堆雪人的作文-竞选班干部的演讲稿

运用几何画板探究数学问题教案
第一章 几何画本的基本操作
1.1几何画板的简介
教学目标: 1）通过几何画板课件演示展示其魅力激起兴趣
2）了解几何画板初步操作
教学重点：让学生了解几何画板的工作界面
教学难点：能用几何画板作出三角形以及圆的内接外切三角形
教学过程：
一、概述几何画板
几何画板是专门为数学学习与教学需要而设计的软件。有人说它是电子圆规 ，有人说它是绘图仪，有
人说它是数学实验室。它号称二十一世纪的动态几何。它可帮助我们理解数学， 动态地表达数量关系，并
可设计出许多有用或有趣的作品。

二、几何画板简介
1）启动
开始|程序|几何画板|几何画板。启动几何画板后将出现 菜单、工具、 画板。工具(从上到下) 选择 、
画点、画圆 、画线、 文本 、对象信息、 脚本工具目录。
2)工具栏
各个工具的功能介绍：
【选择箭头工具】：选择对象 这是它的主要功能，还有旋转和缩放被选对象的功能。
【点工具】：画点 可以在画板绘图工作区任何空白的地方或“线”上画点。
【圆工具】：画圆 只能画圆，不能画椭圆。
【线段直尺工具】：画线 线段直尺工具用于画线段、射线或直线。
【多边形工具】：画多边形 构造一个有边、无边的多边形（含内部区域），也可以构造无内部区域的多
边形。
【文本工具】：加标注 给对象添加标签。
【标记工具】：标记 给一些图形添加标注或者直接作为绘笔在工作区内写或画。
【信息工具】：信息 用来查看对象的属性。
【自定义工具】：自定义工具 如果你觉得上述工具不够（如：不能直接画正方形），你可以定义新的工
具来作图。

三、动手画图
试一试：你能否画出如图所示的图形？
画点：单击【点工具 】，然后将鼠标移动到画板工作区
中单击一下，就会出现一个点，如图中的点A。
画线：单击 【线段直尺工具】，然后拖动鼠标，将光标
移动到画板工作区中单击一下，再拖动鼠标到另一位置松开鼠标，就会出现一条线段，如图中的线段BC。
画圆：单击【圆工具】，然后拖动鼠标，将光标 移动到画板工作区中单击一下（确定圆心），并移动到
另一位置（起点和终点间的距离就是半径）再单击 一下，就会出现一个圆，如图中的圆 D。
多边形：单击【多边形工具】，就可以在绘图区构造多边形，如图 1-3 中的四边形FGHI。 < br>文本：单击【文本工具】，会出现一个手型，在绘图区双击鼠标左键，或者按住左键直接在绘图区拖
出虚线框，此时就可以在里面输入文字了，如图中的文本“运用几何画板探究数学问题”。
画交点： 单击【选择箭头工具】，然后拖动鼠标将光标移动到线段和圆相交处（光标由变成横向，
如右图所示，状 态栏显示的是“点击构造交点”）单击一下，就会出现交点。
试一试：【选择箭头工具】、【线段直尺 工具】和【多边形工具】这三个图标的右下角都有一个小三
角，用鼠标按住它约一秒，看看会发生什么？
【选择箭头工具】展开如图所示，有三个工具，分别是：【移动工具】、【旋转工具】和【缩放工具】。

【线段直尺工具】展开有三个工具，如图所示，分别是：【线段工具】、【射线工具】和【直 线工具】。
我们知道了线段的画法，那么如何用它来画射线或直线呢？

【多边 形工具】展开有三个工具，如图所示，分别是：【无边多边形】有边、【多边形】和【不填充
多边形】。
画射线：移动光标到【线段直尺工具】上，按住鼠标不放，待【线段直尺工具】展开后，不要松开鼠标，继续移动光标到【射线工具】上，松开鼠标，【线段直尺工具】【射线工具】 ，然后在画板绘图工
作区单击鼠标并按住鼠标拖动，到适当位置松开，就画出一条射线AB。
试一试：请你画一条直线AB。

例题1、制作三角形（一）
一、制作结果：拖动三角形 ABC 的顶点，可改变三角形的形状、大小.
这个三角形 ABC 是一个动态的三角形，通过拖动三角形的顶点 A、B 或 C，它可以被拖成下列三角形之
一。
二、要点思路：熟悉【线段直尺工具】的使用，拖动图中的点改变三角形的形状。
三、操作步 骤：观察下图，你能明白三角形就是用【线段直尺工具】画三条首尾相接的线段所组成的
图形。
（1）打开几何画板，建立新绘图。
（2）单击【线段直尺工具】，将光标移到在绘图工作区，单击并按住鼠标拖动，画一条线段 AB，松
开鼠标，如图左。
（3）在线段 AB 的端点 B 处单击鼠标并按住拖动，画出另一条线段 BC，松开鼠标，如图中。
（4）在线段 BC 的端点 C 处单击鼠标并按住拖动，画出第三条线段 CA，光标移到点 A 处松开鼠标
（注意此时点 A 会变色），如图右。
（5）将该文件保存为“三角形（一）.gsp”。

例题2、制作三角形（二）
一、制作结果：三角形三边所在的线分别由直线、射线和线段来构 成，拖动三角形的顶点可以改变三
角形的大小和形状。
二、知识要点：学会使用【线段工具】、【直线工具】、【射线工具】以及它们相互之间的切换。
三、操作步骤
（1）打开几何画板，建立新绘图。
（2）选择画【直线工具】将光 标移动到【线段直尺工具】上按住鼠标键不放，移动光标到【直线工
具】上，松开鼠标。
（3） 画直线 将鼠标移动到画板中，按下鼠标键，向右拖曳鼠标后松鼠标键，直线 AB 就画好了。
（4） 选择【射线工具】用鼠标对准【直线工具】，按下鼠标键并拖曳到【射线工具】处松鼠标。
（5） 画射线 将鼠标对准点 A（在按下鼠标左键之前请注意窗口左下角的提示），按下鼠标键，向
右上拖曳 鼠标后松鼠标键，得到射线 AC。
（6） 选择【线段工具】用鼠标对准【射线工具】，按下鼠标键并拖曳到线段工具处松鼠标。
（7）画线段 将鼠标对准点 C（注意窗口左下角的提示信息），按下鼠标键，向点 B 拖动，匹配上
这一点后松鼠标，得到线段 BC。
（8）将该文件保存为“三角形（二）.gsp”。

例题3、圆内接三角形
一、制作结果：拖动三角形 CDE 的任一个顶点，三角形 CDE 的形状会发生改变，但三角形始终为圆
的内接三角形。
二、要点思路：学会使用【线段直尺工具】在几何对象上画线段。
三、操作步骤：
（1）打开几何画板，建立新绘图。
（2）画圆 单击【圆工具】按钮，然后拖动鼠标，将光 标移动到画板工作区单击一下，按住并拖动鼠
标到另一位置，松开鼠标，就会出现一个圆 A。
（3）画三角形 单击【线段直尺工具】按钮，移动光标到圆周上（圆会变红色）单击一下（图中的点
C 产生），并按住鼠标向下（或其他方向）移到圆周上松开鼠标，线段 CD 就生成了；在点 D 处单击并
按住鼠标向右移动到圆周上 E 处松开鼠标，线段 DE 生成；在点 E 处单击并按住鼠标移动到圆周上点 C
处松开鼠标，这样圆的内接三角形就生成了。
（4）将该文件保存为“圆内接三角形.gsp”。

注意：画线段时，起点不 要与圆周上的点重合；光标移动到圆上时，圆会变淡红色，同时注意状态栏
的提示。

课后作业：
1. 作一个直角三角形的外接圆，并度量半径、周长和面积等。
2. 过同一点作一个三个不同的圆。

1.2 几何画板简单作图
教学目标: 通过例题掌握利用几何画板画简单图形的方法
教学重点：利用几何画板作出简单图形
教学难点：利用几何画板作出简单图形
教学过程：
下面我们用绘图工具来画一些组 合图形，希望通过下面范例的学习，你能够熟悉绘图工具的使用和一
些相关技巧。

例题1、画一个等腰三角形
一、制作结果：拖动三角形的顶点，三角形形状和大小会发生改变 ，但始终是等腰三角形，如图1所
示，这就是几何的不变规律。
二、要点思路：利用“同圆的半径相等”来构造等腰。
三、操作步骤
（1）打开几何画板，建立新绘图。
（2）利用【圆工具】画一个圆 A。
（3）画三角形 单击【线段直尺工具】按钮，再作一条半径 AC，移动光标到圆周上的点 B 处（即画
圆时的终点，此时点 B 会变大），单击并按住鼠标向右移动到圆周上点 C 松开鼠标，等腰三角形 ABC 就
完成了。
（4）隐藏圆 按“Esc”键（取消画线段状态）单击圆周后，按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。
（5）将该文件保存为“等腰三角形.gsp”。






例题2、线段的垂直平分线
一、制作结果：无论你怎样拖动线段 AB，竖直的线为线段 AB 的垂直平分线。
二、要点思路：学会使用【线段直尺工具】来画线段和直线，学会等圆的构造技巧。
三、操作步骤
（1）打开几何画板，建立新绘图，画线段 AB。
（2）画等圆 单击【圆工具】，分别以点 A、B 为圆心，半径均为 AB 作两个等半径的圆 A 和圆 B。
（3）画直线 选择【线段直线工具】，移动光标到两圆相交处（点 C）单击并按住鼠标拖动到另一个
两圆相交处（点 D）单击后松开鼠标。（光标到两圆相交处，两圆会同时变为红色）
（4）隐藏两圆及交点 按住“Esc”键取消画线段状态，单击圆周和交点后，再按“Ctrl+H”。
（5）保存文件 将该文件保存为“线段的垂直平分线.gsp”。





思考：你能利用线段的垂直平分线的作法来作一个等腰三角形吗？
提示：只要在直线 CD 上任意取一点 E，再连接线段 AE 和 BE，则三角形 ABE 就是一个等腰三角形。
拓展：等边三角形的画法
（1）在例2的基础上，连接线段 AC 和 BC。
（2）隐藏两圆 单击圆周后，按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。
（3）将该文件保存为“等边三角形.gsp”。

例题3、制作直角三角形
一、制作结果：拖动直角三角形的顶点 A、 C 可改变三角形的大小和形状，但始终是B、直角三角形。
二、要点思路 学会使用【画射线工具】；使 用【选择箭头工具】画交点；在圆上画线段；清楚画直角
的原理是：直径所对的圆周角是直角。
三、操作步骤

