中国母亲节的由来-小学总务处工作总结

高等数学与解析几何答案


【篇一：高等数学作业及答案 精品】

设l是一条平面曲线，其上任意一点p(x,y)(x?0)到坐标原点的距离
恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且l过点(1,0).求曲线l所满足
的微分方程.

?y?xy?，y|x?1?0]

uxx

将方程y??cosx?2y?sinx?3ycosx?e化简.[u???4u?e] cosx

2

3．验证由方程y?ln(xy)所确定的函数为微分方程
(xy? x)y???xy??yy??2y??0的解.

2．利用代换y?

微分方程作业2

1．求下列微分方程的通解或特解：

（1）y??ycosx?0；[y??(sinx?c)] （2）(x?1)y??xy，y|x?0?1；

[y?

?x

2?1

2

（3）cosydx?(1?e)sinydy?0，y|x?0?

?

4

2．一曲线上任意一点处的法线都过原点，且点(2,2)在该曲线上，求
这一曲线的方程. 22

[x?y?8]

3．假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的
空气温度之差. 若室温为20c时 ，一物体由100c冷却到60c须经过
20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的1 00c
降低到30c.[60分钟]

微分方程作业3

1．求下列微分方程的通解或特解： （1）y??ycosx?e

sinx

.[cosy?

x

e?1)] 4

000

00

；[y?e

3

sinx

(x?c)]

3

（2）(x?2)y??y?2(x?2)；[y?(x?2)?c(x?2)]

dyysinx1

，y|x???1. [y?(??1?cosx)] ??

dxxxx

2．已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横
坐标，求它的方程. [y?x(1?lnx)]

（3）

3．设可导函数f(x)满足f(x)cosx?2[f(x)?sinx?cosx]

微分方程作业4

1．求下列微分方程的通解或特解： （1）y???4y??0；[y?c1?c2e]
（2）y???6y???13y?0；[y?e

?3x

?

x0

f(t)sintdt?x?1，求f(x).

4x

(c1cos2x?c2sin2x)]

x

x

（3）y???2y???y?0，y|x?0?2，y?|x?0?3. [y?2e?xe]

2．设圆柱形浮筒，直径为0.5m，铅直放在水中，当稍向下压后突
然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s，求浮筒的质量.[约
195kg]

微分方程作业5

1．求下列微分方程的通解或特解：

（1）2y???3y??y?x?6x?4；[y?c1e?c2e

x

2x

2xx2

?x2]

x2

3

（2）y???4y??5y?2e；[y?e(c1cosx?c2sinx)?e] （3）
y???6y??9y?(6x?4)e；[y?e(c1?c2x?2x?x)] （4）
y???y?4xe,y(0)?0,y?(0)?1.[y?(x?x?1)e?e]

x

2

x

?x

3x

3x

2．设函数f(x)连续，且满足f(x)?2ex?[f(x)?cosx?sinx?e]

x

?

x0

tf(t)dt?x?f(t)dt，求f(x).

x

2x

x

3．已知y1?xe?e，y2?xe?e，y3?xe?e

x2xx?x

?e?x是某二阶常系数非齐次线性微

x

分方程的三个解，求此微分方程.[y???y??2y?(1?2x)e]

无穷级数作业1

1．判别下列级数的收敛性：

???

3nn1112（1）?(（2

）?(；（3）?n(1?cos)；（4）?. ?n)；n

(n?1)2n2nn?1n?1n?1n?1

?

11

2．设级数?un的部分和为sn?，求级数的一般项un及和s. ???

n?1n?nn?1

11

[un?；s?ln2] ?

2n?12n

?

3．已知limnun?0，级数

n??

?(n?1)(u

n?1

?

n?1

?un)收敛，证明级数?un也收敛.

n?1

?

无穷级数作业2

1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：

???

cos2n?n?2?

（1）?2；（2）?；（3）；（4）； sinsin??2n

n22nn?1n?1n?12n?3n?1

?

