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谈几何画板探究《一次函数与一元一次不等式的关系》

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杨宏煜
甘肃省金昌市金川区金川公司五中
正文


几何画板 是现代信息技术与课程整合的一项杰出创作．应用几何画板可以提高几何
教学的直观性和准确性，弥补了 传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，
让学生更深刻体会到几何
“
动
”
的一面．从而达到改进部分章节的教学方法和教学手段的目的，
更好地提高课堂效率 的作用．下面就通过一节课的学习来说明一下。

学习内容：

新人教版数学八年级上册第十四章第三节第一课时

学习目标：

１
.
通过作图和观察，从
“
形
”
的角度了解一次方程（组）、 一元一次不等式与一次函数之
间的内在联系；掌握用函数图象法解一元一次不等式或一元一次不等式组的 方法。

２
.
经历构建函数解析式的数学建模过程，探究解题思路，提高自己 灵活应用数学知识
解决实际问题的能力。

３
.
经历自主研究方程、 不等式、函数三者关系的过程，逐步形成化归、数形结合等重
要数学思想，提高自己的数学思维品质。< br>
学习重点：

掌握用图象法解一次不等式（组）的方法

学习难点：

方程、不等式和函数之间关系的正确理解及灵活应用

导学过程：

一、课前预习

温故知新

1.
一次函数
y=x+1
的图象是一条

，它与
x
轴的交点坐标是

，当
y=3
时，所对应
的
x
的值是

；当
x=3
时，
y=
。

第 1 页

【思考】你是用什么方法得到上述答案的？

2.
请你画出函数
y=2x-5
的图像，观察图像并回答下列问题：

教师打开几何画板启动绘制函数功能画出函数
y=2x-5
的图像如图所示：



①

x
取何值时，
y=0
？

【点拨】观察图像：当
y=0
时所对应的
x
的值，即是图像与
x
轴的交点的横坐标。

②

x
取何值时，
y
＞
0
？

【点拨】观察图 像：当
y
＞
0
时，图象在
x
轴的

方，图象上每一点所对应的
x
的值都
满足条件，且都在图象与
x
轴交 点的

侧，所以对应的
x
的取值范围是

。

③

x
取何值时，
y
＜
0
？

【回答】
y
＜
0
时，图象在
x
轴的

方，图象上每一点所对应的
x
的值都满足条件，且
都在图象与
x轴交点的

侧，所以对应的
x
的取值范围是

。

④x
取何值时，
y=3
？
y
＜
3
？
y
＞
3
？

【顺势设问】当
y=3
表示的是一条经过（

）且与
x
轴

的直线，看图：教师现场画
图：

第 2 页

y =3
时

。

y
＜
3
时

。

y
＞
3
时

。

【设计意图】面向全体，多设台阶，降低难度，形成
“
形
”“
数
”
互化意识，为以下自主探
究打好基础。其中的第
④
问是为研究两个函数之间的关系做铺垫。

【思考】你能否将上述
“
关于函 数的问题
”
转化为
“
关于
x
的方程或不等式的问题
”
？

【点拨】因为
y=2x-5
，所以可以将问题中的
y
用

来代替，将问题转化为：

①x
取何值时，
=0
？

②x
取何值时，

＜
0
？

③x
取何值时，

＜
0
？

④x
取何值时，
=3
？

第 3 页

⑤
x
取何值时，

＜
3
？

⑥
x
取何值时，

＞
3
？
< br>【反思】原题
“
关于一次函数自变量的取值问题
”
可以变成
“
关于解
x
的

和的问题
”
，完
成了从

到

的转化，达到了化未知为已知的目的。更主要的是把
“
形
”
的问题转 化成
了

的问题来研究，使结果更加

。

二、展示交流

深入探究

【思考】通过上 述预习，你能说出一元一次不等式（方程）和一次函数之间的联系吗？
（请先在小组内交流讨论，每组推 荐一名代表发言。）

【点拨】反过来，你能否将
“
一元一次不等式问题”
转化为
“
一次函数问题
”
来加以解决呢？

【设计意图】集思广益，理清知识脉络；明确内在联系，形成解题思路。

【技能训练】

1
、

如果
y=
﹣2x-5
，那么当
x
取何值时，
y
＞
0
？
（解答此题，你有几种方法？）

【点拨】
①
将函数问题转化为不等式问题，即要直接解不等式

。

②
将此函数求值问题
“
形化
”
，与它的图象联系起来，即转化为

。

③
你能用
“
图象法
”
解不等式﹣
2x-5
＞
0
吗？（和同桌说说你的解题思路）

【归纳】从以上探究我们知道，运用函数图象来解不等式，首先要

运用解不等式
来研究函数问题，就是要

，两者可以互相转化。但都有一定的局限性：

，在研究
问题时可以互相补充。

【设计意图】用不同解法去体验不等式、函 数、方程之间的密切联系，明白它们是从
不同角度刻画同一运动变化过程中两个变量之间的对应关系的数 学模型，是一个无法截然
割裂的有机整体。为内化知识，形成技能做准备。