（1）打开几何画板，建立新绘图。
（2）画圆和射线 利用【圆工具】在工作区画一个圆 B，再利用【射线工具】画一条射线 AB。
（3）画射线与圆的交点 移动光标到射线和圆的交点处，单击鼠标，得到射线AB 与圆 B 的交点 C。
注意：光标到射线和圆的交点处，射线和圆都会变为红色，状态提示栏的提示是：“单击构造交点”。
（4）画直角边 单击【线段直尺工具】按钮，移动光标到射线的端点 A 处（端点会变红色）单击并
按住鼠标向右上移动到圆周上松开鼠标，得到线段 AD；在点 D 处单击并按住鼠标向右下方移动到点 C 处
松开鼠标，得到线段 CD。
（5）隐藏射线和圆及圆心 连续单击圆、圆心、射线后按快捷键“Ctrl+H”，这时就把射线 AB、圆 B
和圆心 B 都隐藏起来了。
（6）画斜边 单击【线段直尺工具】，移动光标到点A 处单击并按住鼠标向右移动到点 C 处松开鼠标。
（7）将该文件保存为“直角三角形.gsp”。







课后作业
1. 请你做一个边长为 5 厘米的正方形。
2. 请你做一个长和宽分别为 4 厘米、3 厘米的矩形。

1.3 常用图形的制作
教学目标: 通过例题掌握利用几何画板画点、线段、简单图形的方法
教学重点：利用几何画板作出简单图形
教学难点：利用几何画板作出简单图形
教学过程：
通过前面两节的学习，我们基本 会用几何画板的“工具栏”作图，并且几乎可以作出所有欧几里德图
形，实际上几何画板和传统的尺规作 图没什么两样，只不过电脑作出的图形是动态的，拖动点和线，能保
持它们内部的几何关系不变，黑板上 或纸上的图形是静止的，不能随意拖动，这充分显示了几何画板在作
图方面的优越性。下面我们开始学习 利用“菜单栏”来作图。

一. 点的作法
1、对象上的点的作法
选定 任何一个“对象”或多个“对象”，单击“构造”菜单→“对象上的点”，电脑根据你选取的对
象，构造 出相应的点，点可以在对象上自由拖动。这里的对象是可以是“线（线段、射线、直线、 弧）”、
圆、 “内部”、“函数图像”、“轨迹”等，但不能是“点”，点上当然不能再构造点。这是一个动态的
菜单 ，选取的对象是“线段”，这时菜单显示的是“线段上的点”；选取的对象是“轨迹”，这时菜单显
示的 是“轨迹上的点”；如果选取的是多个不同类别的对象，则菜单显示的是“路径对象上的点”。
2、 线段的中点
选取一条线段，单击“构造”菜单→“线段的中点”，电脑就构造出所选线段的中点。
例题 1 作三角形的中线
（1）画三角形 ABC 用【线段工具】画一个三角形 ABC，用【文本工具】把三角形的顶点标上字母 A、
B、C。
（2）选取边 BC 用【移动箭头工具】单击线段 BC，由菜单“构造”→“中点”（或按快捷键“Ctrl
＋M”），得到线段 BC 的中点 D。
（3）连接线段 AD 选取【线段工具】并把鼠标移动到 A 点处单击，拖动鼠标到 D点后松开鼠标。
3、交点
同时选取两个相交的几何对象，由菜单“构造” →“交点”，就可以作出交点，如图3所示。
练习 请作出一个已知三角形 ABC 的重心 G。

二． 线型的构造
线型的构造包括：线段、射线、直线、平行线、垂线和角平分线。
1. 线段、射线、直线的作法
选取两点，由菜单“构造”→“线段”（或“射线”“直线”），几何画板马 上就构造一条线段（或
一条射线或直线）。
注意:
（1）如选取的点是画射线，第一个选取点为射线的端点。
（2）使用快捷键“Ctrl＋L”能快速画线段，但也只能画线段。射线、直线没有快捷键。
（3）如果是过两点画直线（或射线或线段）的话，在选取相应工具的状态下，用鼠标对准一个点，
按 下鼠标移动到另一点，松开就得直线（或射线或线段）。
（4）选取两点以上也能画线段（射线、直线）。
例题 2 画中点四边形
操作步骤：
（1）画出四点并选中：按住 Shift 键（目的是使先前构造的点不被释放 ），用【点工具】依次画出
四点（或用点工具画出四点后，在选择状态下，用鼠标顺次的选中这四点）。
（2）顺次连接四点：按“Ctrl＋L”构造出四边形 ABCD。
（3）中点四边形：同时选取四条边后按快捷键“ Ctrl＋M”，作出四边中点E、G、F、H，再 按快捷
键“Ctrl＋L”连接好四个中点，得到中点四边形 EFGH。
2.平行线或垂线的作法
过一点作已知直线（或线段或射线）的垂线或平行线，只要同时选取 点和直线（或线段或射线），然
后菜单“平行线”或“垂线”就可以完成任务。
例题 3 画平行四边形
操作步骤：
（1）用【线段工具】画出平行四边形的两条邻边 AB 和 BC。

（2）选取点 A 和线段 BC，单击菜单命令：“构造”→“平行线”，画出过 A 点且与线段 BC 平行的
一条直线；同样画出另一条过点 C 且与线段 AB 平行的直线；在两条直线的相交处单击一下鼠标得交点 D。
（3）选取两条直线，单击菜单命令：“显示”→“隐藏平行线”，也可以使用快捷键 Ctrl＋H。
（4）连接 AD 和 CD，平行四边形 ABCD 就完成了。
例题 4 作三角形的高线
操作步骤：
（1）画三角形 ABC。
（2）作垂线 仅选定点 A 和线段 BC，单击菜单命令：【构造】 【垂线】→就画出了过A 点且垂直 BC
的直线；单击垂线和线段 BC 的交点处，得垂足点 D。
（3）隐藏垂线 选定垂线后，按快捷键 Ctrl+H。
（4）连接 AD，则三角形 ABC 的一条垂线 AD 就做好了。
例题 5 三角形的角平分线
操作步骤：
（1）用【线段工具】画出△ABC。
（2）画出∠BAC 的平分线
角平分线的构造方法有：
方法一：依次选定点 B、A、C(注意：角的顶点一定要第二个选取)，单击菜单点点命令：“构造”→
“角平分线”；
方法二：选中线段 AB、AC，单击菜单命令：“构造”→“角平分线”；
方法三：选中线段 AB、A、点线段 AC，单击菜单命令：“构造”→“角平分线”。
（3） 构造角平分线与线段 BC 的交点 用鼠标对准角平分线与线段 BC 的相交处单击，得到交点 D。
（4） 隐藏角平分线 选取角平分线，再按快捷键“Ctrl＋H”（或者用菜单命令：“显示”→“隐藏”）
隐藏角平分线。
（5）连接 A 点和 D 点 选定 A 点和 D 点后，按快捷键“Ctrl+L”得到∠BAC 的角平分线 AD。

三． 圆或圆弧的构造
1、圆的绘制
方法一：依 次选定两点，单击菜单命令“构造”→“以圆心和圆周上的点作圆”就可以构造一个圆，
圆心为第一个选 定的点，半径为选定两点的距离。
方法二：选定点和线段（没有顺序）后，单击菜单命令“构造”→“ 以圆心和半径做圆”就可以构造
一个圆，圆心为选定点，半径为选定的线段的长度，如图10所示
2、圆弧的绘制
方法一：选定一个圆和圆上的两点（点有顺序）后，单击菜单“构造”→“圆 上的弧”，就可以绘出
按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧。
方法二：选定不在同 一直线上的三点，单击菜单“构造”→“过三点的弧”，就可以绘出按逆时针方
向从选定的第一点过第二 点到第三点之间的弧。
课后作业
1.作一个圆的内接四边形。
2.作一个三角形的外接圆和内接圆。













1.4 基本动画的制作

教学目标: 掌握利用几何画板制作基本动画的方法
教学重点：利用几何画板作出基本动画
教学难点：利用几何画板作出基本动画
教学过程：
通过前面的学习，我们已经学会利用“工具栏”和“菜单栏”的命令制作一些基本 的几何图形，现在
我们来学习制作简单的动画，通过对几个轨迹问题的探究，学会利用动画来生成点的轨 迹，同时体会到几
何画板强大的动画功能。

问题 1：如图1所示，P 为圆 A 上任意一点，当动点 P 在圆周上运动，线段 OP 的中点 M 的轨迹
是什么?
探究实验
（1）选定 P 点，单击菜单命令：“显示”→“生成点的动画”，结果如
下：可以观察到点 P 在圆上运动，M 也跟着运动。
（2）要知道 M 的轨迹，先单击“运动控制台”的停止按钮，让动画停
图 1
下了后，然后选定 M 点后，打开【显示】菜单中，选中“追踪中点”或者按
快捷键“Ctrl+T”，跟踪点 P。仅选定 P 点后，再按“运动控制台”的播放按钮，就可观察到点 M 的轨
迹是一个圆。
但这样的 轨迹按“Esc”就能清除掉或者用“显示”菜单中的“擦除追踪轨迹”，还不能保存。这里追
踪轨迹的 颜色是由追踪对象的颜色来决定的，因此，你可以修改点的颜色来改变轨迹的颜色。
如何才能真真构造出点 M 的轨迹呢？
作法：选定点 P 和点 M（没有先后），单击菜单命令：“构造”→“轨迹”。
构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在 一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。
路径可以是任何线（线段、直线、射线、 圆弧）、圆、轨迹、函数图象和多边形边界。
变式探究：将中点 M 改为线段 OP 上任意一点，则点 M 轨迹是什么？
通过实验发现，若 M 为线段 OP 上一点，点 M 的轨迹还是圆。

问题 2：将路径圆改成三角形或其它图形呢？
通过实验可知，轨迹与路径图形相似。（画出你的轨迹图）









问题 3：将“点 M 在线段 OP 上”改为“点 M 在直线 OP 上”，点 M 的轨迹呢？
探究结论：若点 P 在一个已知路径上运动，则线段 OP 上一点的轨迹为以点 O 为中心，原路径图形
的一个缩放，其缩放比为λ，其中 =λ。

问题 4：如图2，线段 AB、CD上分别有一动点 E、F，在线段 EF 上任取一点 M，则点 M 的轨迹是
什么？
分析：本问题有 2 个动点 E 和 F，这时要猜出点 M 的轨迹有些困难，
不妨先考虑点 F 不动，则点 M 的轨迹为一条线段，在把点 F 运动，则刚
才的线段的轨迹就是一个平行四边形。
步骤 1：点 F 不动，则点 M 的轨迹为一条线段 L。
步骤 2：拖动点 F，追踪线段 L1 的轨迹，得到一个平行四边形。（画
出你的轨迹图）
图 2

问题 5：圆A和圆B上分别有一动点C、D，在线段CD上任取一点M，则点M的轨迹是什么？
步骤 1：仿照问题4，可以把点 E 或点 F 的其中一个不动，这样可以得到轨迹 C3 或C2。
步骤 2：再把另一个点运动，把刚才得到的轨迹追踪，就可以得到最终的轨迹，圆C2 随着点 M 在圆
C3 所扫过的圆环部分。（画出你的轨迹图）