（5

）

n?1

?

?

11

?)；（6）(a?0). ?n

nn?11?a

2．若级数

?a

n?1

?

2

n

及

?b

n?1

?

2n

都收敛，证明级数

?(a

n?1

?

n

?bn)2也收敛.

3．设an?bn?cn，若级数

?

?a

n?1

?

n

及

?c

n?1

?

n

都收敛，证明级数

?b

n?1

?

n

也收敛.

4．判别下列级数的收敛性：

???

n3nn2n2?32n?12n

)（1）?n；（2）?；（3）?n!()；（4）?(2；

2n!3n?2nn?1n?1n?1n?1??

1n?1n21n

（5）?n(（6）?(a?)(a?0). )；

nnn?13n?1

5．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
）

?(?1)

n?1

?

n?（2）?

n?1

?

??

(?1)nlnn(?2)n(?1)n?1

；（3）?；（4）?. 2

n2nn?lnnn?1n?1

1 （

无穷级数作业3

1．求下列幂级数的收敛域：

??

(?1)n2n?1n2n?12n

x；x；（1）?（2）?（3

）. n

4n?02n?1n?1n?0

[（1）(?2,2)；（2）[?1,1]；（3）[4,6)]

?

2．求下列幂级数的和函数： （1）

?

n?1

?

n(x?1)n；[s(x)?

x?1

，x?(0,2)] 2

(2?x)

（2）（3）

?

n?0

?

?

n?1

?

(?1)n2n?1

；[s(x)?arctanx，x?[?1,1]] x

2n?1

2x

，x?(?1,1)] n(n?1)xn. [s(x)?3

(1?x)

无穷级数作业4

1．将下列函数展开成x的幂级数： （1）ln(a?x)(a?0)；
2；[

x

?

n?1

?

(?1)n?1n

[lna?（2）

x，?a?x?a] n

na

?

n?0

?

lnn2n

x，???x???] n!

?

(?1)nn

x，?1?x?1] （3）(1?x)ln(1?x).[x??n(n?1)n?2

2．将下列函数f(x)展开成(x?1)的幂级数：

?

11n

(1) f(x)?2；[?(1?n?1)(x?1)，0?x?2]

2x?5x?6n?0

?

1nn?1

(2) f(x)?.[，?1?x?3] (x?1)?n?12

(3?x)n?12

??????????

1．把?abc的bc边三等分，设分点依次为d1、d2. 试以向量ab?c、
ac?b表示向??????????????????????

2?11?2

量ad1和ad2.[ad1?c?b，ad2?c?b]

2．在y轴上求与点a(1,?3,7)和点b(5,7,?5)等距离的点.[(0,2,0)]

?????

3．已知模为26的向径oa与向量a?(3,4,12)同向，求 点a的坐
标.[(6,8,24)]

????????

4

．已知两点a和b(3,0,2)，求与向量ab平行的单位向量及向量ab
的方 向角.

[

单位向量：?(,

空间解析几何作业1

1212?3???)；方向角：、、] 22343

空间解析几何作业2

????????????????

1．已知ab?(1,1,0)，ac?(1,0,1)，求?bac、ab?ac和?abc的面积.

[?3；(1,?1,?

1)2]

????????

?r?14，2．设a?(2,?3,1)，b?(1,?2,3)，c ?(2,1,2)，向量r满足r?a，
r?b，prjc

?

求r.[(14,10,2)]

????????????????????????

3．设?abc的三边长分别为2,3,4，求ab?bc?bc?ca?ca?ab.[-14.5]

??????????

4．设|a|?4，|b|?3，(a,b)?，求以a ?2b和a?3b为边的平行四边形
的面积.[30]

6

???????????

5．设a?3b?7a?5b，a?4b?7a?2b，求(a,b).[?3]

空间解析几何作业3

1．已知三点a(1,1,?1)、b(?2,?2,2)和c(1, ?1,2)，求过?abc的重心
且与?abc垂直

x3y?2z?1

] ??

