海南大学二本-我的路作文

第1讲 估算


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在计数、度量和计算过程中， 往往需要对某些量做一个大致估计，估算就是对这些量的
粗略运算。通过估算得到的与实际情况相近、有 一定误差的数叫做近似数。表示近似数近似
的程度叫做近似数的精确度。
用位数较少的近似数 代替位数较多的数时，要遵守一定的取舍法则。要保留的数位右边的所
有数叫做尾数。取舍尾数主要有三 种方法：
（1）去尾法：把尾数全部舍去。
（2）收尾法：把尾数舍去后，在它的前一位加上1。
（3）四舍五入法：当尾数最高位上的 数字是不大于4的数字时，就把尾数舍去；当尾数
最高位上的数字是不小于5的数字时，把尾数舍去后， 在它的前一位加1。

重点·难点
本书的重点是选择恰当的方法对某个数或算式 进行估算，从而确定它的取值范围。四舍五入
法和放大缩小法都是常用的解题方法。

学法指导
在运用放大缩小法时，放大或缩小的幅度要适当，否则就不能得到准确的取值范围， 所得的
近似数也达不到题目要求的精确度。在放缩时可以先用较大的幅度去试，如果发现太大时，
再把幅度调整得小一些，重新估算，从而逐步达到目的。

经典例题
［例1］已知，求x的整数部分是多少？

思路剖析
这道题我们可 以利用通分的方法求出精确值，但这样做的计算量是巨大的。然而题目只要求
我们求出x的整数部分，并 不要求我们求出精确值，因而我们可以运用“放大缩小法”，粗
略地估计一下x介于哪两个数之间，再根 据这两个数确定x的整数部分。

解答

答：x的整数部分为90。
［例2］有7个自然数，其平均值约等于30.27，后来发现这 个数小数点最后一位数是错的，
问这7个自然数的平均值应该约为多少？

思路剖析
由于

已知这7个数均为自然数，可得的结果也应为自然
，从而有
数,据此可求出这7个自然数的平均值。

解答
设这7个自然数的和为M，则据题意有

因为M表示的是7个自然数的和，因此M是整数，所以M=212。
因此这7个数的平均值应为
答：这7个自然数的平均值应该约为30.27。
［例3］在下列方框里填上两个相邻的自然数使不等式成立：


思路剖析
本题要求填入两个连续的自然数，不难发现左边的“□”内至少是2，这是由于：

据此可猜想右边的“□”内是3或4等。我们可以通过放大或缩小分母的值来达到估计出 这
个数的范围的目的。

解答

所以
又因为
所以有
［例4］小龙2002年的年龄等于他出生那年年号的各位数字之和减去3。请问他在 2002年
几岁？

思路剖析
已知小龙是2002年前出生的，并 且可以检验他不是出生于2000年或2001年，所以他出生
于2000年以前，而2000年以前各 年年号的各位数字之和最大的是1999年，由此可知，小
龙年龄最大不超过1+9+9+9-3=25 岁。所以他应出生在2002-25=1977年后。
若他出生在1986年，则他的年龄是16岁， 而年号的各位数字之和减去3等于21，不符合
题意。若他出生在1986年以后，则他的年龄不超过1 6岁，而各年年号的各位数字之和减去
3均大于16，不符合本题要求。所以他出生在1977年至19 85年之间。

解答
设小龙出生于，x为一位数，则
2002-1980-x=1+9+8+x-3
22-x=15+x
2x=7
x=3.5（不合题意，舍去）
设小龙出生于，y为一位数，则
2002-1970-y=1+9+7+y-3
32-y=14+y
2y=18
y=9
答：小龙出生于1979年，2002年他23岁。
［例5］与的大小。

思路剖析
本题如果以常规方法来计算，会显得相当麻烦，观 察前一个数的分子和分母，依次由自然数
1，2，…，15，16组成，因此可以引入另一个数

解答
后，再来与比较。
设，则有

由于a有8项，b有7项，且a的前7项都对应小于b 的前7项，并且a的第8项所
以a
即
［例6］记号［x］，表示不超过数x的最大整数。
比如：［2.3］=2，，［5］=5，试计算下列式子：


思路剖析
观察式子，可知本题中分数的分母均为80，而分子的一般形式为k(k+1)，其中k=1 ，2，3，…，
30，即分子为两个连续的自然数的乘积。再考虑当k=8时，
这说明当k=1 ，2，…，8时，
其他情况我们可以类似讨论得出。

解答

由于式中各项分数的分子都是两个连续自然数之积，因此可表示为k(k+1)，k=1，2 ，3，…
30。所以各分数都可以写成
由于8×9=72<80，而9×10=90>80，因而当k=1，2，…，8时，；
由于 12×13=156<160，而13×14=182>160，因而当k=9，10，11，12时，
由于15×16=240，因而当k=13，14时，；
由于17×18=306<320，而18× 19=342.>320，因而当k=15，16，17时，；
由于19×20=380<400，而2 0×21=420 >400，因而当k=18，19时，；
由于21×22=462<480，而22×23=506>480，因而当k=20，21时，；
类似讨论可知：
当k=22，23时，
当k=24时，；
当k=25，26时，；
当k=27时，；
当k=28，29时，；
当k=30时，；
由上述讨论可知：
；

