2020年高考时间-湖南招生信息港

精品文档
用《几何画板》探究点的轨迹:圆
一、教学背景分析
（1）知识背景与学生学情分析
①本课是在学生学习了“直线与方程”、“圆与方程”这两章课本知识 后，基
于对曲线与方程有了较好的理解和掌握的前提下，教材安排的一节“信息技术应
用”课程 ．
②在当今时代，计算机已经走进了学生们的日常生活，走进了课堂，学生普
遍都具备了一定 的计算机和信息技术知识，而且他们对计算机和计算机软件也有
较熟练的操作能力．
（2）新教材特色分析
我们现行的教材，基本都是新课标颁布实施以后的新编版本，在这套《 普通
高中课程标准实验教科书 数学》教材中，课本在形式上改进了前一套教材中的
相应版块， 增设了新的“信息技术应用”材料和内容，便于让数学的教与学贴近
生活、贴近现实，增强学以致用、强 化体验等新课程理念，顺应素质教育的要求．我
今天选说的“用《几何画板》探究点的轨迹:圆”，就是 必修②第四章139页的“信
息技术应用”课题．
（3）探究性学习的需求分析
① 时代在进步，科技在提高，学生的学习方式也顺应着教学改革不断完善，
向着多样化、自主性、探究式的 方向转变．所以新教材有新创意，体现着时代特
征，是对传统教学的不断改进，值得我们响应与附和．
②利用计算机解决学科问题，特别是数学问题，早就是学生司空见惯、耳闻
目睹的事情，面对陌 生的数学问题或陌生的计算机软件，学生在心理上并没有恐
惧感，相反，在老师的推荐、带动和指导下， 还容易激发他们的好奇心和求新欲
望，甚至激发他们热衷于对计算机软件的尝试和探究的潜能．
因此，课本设置这样的一节课，不仅是要增强学生掌握现代信息技术的意识，
也是在强化对新课程理念 的导向，更是对我们教师自身学习与探究能力的挑战、
检验与鞭策．这样一节课，我喜欢！
二、教学目标的设计与实现
（1）知识定位：借助《几何画板》来探究有关圆的轨迹问题，从新的视角审
精品文档

精品文档
视轨迹问题的本质；认识圆的几何属性在探究过程中的完美运用．
（2）能力定位：让学生从认识

了解

会用《几何画板》的一些基 本功能，
提升学生信息技术的实践能力，加强新时代背景下学生信息技术的基本功；培养
学生利 用计算机软件来探究、展示或拓展数学知识，开阔视野，激发创新潜能．
（3）情感导向：简单的操练平台，简单的操作软件，让学生体验“过把瘾”；
把知识教给学生，把能力传授给学生；投其所好，实施快乐教学，实现愉悦学习；
师生共同提高，提升“数学”品味．
三、教法与学法
教法：演示法、指导法．
学法：实践法、探究法（“动手”学习，亲历体验）．
四、课程运作
（1）《几何画板》的搜索、下载和安装，快乐与好奇的开始．
（2）基本操作入门．在阅读课本对《几何画板》的介绍过程中，初步了解这
个软件的基本信息与功能．
（3）实例演练：
1
【例】已知点
P(2，，0)Q(8，0)
， 点
M
与点
P
的距离是它与点
Q
的距离的，用
5
《几何画板》探究点
M
的轨迹，并给出轨迹的方程．
（1）点拨基本元素的操练：
①怎样让工作窗口显示直角坐标系．
精品文档

精品文档


②如何作出点
P(2，，0)Q(8，0)
．
精品文档

精品文档


精品文档

精品文档


精品文档

精品文档

③用“点工具 ”任作一可移动的点
M
，用“线段直尺工具”将点
M
与点
P、Q
连成线段
MP、MQ
．

④先后选中
MP、MQ
，并“度量”比值
MP:MQ?

精品文档

精品文档

（2）动态演示与作图：
①用鼠标拖着点
M
移动，比值
MP:MQ
变化，当比值显示
0.2< br>时停止，那么
这时的点
M
，就是轨迹上的一点．（采用这个操作，尝试寻找符合 条件的另外一
些点，其间可用键盘上的方向键微调点
M
的位置，使
MP:MQ 0.2
的精度更高）

到此，师生暂停操作，提出问题：这个寻找符点< br>M
的方法，只能找到符合
题意的有限个点，甚至还不是准确位置的点，只是通过这些初级 操作熟悉了《几
精品文档

精品文档
何画板》最基础的几个简单功能．
那么，我们怎样才能用《几何画板》得到符合题意的所有点 ，并得到完整的
轨迹曲线呢？此时，我们还得借助我们掌握的求轨迹的方法（坐标法），先来算
出轨迹方程，再从方程的角度来分析点
M
的轨迹到底是哪类曲线（可能认识，
也可能不 认识！）
7257
经过代数运算，学生得出方程
(x)
2
y< br>2

，表明轨迹是以
(，0)
为圆心、
4164
5< br>r
为半径的圆．
4
②用《几何画板》的“圆工具”，作出所得的圆，要求圆心位置准确、半径
准确．

③将先前探索时所得的点
M
选中，又选中圆周，在菜单“编辑(E)”下点 “合
并点到圆”．
精品文档

精品文档

④用鼠 标拖动点
M
在圆周上运动，观察
MP:MQ
的值，可以看到它已经不
会随点
M
的位置改变而变化了，恒定为
MP:MQ0.2
．由此，我们用《 几何画
板》验证了我们求得的方程对应的曲线（圆）符合题意．

⑤设置动画，让计算机自动演示这个轨迹的形成．选中点
M
，点“编辑(E)” 
“操作类按钮(B)”