通过上面四个问题中点的轨迹的探究 ，我们已初步掌握了基本动画的制作，以后我们将利用几何画板
这一强大的动画功能去探索较复杂的轨迹 问题。
课后练习
1.线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，=5，点M是线段AB的中点，求点M 的轨迹方
程。
2.线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，=5，点M是线段AB的一点，且=2 ，求点M的
轨迹方程。


























第二章 探究函数问题

2.1 探究反比例函数的图像（两课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作
y
2）根据图像掌握
y
教学重点：
y
axb
型函数的图像
cxd
axb
型函数的基本性质
cxd
axb
型函数图像的制作
cxd
axb
教学难点：
y
型函数基本性质的发现
cxd
教学过程：
函数的图像和性质是研究函数的两个重要方面，函数的性质包括 单调性、最值、奇偶性、周期性和对
称性等，我们可以通过观察函数的图像来发现函数的性质，也可以根 据函数的性质来画出函数的图像，有
了几何画板这个优秀的作图工具，为我们探究函数的图像与性质提供 了一把金钥匙。
我们一起来探究型函数的图像特征。

1. 制作函数的图像
第一步：介绍作函数的方法，点击菜单栏中的【绘图】 【绘制新函数】的，直接输入要绘制函数的解析式，就立刻可以得到函数的图像，分别作出函数
y
第二步：再作出函数
y
11
，
y
的图像。
xx
2x1
的图像。
x1
11
2x1
第三步：观察函数
y
的图像与函数< br>y
，
y
的图像的联系，并进行简单交流。（在
xx
x 1
下面画出你所画出的图像）







实验目的：通过实验找到这些函数图象之间的关系，发现函数
y
1
2x1
的图像可以通过函数
y
，
x
x1
1
y
的图像的平移变换而得到。
x
2x1
第四步：通过观察
y 
的图像的特征（性质），不通过几何画板来做图，而是根据函数图像的
x1
2x 1
平移变换，如何快速作出
y
的图像呢？
x1

2. 探究规律
由于函数
y
函数
y
2x1
的图像是双曲线 ，故要找出它的对称中心、渐进线和所处区域的位置。我们得到
x1
axb
图像的 一些基本性质：
cxd
axbda
（1）函数
y
图像的对称 中心为
(,)
；
cxdcc
axbda
（2）函数
y
图像有两条渐近线：
x,y
；
cxdcc

axb
图像位于被两条渐近线分两个相对区域内。 < br>cxd
axb
利用上面三条性质，我们获得画函数
y
简图的方法 ：
cxd
（3）函数
y
“三定”法：
da
,)

cc
da
（2）定线（两条渐近线）：
x,y

cc
（1）定心（对称中心）：
(
（3）定位（图像处在一三像位还是二四像位）

3. 拓展探究
2x
2
1
（1）作出函数
y 
2
的图像（在下面画出）
x1





2x
2
1
（2）作出函数
y
2
的图 像（在下面画出）
x1





思考：在没有几何画板的情况下，你如何画出上面两个函数的图像呢？

4. 探究总结
（1）函数的作图方法：描点法、变换法和性质法。
（2）通过函数的定义域、值 域、最值、零点、奇偶性、单调性、正负和渐近线等，可以比较快捷地
画出一些非常见函数的图像。

5. 课后探究
b
型的图像和性质。
x
b
2
（2）探究函数
yax
型的图像和性质。
x
b
（3）探究函数
yax
2
型的图像和性质。 x
ax
2
bxc
（4）探究函数
y
型的图像和性 质。
dxe
axb
（5）探究函数
y
2
型的图像和性质。
cxdxe
（1）探究函数
yax



2.2 探究分式线性函数的对称中心（两课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作分式线性函数的图像
2）根据图像掌握分式线性函数的对称中心

教学重点：分式线性函数图像的制作
教学难点：分式线性函数对称中心的发现
教学过程：
一、探究准备
（1）学科知识方面
学习完必修1的知识，我们比较熟悉指数函数、对数函数和幂函数等基本初等函数 的图像和性质，基
本掌握了了研究这些函数的方法，已经会求函数
f(x)
axb
的定义域和值域；若函数满足
cxd
f(ax)f(bx)2c
， 则函数图像关于点
(
ab
,c)
对称。
2
（2）信息技术方面
基本能利用几何画板作一些具体函数图像，通过对案例“2. 1探究反比例函数的图像”的探究，我们
亲身体会了利用几何画板探究数学问题的过程，了解利用几何画 板来探究一些数学问题的步骤和基本方法。

二、探究过程
问题1：作出函数y
axb
(adbc0)
的图像，找出其对称中心，并进行证明。 cxd
第一步：在x轴上任取一点M，同时选取点M和x轴，菜单栏“构造”—“垂线”，作出一 条垂直于
x轴的直线l，在直线l上任取四点A、B、C、D，并度量出它们的纵坐标，利用工具栏中的 【文字工具】，
将刚才A、B、C、D的纵坐标标签分别改为a,b,c,d。
第二步：利用 菜单栏“绘图”—“新建函数图像”，作出
y
axb
(adbc0)
的图像。
cxd
第三步：通过拖动点A、B、C、D来改变参数a,b,c,d 的值，观察函数图像变化的规律并找出其对称
中心。（在下方画出图像）








推理论证：

探 究结论：函数
axbda
(adbc0)
的图像的对称中心为
(,)
。
cxdcc
axb
问题2: 作出函数
ylg(adbc0)
的图像，通过改变参数a,b,c,d 的值，观察图像 变化情
cxd
y
况，这个函数图像是否有对称中心呢？如果有，请先猜想出来，并 进行证明。如果没有，也请说明理由。
探究实验：在几何画板中，选中问题1中的函数
y< br>辑函数表达式，将它改为
ylg







axb
表达式，然后鼠标的双击，就可以直接编
cxdaxb
后立即得到新函数的图像。（在下方画出图像）
cxd

第一轮：
（1） 猜想：根据问题1的探究 结论，我们猜想函数
ylg
axb
(adbc0)
的图像的对称中心 为
cxd
(
da
,lg)
。
cc
da
,lg)
不是对称中心。
cc
aa
da
（3） 论证：若
0
，则
l g
就无意义，故点
(,lg)
不是对称中心。
cc
cc
（2） 实验：通过动手操作，显然点
(
第二轮：
da
,lg)
；
cc
da
（2） 实验：发现点
(,lg)
也不是对称中心；
cc
（1） 猜想：对称中心为
(
（3） 论证：先求函数的定义域







根据
(
da
,lg )
的横坐
cc
标

da
d
与定义域的关系可知，点
(,lg)
不是对称中心。
cc
c
第三轮：
bd

ac
,lg
a
)
； （1） 猜想：根据函数的定义域，我们可以猜想对称中心为
(
2c

（2） 实验：作出该点，通过拖动点A、B、C、D来改变函数图像，发现此点恰好是图像的对称中心，
（3）论证：



bd

axb
ac
,lg
a
)
。 探究 结论：函数
ylg(adbc0)
的图像的对称中心为
(
2c
cxd


问题3：作出函数的图像，观察其图像，它是否有对称中心呢？如果有， 请先
猜想出来，并进行证明。如果没有，也请说明理由。
ye
axb
c xd
(adbc0)
y
第一步：在几何画板中，选中问题2中的函数
axb
cxd
表达式，然后鼠标的双击，就可以直接编辑
函数，将它改为后立即得 到图像。
第二步：通过拖动点A、B、C、D来改变函数图像，观察函数图像的对称中心。
第三步：当我们把a,b,c的值令为1，d = -1时，根据图可知，图像没有对称点。（在下方画出图像）
ye
axb
cxd
(adbc0)

探究结论：函数
ye

问题4：作出函数
y
axb< br>cxd
(adbc0)
图像没有对称中心。
axb
(ad bc0)
的图像，观察其图像，你认为它有对称中心吗？如果有，
cxd
请先猜想 出来，并进行证明。如果没有，也请说明理由。
探究步骤：仿照问题3
探究结论：函数
y







axb
(adbc0)
的图像也没有对称中心。（在下方画出图像）
cxd
ae
x
b
(adbc0)
的图像，观察其图 像，你认为它有对称中心吗？如果有，问题5：作出函数
y
x
ced
请先 猜想出来，并进行证明。如果没有，也请说明理由。（在下方画出图像）






dd
,f(ln))
对称；
cc
dadbc
)
对称。 若
cd0时，图像关于点
(ln(),
c2cd
探究结论：若
cd0
时，图像关于点
(ln

问题6：作出函数
y
alnxb
观察其图像，你认为它有对称中心吗？如果有，
(adbc0)
的图像，
cln xd
请先猜想出来，并进行证明。如果没有，也请说明理由。（在下方画出图像）







探究结论：函数图像没有对称点。因 为函数的定义域为
(0,)
，故不可能有对称点。

问 题7：若
f(x)
axb
(adbc0)
，令
f
n 1
(x)f(f
n
(x))(nN
*
)
,
f
1
(x)f(x)
。讨论
cxd
1
yf
n
(x)
图像的对称中心。
推理探究：若
ad0
时，则
f(x)f(x)
























课后探究：探究三角函数
yAsin(

x

)k
的图像与参数
A,

,

,k
之间的关系。


















2.3 探究含绝对值函数的最值（两课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作含绝对值函数的图像
2）根据图像掌握含绝对值函数的最值
教学重点：含绝对值函数图像的制作
教学难点：含绝对值函数最值的探究
教学过程：

问题情境 ：（北大2011自主招生）求
f(x)x12x13x1...2011x1的最小值。
为了解决这个问题，我们不妨从问题1开始，来探究含绝对值函数的最值。

问题1：求函数
f(x)x1
的最小值。
探究实验：
第一步：作出函数
f(x)x1
的图像；
第二步：根据图像可知函数在x=1处得到最小值。（在下面画出你的图像）






问题2：求函数
f(x)x1x2
的最小值。（在下面画出你的图像）







结论：由图可知，当x

1,2

时，函数
f(x)
取到最小值。

问题3：求函数
f(x)x1x2x3
的最小值。（在下面画 出你的图像）
第一步：作出函数
f(x)x1x2x3
的图像；
第二步：根据图像可知函数在x=2处得到最小值。









问题4：求函数
f(x)x1x 2x3x4
的最小值。（在下面画出你的图像）
第一步：作出函数
f(x)x1x2x3x4
的图像；
第 二步：根据图像可知函数在
x

2,3

时得到最小值。






探究推广1：函
数

无限伸展的两条射线，中间各段在区间

a
i
,a
i1< br>
(i1,2,...n1)
上均为线段。它们首尾相连形成折线形，在
中 间点或中间段处最低，此时函数有最小值。








































这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当
xa
1
及
xa
n
时，图像是分别向左、右两边向上

