（
2009
年广东广州）
25
. 如图,二次函数< br>y
＝
x
2
＋
px
＋
q
(
p
＜
0
)的图象与
x
轴交于
A
、
B
两
点,与
y
轴交于点
C
（
0
,－
1
）,
△ABC
的面积为 .
（
1
）求该二次函数的关系式； < br>（
2
）过
y
轴上的一点
M
（
0
,< br>m
）作
y
轴的垂线,若该垂线与
△ABC
的外接圆有公共点, 求
m
的取值范围；
（
3
）在该二次函数的图象上是否存在点
D
,使四边形
ABCD
为直角梯形？若存在,求出点
D
的坐标；若 不存在,请说明理由.
5
4

（
2009
年广东省中山市）
22
.正方形
ABCD
边长 为
4
,
M
、
N
分别是
BC
、
C D
上的两个动点,当
M
点在
BC
上运动时,保持
AM
和
MN
垂直.
（
1
）证明：
Rt
△
A BM
∽
Rt
△
MCN
；
（
2
）设
BM
＝
x
,梯形
ABCN
的面积为
y
,求
y
与
x
之间的函数关系式；当
M
点运动到什么
位置时,四 边形
ABCN
面积最大,并求出最大面积；
（
3
）当
M< br>点运动到什么位置时
Rt
△
ABM
∽
Rt
△
AMN
,求此时
x
的值.

（
2009
年哈尔滨市）
2 8
.如图,在平面直角坐标系中,点
O
是坐标原点,四边形
ABCO
是菱
形,点
A
的坐标为（－
3
,
4
）,
点
C
在
x
轴的正半轴上,直线
AC
交
y
轴 于点
M
,
AB
边交
y
轴于点
H
.
（
1
）求直线
AC
的解析式；
（
2
）连 接
BM
,动点
P
从点
A
出发,沿折线
ABC
方向以
2
个单位／秒的速度向终点
C
匀速
运动,设△
PM B
的面积为
S
（
S
≠
0
）,点
P
的运动时间为
t
秒,求
S
与
t
之间的函数关系式
（ 要求写出自变量
t
的取值范围）；
（
3
）在（
2
）的条件下,当
t
为何值时,∠< br>MPB
与∠
BCO
互为余角,并求此时直线
OP
与直
线
AC
所夹锐角的正切值.

(
2009
山东省泰安市)
26
.如图所示,在直角梯形
ABCD
中,∠
ABC
＝
90
° ,
AD
∥
BC
,
AB
＝
BC
,
E
是
AB
的中点,
CE
⊥
BD
.
（
1
）求证：
BE
＝
AD
；
（
2
）求证：
AC
是线段
ED
的垂直平分线；
（
3
）△
DBC
是等腰三角形吗？并说明理由.

（
2009
年烟台市）
26
.如图,抛物线
y
＝
a
2
＋
bx
－
3
与
x
轴交于
A
,< br>B
两点,与
y
轴交于
C
点,
且经过点(
2< br>,－
3a
),对称轴是直线
x
＝
1
,顶点是
M
.
(
1
)求抛物线对应的函数表达式；
(
2
)经过
C
,
M
两点作直线与
x
轴交于点
N
,在抛物线上是否存在这样的点
P
,使以点
P
,
A
,
C
,
N
为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请求出点
P
的坐标 ；若不存在,请说明理
由；
(
3
)设直线
y
＝－
x
＋
3
与
y
轴的交点是
D
,在线段
BD< br>上任取一点
E
（不与
B
,
D
重合）,经
过< br>A
,
B
,
E
三点的圆交直线
BC
于点
F
,试判断△
AEF
的形状,并说明理由；
(
4
)当< br>E
是直线
y
＝－
x
＋
3
上任意一点时,（< br>3
）中的结论是否成立？（请直接写出结论）.