１
.
已知：
y
1=
3
，
y
2=
－
x+3
，当
x
取何值时，
y
1
＞
y
2？

２
.
已知：
y
1
=
－
x +3
，
y
2
=3x
－
4
当
x
取 何值时，
y
1
＞
y
2
？

当
x< br>取何值时，
y
1
＜
y
2
？（请你在
2
、
3
题中任选一题用一种方法完成。）

第 4 页

（完成后在组内交流，看共有几种不同解法，推荐代表在黑板上展示）

３
.
你能用几种不同方法解不等式
5x+6>3x+10
？


【设计意图】环环相扣，一步一台阶，层层深入；关注差异，分层要求。

三、当堂训练

学以致用

【例2】用函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．
【教师活动】操作投影仪，显示例2，激发思考．
【学生活动】小组合作讨论，运用两种思维方法解决例2问题．
解法1：原不等式化为3x-6<0， 用几何画板画出直线y=3x-6（图1），可以看出，当x<2
时，这条直线上的点在x轴的下方，即 这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2．

第 5 页

解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y= 5x+4与直线y=2x+10
（图2），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个 x，直线y=5x+4上的
点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以 不等式的解集为x<2．

【评析】两种解法都把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．
【讨论】在研究两个函数之间的数 量关系时，如何才能做到
“
形
”
与
“
数
”
的有机结合？

【设计意图】养成反思习惯，交流突破难点的策略，提高解决问题能力。

四、自我检测

查漏补缺

1.
作出函数
y1
=2x
－
4
与
y
2
=
－
2 x+8
的图象，观察图象并回答

①x
为何值时，
2x
－
4
＞
0
②x
为何值时，－
2x+8
＞
0
③x
为何值时，
2x
－
4
＞
0
与－
2x+8
＞
0
同时成立？

④
你能求出函数
y
1
=2x
－
4
，
y
2
=
－
2x+8
的图象与
x
轴所围成的三角形的面积吗？并写
出过程。

2.
某种肥皂零售 价每块
2
元，如果购买
2
块以上（包括
2
块），商场将实行 两种优惠方案：
①
其中一块肥皂按原价的
7
折销售，其余按原价；
②
所买肥皂全部按原价的
8
折销售。那
第 6 页

么购买多少块肥皂的情况下，第一种方案比较合算呢？

五、总结归纳

反思提高

1.
本节课我最大的收获是

。

2.
我未解决的问题还有

。

3.
我还想知道的是

。

【设计意图】整理巩固、互通有无、发现问题、升华思维、反馈学情。

六、课后作业

拓展延伸

1.
某商场计划投入一笔资金 采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可
获利
15%
，并可用本和利 再投资其他商品，到月末又可获利
10%
；如果月末出售可获利
30%
，但要付出仓储费用
700
元
.
请问根据商场的资金状况，如何购销获利较 多？

2.
某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用 ，那么服
药后
2
小时时血液中含药量最高，达每毫升
6
微克（
1
微克
=10
－
3
毫克），接着逐步衰减，
10
小时时血液中含药量为每毫升
3
毫克，每毫升血液中含药量
y
（微克），随着 时间
x
（小时）
的变化如图所示（成人按规定服药后）
.
①
分别求出
x≤2
和
x≥2
时，
y
与
x
之 间的函数关系式；

②
根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为
4
微克或
4
微克以上，在治疗疾病时是
有效的，那么这个有效时间是多少？

设计思想
:

采取学案引导，自主探究、合作交流为主的学习方式，关注学生 自学能力培养；分散
难点，突出重点，融知识技能于实际问题情境，迁移渗透数学思想方法，关注学生数 学思
维能力培养；巧降难度多铺台阶，多元标准分层评价，通过几何画板这个画函数的平台进
一 步激发学生探究问题的兴趣，关注学生个性发展的需求。


一点感受

学无定法，教同样也无定法．我们应该在平时的教学中不断地钻研教材，力求以最简
洁，最高效 的方法进行有效地教学．新课改在对课程改革的同时也带动了教学方法和教学
手段的不断创新．因此，我 们应该抓住这样的时机，除了关注课程和课堂教学改革的同时，
第 7 页

也寻求一些更能提高课堂效率的教学手段的更新．将多媒体辅助教学的方法真 正落到实处，
不仅做到辅助教学，还要真正做到能促进教学．


第 8 页