< br>［例7］有一个算式，，其中A、B、C均为自然数，左式四舍五入得到
右边的近似值1.16。 那么A、B、C分别代表哪几个自然数？

思路剖析
本题可以采用估值的方 法先确定左边算式的精确值所在范围，并且1.16是四舍五入得到的，
因此左边的值一定介于1.15 5与1.164之间。从而可以确定一个与A、B、C有关的等式，
再分析讨论A、B、C的具体数值， 这一步骤则通过A、B、C是自然数来求得。

解答
☆解法一：由已知得

由于A、B、C是整数，所以35A+21B+15C也是整数，因此35A+21B+15 C=122。
首先确定A的取值范围，容易看出A最大只能取3。否则若A=4，则35×4=140 >122。这
说明A=1，2，3。
（1）当A=1时，21B+15C=122-35=87， 解得B=2，C=3。
（2）当A=2或3时，经试验此时方程无自然数解。
从而A=1，B=2，C=3
☆解法二：因为
所以

又0.676<1.16<1.352，所以至少包括一个。

1.16-0. 676=0.484，而，，
，所以0.484中至少包含一个。
如果用，，则误差较大，应舍去。
可由组成，从而A、B、C这三个数依次为1、2、3。

点津
本节易错点在于使用“放大缩小法”过程中，不能做到“放缩”适度。 如果取的位数少了，
范围太大，无法确定；如果取的位数多了，计算量太大，繁琐且没有必要。要想做到 “放缩”
适度，我们需在实践中不断积累解题经验。比如对例题2，我们用了三次放缩法，才得到符合题意要求的近似值。只要逐步试探，逐步缩小范围，才可以得到符合题意的近似值。



发散思维训练
1．哥哥对弟弟说：“到21世纪的某一年，我的年龄 的平方刚好是那一年的年份数。”哥哥
的出生年份是______年。
2．的整数部份是______。
3．已知，A的小数部分的前三位数是______。
4．1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01的整数部分是______。
5．在下面的横线处分别填入两个相邻的整数，使不等式成立。

6．计算下式，精确到小数点后三位数的近似值。1357902468÷8642097531 7．李军读一本书，如果每天读80页，需4天多读完，如果每天读90页，需3天多读完。
现在， 为使每天读的页数与读完的天数相等，则每天应该读多少页？

8．有30个数：，，， …，，如果取每个数的整数部分（例
如1.64的整数部分是1，
多少？
的整数部分 是2），并将这些整数相加，那么其和等于
9．下列是经过四舍五入得到的一个式子：，其中A、B、C 分别代表三
个一位的自然数，求A、B、C代表的三个自然数分别是多少？


参考答案
1．解：
显然，到21世纪的那一年，哥哥的年龄应该是两位数，且这个 两位数的平方应在2000到
2099之间。由，，所以这个两位数应在40到50之间。再由，
，因此这个两位数是45，所以哥哥出生在2025-45=1980（年）。
2．解：
设，所以

由于a是介于1和的数，所以a的整数部分是1。
3．解：
为了得到三位有效数字，只要对分子、分母同时保留四位数字即可，由

0.1343

因此A≈0.134，从而A的小数部分的前三位数是1、3、4。
4．解：
本题用到一个规律：当两个数的和一定时，这两个数越接近，则它们的乘积越大。
在本题中， 1.22+8.03=1.23+8.02=1.24+8.01，并且8.03-1.22>8.02-1.2 3>8.01-1.24，所以1.22
×8.03<1.23×8.02<1.24×8.01
再由1.22×8.03>1.22×8 所以原式>1.22×8×3=29.28
而1.24×8.01<1.25×8 所以原式<1.25×8×3=30
由29.28<原式<30可知，原式的整数部分是29。
5．解：
因为，，…，
并且
因此

所以原式介于整数3和4之间。
6．解：
为了使原式精确到小数点后三位数，只要将被除数与除数均舍去6位，从而

因此原式精确到小数点后三位数的近似值是0.157。
7．解：
若每天应读x页，则读完后的天数也应为x，根据题意得

即
同时有
（1）

（2）
由（1）与（2）可以得到

再由，，
的取值范围
只有x=18符合题意，故每天应该读18页。
8．解：

通过分别 求30个数再求和是不明智的，考虑到这三十个数按从小到大的顺序排列的，而
1<1.64<2，，因 此这三十个数均介于1与3之间，它们的整数部分只能取
1或2，所以只要确定“分界点”。
因为，所以的整数部分是1，的整数部分是2。
这样，前十一个数的整数部分是1，后十九个数的整数部 分是2。因此这些整数相加其和是
1×11+2×19=11+38=49。
9．解：
由已知，显然有，并且A、B、C中不含2。
因为，所以超出范围。
再由，所以A、B、C中有一个数是3或4，不妨设A=3，则有

经检验此时B=5，C=8。
对A=4，则有
经检验此时无符合题意的自然数。
综上所述，这三个自然数分别是3、5、8。