（
2009
年山东省日照）
24
.已知正方形
ABCD
中,
E
为对角线
BD
上一点,过
E
点作
EF
⊥
BD
交
BC
于
F
,连接
DF
,
G
为
DF
中点,连接
EG
,
CG
.
（
1
）求证：
EG
＝
CG
；
（
2
）将图①中△
BEF
绕
B
点逆时针旋转
45°
, 如图②所示,取
DF
中点
G
,连接
EG
,
CG.
问（
1
）中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由 .
（
3
）将图①中△
BEF
绕
B
点 旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问（
1
）中的
结论是否仍然成立？通 过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

（
2009
年潍坊市）
24
.如图,在平面直角坐标系
xOy
中,半径为
1
的圆的圆心
O
在坐标
原点,且与两坐标轴分别交于
A
、
B
、
C
、
D
四点.抛物线
y
＝
a
2
＋
bx
＋
c
与
y
轴交于点
D
,与
直线
y
＝
x
交于点
M
、
N
,且
MA
、
NC
分别与圆
O
相切于点
A
和点
C
.
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）抛物线的对称轴交x
轴于点
E
,连结
DE
,并延长
DE
交圆O
于
F
,求
EF
的长.
（
3
）过点
B
作圆
O
的切线交
DC
的延长线于点
P
, 判断点
P
是否在抛物线上,说明理由.

（
2009
年山东临沂市）
26
.如图, 抛物线经过
A
(
4
,
0
),
B
(
1
,
0
),
C
(
0
,－
2
)三点 .
（
1
）求出抛物线的解析式；
（
2
）
P是抛物线上一动点,过
P
作
PM
⊥
x
轴,垂足为
M
,是否存在
P
点,使得以
A
,
P
,
M
为
顶点的三角形与△
OAC
相似？若存在,请求出符合条件的点
P< br>的坐标；若不存在,请说明理
由；
（
3
）在直线
AC
上方的抛物线上有一点
D
,使得△
DCA
的面积最大,求出点
D< br>的坐标.

(
2009
年山东省济宁市)
26
.在平面直角坐 标中,边长为
2
的正方形
OABC
的两顶点
A
、
C
分别在
y
轴、
x
轴的正半轴上,点
O
在原点.现将 正方形
OABC
绕
O
点顺时针旋转,当
A
点
第一次 落在直线
y
＝
x
上时停止旋转,旋转过程中,
AB
边交直线
y
＝
x
于点
M
,
BC
边交
x轴
于点
N
（如图）.
（
1
）求边
OA
在旋转过程中所扫过的面积；
（
2
）旋转过程中,当
MN
和
AC
平行时,求正方形
OABC
旋转的度数；
（
3
）设△
MBN
的周长为
p< br>,在旋转正方形
OABC
的过程中,
p
值是否有变化？请证明你的结论.

（
2009
年 四川遂宁市）
25
.如图,二次函数的图象经过点
D
(
0
,
7
9
3
),且顶点
C
的横坐标
为
4,该图象在
x
轴上截得的线段
AB
的长为
6
.
（
1
）求二次函数的解析式；
（
2
）在该抛物线的对称轴 上找一点
P
,使
PA
＋
PD
最小,求出点
P
的坐标；
（
3
）在抛物线上是否存在点
Q
,使△
QAB
与△
ABC
相似？如果存在,求出点
Q
的坐标；如
果不存在 ,请说明理由.

（
2009
年四川南充市）
21
.如图
9< br>,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点
A
(
3
,
3< br>).
（
1
）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（
2< br>）把直线
OA
向下平移后与反比例函数的图象交于点
B
(
6< br>,
m
),求
m
的值和这个一次函
数的解析式；
（< br>3
）第（
2
）问中的一次函数的图象与
x
轴、
y轴分别交于
C
、
D
,求过
A
、
B
、< br>D
三点的二
次函数的解析式；
（
4
）在第（
3）问的条件下,二次函数的图象上是否存在点
E
,使四边形
OECD
的面 积
S
1
与四边形
OABD
的面积
S
满足：
S
1
＝ S
?若存在,求点
E
的坐标；
2
3
若不存在,请说明理由.

（
2009
年四川凉山州）
26
.如图,已知抛物线
y
＝
a
2
＋
bx
＋
c
经过
A
(
1
,
0
),
B
(
0
,
2
)两点,顶
点为
D
.
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2< br>）将△
OAB
绕点
A
顺时针旋转
90
°后,点
B
落到点
C
的位置,将抛物线沿
y
轴平移后
经过点
C
,求平移后所得图象的函数关系式；
（
3
）设（
2
） 中平移后,所得抛物线与
y
轴的交点为
B
1
,顶点为
D1
,若点
N
在平移后的抛物
线上,且满足△
NBB
1< br>的面积是△
NDD
1
面积的
2
倍,求点
N
的 坐标.

