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探索图形
◎教学笔记
▷教学内容
教科书P44。
▷教学目标
1.通过探索图形的活动，进一步加深对正方体特征的认识和理解。
2 .通过观察、列表、想象等方式探索,发现图形分类计数问题中的规律，体会化繁
为简解决问题的策略， 培养学生的空间想象力。
3.体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想。
▷教学重点
学会从简单的情况中找规律，解决复杂的问题时运用化繁为简的思想方法。
▷教学难点
探究规律，归纳方法。
▷教学准备
课件。
▷教学过程
一、复习旧知识，提出问题
1.复习正方体的特征。
课件出示：一个棱长为1dm的正方体。





师：这是什么图形？
师：正方体有哪些特征？
【学情预设】由于前面刚刚学过长方 体和正方体的相关知识，所以学生对于正方
体的特征应该能够正确表述。
【设计意图】通过回忆和阐述，巩固正方体的特征。
2.引出问题。
课件演示：把这个正方体切割成棱长为1cm的小正方体。


【教学提示】

求没有涂色

的小正方体有多

少块是学生比较
师：如果把它切成棱长为1cm的小正方体，可以切成多少块小正方体？ 难以想到的，教
师：如果把这个大正方体的表面涂上红色，需要涂几个面？（课件演示：把大正师适当引导。
方体6个面涂上红色。）
师：想一想，这些小正方体会有几个面是红色的？如果根据涂色的情况给这些小




1

正方体分类，你会分成几类？
◎教学笔记
【学情预设】分为四类：三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和没有涂色的。
3.揭示课题。
师：每一类小正方体分别有多少块呢？请你来数一数，有什么感觉？
【学情预设】稍微给点时间让学生数一下，发现很复杂。
【教学提示】
师：这个图形太复杂了，怎样才能解决这个问题呢？你们有好的办法吗？
当学生有不
【学情预设】学生已经会计算长方体和正方体的体积，会进行体积单位的换算，
同的想法时，教
所以学生能够很快计算出“切成多少块小正方体”，但“每一类小正方体分别有多少块”
师请其他学生分
则有些困难，需要教师引导学生去寻找解决问题的策略并化繁为简。
析可行性。
师：这节课，我们一起继续探索有关图形的问题。（板书课题：探索图形）

【设计意图】创设问题情境，引出“4类小正方体各有多少块”的问题。让学生充

分 感受到用已有知识和经验解决不了，从而产生认知冲突，促使学生主动思考新的方
法，化繁为简、探索规 律，进而掌握解决问题的策略。
二、探究活动，寻找规律
1.合作探究。
师：让我们从最简单的图形开始，看看你们有什么发现？
课件出示以下3个图形。







师：请每个小组4人相互合作，完成以下任务。
课件显示活动要求：











【 学情预设】因为提供的是最简单的3种情况，所以学生在合作的基础上应该能
够完成任务。需要注意的是 ，要提醒学生在数的时候拿好正方体，有序地数，不要重
复和遗漏。



2

【设计意图】设计的3个问题是有层次的，先是观察各类小正方体所在的位 置，
◎教学笔记
接着数一数有多少个，最后是寻找规律，分析原因。这样的设计有利于帮助学 生积累
分析图形的经验，也有利于帮助学生进行空间想象，培养空间观念。
2.汇报交流。
（1）学生分组上台汇报，教师注意及时追问以下问题：（课件同步呈现、学生汇
报结果）
【教学提示】
师：三面涂色的小正方体有几块？在什么位置？
要照顾到不
师：两面涂色的小正方体有几块？在什么位置？
同层面的学生，
师：一面涂色的小正方体有几块？在什么位置？
在交流时，同学
师：没有涂色的小正方体有几块？在什么位置？你是怎么算出来的？
相互补充，逐步
【学情预设】学生的汇报有可能从不同类小正方体所在的位置来回答，即：三面
完善。
涂色的小正方体都在顶点的位置上，两面涂色的小正方体都在原来大正方体的棱的中
间 位置上，一面涂色的小正方体都在原来大正方体的面的正中间，没有涂色的小正方
体都在原来大正方体的 中心。也有可能从各类小正方体的块数来回答，即：三面涂色
的小正方体，三个图形都是8块；两面涂色 的小正方体，正方体①没有，正方体②有
12块，正方体③有24块；一面涂色的小正方体，正方体①没 有，正方体②有6块，
正方体③有24块；没有涂色的小正方体，正方体①没有，正方体②有1块，正方 体
③有8块。
（2）初步发现规律。
结合学生的汇报，课件呈现数据。









师：仔细观察这些数据，各类小正方体的块数变化有什么规律？
【学情预设】在数量变化的规 律和原因的分析上，学生也许有困难，教师可以结
合表格上的数据和物体模型，让学生一边看，一边数， 一边分析。
【设计意图】通过数据统计，引导学生分析各类小正方体的位置、数量、规律，
在 对比中培养学生有序思考的能力和空间想象力。
三、大胆猜测，总结规律
1.师：照这样的 规律，你能猜想一下第④个、第⑤个大正方体的结果吗？请将结
果填在下表中。
课件出示图形。