?192

?x?y?4z?3

2．用参数方程表示直线?.[x?1?t,y??2?3t,z?t]

2x?y?z?0?

的直线方程.[

?x?2y?4z?0

垂直的平面方程.[16x?14y?11z?45?0]

?3x?5y?2z?0

x?4y?3z

4．求过点(3,1,?2)且通过直线??的平面方程.[8x?9y?22z?59?0]

521

x?1y?3z

5．求过点(?1,0,4)，且平行于平面3x?4y?z?10，又与直线??相交
的直

112

x?1yz?4

线方程.[] ??

161928

3．求过点(1,2,3)且与直线?

空间解析几何作业4

1．求与坐标原点o及点(2,3,4)的距离之比为1: 2的点的全体所组成
的曲面的方程，它表示怎样的曲面？[曲面方程：
3x?3y?3z?4x ?6y?8z?29?0；它表示一球面，球

2

2

2

243322

2．设有xoy平面上的一条双曲线4x?9y?36. 若将这一双曲线绕x
轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 ；若将这一双曲
线绕y轴旋转一周，则生成

心为点(?,?1,?

)一个旋转 叶双曲面，其方程是 . 3．下列方程表示什么曲面？画出
其图形：

（1）z?4?4x?2y；（2）x?y?4z?4；（3）z?y；（4）
z?xy(x ?0,y?0).

空间解析几何作业5

2

2

2

2

2

2

1．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?2的柱面方程. 22

?x?z?y?0

2．画出下列各曲面所围立体的图形，并求立体在xoy面上的投影
区域：

（1

）z?

2

z?6?x2?y2；[x2?y2?4]

2

2

2

（2）z?2?x,z?x?2y；[x?y?1]

（3）x?1?z,y?0,z?0,x?y?1；[?1?x?1，0?y?1?x]

（ 4）x?0,y?0,z?0,x?1,2x?y?4,z?4?x.[0?x?1，0?y?4?2x.]
多元函数微分学作业1

1．求下列函数的定义域，并画出其图形： （1

）z?ln(y?x)（2

）z?

2

22

2

arcsin(x2?y2)；

（3

）z?ln(x?arccos(x?1).

2．计算下列极限：

[18]

(x,y)?(0,2)1?cosxy

（2）lim；[2]

(x,y)?(0,4)ln(1?x2y)

（1

）

lim

（3

）

(x,y)?lim

多元函数微分学作业2

1．求下列函数的偏导数：

（1）z?xsin

yy；（2

）z?；（3）z?(1?xy). x

2．求下列函数的二阶偏导数：

y；（2

）z?x

2

3

．设f(x,y)?x?(y?1)fx?(x,1).

（1）z?arctan

?2u?2u4．设函数u?f(r)二阶可导，且满足方程
r?f(r).

2?2?4，其中

?x?

y

2

[f(r)?r?c1l?c2]

多元函数微分学作业3

1．求下列函数的全微分： （1）z?xy?2．求函数z?

x；（2

）z?y

；（3）z?x.

y

y

当x?2，y?1，?x?0.1，?y??0.2时的全增量和全微分. x

[?z??0.119，dz??0.125]

3

.[2.95]

?z?z

?y2?2x，?2xy?3，且z(0,0)?0，求z?f(x,y)的表达式.

?y?x

22

[z?xy?x?3y]

4．已知

多元函数微分学作业4

1．设z?u，u?2x?3y，v?xy，求

2

v

?z. ?x

2．求z?f(xy,2x?3y)的一、二阶偏导数.

