轴上时，满足条件；当点H（a，0）
在x的正半轴上离焦点较远时，明显发现 不是顶点O离点H（a，0）最近。在存在
与不存在之间必存在一个临界点，请同学探索出这个临界点的 位置

学生1：设抛物线
y
2
2x
上任一点
A(x,y)
，作出线段AH，并用《几何画板》中度
量功能度量出线段AH的长，同时度量 出线段OH的长，将线段AH的长与线段OH
的长作差的，并拖动点A在抛物线
y
2< br>2x
上滑动，观察差的值均大于等于0的点
H是满足条件的点，然后不断地调整点H在 x轴上的位置，最后发现当点H在x
正半轴上离原点的距离正好是1的点是临界点。
教师：从以上的探索过程，你能归纳出其中所隐含的数学方法吗
学生2：从以上的操作过程得 数量关系：
|AH||OH|
（当且仅当点A与点O重合取
到“=”），
即
|AH|
min
a
（当且仅当x=0取到最小值a）。进一步得以下解法 ：
解：
|AH|
2
(xa)
2
y
2
x
2
2axa
2
y
2
，
因为y
2
2x

即
|AH|
2
x
2
2(a1)xa
2
又因为
x0
，
所以，若
a10
，即
a1< br>，当
x0
时，
|AH|
2
min
a
2< br>，即
|AH|
min
|a|

1
若
a10
，即
a1
，
|AH|
2
x
2
1
，当
x0
时，
|AH|
若
a10
，即
a1
，当
xa10
时，
|AH|
故a的范围为
a1

教师：是否还有其它的解决方法（几分钟后）
学生3：（如右图
学件2-----学生制作的课件
）以点H
为圆心，|OH |长为半径作圆H，拖动点H在x轴上滑动，
使得抛物线全在圆H以外的点H的范围即为所求。
教师：谁能从中归纳出解题方法数分种后，没有人能解决。
min
min
2a1

教师：从以上的操作过程得位置关系：抛 物线上的点均在圆H以外，转化为数量
关系：
|AH||OH|
对于抛物线上任一点 A都成立，即
(xa)
2
y
2
a
2
对于抛物 线

上任一点A都成立。又因为
y
2
2x
，所以x
2
2axa
2
2xa
2
在
x[0 ,)
上恒成
立。即
x
2
(2a2)x0
在
x[0,)
上恒成立，所以
x(2a2)0
在
x[0, )
上恒
成立，故
2a2x
在
x[0,)
上恒成立 ，所以
a1
。
设置意图：以上教学中，教师的角色由教学内容的灌输者转变为给学 生提供
学习工具和学习材料的服务者，这为学生通过自已的独立自主的探索而获得知识
创造一个 自由、广阔的天空；学生由原来的“学习数学”转变为“研究数学”，从
学习者到研究者的变化，完全改 进学习方式，提高学生的自主学习能力和创新意
识。
3．4 利用《几何画板》培养辩证唯物主义思想和辩证思维能力
辩证唯物主义告诉我们，现实世界静止是相对 的，运动是绝对的。二十一
世纪的几何是动态的几何，主要研究图形在变化运动过程中点、线等基本元素 之
间的位置与数量关系。
教师导：从上面问题3的探索过程，我们发现在特殊状态下发现的结 论有些是正
确，有些是不正确的。但是它为我们探索正确的方法提供了思路与方向，然后我
们应 用《几何画板》的作图、动态、度量等功能轻而易举地验证了我们的猜想。
所以在解析几何中要充分利用 变与不变；量变与质变；特殊与一般等辩证关系来
指导我们解题。请同学们解决下面问题4（
请 下载课件4----教师自制课件，研究
问题4）
。
问题4 ：AB是抛物线
y
2
2px
过焦点F的弦，M是AB
的中点，
l
是抛物 线的准线，
MNl
，N为垂足。在不增加条件，
但可以设交点及连线的前提下，探索 在以下几个方面的有关性
质：（1）最值；（2）不变位置关系；（3）相等的数量关系。