问题5：求函数
f(x)2x1x2
的最小值。
问题转换为求函数
f(x)x1x1x2
的最小值。
第一步：作出函数
f(x)2x1x2
的图像；（在下面画出你的图像）
第二步：根据函数图像或探究推广1的结论，都可知函数在x=1处得到最小值。






我们可以根据问题5的方法来解决北大2011自主招生题：
求
f(x)x12x13x1...2011x1
的最小值。
解：由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值，所以将f (x)整理为

共有1+ 2 + 3 +...2011 = 1006*2011，则f (x)可以理解为x到这 1006*2011个点的距离之和，从两端开
始向中间靠拢，每两个绝对值和的最小值都是在相应的数 据点之间取得，即在正中间的某个数据点或中间
两个数据点之间取得，所以f (x)的最小值在第50 3*2011个和503*2011+1个数据点之间取到为
1592043
。
f( x)
min
f()
1422711
拓展探究：求函数
ya1
xx
1
a
2
xx
2
a
n 1
xx
n1
a
n
xx
n
（
a< br>i
为正数
i1,2n,x
1
x
2
xn1
x
n
）的最值。



















2.4 探究多项式函数图像的对称性（两个课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作多项式函数的图像
2）根据图像掌握多项式函数图像的对称性
教学重点：多项式函数图像的制作
教学难点：多项式函数图像对称性的探究
教学过程：

一、问题情景
我们知道二次函数
yaxbxc(a0)
图像关于直线
x
2
b
对称，那么一般的多项式函数
2a
f(x)a
n
x
n
a
n1
x
n1
a
1
xa
0
(a
n
0)
的对称性究竟怎样呢？

二、探究准备
(1)知识准备
ab
对称；
2
ab
②若函数y = f (x)满足
f(ax)f(bx)2c
，则函数f (x)关于点
(,c)
对称。
2
①若函数y = f (x)满足
f(ax)f(bx)
，则函数f (x)关于直线
x
(2)实验准备
请打开几何画板，在x轴上任取一点M，同时选 取点M和x轴，菜单栏“构造”—“垂线”，作出一
条直线l，在直线l上任取四点A、B、C、D、E 、F，并度量出它们的纵坐标，利用工具栏中的“文字工具”，
将刚才A、B、C、D、E、F的纵坐标 的标签分别改为a,b,c,d,e, f ，这些参数将作为多项式函数的系数。
（3）探究指导
我们要探究多项式函数
f(x)a
n
x
n
a
n 1
x
n1
a
1
xa
0
(a
n
0)
的对称性，可以从特
殊到一般的方法来探究，可以先通过探究二次函数（已知） 、三次
函数、四次函数、五次函数的这些比较特殊的函数的对称性，然后
推广到一般的多项式函 数。在探究的过程中我们借助几何画板的作
图的简便性和图形、数据的动态性的优点，通过观察多项式函 数的
系数变化与图形变化之间的联系，猜想多项式函数的对称性，通过
几何画板的再实验，检验 刚才的猜想是否成立，如果成立，进行推
理论证；如果不成立，再进行实验，提出新的猜想。

三、探究过程
问题1：三次函数
yaxbxcxd(a0)
图像的对称性
怎样？
实验：利用菜单栏“绘图”—“新建函数图像”，作出
32
yax
3
bx
2
cxd(a0)
的图像。通过拖动点A、B、C、D来
改变 参数a,b,c,d 的大小。（在下面画出图像）






发现：在图像的不断变化中发现三次函数图像没有对称轴，有没有对称点不好判断。为了进一 步研究
三次函数是否存在对称点，我们的探究可以采用从特殊推广到一般的研究思路开展。
（1） 三次函数
yax(a0)
图像的对称性怎样？
操作：将参数b ，c，d的值都变为0.在几何画板中选取点B和点M，菜单栏中“编辑”，“操作类按
钮”，“移动” ，点击“移动”按钮，则点B移到点M位置，此时参数b的值变为0，同理操作点C、D，
使得c和d的 值变为0.
实验：通过移动点A的位置，观察函数
yax(a0)
的图像，猜想 其对称性？（在下面画出图像）





3
3

猜想：函数
yax(a0)
图像关于点（0，0）对称。
检验：在几何画板中再次通过拖动点A多次改变参数a的值，发现猜想正确。
证明：由于函数
yax(a0)
是奇函数，故图像关于原点对称。
（2） 三次函数
yaxcx(a0)
图像的对称性怎样？
实验：把 点C从点M处移开，通过移动点A和点C的位置，观察函数
yaxcx(a0)
的图像， 猜
想其对称性？（在下面画出图像）







猜想：图像也关于点（0，0）对称。
检验：同（1）相同，略。
证明：同（1）相同，略。
（3） 三次函数
yaxcxd(a0)
图像的对称性怎样?
实验：再把点 D从点M处移开，通过移动点A、C和D的位置，观察函数
yaxcxd(a0)
的图
像,猜想其对称性？ （在下面画出图像）







3
yaxcxd(a0)
的图像关于点(0, d)对称。 猜想：函数
33
yaxcxd(a0)
yaxcx(a0 )
的图像向上平移了d 个单位，故图证明：函数的图像是
3
3
3
3
3
3
像关于点(0, d)对称。
（4）
三次函数
yaxbxcxd(a0)
图像的对称性怎样？
实验：在前面的基础上，再把点B从点M处移开，通过移动点A、B、C和D的位置，观察函数
32
yax
3
bx
2
cxd(a0)
的图像，猜 想其对称性？（在下面画出图像）







猜想：图像若有对称点，则图像上任意一点的对称点仍然在原图像上，图中的两个峰谷点G和H应该关于该对称点对称，则点G、H的中点为对称点。
检验：连接点G和H线段，选取线段GH的中点 I，在三次函数上任取一点J，作点J关于点I的对称
点J＇，拖动点J，发现点J＇一直在三次函数图 像上，猜想成立。
求解：假设三次函数
yaxbxcxd(a0)
的图像关于点(m, n)对称，则有
32
f(mx)f(mx)2n
恒成立。

问题2：四次函数
yaxbxcxdxe(a0)
图像的对称性怎样？
42
yaxcxe(a0)
图像的对称性怎样？ （1） 四次函数
432
操作：将参数b， d的值都变为0.选取点B和点M，菜单栏中“编 辑”，“操作类按钮”，“移动”，
点击“移动”按钮，则点B移到点M位置，此时参数b的值变为0， 同理操作点D，使得d的值也变为0.
42
yaxcxe(a0)
的图像， 猜想其对称性？
（在
实验：通过移动点A、C、E的位置，观察函数
下面画出图像）

猜想：函数图像关于y轴对称。
证明：四次函数
yaxcxe(a0)
为偶函数。




432
yaxbxcxdxe(a0)
图像的对称性怎样？ （2） 四 次函数
42
实验：将点B和D从点M处移开，通过移动点A、B、C、D、E的位置，观察函数
yax
4
bx
3
cx
2
dxe(a0 )
的图像变化。 （在下面画出图像）






发现：从实验操作可以看出，四次函数不一定有对称轴，但是也有可能有对称轴，那么在什么 条件下，
四次函数有对称轴呢？
432
yaxbxcxdxe(a0)
的图像有对称轴x = m，则 求解：假设四次函数

问题3：探究五次函数
yaxb xcxdxexf(a0)
图像的对称性。
实验：移动点A、B、C、D、E的位 置，观察五次函数的图像变化，探究其对称性。（在下面画出图像）




5432

发现：从图中可以看
出，五次函数图像没有对
称轴，有可 能有对称点，
也有可能没有对称点。





















探究结论：
（1） 二次函数图像有对称轴，三次函数图像有对称点；
（2） 四次函数、五次函数等图像不一定具有对称 性，在它们的系数满足某种特定的条件下才有对称
点或对称轴，且最高次数是奇数（大于1）的多项式函 数图像若对称，则关于点
(
高次数是偶数的多项式函数图像若对称，则关于直线
x 



bb
,f())
对称；最
nana
b
对称。
na

课后作业
有的函数（如三角函数）的图像既有对称轴或对称点， 同时又有周期性，请你探究函数的周期性与对
称性之间的关系。
2.5 探究三角函数的周期性（三个课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作三角函数的图像
2）根据图像掌握三角函数图像的周期性
教学重点：三角函数图像的制作
教学难点：三角函数图像周期性的探究
教学过程：
我们在课本上研究过三角函数< br>ysinx,ycosx,ytanx
的周期，如果我们对这些函数进行一定的
组 合或复合，那么，他们的周期会发生怎样的变化呢？
问题1：探究函数
f(x)sinx(nZ,且n0)
的周期。
实验 准备：先建参数n，并编辑参数n的属性，然后再建函数
f(x)sinx
，并绘制出函数的 图像。
利用“+”或“-”改变参数n的大小，观察函数
f(x)sinx
图像的变 化规律，猜想函数的周期性，并尝
试进行推理论证。
实验操作：选取参数“n=1”，通过“+”将参数n的值分别改为2或3.（在下面画出图像）






观察猜想：通过观察函数的图像发现，当n=1时的周期为2

，当n=2时的周期为

，当n=3时的
周期为2

。
可猜想函数
f(x)sinx
的周期
（1）当
n2k1(k Z)
时，函数
yf(x)
的周期为2

。
（2）当< br>n2k(kZ,且k0)
时，函数
yf(x)
的周期为
。
实验验证：再次改变参数n的数值，如n=4、5、6、…，或n=-1、-2、-3、…通过 实验的检验，刚才
的猜想正确。
推理论证：






















n
n
n
n

问题2：探究函数
f(x)cosx(nZ,且n0)
的周期性。
实 验准备：编辑函数
f(x)sinx
改为
f(x)cosx
，并绘制出函 数的图像。利用“+”或“-”改
变参数n的大小，观察函数
f(x)cosx
图像 的变化规律，猜想函数的周期性，并尝试进行推理论证。
（在下面画出图像）







仿照问题1的探究过程，可以同理找到：
探究结论：（1）当
n2k1(kZ)
时，函数
yf(x)
的周期为2

。
（2）当
n2k(k Z,且k0)
时，函数
yf(x)
的周期为

。
问题3：探究函数
f(x)tanx(nZ,且n0)
的周期性。
实 验准备：编辑函数
f(x)cosx
改为
f(x)tanx
，并绘制出函 数的图像。利用“+”或“-”改
变参数n的大小，观察函数
f(x)tanx
图像 的变化规律，猜想函数的周期性，并尝试进行推理论证。（在
下面画出图像）