2222432

3．已知f(x,x)?x?2x?x，f1?(x,x)?2 x?2x?1，求
f2?(x,x).[2x?2x?1]

?u?x?2y?2z?2z?2z?2z

?0简化为?0，求常数a.[3] 4．设变换?可把方程62?2?

v?x?ay?x?y?x?y?u?v?

uu

5．设z?f(x,y)具有二阶连续偏导数，x?ecosv，y?esinv，试证：
2

?2z?2z?2z2u?z?2?e(2?2). 2?u?v?x?y

多元函数微分学作业5

1．设

xz?z?z

?ln，求、. zy?x?y

2

．设x?2y?z??0，求dz.

?2z3．设z?3xyz?a，求.

?x?y

f1??yzf2??z

4．设z?f(x?y?z,xyz)，求.[]

?x1?f1??xyf2?

zz

5．设f(u,v)具 有连续偏导数，证明由方程f(x?,y?)?0所确定的函数
z?f(x,y)

yx

3

3

【篇二：考研数学高数习题—向量代数和解析几何】


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题】，同时中公考研网首发 2017考研信息，2017考研时间及各科
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模块十一 向量代数和空间解析几何（*数学

一）

1、已知???1,1,1?,???1,?1,?1?,求???,a??,a??.

???????????????22、已知a?2,b?5,?a,b???, 问: 系数?为何值
时, 向量a??a?17b与b?3a?b

??3

垂直.

????????3、设a?2a?b, b?ka?b, 其中||?1,||?2,?问:

1）k为何值时, ?;

2）k为何值时, 与为邻边的平行四边形面积为6.

4、求点?1,1,1?到面x?y?z?1的距离.

5、设直线l1:?x?y?6?0x?1y?5z?8??，l2:?，则直线l1,l2的夹角
为( ) 1?212y?z?3?0??a??b??c??d??

6?4?3? 2

?x?1?txy?3z??与l2:?y??2?t的关系是( ) 6、两直线
l1:?234?z?2?2t?

?a?互相垂直?b?斜交 ?c?互相平行 ?d?异面直线

7、设l1:x?1?y?1z?1?,l2:x?1?y?1?z， 2?

(i)若l1?l2，求?；

(ii)若l1,l2共面，求?.

8 、设平面?过原点和点m(6,?3,2)，且与平面?1:4x?y?2z?8垂直，
求平面?的方程 ．

9、求与两平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行且过点
m0(? 3,2,5)的直线方程．

?x?1x?1y?2z?1?10、设平面?过原点，且与直 线?y??1?t及都平
行，求?的方程． ??121?z?2?t?xy?7z?3?11、求点a(3,2,6)到直线?
的距离． 12?1

12.求下列旋转曲面方程。

（3）a(0,1,0),b(1,0,1)两点所在的直线分别绕x轴，y轴，z轴

13.求下列柱面方程。

14.求下列投影方程。

（2）直线x=y=z在平面x+2y+3z=0上的投影方程.

参考答案

1、?????1,?????0,2,?2?,????

2、??40

3、（1）k??2 （2）k?5或k??1

45、?c?

6、?b?

7、(1)???3(2) ??3 2

8、2x?2y?3z?0．

9、x?3y?2z?

5 ??431

?????am?s

s10、x?y?z?0. 11、d??

22222212.（1）绕y轴y- x-z=1，z轴x+y-z=1

（2）绕y轴4y=x+z，z轴z2=4(x2+y2) 222

22222（3）绕x轴y+z=(1-x)+x，,y轴x+z=2(1-y)，22z轴

x2+y2=z2+(1-z)

13.（1）x+4y=1 222骣2x-y-z+1鼢骣2y-x-z+1（2）+=1 鼢鼢桫
桫33

（3）(y+z)+2(x+z)+3(x+y+2z)=1 22222

xoy:5x2+9y2=4

14.（1）xoz:31x2+9z=32

yoz:31y2-5z=-4

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【篇三：解析几何试题及答案】


）（本小题满分13分）

uuuruur设???，点a的坐标为（1,1），点b在抛物线y?x上运动，
点q满足 bq??qa，经

?

