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用《几何画板》探究点的轨迹：圆
在解析几何中，我们学过到两定点距离之 和为常数的点的轨迹，也学过到两
定点距离之差为常数的点的轨迹，那么还能想到哪些类似的轨迹问题呢 ？自然会
想到，平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹又是什么？这就是文本要探究
的问题 ：阿波罗尼斯圆
一．历史背景
1.
阿波罗尼斯圆简介

阿波罗 尼斯，古希腊人，公元前262年到公元前190年，与阿基米德、欧几
里得齐名，被誉为古希腊三大数 学家。他写的《圆锥曲线论》是一部经典巨著，
代表了当时希腊几何的最高水平，书中详细讨论了圆锥曲 线的各种性质，如切线、
共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，其中阿波罗尼斯圆是他的
论著中一个著名的问题。
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上，且满足PAPB= m， 当
m>0且m≠1时， P点的轨迹是一个圆（当m=1时，点P的轨迹是线段AB的中垂
线），由于这一轨迹是由古希腊数学家 阿波罗尼斯首先发现的，因此这个圆我们
称作阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。
2.几何画板简介
几何画板是美国软件The Geometer’s Sketchpad 的汉化版，发展至今版
本已升级到5.04，是一个很适合用于几何教学和学习的工具软件平台，尤其在
解析几何中大有用武之地，它可以揭示轨迹的形成过程，其精髓是在运动中保持
原有的几何关系 不变，所以被誉为“21世纪的动态几何”。随着信息技术在教育
教学领域的广泛应用，几何画板将会成 为我们数学教师最喜欢的一款教学软件，
也是作为当今一名合格的数学教师的必备条件。
本文，我们将用几何画板这一“动态黑板”来揭示传统教学手段所不能展现
的一个问题 ------阿波罗尼斯圆的轨迹形成过程。
二．与教材的衔接
阿氏圆在高中数学必修课程的数学2 第四章《圆与方程》里，多次出现。
第1次是在必修2课本第124页B组第3题以一道习题的形成呈现的，具
体如下：
3．已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为12，求点M的轨迹方程。
分析：这道题原来是旧教材中圆的方程部分的一道例题，题目很简单。在
给定坐标系里，设点M（x， y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合

OM1

P
< br>M

,


AM2

由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为
x
2
y
2
(x3)
2
y
2

1
,
①
2
将①式两边平方，得

1

x
2
y
2
1
,

22
4
(x3)y
化简得

x
2
y
2
2x30,
②
这就是所求的曲线方程。
把方程②的左边配方，得
(x1)
2
y
2
4

所以方程②的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆。
第2次是在必修2课本第139页信息技术应用 用《几何画板》探究点的
轨迹：圆 中出现。
例.已知点P（2，0），Q（8，0），点M与点P的距离是它与点Q的距离的15，用《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程。
与上面的问题一样，如果是只求方程，可以很容易得到，为
(x1.75)
2y
2
1.25
2
,知点M的轨迹是以（1.75，0）为圆心，1. 25为半径的圆。
但是，如何用几何画板来探究呢？有很多数学老师由于对几何画板软件没
有 接触过，因此对教材中的这一块内容没有利用好，所以也无法体验到阿氏圆轨
迹的动态形成过程。法国著 名数学家笛卡儿曾经说过，“有任何东西比几何图形
更容易印入人脑”。所以说用图形表达事物非常有益 ，而且通过对图形的实际操
作，往往能得到意外的收获。（下文将介绍用几何画板探究阿氏圆的过程）
第3次出现是在必修2课本第144页复习参考题B组第2题
2．已知点M与两个定点
M
1
,M
2
距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并
说明轨 迹是什么图形（考虑
m1和m1两种情形
）。
分析：该问题实际上是对上面两个 具体问题的一般化的扩展，当
m1
时，
轨迹显然是线段
M
1
M
2
的垂直平分线，当
m1
时，轨迹即为阿氏圆。具体求方
程的 过程这里略去。
根据已知条件求曲线的方程，是解析几何的重要任务。上述3个问题中，
这一 点都可以很容易达到，然而由于对几何画板的不精通，却无法从图形的角度
得到进一步的验证，从而达不 到升华，达不到深层次的理解。
三．与高考的衔接
高考往往是源于教材，而又高于教材，下面是2008年江苏省的一道考题。