探究结论：函数
f(x)tanx( nZ,且n0)
的周期为

。
问题4：探究函数
f(x)s inx(nZ,且n0)
的周期性。（在下面画出图像）






探究结论：
问题5：探究函数
f(x)cos< br>n
x(nZ,且n0)
的周期性。（在下面画出图像）






探究结论：
问题6：探究函数
f(x) tanx(nZ,且n0)
的周期性。（在下面画出图像）


n< br>n
n
n
nn
n
n
nn
n

探究结论：
问题7：探究函数
f(x)sin(sinx)
的周期性。（在下面画出图像）






探究结论：
推广探究1： 探究函数
f(x)sin(sinx)(nZ,且n0)
的周期。（在下面画出图像）





探究结论：
推广探究2：探究函数< br>f(x)sin(sinx)(mZ,且m0)
的周期。（在下面画出图像）





探究结论：
推广探究3：探究函数
f( x)sin(sinx)(m,nZ,且m,n0)
的周期。（在下面画出图像）



探究结论：
问题8：探究函数
f(x)sin(cosx)
的周期性。（在下面画出图像）





探究结论：
问题9：探究函数
f(x)cos(cosx)
的周期性。（在下面画出图像）





探究结论：
问题10：探究函数
f(x)cos(sinx)
的周期性。（在下面画出图像）




mn
m
n

探究结论：
探究推广1：探究函数
f(x)cos(sinx)(nZ,且n 0)
的周期。（在下面画出图像）




探究结论：
探究推广2：探究函数
f(x)cos(sinx)(nZ,且n0)
的周期。 （在下面画出图像）





探究结论：
探 究推广3：探究函数
f(x)cos(sinx)(m,nZ,且m,n0)
的周期。（ 在下面画出图像）




探究结论：
问题11：探究 函数
f(x)sinxcosx(m,nZ,且m,n0)
的周期性。（在下面画出图 像）






探究结论：
问题1 2：探究函数
f(x)sinxcosx(m,nZ,且m,n0)
的周期性。（在下 面画出图像）
、





探究结论： 问题13：探究函数
f(x)sinx•cosx(m,nZ,且m,n0)
的周期 性。（在下面画出图像）
、





探究结论：
课后探究：探究函数
f(x)sinnxcosmx(m,nR, 且m,n0)
的周期性。





nm
nm
nm
nm
n
n

第三章 探究解析几何问题
3.1 探究椭圆中的有关轨迹问题（两个课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作椭圆图像和点的轨迹
2）根据图像探究椭圆中有关轨迹问题
教学重点：椭圆中有关点的轨迹的制作
教学难点：椭圆中有关点的轨迹的探究
教学过程：
求曲线的方程、通过方 程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天我们利用几何画板来探索
点的轨迹问题。
问题1：过原点O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。
实验操作：拖动主动点A 在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M，得到点M的
轨迹是一个小圆。（在下面画 出图像）





推理探究：怎样求出这个小圆的方程？因为OM⊥AB ，所以以
OMF
1
M
22222
22
OF
1
，若设点M 的
c
2< br>c
2
2
222
坐标为(x，y)，点
F
1
的坐标为(c，0)，则
xy(xc)yc
， 即
(x)y()
。
问题2：如图，求动弦AB中点P的轨迹方程。
实验操作：拖动主动点A，得到点P的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段
OF
1
即半焦
距
c
。
2







问题3：在弦AB
上任意取一点Q，跟踪点Q，点Q的轨迹是这样的？
实验操作：在弦AB上任取一点Q，跟踪点Q，拖动主动点A，取到如下三种不同几何图形








问题4：如果将弦AB的 两端A、B分别与椭圆长轴两个端点A1、A2连起来，则这两条直线A2A与A1B
的交点C的轨迹是 什么？

实验操作：发现点Q的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，而是 一条直线。
推理探究：采取常规方法“交轨法”求解，


问题5：如图作ΔOAB的重心G，则点G的轨迹是什么？
推理探究：设A(
x1
，
y
1
)，B(
x
2
，
y
2
)，G(x，y)，

我们还可以得到的几条奇形怪状的曲线：
曲线1：ΔOAB的内心的轨迹是一条“鸡蛋形”曲线，如图所示。
曲线2：ΔOAB的垂心的轨迹是一条“

”形状的曲线，如图所示。

曲线3：ΔOAB的外心的轨迹是一条“反

”形状的曲线，如图所示。
曲线4：ΔOAB中，过点A作OB的垂线，垂足的轨迹是“两叶花卉形”，如图所示。

问题6：作
ABF
2
的重心G，那么点G的轨迹是什么？
推理探 究：设A(
x
1
，
y
1
)，B(
x
2，
y
2
)，G(x，y)，则由
F
2
(c，
0 )与G(x，y)可得AB中
点M的坐标为
(







3xc3
,y)
，
22

此为
ABF
2
的重心G的轨迹方程，说明点G的 轨迹还是椭圆，如右图所示。
拓展研究
1.
ABF
2
的内心的轨迹是是什么？
2.
ABF
2
的垂心的轨迹是什么？
3.
ABF
2
的外心的轨迹是什么？
4.
ABF
2中，过点A作
BF
2
的垂线，垂足的轨迹是什么？
5. 椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲线，那么请在双曲线和抛物线中进行类似探究。

3.2 探究与两定圆相切的动圆圆心轨迹(两个课时)
教学目标：1）掌握利用几何画板制作与两定圆相切的动圆圆心轨迹
2）根据图像探究与两定圆相切的动圆圆心轨迹问题
教学重点：与两定圆相切的动圆圆心轨迹的制作
教学难点：与两定圆相切的动圆圆心轨迹的探究
教学过程：
问题情境：一动圆与圆
xy6x50
外切，同时与圆
xy6x910
内切。
（1） 求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的图形；
（2） 若改变问题中两定圆的大小或位置关系，以及动圆与定圆相切的类型，请你探究动圆的圆心轨
迹是什么？
探究指导：
1. 在数学探究学习过程中，经常使用如下的逻辑思考方法：
其中突 出显示了联系的观点，通过类比、推广、特殊化等，可
以极大地促进我们的数学思考，使我们更有效地寻 找出自己感兴趣
的问题，从中获得研究方法的启示．例如，必选问题中两个定圆的
位置关系是内 含，我们可以类比思考两个定圆如果是外离、外切、
相交、内切时动圆的轨迹将是什么？还有两个定圆的 半径关系又有
大于、等于或小于，改变定圆的半径又将会有什么变化呢？动圆与两定圆的位置关系是相切 ，而相切有可
以分为内切和外切之分。我们还可以将其中一个定圆特殊化成一个定点（点圆）或一条定直 线，此时动圆
的圆心轨迹将是什么呢？等等。
2. 在数学探究学习过程中，我们可以借助几 何画板来帮助我们更好认识问题和解决问题，利用几何画
板做数学实验，发挥信息技术的特点和优势，在 实验中不断发现和探索数学结论。
3. 两定圆的位置关系、半径大小和动圆与定圆的相切类型都可能 影响圆心C的轨迹变化。我们先来分
析“两定圆”，没有告知它们的位置关系，而两圆的位置关系有五种 ：相离，外切、相交、内切、内含等，
故本问题要根据两定圆的位置关系分情况讨论。其次，两定圆的半 径没有说明，有可能一大一小，也有可
能相等。而“相切”又有内切和外切之分，动圆与两定圆相切也不 明确，有可能是同时外切，也有可能同
时内切，还有可能是一内切一外切，如图，我们先把问题涉及的各 种情况先进行分析和分类，这样有利于
对问题进行全面的探究。
2222
下 面我们以两定圆的“位置关系”作为主线进行分类探究实验，再结合考虑“半径大小”和“相切”
类型。 我们利用几何画板的动态演示变化的优点，可以比较清楚观察出动圆圆心C轨迹。
问题1：若圆A与圆B相离
1.1 当
r
1
=
r
2
时
1.1.1 外切：由|AC|=|BC|，所以圆心C的轨迹为线段AB的垂直平分线；如图1.1.1.
1.1.2 内切：由|AC|=|BC|，所以圆心C的轨迹为线段AB的垂直平分线；如图1.1.2.
1.1.3 一内一外：由|AC|-|BC| =
r
1
r
2< br>，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线；如图1.1.3.

1.2 当
r
1
>
r
2
时

1.2.1 外切：由|AC|-|BC|=
r
1
-
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支；如图1.2.1.
1.2.2 内切：由|BC|-|AC|=
r
1
-
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的左支；如图1.2.2.
1.2.3 一内一外：由||AC|-|BC||=
r
1
+
r
2
,
所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线；如图1.2.3.
问题2：若圆A与圆B外切
2.1 当
r
1
=
r
2
时
2.1.1 外切：由|AC|=|BC|，所以圆心C 的轨迹为线段AB的垂直平分线（除出AB的中点）；如图2.1.1.
2.1.2 内切： 由|AC|=|BC|，所以圆心C的轨迹为线段AB的垂直平分线（除出AB的中点）；如图2.1.2.
2.1.3 一内一外：圆心C的轨迹为经过A、B的直线（除去点A、B和AB的中点）；如图2.1.3.

2.2 当
r
1
>
r
2
时

2.2.1 外切：由|AC|-|BC|=
r
1
-
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支（除去圆A、
B的切点）；如图2.2.1.
2.2.2 内切：由|BC|-|AC|=
r
1
-
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的左支；如图2.2.2.
2.2.3 一内一外：圆心C的轨迹为经过A、B的直线（除去点A、B和圆A、B的切点）；如图2.2.3.

问题3：若圆A与圆B相交
3.1 当
r
1
=
r
2
时
3.1.1 外切：由|AC|=|BC|，所以圆心C 的轨迹为线段AB 的垂直平分线（除出线段DE）；如图3.1.1.
3.1.2 内切：由|AC|=|BC|，所以圆心C的轨迹为线段AB的垂直平分线（除出D、E点）；如图3.1.2.
3.1.3 一内一外：由|AC|+|BC|=
r
1
+
r< br>2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆（除去D、E点）；
如图3.1.3.

3.2 当
r
1
>
r
2
时

3.2.1 外切：由|AC|-|BC|=
r
1
-
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支（除去圆B
内部分）；如图 3.2.1.
3.2.2 内切：由||BC|-|AC||=
r
1
-< br>r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的左支和右支在圆B
内部分 ；如图3.2.2.
3.2.3 一内一外：由|AC|+|BC|=
r
1
+
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆（除去圆A与圆B
的交 点D、E）；如图3.2.3.
问题4：若圆A与圆B内切（若
r
1
>
r
2
）
4. 1 外切：圆心C的轨迹为射线（直线AB上切点D的右边部分）；如图4.1.
4. 2 内切：圆心C的轨迹为射线（直线AB上切点D的左边部分，除出A、B两点）；如图4.2.
4.3 一内一外：由|AC|+|BC|=
r
1
+
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆（除去点D）；如
图4.3.