（
2009
年鄂州市）
27
.如图所示,将矩形
OABC
沿
AE
折叠,使点
O
恰好落在
BC
上
F
处,
以
CF
为边作正方形
CFGH
,延长
BC
至
M,使
CM
＝｜
CE
—
EO
｜,再以
CM
、
CO
为边作
矩形
CMNO
.
(
1
)试比较
EO
、
EC
的大小,并说明理由.
S
四边形
CFGH
(
2
)令
m
＝
S
四边形
CNMO
,请问
m
是否为定值？若是,请求出
m
的值；若不是,请说明理由
12
(
3
)在(
2
)的条件下,若
CO
＝
1
,
CE
＝ ,
Q
为
AE
上一点且
QF
＝ ,抛物线
y
＝
mx
2
+
bx
+
c
33
经过
C
、
Q
两点,请求出此抛物线的解析式.
(
4
)在(
3
)的条件下,若抛物线
y
＝
mx
2
＋
bx＋
c
与线段
AB
交于点
P
,试问在直线
BC< br>上是否
存在点
K
,使得以
P
、
B
、
K
为顶点的三角形与△
AEF
相似?若存在,请求直线
KP
与
y
轴的
交点
T
的坐标?若不存在,请说明理由.

（
2009
年湖北省黄石市）
24
、如图甲,在△
ABC
中,∠
ACB
为锐角,点
D
为射线
BC
上一动
点, 连结
AD
,以
AD
为一边且在
AD
的右侧作正方形
ADEF
.

（
1
）如果
AB
＝
AC< br>,∠
BAC
＝
90
°,①当点
D
在线段
BC
上时（与点
B
不重合）,如图乙,
线段
CF
、
BD
之间的位置关系为 ,数量关系为 .
②当点
D
在线段
BC
的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么？
（
2
）如果
AB
≠
AC
,∠
BAC
≠
90
°点
D
在线段
BC
上运动.
试探究：当△
ABC
满足一个什么条件时,
CF
⊥
BC
（点
C
、
F
重合除外）？画出相应图形,
并说明理由.（画图不写作法）
（
3
）若
AC
＝
42
,
BC
＝
3
,在（
2
）的条件下,设正方形
ADEF
的边
D E
与线段
CF
相交
于点
P
,求线段
CP
长 的最大值.

（
2009
年湖北省荆门市）
25.一开口向上的抛物线与
x
轴交于
A
(
m
－
2
,
0
),
B
(
m
＋
2
,
0
)两
点,记抛物线顶点为
C
,且
AC
⊥
BC.
(
1
)若
m
为常数,求抛物线的解析式；
(2
)若
m
为小于
0
的常数,那么(
1
)中的抛 物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(
3
)设抛物线交
y
轴正半轴于
D
点,问是否存在实数
m
,使得△
BOD
为等 腰三角形？若存在,
求出
m
的值；若不存在,请说明理由.

（
2009
年襄樊市）
26
.如图,在梯形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
AD
＝
2
,
BC
＝
4< br>点
M
是
AD
的中
点,△
MBC
是等边三角形 .
（
1
）求证：梯形
ABCD
是等腰梯形；

（
2
）动点
P
、
Q
分别在线段
BC
和
MC
上运动,且∠
MPQ
＝
60
°保持不变.设
PC＝
x
,
MQ
＝
y
,求
y
与
x
的函数关系式；
（
3
）在（
2
）中：①当动点
P
、
Q
运动到何处时,以点
P
、
M
和点
A< br>、
B
、
C
、
D
中的两个
点为顶点的四边形是 平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当
y
取最小值时,判断△
PQC
的形状,并说明理由.

（
2009
年湖南省株洲市）
23
.如图,已知△
ABC
为直角三角 形,∠
ACB
＝
90
°,
AC
＝
BC
,< br>点
A
、
C
在
x
轴上,点
B
坐标为（
3
,
m
）（
m
＞
0
）,线段
AB
与
y
轴相交于点
D
,
以
P
（
1
,
0
）为顶点的抛物线过点
B
、
D
.
（
1
）求点
A
的坐标（用
m
表示）；
（
2
）求抛物线的解析式；
（
3
）设点
Q
为抛物线上点
P
至点
B
之间的一动点,连结
PQ
并延长交
BC
于点
E
,连结
BQ
并延长交
AC
于 点
F
,试证明：
FC
(
AC
＋
EC
)为定 值.