（2008 江苏13）
13．满足条件
AB
＝2，
AC
＝
2
BC
的三角形
ABC
的面积最大值是 ．
本题是2008年江苏省高考数学第13题，近年来也在全国各地高考模拟试题
中出现，其原解 法如下：本小题考查三角面积公式、余弦定理及函数思想。设

2

BC=x，则
AC2x
，根据面积公式得
S
ABC
< br>11

ABBCsinB2x1cos
2
B
。
22
AB
2
BC
2
AC
2
4x
2
(2x)
2
4x
2

根据余弦定理得
cos B
，代入上式
2ABBC4x4x
得
S
ABC
4 x
2
2
128(x
2
12)
2

x 1()
4x16

2xx2
由三角形三边关系有

222x222


x22x
故当
x23
时，
S
ABC
取得最大值
22
。
事实上，本题目用阿氏 圆很容易得到解决。由条件
“AC＝
2
BC”
知，顶点
C的轨迹是一 个圆，用解析法，建立坐标系后，可求的圆的半径为
22
，即三角
形高的最大值为22
，而底
AB
＝2，所以最大面积为
22
。
本题目 在教材中的原形就是上面的必修2课本第124页B组第3题，然而却
上升到了一定高度。这就要求我们 教师在教学过程中一定要深入挖掘教材。
下面我们就运用几何画板来探究阿氏圆的形成，以及它的圆心和半径又都
跟什么有关系。
四．几何画板探究过程
阿氏圆的形成，用传统的教学手段很难揭示其本质，然而借助几何画板 的
动态演示功能却能直观、形象的达到目的。
下面是用几何画板作阿氏圆的步骤，供几何画板初学者参考：
1.打开几何画板，自动建立一个新绘图，并使文本窗口最大化；
2.按住画板【工具箱】中 的【画线段】工具不放，拖动鼠标到【画直线】处松开，
在绘图区单击鼠标，移动鼠标到另一个位置处， 再单击鼠标，画出直线，并隐藏
控制直线的两点；
3. 按住画板【工具箱】中的【画直线】 工具不放，拖动鼠标到【画线段】处松
开，在直线上（当直线增亮时）单击鼠标，移动鼠标，形成一条线 段CD后单击
鼠标，并隐藏直线；
4. 单击【工具箱】中的【画点】工具，在线段CD上（当线段增亮时）点击鼠标，
作出点E；
5 .同时选中点C和点E，单击【度量】菜单中的【距离】，得度量值CE，用同样
的方法得到度量值ED ，单击【数据】菜单中的【计算】，在弹出的对话框中，依
次单击CE，除号，ED后，点击确定，得度 量值CEED，并标记为m；
6.单击【工具箱】中的【画点】工具，在绘图区点击鼠标，绘制点A， 移动鼠标
到另一个位置处，再点击鼠标，绘制点B；
7.同时选中点A和度量值CE，点击【 构造】菜单中的【以圆心和半径绘圆】，作
出圆
c
1
，选中点B和度量值ED ，用同样的方法，作出圆
c
2
；

3

8. 拖动点D，使两圆处于相交位置时，同时选中圆
c
1
和圆
c< br>2
，单击【构造】菜
单中的【交点】，作出两圆交点P，Q；
9.同时选中点 D和点P，单击【构造】菜单中的【轨迹】，作出点P的轨迹（图
中红色部分），同时选中点D和点Q， 用同样的方法，作出点Q的轨迹（图中蓝
色部分）；
10.如图观察可知，点P和点Q的轨迹合起来，构成的应该是一个圆（图中加粗
部分）。

注：拖动点D，可以保证度量比CEED不变.

