问题5：若圆A与圆B内含（若
r
1
>
r
2
）
5.1 同心

r
1
r
2
的圆；如图5.1.1.
2
rr
5.1.2 内切：圆心C的轨迹为以A为圆心，半径为
12
的圆；如图5.1.2.
2
5.1.1一内一外：圆心C的轨迹为以A为圆心，半径为
5.2 不同心
5.2.1一内一外：由|AC|+|BC|=
r
1
+
r
2
，所以圆心C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆；如图5.2.1.
5.2.2 内切：由|AC|+|BC|=
r
1
-
r
2
，所以圆心C 的轨迹为以A、B 为焦点的椭圆；如图5.2.2.
表1 探究结论汇总表

课后练习
1.如果将两定圆中的其中“一个定圆”改成“一个定点”，那么动圆圆心的轨迹又是什么呢？
2.如果将两定圆中的其中“一个定圆”改成“一条直线”，那么动圆圆心的轨迹又是什么呢？

3.3 探究与两定点关系恒定的动点轨迹（两个课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作与两定点关系恒定的动点轨迹
2）根据图像探究与两定点关系恒定的动点轨迹问题
教学重点：与两定点关系恒定的动点轨迹的制作
教学难点：与两定点关系恒定的动点轨迹的探究
教学过程：
在课本中，我们研究了三类平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹问题：
1.到两定点
F
1
、
F
2
的距离之和等于常数2a(a > 0)
（1）、当 2a >
F
1
F
2
时，动点轨迹是椭圆；
（2）、当 2a =
F
1
F
2
时，动点轨迹是线段
F
1
F
2
；
（3）、当 2a <
F
1
F
2
时，动点轨迹不存在。
2.到两定点
F
1
、
F
2
的距离之差等于常数2a(a > 0)
（1）、当 2a <
F
1
F
2
时，动点轨迹是双曲线；
（2）、当 2a =
F
1
F
2
时，动点轨迹是以
F
1
、
F
2
为端点的两条射线；
（3）、当 2a >
F
1
F
2
时，动点轨迹不存在。
3.到两定点
F
1
、
F
2
的距离之比（商）等于常数m(m > 0)
（1）、当m =1时，动点轨迹是线段
F
1
F
2
的垂直平分线；
（2）、当m

1时，动点轨迹是圆。
问题1：平面内到两定点
F
1
、
F
2
的距离之积等于常数m(m > 0)的动点轨迹是什么呢？
实验探究：
第一步：在线段AB上选取一点C，分别度量出线段AB和AC的长度，并计算出ABAC的大小；
第二步：以点D为圆心，AC长度为半径作圆D，再以点E为圆心，ABAC为半径作圆E，并作出两圆
的交点F；
第三步：同时选取点C和F，作出点F的轨迹。（在下面画出图像）






第四步：通过拖动点B，发现点F的轨迹形状有三种变化。
推理探究：以DE所在直线为x轴，以线段DE的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系；设
D E2c,(c0)
,则D( -c,0) , E ( c,0) ，又设动点F的坐标为( x, y)
DF•DEm
，
(xc)
2
y
2
•(xc)
2
y
2
m

两边平方，化简得：
xy2xy2cx2cycm0

（1）由对称性知识可得，方程所表示的曲线关于x轴、y轴成轴对称，且关于原点成中心对称；
（2）令x=0,得：
y2cycm0
，

(ycm)(ycm)0

则
ymc
或
ymc
（舍去）


当m >
c
时，方程所表示的曲线与y轴交于两点(0,±
mc
2
)；
当m =
c
时，方程所表示的曲线与y轴交于一点（0，0）；
当m <
c
时，方程所表示的曲线与y轴没有交点。
（3）令y=0，得：
x2cxcm0


(xcm)(xcm)0

则
xmc
或
xcm

2222
2222
2 222
2222
42242
4422222242
2
2
2< br>42242


当m >
c
2
时，方程所表示的曲线与x轴交于两点 (±
c
2
m
,0)；
当m =
c
时，方程所表示的曲线与x轴交于三点 （0，0），(±
c
2
m
,0)；
2
当m <
c
时，方程所表示的曲线与x轴交于四点 (±
c
2
m
, 0)，(±
c
2
m
,0)。
由以上（1）、（2）、（3）综合分析可得：
当m >
c
时，方程所表示的图形如图3.3-2.
当m =
c
时，方程所表示的图形如图3.3-3.
当m <
c
时，方程所表示的图形如图3.3-4.
2
2
2
2
图3.3-2
图3.3-3 图3.3-4
问题2：到两定点斜率之积为定值的动点轨迹。
探究实验：
第一步：设立参数m的值，先不妨令m=2；如图3.3-5.
第二步：以点
F1
圆心作一个圆，在圆上任意取一点C，作直线
CF
1
，并度量出改直线 的斜率k；
第三步：计算出mk的值，并计算出以mk为斜率的倾斜角大小；
第四步：过点
F
2
作出以arctan（mk）为倾斜角的直线，并把两直线的交点M 找出；
第五步：同时选取点C和M，作出点M的轨迹；
第六步：改变参数m的值，你能发现什么？

图3.3-5
探究结论：
（1）当m > 0时，点M的轨迹为双曲线；
（2）当m = -1时，点M的轨迹为圆；
（3）当m < 0且m

-1时，点M的轨迹为椭圆。
推理论证：以
F
1
F
2
所在 直线为x轴，以线段
F
1
F
2
的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标 系；设
F
1
F
2
2c,(c0)
，则
F
1
(c,0),F
2
(c,0)
，又设动点M的坐标为( x, y)
yyx
2
y
2
•m
2

2
 1

k
1
•k
2
m
xcxccmc
当m > 0时，点M的轨迹为双曲线，如图3.3-6.
当m = -1时，点M的轨迹为圆，如图3.3-7.
当m < 0且m ﾹ -1时，点M的轨迹为椭圆，如图3.3-8.

图3.3-6
图3.3-7 图3.3-8
问题3：到两定点斜率之和为定值的动点轨迹。
探究实验：
第一步：设立参数m的值，先不妨令m=2；
第二步：以点
F
1
圆 心作一个圆，在圆上任意取一点C，作直线
CF
1
，并度量出改直线的斜率k；
第三步：计算出mk的值，并计算出以m-k为斜率的倾斜角大小；
第四步：过点
F
2
作出以arctan（m-k）为倾斜角的直线，并把两直线的交点M找出；
第五步：同时选取点C和M，作出点M的轨迹；
第六步：改变参数m的值，你能发现什么？
推理论证：

k
1
k
2
m
yy
mmx
2
2xymc
2
，
点M的轨 迹为双曲线。如图3.3-9.
xcxc

图 3.3-9
问题4：到两定点斜率之差为定值的动点轨迹。
实验探究：仿照问题3的步骤，可以发现点M的轨迹为抛物线。如图3.3-10.
推理探究：
k
1
k
2
m

yy
 mm(x
2
c
2
)2cy
，点M的轨迹为抛物线。
xcxc

图3.3-10
探究拓展
1. 动点M与两定点
F
1< br>，
F
2
的连线，若两直线的倾斜角的和为定值，探究动点M的轨迹。
2. 动点M与两定点
F
1
，
F
2
的连线，若两直线的倾斜 角的差为定值，探究动点M的轨迹。
3. 动点M与两定点
F
1
，
F
2
的连线，若两直线的倾斜角的积为定值，探究动点M的轨迹。
4. 动点M与两定点
F
1
，
F
2
的连线，若两直线的倾斜 角的商为定值，探究动点M的轨迹。

3.4 探究抛物线焦点弦的性质
教学目标：1）掌握利用几何画板制作抛物线焦点弦图像
2）根据图像探究抛物线焦点弦问题
教学重点：抛物线焦点弦图像的制作
教学难点：抛物线焦点弦性质的探究
教学过程：
过圆锥曲线焦点的一条直线与圆锥曲线相交有两个交点，这两个交点所确 定的弦我们称为圆锥曲线的
焦点弦。焦点弦有很多有趣的性质，下面我们来利用几何画板探索抛物线的焦 点弦的性质。
问题1：已知抛物线
y2px(p0)
，作一条过焦点F的任意弦 AB，如图3.4-1，设
A(x
1
,y
1
),B(x
2< br>,y
2
)
,
探索A、B的坐标有什么关系？
2
图3.4-1

实验准备：我们利用几何画板一起来探索抛物线焦点弦的 相关性质。我们在几何画板中先制作一条抛
物线，如图3.4-1。
动手操作：我们利用几何 画板软件中的度量菜单，度量出A，B两点的坐标，并对A、B两点坐标（横
坐标、纵坐标）进行加减乘 除等运算。
观察猜想：我们不断改变点A、B的位置，通过观察刚才得到的运算结果，你能提出怎样的猜想？ 实验验证：利用几何画板对猜想进行验证，如果猜想正确，请把它记录下来；如果不正确，请继续利
用几何画板进行实验，能否找到新的猜想？
推理论证：把刚才验证正确的猜想进行严格的推理论证。
交流评价：回顾刚才运用几何画板探究问题的各个环节或过程，有什么体会？获得了什么？
问 题2：图3.4-1中，设直线AB的倾斜角为

，焦点弦AB的长度是多少？有最值吗？
第一步：度量出直线AB的倾斜角

的度数；
第二步：度量出焦点弦AB的长度；
第三步：拖动点A（或点B），观察弦AB的长度变换规律，你能发现什么？
第四步：拖动焦点F的位置，第三步的发现是否仍然成立？如果不成立，继续进行猜想。
第五步：请把合理的猜想进行推理论证。
问题3：图3.4-1中，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，如图3.4-2，探索点A 、O、D
有什么关系？
图3.4-2

第一步：在几何画板中同时 选取点A、B和准线，利用菜单中的“构造”—“垂线”，并标注交点分
别为点C、D。
第二步：拖动点A（或B），观察点A、O、D的位置，你能发现什么？
第三步：请对刚才的猜想进行论证。

问题4：连接线段AO、DO、BO和CO，如图3.4-3，探究∠AOB的最值。
图3.4-3
第一步：连接线段AO、DO、BO和CO；
第二步：度量∠AOB的值；
第三步：改变点A（或点B）的位置关系，观察∠AOB的变化规律；
第四步：对刚才合理的猜想进行论证。
问题5：在图3.4-3中，ΔAOB的面积是多少？有最值吗？如果有最值，在什么条件下取到最值？
提示：仿照“问题2”的方法进行探究。
问题6：在图3.4-3中把线段AO、OD、BO 和CO隐藏，分别作出线段AB和CD的中点M，N，连
接MN、NF、AN、CF、DF和BN，如图 3.4-4，图中元素隐含着哪些性质？
图3.4-4
第一步: 选取线段AO、OD、BO和CO，“显示”中“隐藏线段”；
第二步：选取线段AB和CD，“构造 ”中“中点”，记它们的中点分别为点M、N，连接MN、NF、
AN、CF、DF和BN；
第三步：你能发现哪些性质？
第四步：对你刚才发现的结论进行必要地论证。
问题7：还发现有其它的性质吗？
课后探究
1. 探究椭圆的焦点弦性质。
2. 探究双曲线的焦点弦性质。