(
2009
贵州省黔东南苗族侗族自治州)
26< br>.已知二次函数
yxaxa2
.
（
1
）求证：不论
a
为何实数,此函数图象与
x
轴总有两个交点.
（
2）设
a
＜
0
,当此函数图象与
x
轴的两个交点的距离为
13
时,求出此二次函数的解析式.
（
3
）若此二次函数图象与< br>x
轴交于
A
、
B
两点,在函数图象上是否存在点
P< br>,使得△
PAB
的
面积为
2
313
,若存在求出P
点坐标,若不存在请说明理由.
2

(
2009
年湖南省益阳市第
20
题)阅 读材料：如图,过△
ABC
的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线
之间的距离叫△
ABC
的“水平宽”(
a
),中间的这条直线在△
ABC
内部线段的长度叫△
ABC
的“铅垂高(
h
)”.我们可得出
一种计算三角形面积的新方法：
S
ABC

A
h

B

水平宽
a

图
1

铅垂高
C

1
ah
,即三角形面积
2
等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图
2
,抛物线顶点坐标为点
C
(
1
,
4
),交
x
轴于点
A
(
3
,
0
),交
y
轴于点
B
.
(
1
)求抛物线和直线
AB
的解析式；
(
2)点
P
是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结
PA
,
P B
,当
P
点运动到顶点
C
时,求
△
CAB
的铅垂高
CD
及
S
△
CAB
；
(
3)是否存在一点
P
,使
S
△
PAB
＝
9
S
△
CAB
,若存在,求出
P
点的坐标；若不存在,请说明理由.
8

y

C

B

1

O

D

x

1

图
2

A

（
2009
年 江苏省）
28
.如图,已知射线
DE
与
x
轴和
y< br>轴分别交于点
D
(
3
,
0
)和点
E
(
0
,
4
).
动点
C
从点
M
(< br>5
,
0
)出发,以
1
个单位长度秒的速度沿
x
轴向左作匀速运动,与此同时,动
点
P
从点
D
出发,也以
1
个单位长度秒的速度沿射线
DE
的方向作匀速运动.设运动时间
为
t
秒.
（
1
）请用含
t
的代数式分别表示出点
C
与点
P
的坐标；
（
2
）以点
C
为圆心、
t
个单位长度为半径的⊙
C
与
x
轴交于
A
、
B
两点（点
A
在点
B
的
1
2
左侧）,连接
PA
、
PB
.
①当⊙
C
与射线
DE
有公共点时,求
t
的取值范围；
②当△
PAB
为等腰三角形时,求
t
的值.

(
2009
浙江省杭州市)
24
. 已知平行于
x
轴的直线
y
＝
a
(
a
≠
0
)与函数
y＝
x
和函数
y
＝ 的
图象分别交于点
A
和点< br>B
,又有定点
P
（
2
,
0
）.
1
x
1
（
1
）若
a
＞
0
,且
tan
∠
POB
＝ ,求线段
AB
的长；
9
（
2
）在过
A
,
B
两点且顶点在直线
y
＝< br>x
上的抛物线中,已知线段
AB
＝ ,且在它的对称轴
左边时,
y
随着
x
的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式；
（
3
）已知经过
A
,
B
,
P
三点的抛物线,平移后能 得到
y
＝
x
2
的图象,求点
P
到直线
AB
的
距离.
8
3
9
5

（
2009
年浙江丽水市）
24
. 已知直角坐标系中菱形
ABCD
的位置如图,
C
,
D
两点的坐标
分别为(
4
,
0
),(
0
,
3
).现有两动点
P< br>,
Q
分别从
A
,
C
同时出发,点
P
沿线段
AD
向终点
D
运
动,点
Q
沿折线
C BA
向终点
A
运动,设运动时间为
t
秒.
(
1
)填空：菱形
ABCD
的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、高
BE
的长是 ▲ ；
(
2
)探究下列问题：
① 若点
P
的速度为每秒
1
个单位,点
Q
的速度为每秒
2
个单位.当点
Q
在线段
BA
上时,求
△
APQ< br>的面积
S
关于
t
的函数关系式,以及
S
的最大值；
②若点
P
的速度为每秒
1
个单位,点
Q
的速度变为 每秒
k
个单位,在运动过程中,任何时刻
都有相应的
k
值,使得△< br>APQ
沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.
请探究当
t
＝
4
秒时的情形,并求出
k
的值.