“动画(A)…”，打开动画设置窗口，点“确定”按 钮；
在窗口左上角就出现了“动画点”按钮；用鼠标右键点击圆周，在弹出菜单中点
精品文档

精品文档
“隐藏圆(H)”；选中点
M
，在“显示(D)” 下点“追踪点(T)”．这几个动作设置
完后，点“动画点”按钮，即可展示点
M
的轨迹的形成．

这就是 我们今天课程的第一个操作流程（初级操作），下面就要进入第二个
操作流程（中级操作）．
725
通过动画，我们已经看到，满足方程
(x)
2
y
2

的所有点都满足题意
416
1
条件（与点
P
的距离是它 与点
Q
的距离的）；那么，反过来，满足题意条件的
5
所有点是否都在那个圆 上呢？下面，我们让《几何画板》自己来作出轨迹，看是
不是与我们画出的圆一致？
① 以点
P
为圆心，适当长度为半径画出一个圆（把控制点停在
x
轴上，以便于
调整这个圆的大小）．
精品文档

精品文档

② 作圆
P
的任意一条半径
PK
，双击点
P
，然后选中点
K
．在菜单“变换(T)”
下点击“缩放(D)…”，打开“缩放”对话框；在对话框里输入缩放 比例为
5:1
，
点确定，即得到5倍于
PK
长的线段
PR< br>．

③ 采用作“平行四边形”的方法，将线段
PR
“平移”到点< br>Q
处，得线段
QS
；
以点
Q
为圆心、
QS PR5PK
为半径画出圆
Q
．

精品文档

精品文档


④ 若圆
圆P、圆Q
不相交 ，则用鼠标拖动
圆P
的控制点，使得
圆P、圆Q
相交，
点击两圆相交 处，出现交点并命名为
M
，并连接
MP、MQ
．
精品文档

精品文档


1
（提问学生思考：根据作图过程， 判断这个交点
M
满足
MPMQ
吗？）
5
⑤ 选中两圆交点
M
，在“显示”下点“追踪交点”后，用鼠标连续拖动
圆P
< br>的控制点，看到两圆的大小连续变化，点
M
的轨迹呈现．当我们反复多次拖
动控 制点，使得交点的轨迹变得足够密集，就完美显示出了点
M
的轨迹曲线．
精品文档

精品文档

725
⑥ 对比我们画出的圆
(x)
2
y
2

和软件生成的轨迹，发现它们是同一条曲
416
线，这就验证了所求的轨迹是一个圆，方程是
(x1.75)
2
y
2
1.25
2
．

除此之外，我们还可以通过《几何画板》函数作图(圆)的功能，让软件自动
作出轨迹曲线（高级操作）．
① 在“数据(N)”菜单下打开“新建参数(W…)”窗口（或在鼠标右键菜单里点
“新建参数(W…) ”，或用快捷键Shift+Ctrl+P），新建参数“
r1
”．
精品文档

精品文档


② 在“数据(N)”菜单下打开“新建函数(N…)”窗口（或在鼠标右键菜单里点
“新建函数(N…)”，或用快捷键Ctrl+F），新建以下四个函数：
22
“
yr
2
(x2)
2
”、
“
yr
2
(x2)
2
”、
“
y(5r)(x8)
”、

22
“
y(5r)(x8)
”，它们对应于四个半圆．
精品文档

精品文档

③ 选中四个函数表达式，在“绘制 (G)”菜单下打开“绘制新函数(F)…”（或
使用快捷键Ctrl+G），《几何画板》会自动画出 这四个函数的曲线，即圆
(x2)
2
y
2
r
2、
(x8)
2
y
2
(5r)
2
．

④ 选中“
r1
”，用数字“+”、“-”键改变
r
的 值，使
圆P、圆Q
相交，点击相
交处，给生成的交点命名为“
M
”．

精品文档

精品文档

⑤ 选中点
M
，在“显示(D)”菜单下点“追踪交点(T)…”（Ctrl+F）．
⑥ 用数字“+”、“-”键连续减小或增大参数
r
值，即可描出点
M
的轨迹曲线 ．
1
分析这个曲线，可以看出是经过点
(，、，0)(30)
，且关于x
轴对称的一个圆，方程
2
是
(x1.75)
2
y
2
1.25
2
．

到此，用《几何画板》探索点的轨迹 （圆）的演练过程完成，下面同学们独
立或相互合作，探索一下一个简单的轨迹作图：
精品文档

精品文档
【实例】已知原点
O(0，0)
和点
A(10，0)
，过点
O、A
分别作互相垂直的直线
l、l'
，
垂足为
M
．试用几何画板探索点
M
的轨迹曲线，并写出轨 迹方程．
几何关系分析：两条互相垂直的直线，斜率之积为
1
（互为负倒数），故 可将一
条直线（如
l
）的斜率
k
作为参数，建立动态的直线方程．
操作点拨引导：
方法一：
① 作一个
圆O
，在圆周上任取一点< br>P
，作直线
OP
（即
l
）．

② 作点
A(10，
，选中并设置“追踪交点”．
0)
，过
A
作
OP
的垂线
l'
，垂足为“
M
”
精品文档

精品文档

③ 对点
P
设置动画，同时隐藏
圆O
．

④点“动画点”按钮，可自动生成点
M
的轨迹曲线．轨迹方程为
(x5)
2
y
2
5
2
．
精品文档

精品文档

方法二：
① 新建参数
k1
．

1
② 新建函数
ykx
， 新建函数
y(x10)
，并绘制函数图像（直线）．
k
精品文档

精品文档

③ 命名交点（垂足）为“
M
”，选中它并设置“追踪交点”．

④ 连续改变参数
k
的值，画出交点
M
的轨迹曲线；轨迹方程为
(x5)
2
y
2
5
2
．
精品文档

精品文档

精品文档