过q点与mx轴垂直的直线交抛物线于点m，点p满足

uuuruuur

qm??mp,求点p的轨迹方程。

（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面
向量

的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵 活运用
知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养.

解：由qm??mp知q，m，p三点在同一条垂直于x轴的直 线上，
故可设

p (x,y),q(x,y0),m(x,x2),则x2?y0??(y?x2),则y0?(1??)x2?? y.①

再设b(x1,y1),由??,即(x?x1.y0?y1)??(1?x,1?y0), 解得?

?x1?(1??)x??,

②，将①式代入②式，消去y0，得

?y1?(1??)y0??.

?x1?(1??)x??,22

y?xy?x ③，又点b在抛物线上，所以， ?1122

?y1?(1??)x??(1??)y??.

再将③式代入y1?x1，得(1??)x??(1??)y???((1??)x??),

2

2

2

2

(1??)2x2??(1??)y???(1??)2x2?2?(1??)x??2,

2?(1??)x??(1??)y??(1??)?0. 因??0,同除以?(1??),得2x?y?1?0

故所求点p的轨迹方程为y?2x?1. 2.（17）（本小题满分13分）

设直线l1:y?k1x+1，l2:y=k2x?1，其中实数k1?k2满足k1k2+2?0，
（i）证明l1与l2相交；

（ii）证明l1与l2的交点在椭圆2x+y=1上.

（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线
线相交的判断与证明，点在

曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和
运算求解能力. 证明： （i）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1
与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0< br>
，得

2

2

k12?2?0.此与k1为实数的事实相矛盾. 从而k1?k2,即l1与l2相交.

2?x?,?k?k?y?k1x?1?21

（ii）（方法一）由方程组?，解得交点p的坐标(x,y)为?，而

k?ky?kx?112??y?2.?k2?k1?

22

k2?k128?k2?k12?2k1k2k12?k2?422

2x?y?2()?()???1. 2222

k2?k1k2?k1k2?k1?2k1k2k1?k2?42

2

此即表明交点p(x,y)在椭圆2x?y?1上.

22

y?1?

k?,??y?1?k1x?1x

（方法二）交点p的坐标(x,y)满足?，故知x?0，有?

?y?1?k2x?k?y?1.

2?x?

代入k1k2?2?0,得

y?1y?1

??2?0，整理后，得2x2?y2?1, xx

2

2

所以交点p在椭圆2x?y?1上.

x2

?y2?1，过 点（m，0）作圆x2?y2?1的切线l交椭圆g于a，
b3.19.已知椭圆g：4

两点。

（1）求椭圆g的焦点坐标和离心率；

（2）将|ab|表示为m的函数，并求|ab|的最大值。 （19）解：
（Ⅰ）由已知得a?2,b?1,所以c?

a2?b2?3.

所以椭圆g的焦点坐标为(?3,0),(,0)，离心率为e?

（Ⅱ）由题意知，|m|?1.当m?1时，切线l的方程x?1，

c?. a2

点a、b的坐标分别为(1,

),(1,?),此时|ab|? 22

当m=－1时，同理可得|ab|?

当|m|?1时，设切线l的方程为y?k(x?m),
?y?k(x?m),?

得(1?4k2)x2?8k2mx?4k2m2?4?0；设a、
2

??y?1.?4

4k2m2?4

,x1x2?别为(x1,y1)(x2,y2)，则x1?x2?；

1?4k21?4k2

又由l与圆x?y?1相切,得

2

2

8k2m

|km|k2?1

?1,即m2k2?k2?1.

64k4m?4(4k2m2?4)

?] 所以|ab|?(x2?x1)?(y2?y1)?(1?k)[222

(1?4k)1?4k

2

2

2

?

43|m|

.由于当m??3时，|ab|?3,因为 2

m?3

|ab|?

43|m|

?2

两点的坐标分由?x2

b

m?3

4|m|?