3

学生根据规律填写表格，汇报结果，教师课件演示，验证结果。

2.总结归纳。
师：每类小正方体的块数有什么规律呢？
师生共同归纳总结。
（1）三面涂色的小 正方体都在大正方体的顶点的位置。因为正方体有8个顶点，
所以都有8块三面涂色的小正方体。 （2）两面涂色的小正方体在正方体棱上除去两端的位置，因为正方体有12条棱，
所以有(每条棱 上小正方体块数-2)×12块。
（3）一面涂色的小正方体在正方体的每个面除去周边一圈的位置， 因为正方体
有6个面，所以有(每条棱上小正方体块数-2)2×6块。
（4）没有涂色的小 正方体在正方体里面除去表面一层的位置，所以有(每条棱上
小正方体块数-2)3块，或用总块数－三 面涂色的块数－两面涂色的块数-一面涂色的
块数。
师：如果把棱长为n的大正方体涂色，切 割成棱长为1的小正方体，三面涂色、
两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少块？
引导学生学会用字母表示各类小正方体的个数：（板书）
三面涂色的小正方体块数=8
两面涂色的小正方体块数=(n-2)×12
一面涂色的小正方体块数=(n-2)2×6
没有涂色的小正方体块数=(n-2)3
【学情预设】有了前面的探索，学生应该能够根据规 律分析出各类小正方体各有
多少个，进而归纳出各类小正方体数量的计算公式，初步建立模型。
【设计意图】通过第一轮的自主探究，学生初步发现了规律，但还不能完全确定，
此番经过两次预测和 验证，再次证明规律的正确性。使学生经历发现规律—验证猜想
—总结归纳—应用规律的全过程，从而让 学生学会探索规律的方法，积累数学活动经
验，在活动中培养学生观察、分析、抽象和概括的能力。


◎教学笔记


【教学提示】
前面三个大
正方体中已经发
现了各类小正方
体的个数规律，
这里主要是运用
规律 进行推理。
交流时，引导学
生说说每个数据
是怎么来的。
4

四、回顾例题，建构模型
◎教学笔记
师：现在知道把棱长为1dm 的正方体切割成棱长为1cm的小正方体，一共有1000
个小正方体，其中三面涂色、两面涂色、一面 涂色和没有涂色的各有几个吗？

【学情预设】经过了前面的学习和应用，学生应该能够独立 完成并得出三面涂色
的小正方体有8块，两面涂色的小正方体有(10-2)×12＝96（块），一面 涂色的小正方
体有(10-2)
2
×6＝384（块），没有涂色的小正方体有(1 0-2)
3
＝512（块）。
【设计意图】引领学生体会从简单的问题入手，能帮助 我们解决疑难的问题，体
会化繁为简的妙用，同时感受探索规律、建立模型的过程，进而有效解决同类问 题。
五、分层练习，巩固迁移
1. 课件出示下面的图形。

【教学提示】

此类题也是

探索规律，但跟

前面的活动有区

别。先让学生自

主探索，发现规
师：如果摆成上面的几何体，需要多少块小正方体？
律，再运用规律。
师：你打算怎么分类？怎样数？
师生交流，总结规律。
第一层：1块
第二层：(1+2)块
第三层：(1+2＋3)块
第四层：(1+2+3＋4)块
……
第1个图形小正方体总数：1+(1+2)=4（块）
第2个图形小正方体总数：1+(1+2)+(1+2+3)=10（块）
第3个图形小正方 体总数：1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20（块）2.师：按照这
样的规律 ，摆第5个几何体需要多少块小正方体？3.师：如果把这几个几何体的表面
涂上颜色，你能根据涂色的 情况给这些小正方体分类吗？
【学情预设】经过了前面的学习和应用，学生应该能够完成，如果学生有 困难，
可以让他们先小组交流再尝试解决。
【设计意图】利用前面积累的经验和方法解决新的 问题，进一步提高学生解决问
题的策略意识和能力。
六、课堂小结
师：通过这节课的学习，你明白了什么？还有什么疑问吗？
【设计意图】让学生谈谈学习的收 获和困惑作为全课的总结，给学生一个自我梳
理、自我反思、自我总结的机会，引领学生体会学习中应用 到的各类数学思想。



5

▷板书设计
探索图形
三面涂色的小正方体块数=8

两面涂色的小正方体块数=(n-2)×12
一面涂色的小正方体块数=(n-2)2×6
没有涂色的小正方体块数=(n-2)3
▷教学反思
“综合与实践”是学生最喜欢 的学习活动，要给予学生充分的时间和空间，让全体
学生参与，在看一看、数一数、想一想、说一说等活 动中，自己去探索图形中的奥秘，
以达到巩固相关知识、培养空间想象力的目标。本节课中，学生小组合 作，数一数、
比一比，通过表格分析数据发现规律，再运用规律。活动内容比较丰富，也积累了探
索规律的活动经验。
▷作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业P27第三题。
三、一个正方 体，先在它的每个面都涂上红色，再把它刚好切成棱长是1cm的
小正方体。已知两面涂色的小正方体有 96个，这个正方体的体积是多少立方厘米？
参考答案
三、96÷12=8（个） （8+2）
3
=1000（cm
3
）






















◎教学笔记
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