通过几何画板的动态演示，相信大家已经得到了答案，当拖动点D时，交点
P，Q的 运动轨迹形成了一个圆，而在运动过程中，始终保持几何关系“PAPB=m”
不变，这就是阿波罗尼斯 圆的形成过程。那么大家可能会问，阿氏圆作为一个圆，
那么它的圆心和半径分别是什么？又跟哪些量有 关系呢？
通过在几何画板中，对图形实际操作，我们会发现以下三点：
1.阿氏圆的圆心应该在直线AB上；
2.改变两定点A、B间的距离，可发现阿氏圆的大小会随之改变；
3.改变m的值，可发现阿氏圆的大小也会发生变化。
注：拖动点D在线段CE上的位置，可改变m的值

4

以上探究表明，阿氏圆的半径一定跟AB与m的大小有关，那么是什么关系呢？
这就需要继续运 用几何画板这一动态黑板来定量研究。
如下图所示，设阿波罗尼斯圆与直线AB的两个交点从左至右分 别为
P
1
，
P
2
，
P
1
P
2
应为阿氏圆的直径。




在下图中，拖动点D，到如下位置关系（两交点P,Q重合于点
P
2
）：



5

在上图中，
P
2
A
m
①
P
2
B
又
P
2
AP
2
BAB
②
由①和②联立解方程组得，
P
2
A
m
AB

m1
拖动点D，再到如下位置关系（两交点P,Q重合于点
P
1
） ：



6

在上图中，
P
1
A
m
③
P
1
B
又
P
1
BP
1
AAB
④
由③和④解方程组得，
P
1
A
m
AB

1m
2m
AB

2
1m
设阿波罗尼斯圆的半 径为R，则
2RP
1
P
2
P
1
AP
2
A
所以半径
R
m
1m
2
AB
，
这就是半径、m、AB的定性关系，m和AB任一元素的改变都会引起半径的变化。
限于论文的文本形式，无法展现轨迹的动态形成过程，希望各位教师运用
几何画板探究，获得新知,体验 成功的快乐。

7

然而，上述过程仅仅是在几何画板平 台中，通过对实际图形的操作，作出
的猜想，那么这一猜想是否正确呢？我们可以用解析法进一步证实。
证明：以线段
AB
所在直线为x轴，点
A
为坐标原点，建立平面直角 坐标系，
设
ABa
，则
A(0,0),B(a,0)
，设
P(x,y)
，则
PA
m
即
PB

两边平方，整理得

(m
2
1)x
2
(m
2
1)y
2
2am
2
xm
2
a
2
0

由
m1
，配方得
x
2
y
2
(xa)y
22
m

am
2
2
m
2
a
2
2

(x
2
)y
2

2
m1(m1)
am
2
,0)
为圆心，由解析几何知识，我们知道，这个方程表示的正是以
(
2
m1
m
m1
2
AB
为半径的圆。
经过理论推理，我们知道，我们先前的猜想是正确的。
类似地，用《几何画板》 可以探究许多轨迹方面的问题。通过本文探究，我
认为几何画板为我们创造了一个实际“操作”几何图形 的平台，我们可以任意拖
动图形、观察图形、发现结论、得出猜想，这种环境可以启发我们用数学思想方
法验证我们的猜想。我相信，在不久的将来，几何画板将成为中小学数学教师手
中的一件“利器 ”，利用它可以更好地帮助我们教学，使不容易讲清楚的问题在
这个平台上能讲清楚，使黑板上静态的图 形，在这里能够淋漓尽致的得到动态展
现。
在阿波罗尼斯的时代，解析几何创始人笛卡尔还没 有出生，更没有现代化的
信息技术，阿波罗尼斯是如何发现阿氏圆，我们不得而知，只为这位数学家的聪
明才智赞叹不已。


8