3|m|

?2,

且当m??3时，|ab|=2，所以|ab|的最大值为2. 4.19．（本小题共
14分）

x2y2

已知椭圆g:2?2?1(a?b?

0)的离心率为，右焦点为（），斜率为i

3

ab

的直线l与椭圆g交与a、b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶
点为p（-3,2）.

（i）求椭圆g的方程；（ii）求?pab的面积. （19）解：

（Ⅰ）由已知得c?c?

解得a?，又b2?a2?c2?4. a3

x2y2

??1. 所以椭圆g的方程为

124

（Ⅱ）设直线l的方程为y?x?m.

?y?x?m?22由?x2得4x?6mx?3m?12?0. y2

?1??4?12

设a、b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1?x2),ab中点为e(x0,y0)，
则x0?

x1?x23mm

??,y0?x0?m?；因为ab是等腰△pab的底边， 244

m

??1.解得m=2。 所以pe⊥ab.所以pe的斜率k?

3m?3?

4

2?

此时方程①为4x?12x?0.解得x1??3,x2?0.所以y1??1,y2?2. 所以
|ab|=32.此时，点p（—3，2）到直线ab：x?y?2?0的距离

2

d?

|?3?2?2|

2

?

3219

,所以△pab的面积s=|ab|?d?. 222

5.17．（本小题满分13分）

已知直线l：y=x+m，m∈r。

（i）若以点m（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点p，且点p在y
轴上，求该圆的方程； （ii ）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问
直线l?与抛物线c：x2=4y是否相切？说明理由。
17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解
能力，考查函数与方程思

想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。
解法一：

（i）依题意，点p的坐标为（0，m）

因为mp?l，所以

0?m

?1??1， 2?0

解得m=2，即点p的坐标为（0，2） 从而圆的半径

r?|mp|??

故所求圆的方程为(x?2)?y?8.

（ii）因为直线l的方程为y?x?m,所以直线l的方程为y??x?m.

2

2

?y??x?m,

得x2?4x?4m?0,??42?4?4m?16(1?m) 由?2

?x?4y

（1）当m?1,即??0时，直线l与抛物线c相切

（2）当m?1，那??0时，直线l与抛物线c不相切。

综上，当m=1时，直线l与抛物线c相切；当m?1时，直线l与抛
物线c不相切。 解法二：（i）设所求圆的半径为r，则圆的方程可
设为(x?2)?y?r. 依题意，所求圆与直线l:x?y?m?0相切于点p（0，
m），

2

?

2

?4?m2?r2,

???m?2,22

则解得?所以所求圆的方程为(x?2)?y?8.

?r,??r?

（ii）同解法一。 6.18.（本小题满分12分）

如图，直线l：y＝x＋b与抛物线c：x2＝4y相切于点a。 （Ⅰ）
求实数b的值；

（Ⅱ）求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程。
18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解
能力，

考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

?y?x?b,

得x2?4x?4b?0，解：（i）由?2（*）

x?4y?

因为直线l与抛物线c相切，所以??(?4)?4?(?4b)?0,解得b=-1。
（ii）由（i）可知b??1,故方程(*)即为x?4x?4?0，

解得x=2，代入x?4y,得y?1.故点a（2，1），因为圆a与抛物线
c的准线相切， 所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y=-1
的距离，即r?|1?(?1)|?2, 所以圆a的方程为(x?2)?(y?1)?4. 7.19.
（本小题满分14分）

2

2

2

22

（x?y?4,（x??y?4中的一个内切，另一个外切. 设圆c

与两圆

（1）求c的圆心轨迹l的方程. （2

）已知点m2222

，f0），且p为l上动点，求mp?fp的最大值及 此时点p的坐标.

19． （1）解：设c的圆心的坐标为(x,y)，由

题设条件知

|?4,化

x2

?y2?1. 简得l的方程为4

（2）解：过m，f的直线l方程为

y??2(x，将其代入l

的方程得15x2??84?0.

解得x1?

x2?故l与l交点为

t1t2