（
2009
年浙江省湖州市）
24.已知抛物线
y
＝
x
2
－
2x
＋
a< br>(
a
＜
0
)与
y
轴相交于点
A
,顶 点为
1
xa
分别与
x
轴,
y
轴相交于
B
,
C
两点,并且与直线
AM
相交于点
N
.
2
(
1
)填空：试用含
a
的代数式分别表示点
M
与
N
的坐标,则
M( , ), N( , )
； (
2
)如图,将△
NAC
沿
y
轴翻折,若点
N
的对应点
N
恰好落在抛物线上,
AN
与
x
轴 交于点
D
,连结
CD
,求
a
的值和四边形
ADCN
的面积；
(
3
)在抛物线
y
＝
x
2－
2x
＋
a
(
a
＜
0
)上是否存在一 点
P
,使得以
P,A,C,N
为顶点的四边形是
平行四边形？若存在 ,求出
P
点的坐标；若不存在,试说明理由.
M
.直线
y
y
C
N
O
B
A
M






















N'
D
x

（
2009
年浙江省湖州市自选题）
25
.若
P
为△
ABC
所在平面上 一点,且∠
APB
＝∠
BPC
＝
∠
CPA
＝
120
°,则点
P
叫做△
ABC
的费马点.
(
1
)若点
P
为锐角△
ABC
的费马点,且∠
ABC＝60° ,PA＝3,PC＝4,
则
PB
的值为_____；
(
2
)如图,在锐角△
ABC
外侧作等边△
ACB
连结
BB
.
求证：
BB
过△
ABC
的费马点
P
,且BB＝PA＋PB＋PC
.
B'
A
B
C

(
2009
年 甘肃省兰州市)
29
.（本题满分
9
分）如左图,正方形
ABCD
中,点
A
、
B
的坐标分
别为（
0
,
10
）,（
8
,
4
）,点
C
在第一象限.动点< br>P
在正方形
ABCD
的边上,从点
A
出发沿
A→
B
→
C
→
D
匀速运动,同时动点
Q
以相同速度在
x
轴正半轴上运动,当
P
点到达
D
点时,两点同时停止运动,设运动的时间为
t
秒.
(
1
)当
P
点在边
AB
上运动时,点
Q
的横坐标
x
（长度单 位）关于运动时间
t
（秒）的函数图
象如右图所示,请写出点
Q
开始 运动时的坐标及点
P
运动速度；
(
2
)求正方形边长及顶点
C
的坐标；
(
3)在（
1
）中当
t
为何值时,△
OPQ
的面积最大,并 求此时
P
点的坐标；

(
4
)如果点
P
、
Q
保持原速度不变,当点
P
沿
A
→
B
→< br>C
→
D
匀速运动时,
OP
与
PQ
能否相等,若能,写出所有符合条件的
t
的值；若不能,请说明理由.
y
D< br>C
A
P
B
Q
x
x
11
O
1
O10
t

（
2009
年 威海市）
25
.一次函数
y
＝
ax
＋
b
的 图象分别与
x
轴、
y
轴交于点
M
,
N
,与 反比例
函数
y
＝ 的图象相交于点
A
,
B
.过点< br>A
分别作
AC
⊥
x
轴,
AE
⊥
y< br>轴,垂足分别为
C
,
E
；过
点
B
分别作BF
⊥
x
轴,
BD
⊥
y
轴,垂足分别为
F
,
D
,
AC
与
BD
交于点
K
,连接
CD
.
（
1
）若点
A
,
B
在反比例函数
y
＝ 的图象的同一分支上,如左图,试证明：
①
S
四边形
AEDK
＝
S
四边形
CFBK
； ②
AN
＝
BM
.
k
x
k
x
（< br>2
）若点
A
,
B
分别在反比例函数
y
＝ 的 图象的不同分支上,如右图,则
AN
与
BM
还相等
吗？试证明你的结 论.
k
x

(
2009
年浙江省嘉兴市)
24
.如图,已知
A
、
B
是线段
MN
上的两点,
MN
＝
4
,
MA
＝
1,
MB
＞
1
.以
A
为中心顺时针旋转点
M< br>,以
B
为中心逆时针旋转点
N
,使
M
、
N< br>两点重合成一
点
C
,构成△
ABC
,设
AB
＝
x
.
（
1
）求
x
的取值范围；
（
2
）若△
ABC
为直角三角形,求
x
的值；
（
3
）探究：△
ABC
的最大面积？