3.5 探究直线
x
0
xp(yy
0
)
的几何意义及性质（两个 课时）
教学目标：1）掌握利用几何画板制作直线
x
0
xp(yy0
)
图像
2）根据图像探究直线
x
0< br>xp(yy
0
)
的几何意义及性质
教学重点：直线
x< br>0
xp(yy
0
)
图像的制作
教学难点：直线
x
0
xp(yy
0
)
的几何意义及性质的探究
教学过程：
2
222
问题情境：我们知道直线
x
0
xy
0
yr
是圆
xyr
的极线，今天我们来讨论抛物线的 极线问题，
我们以抛物线
x2py(p0)
作为研究对象。
问题1：若 点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x2py(p0 )
上，求过点P的抛物线的切线方程。
实验操作：
第一步：在几何画板中作出抛物线
x2py(p0)
的图像；（在右侧画出图像）
第二步：在抛物线图像上取一点P，度量出点P的坐标；
第三步：求出函数
x2py(p0)
的导函数；
第四步：根据点斜式的切线方程作出切线。
2
2
2
2
x< br>2
x
x
证明：由
y
，得
y

< br>，
k
0

2p
pp
x
2
切线方程 为
yy
0

0
(xx
0
)x
0xp(yy
0
)x
0
p(yy
0
)

p
2
探究结论1：若点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x2py(p0)
上，则直线
x
0
xp(y y
0
)
是经过点P的抛物
线的切线。
问题2：若点
P( x
0
,y
0
)
在抛物线
x2py(p0)
外部 ，过点P引抛物线的两条切线，分别记为PA，
PB（A，B为切点），求过切点A、B的直线方程。
推理探究：如图，设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
，由定理1有
2
l< br>PA
：
x
1
xp(yy
1
)
，
l
PB
：
x
2
xp(yy
2
)
又由于 P 在直线PA 和
PB上，故
x
0
x
1
p(y
1
y
0
)
，
x
0
x
2
p(y
2
y
0
)
，
即
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
两点在直线
x
0
xp(yy
0
)
上，
故
l
AB
：
x
0
x p(yy
0
)
。
探究结论2：若点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x2py(p0)
外部，过点P
引抛 物线的两条切线，分别记为PA，PB（A，B为切点），则直线
x
0
xp(yy
0
)
表示经过两切点A，B的直线。
实验操作：
第一步：在抛物线外任意选取一点P，并度量出P的坐标；
第二步：作出直线
x0
xp(yy
0
)
的图像，并把该直线与抛物线的交点作好；
第三步：连接直线PA和PB，观察这两直线是否与抛物线相切？
实验结论：通过反复实验，可以发现两直线始终与抛物线相切
第四步：选取切点弦AB的中点，你能发现什么？
实验结论：通过仔细观察，发现直线CP始 终与x轴垂直，即
x
c
x
0
。
推论1：若点C为弦AB 的中点，如图，则点C与点P的横坐标相等，即
x
c
x
0
。 < br>2
x
0
xp(yy
0
)
2
证明：由x
2
2py
消去y得
x2x
0
x2py
0
0

有
x
1
x
2
2 x
0
则
x
c


x
1
x
2
x
0
，得证。
2
第五步：选取线段CP，找到它的中点D，你又能发现什么？
实验结论：中点D始终在抛物线上。

推论2：若P，C的中点为D，则D在抛物线上。
证明：由性质1得
x
D

x
0
x
c
x
0
，
2
2
x
0
y
0
， 而点
C( x
c
,y
c
)
在直线
x
0
xp(yy
0
)
上，有
y
c

p
2
x
0
y
0
y
0
2
2
x
0
y< br>0
y
c
x
0
p
)
在抛物线
x2
2py(p0)
上。
y
D

，，故点
D(x
0
,

2p
222p
第六步：过点P作一 直线与直线AB平行，你能探究出此平行直线的方程吗？
推理证明：设此平行直线为
l
:
x
0
xp(yy
0
)b(bR)

又点
P(x
0
,y
0
)
在直线上，故
P(x
0
,y
0
)
的坐标是方程
x
0
xp(yy
0
)b
的解，
22
得到
bx
0
2py< br>0
，故此直线的方程为
l
：
x
0
xp(yy0
)x
0
2py
0

2
推论3：直线l
：
x
0
xp(yy
0
)x
0
2py
0
为过点P且平行于弦AB的直线。
问题3：若点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x2py(p0)
的内部，那么直 线
x
0
xp(yy
0
)
与抛物线又有什
么关系 呢？
探究实验：
第一步：将问题2中点P从抛物线外部移到内部，
2
实验结论： 发现直线
x
0
xp(yy
0
)
与抛物线没有交点，而直线
x
0
xp(yy
0
)x< br>0
2py
0
与抛
2
物线有两个交点。
2
第二步：作出直线
x
0
xp(yy
0
)x
0
2py
0
与抛物线的交点A、B，通过移动点P的位置，你能发
现什么？
2
实验结论：点P为弦AB的中点，即直线
x
0
xp(yy
0< br>)x
0
2py
0
是以P为弦中点的直线方程。
证明：如图，设
C(x
c
,y
c
)
，由定理2 有
l
AB
：
x
c
xp(yy
c
)
①
2
由性质3 有
l
：
x
c
x p(yy
c
)x
c
2py
c
②
同时，图4中的点C，P分别对应于图3中的点P，C，
由性质1 有
x
c
x
0
③
2
x
0
y
0
④ 由性质2 有
y< br>c
2y
D
y
0

p
2
x
0
y
0
)
，
x
0
xp(yy
0< br>)x
2
把③、④代入①中得
x
0
xp(y
0
2py
0

p
即
l
AB
：
x0
xp(yy
0
)x
0
2py
0
< br>22
x
0
x
0
2
y
0
)x0
2p(y
0
)p(yy
0
)
，即定理3得证 。 把③、④代入②中得
x
0
xp(y

pp
2
探究结论3：若点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x2py(p0)
的内部，以P为中点的弦AB，分别以A， B
2
为切点作两条切线，设两条切线交于点C，则直线方程
x
0
x p(yy
0
)
表示经过C且平行与弦AB的直线；
2
直线方程x
0
xp(yy
0
)x
0
2py
0< br>表示弦AB所在的直线。
拓展探究
x
0
xy
0< br>y

2
1
的几何意义及其性质。
2
ab
xxyy
2. 请你探究直线方程
0
2
0
2
1
的几何意义及其性质。
ab
22
x
0
xy
0
yx
0
y
0
3. 请 你探究直线方程
2
•
2

2
•
2
的几何意 义及其性质。
abab
1. 请你探究直线方程

第四章 几何画板与分形
4.1 几何画板中的迭代（两个课时）
教学目标：掌握利用几何画板中的迭代功能作图像
教学重点：利用几何画板中的迭代功能作图像
教学难点：利用几何画板中的迭代功能作图像
教学过程：
迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就 是用自身的结构来
描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：
n!n•(n 1)!
，
(n1)!(n1)•(n2)!
。
递归算法的特点是书 写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中， 如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们知道
a
n
a
n 1
2
，所以迭
代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像， 迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，
如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......。
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图中A、B、
C、D、 E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其
它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从 左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我
们以A点作为原像，B点作为初像，迭代 一次得到B点，二次为C点，以此类推。
所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指 迭代的次数。那么下面我们通过例子来
进一步地了解迭代以及相关的概念。
几何画板中迭代的 控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深
度迭代。两者没有本质 的不同，但前者需要手动改变迭代的深度后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。
我们先通过画圆的正 n边形这个例子来看一下它们的区别。
例题1 画圆的内接正7边形
360
o
分析：由正7 边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋 转，抓住这个规律，
7
我们可以用迭代功能来解决。
操作步骤：
1. 新建圆O，在圆O上任取一点A。
2. 双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩 放】，旋转参数选为选择固定角度，
360
o
然后在框中输入，得到B点。连接线段A B，
7
3. 选择A点，单击【变换】【迭代】，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像 是正7边形的4
条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次），
4. 单击迭代框的【 显示】按钮，选择【增加迭代】。（或者按键盘的‘＋’或‘－’）。增加三次迭
代后，我们可以看到一 个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次，正7边形制作完成.
5. 单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】，得到的图像仅是最后一条边。
6. 点击迭代框【结构】按 钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅没有点的对象”则迭代的像只有正
多边形的各条边，而没有顶点 ，反之则有。
选择迭代像，我们可以修改他们的属性，比如颜色和粗细等，但是细心的你会发现，线段 的迭代像是
不能够度量其长度的，当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐 标，但是我
们可以得到迭代的终点，方法是选择迭代的点，然后单击【变换】【终点】，可以发现最后的 那个点变成
实点了，这个功能在函数映射里面会用到。
上述方法在增加后减少迭代次数时比较 麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的角度。迭
代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢 ？可以的，这就是深度迭代。
例题2 画圆的任意n边形
操作步骤：
1. 新建圆O并在圆上任取一点A。双击圆心O作为旋转中心。
360
o
2. 新建参数n＝7，计算,注意这时要带单位‘度’，
n

360
o
3. 选择A点，单击菜单【变换】【旋转】，出 现旋转对话框，单击计算结果‘’作为标记角度，
n
得到B点。连接线段AB。
4. 顺次选择点A和参数n，按住“shift”键不放，单击【变换】【深度迭代I】，出现迭代对话框。
单击B点作为初像，屏幕上显示出完整的正7边形。按【迭代】完成操作。
5. 如何改变参数n呢？ 有两种方法，第一种是双击参数n，然后在对话框中输入值。第二种是单击参
数n，按键盘的‘＋’、‘ －’，系统默认变化量为1。右键单击可以修改变化量的大小。
注意：迭代时，作为迭代深度的参数n一定要在最后面选择，这是系统的规定。
上面讲的都是迭代在几何方面的应用，下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方面的应用。
例题3 已知
a
n
2n1
，作出数列

an

的图像
（1） 新建参数n=1，
（2）“数据”、“计算”出n+1的值，
（3）“计算”出n的值，此操作的目的是得到数 列

a
n

的下标，即点
(n,a
n
)< br>的横坐标。
（4）计算出“2n-1”的值；
（5）选取第一个参数“n=1”，“迭代”
（6）用鼠标选取数据表格，右击选取“绘制表 中数据”，选择列中x选择第二个n，y选择2n-1，然
后点取“绘制”
n
(n 1,2......)
的前8项，并在平面上画出散点
(n,a
n
)
。
2
分析：由数列的表达式可知，
(n,a
n
)
是直线y =1+0.5x上面的点。我们要产生两个数列，一个是作为
例题4 求数列
a
n1
横坐标的数列1，2，3......，一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。
实验操作：
1. 新建函数y=1+0.5x。
2. 新建参数a=1,计算a+ 1,a+1-1,f(a),f(a+1)。（计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a。因
为迭代次数为0的时候，f(a)=1.5，a的值在迭代数据表中是不会显示出来的。）
3. 新建参数n＝7作为迭代深度。
4. 选择a和n，做深度迭代,原像是a,初像是a＋1，
5. 右键点击数据表，选择‘绘制表中记录’，设置x列变量为(a+1)-1，y列为f( a)。坐标系为直角
坐标系，
6. 点击绘图，得到散点，这些点是可以度量的。但 是当参数n改变的时候，这些点不与数据表同步，
所以是不会改变的。
例题5 求数列1，3，5，7，9(n=1,2......)的前n项和。
分析：公差为d，前n 项和为
S
n
，
S
n
S
n1
a
n
S
n1
a
1
(n1)•d
，在平面上描(n,S
n
)
。
实验步骤：
1. 新建参数x=1,计算x＋1。
2. 新建参数a=1,d=2。分别表示数列首项和公差。
3. 新建参数s=1,计算s+a+x*d
4. 选择x,x+1,s, s+a+x*d,和n做深度迭代。绘制数据表，x列为x＋1，y列为s＋a+x*d。

同理，等比数列的制作也是一样的。

课后练习 画出菲波拉契数列
a
1
1,a
2
1,a
n
a
n1
a
n2
的图像。








4.2 雪花曲线的初步探究

教学目标：1）掌握利用几何画板制作雪花曲线
2）根据图像探究雪花曲线相关问题
教学重点：雪花曲线的制作
教学难点：雪花曲线的探究
教学过程：
一. 创设情景
投影：屏幕上显示漫天飞雪的情景
设问：同学们对雪花并不感到陌生，那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的赞叹。不知道大家仔细观察过没有，雪花的形状是怎样的？

二. 出示问题
1904年瑞典数学家科赫()讲述了一种描绘“雪花曲线”的方法：
第一步 先给出一个正 三角形(记为
P
1
，如图)，然后把每一条边三等分，以居
中的一条线段为边 向外作正三角形，并把居中的线段去掉，这一操作常称作迭代规
则，于是生成了一个有6个角12个边的 对象(记为
P
2
)。
第二步 在对象
P
2
的基础上，将每个小边三等分，然后以居中的一条线段为边
向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又 生成一新对象（记为
P
3
）,以后重复此
操作,如此一直进行下去……最后生 成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花曲线”（通过数学
故事，吸引学生兴趣，引出研究问题 ）。
实验操作：
1. 画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为13,得 到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为13，得
到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度， 得到E点。
2. 隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。
3. 新建参数n＝3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B),(A,C),(C,E),(E, D),(D,B)。
4. 单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、ED、DB。
改变参数n，观察图形变化。

三. 探究过程
（1）各小组在《雪花曲 线的研究报告》的表格中，绘出对象
P
2
,
P
3
的图形;





目的：亲身体验“雪花曲线”的生成过程；
（2）模拟实验：打开“”软件，大屏幕显示6个全等的三角形；





各小组在计算机上进行模拟实验通过更多的迭代过程，进一步体验“雪花曲线”的生成过程。
（3）研究对象
P
2
与
P
1
各个量（边长、边数、周长、面 积等）之间的关系
（大屏幕显示）参考数据：已知“雪花曲线”如图，若原三角形（
P
1
）的边长为
a
1
，边数为
b
1
，周长
为
L
1
，面积为
S
1
；依次所得的“雪花曲线”（
P
n
）的边长为
a
n
，边数为
b
n
，周长 为
L
n
，面积为
S
n
。（统
一数据，方便研究，为 建立数学模型作准备）
3
2
1
a
2
。
a
1
,
b
2
4b
1
,
L
2
a
2
b
2
,
S
2
S
1
b
1

4
3
3
2
4
a
2
，并得（ 课堂实录：许多小组得出结论是：
S
2
S
1
,教师帮助学生将其转 化为
S
2
S
1
b
1

4
3< br>得到：
a
2

出
b
1
的实际意义）

（4）研究对象
P
3
与
P
2
各个量之间的 关系（类比研究）
3
2
1
a
3
。
a
3
a
2
,
b
3
4b
2
,
L3
a
3
b
3
,
S
3
S
2
b
2

4
3
（5）研究对象
P
n

（研究对象
P
n
与
P
n1
之间边长、边数、 面积的递推关系，然后推导出他们的通项公式）
11
a
n
a
n 1
a
n
()
n1
a
1
；
33b
n
4b
n1
b
n
(4)
n1b
1
；
4
L
n
a
n
b
n
L
n
()
n1
a
1
b
1
；
3
3
2
34
S
n
S
n1
b
n1
a
n
S
n
S
n1
()
n1
S
1

449
34
n2
则
S
n1
S
n2
()S
1

49
……
34
S
2
S
1
S
1
累加得
49
344434834
S
n
S
1
[()
2
()
n1
]S
1
S
1
[1()< br>n1
]S
1
[()
n1
]S
1
< br>499959559
（6）、研究数列

a
n

、< br>
b
n

、

L
n

、< br>
S
n

的特性
①数列

a
n< br>
、

b
n

、

L
n< br>
都是等比数列；
②数列

b
n

、
L
n

、

S
n

都是递 增数列；数列

a
n

是递减数列；
③随着n趋近于+∞ 时，
b
n
、
L
n
的值趋近于+∞，
a
n< br>的值趋近于0，
S
n
的值趋近于
8
S
1
。
5

四. 研究结论
结论1：雪花曲线是连续的，到处是尖端，不光滑；
结论2：边数有无穷多；
结论3：雪花曲线的周长是无穷大；
结论4：雪花曲线围成的面积是有限的。

五. 研究拓展
对于结论1： 说明“雪花曲线”有许许多多的折点，到处都是尖端，用数学语言来讲，曲线虽然连续，
但处处不可微， 即没有切线。这是说明“连续并不一定可微”的一个经典例子，请各小组课后去查阅有关
资料，对其进深 一步了解。
对于结论3、4：由于“雪花曲线”具有的这一特点，当时许多数学家认为“雪花曲线”是 一个“怪物”，
它是高度“病态”的，因此对它不屑一顾，认为毫无用处（因为它对传统的欧氏几何形成 巨大的冲击）。
直到1975年美籍数学家波努瓦·芒德勃罗(bort)创立了分形理论，才得到“ 平反”，并且“雪
花曲线”是分形学科研究的一个典型例子。分形图形具有多重自相似的对象，它可以是 自然存在的，也可
以是人造的。
举例：Mandelbrot集，图中左边的小矩形 部分的放大即图4.2-5；在硫酸铜溶液电解过程中，阴极上铜
的沉积是以分形形式生长的；一根树枝 ，宛如一棵大树的缩小，呈现出明显的自相似性。
设问：平常大家吃的一种蔬菜，也具有分形结构，你能说出来吗？

还有大量 的例子如海岸线、闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、
支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……
分形应用：柯亨（Nathan Cohen）等人已经证明，最有效的宽频（broad-band）天线，其形状必须具自
相似性也就 是属于分形。他以柯赫曲线状的天线做了实验，发现它具有非常优良的宽频效应，而且所占空
间最为紧密 。事实上，摩托罗拉（Motorola）公司所出产的手机电话已经开始用上具有谢尔宾斯基地毡状
的 内藏天线，它不但效率高25%，而且形状规整，不会折损。分形还有许多其他的用途……
有关更多的分形知识和分形故事，向学生介绍有关分形书籍和网站，让学生通过看书或上网去了解。

六. 课后研究材料
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这 些怪物
常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。请各小组通过查找资料，了 解这些
怪物，并选择其中一个进行研究、探索。































4.3 几何画板与分形欣赏

教学目标：1）欣赏几何画板与分形几何图形
2）利用几何画板制作简单的分形图像
教学重点：分形图像的制作
教学难点：分形图像的制作
教学过程：
分形的特点是，整体与部分之间存 在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议
的美学感召力，特别是对于从事分形研 究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知
识，但相对而言，分形美是通俗易懂的 。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管
分岔过程、大脑皮层、消化道 小肠绒 毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云
朵等等，也都是分形。人们对这些东西 太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，
因而由分形而来的分形艺术也并不遥远 ，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代 ，为了叙述的方便，我们先作以下两
个约定。
1. 用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2. (A,B,C),(D,E,F,),(G, H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映
射到H，C映射到 I,如此类推。

1. Sierpinski三角形
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物< br>常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都< br>要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpin ski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角
形的中点，挖去 中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度
趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强 度高，例如埃菲
尔铁塔的结构与它就很相似。
1. 在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点
为D、E、F，连接DEF。
2. 新建参数n＝3。
3. 顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,
(B,C,A),(D,F,A)。
4. 添加新的映射, (B,C,A),(B,E,D)
继续添加映射。(B,C,A),（E,C,F)。
5. 改变参数n可观察图形变化。



2. Sierpinski地毯
和Sierpinski三角形类似，只是步骤多了一些。 取正方形将其9等分，得到9个小正方形，舍去中央
的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每 个小正方形再9等分，并同样舍去中央正方形。按此规
则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的 极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目
趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相 似性。
操作步骤
1. 平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。
2. 以A为缩放中心，B、D缩放为13, 得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为13得到G、H。
同理得到I、J、K、L。连接各点，将 正方形九等分；
3. 并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的 正方形，单击【显示】
【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。
4.新建参数n＝4，顺次选择A、B 两点和参数n，作深度迭代，（A，B）；（G，P）；（P， O）；
（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注 意迭代中点的对
应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。

如果我们制作任意三角形的Sierp inski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶
点都是自由点）， 然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱
锥和正方体的各个 侧面上，如图，可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？













3. 牛顿迭代法与分形
操作步骤：
1. 在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。
2. 在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。
3. 作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量
x
G
,y
G
。
22
2yB
2x
B
y
B
2x
B
x
B
 y
B

4. 在平面上取点F，度量
x
F
,y
F< br>。计算,顺次选择这两个度量

222
222
33(x
By
B
)
33(x
B
y
B
)
结果， 单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。
5. 新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，F ,H。
6. 选择迭代像，单击【变换】 【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算,
x
I
,y
I,
x
I
，
y
I
选择这三个结果和点G（注意是点G）， 单击【显示】【颜色】【参数】，得到G’。
7. 选中G’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE ’,选择刚才的轨迹，按右键追踪轨迹。把F点移
至原点。点击动画按钮，则可以得到M集，调整窗口大 小，如图