五四演讲-机关党员公开承诺书

北师大版初中数学知识点汇总
(最全)

北师大版初中数学七年级上册知识点汇总
第一章 丰富的图形世界





¤1.

圆柱:底面是圆面
，
侧面是曲面
柱体


棱体:底面是多边形
，
侧面是正方形或 长方形
¤2.

圆锥:底面是圆面
，
侧面是曲面
锥体< br>

棱锥:底面是多边形
，
侧面都是三角形
¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面）
¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。
①几何体与 外界的接触面或我们能看到的外
表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲
面；
②面与面相交得到线；
③线与线相交得到点。
※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都
叫做棱。
．
※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱，所
．．
有侧棱长都相等。
¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形
状都是长方形。
¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三

2

棱柱、四棱 柱、五棱柱、六棱柱……它们底
面图形的形状分别为三边形、四边形、五边
形、六边形……
¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。
¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形
和一个长方形连成。
¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个
扇形连成。
※12. 设一个多边形的边数为n(n≥ 3，且n为
整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；
可以把n边形成(n-2)个三 角形；这个n边形
共有
n(n
2
3)
条对角线。
◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧，弧是一条曲
．
线。
◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两
条半径所组成的图形。
¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧
或不封闭图形都不是多边形。
第二章 有理数及其运算




正整数(如:1,2,3)


整数

零(0)


负整数(如:1,2, 3)



有理数

11

正分数( 如:,,5.3,3.8)


23

分数


负分数(如:
1
,
1
,2.3,4.8)

23


3

※




※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三
者缺一不可）。
※任何一个有理数， 都可以用数轴上的一个点来
表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示
有理数）
※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一
个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相
反数。（0的相反数是0）
※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原
点的侧，且到原点的距离相等。
¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。 ※绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上
表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。
※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的

4

数；0的绝对值是0。

a(a0)

|a|

0(a0)

a(a0)

或

a(a0)
|a|


a(a0)

越来越大
-
-
-0
1
2
3
※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数
有两个，它们互为相反数；
互为相反数的两数（除0外）的绝对值
相等；
任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0
※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比
较两个负数的大小的步骤如下：
①先求出两个数负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出
正确的判断。
※绝对值的性质：
①对任何有理数a，都有|a|≥0
②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然
③若|a|=b，则a=±b
④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
※有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同
符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时

5

和为0；绝 对值不等时取绝对值较
大的数的符号，并用较大数的绝
对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适
用。
¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列
规律：①互为相反的两个数，可以先相加；
②符号相同的数，可以先相加；
③分母相同的数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加。
※有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这
个数的相反数。
¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算
符号；
②改变减数的性质符号（变为相反数）
有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交
换律。
¤有理数的加减法混合运算的步骤：
①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若
有 减法，应由有理数的减法法则转化为加法，

6

然后再省略加号和括号；
②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。
（注意： 减去一个数等于加上这个数的相反数，
当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相
反数。）
※有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，
异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘，积仍为0。
※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：
35
-2与
1
、
与
…等）
2
53
※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算
中同样适用。
¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；
②求出各因数的绝对值的积。
¤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：
①零没有倒数
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位
置。一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
※有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号
得正，异号得负，并把绝对值相除。

7

②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，
否则无意义。
个a

n

※有理数的乘方
aaaa
a
n


指
底
幂
※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如
5=5
1
；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括
上，再在右上角写指数。
※乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再
计算幂的绝对值。
※有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,
最后算加减。
②如果有括号,先算括号里面的。
第三章 字母表示数
※代数式的概念：

8

用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）< br>把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数
．．
式。单独的一个数或一个字母也是代数 式。
．
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算
符号外，还可以有括号； < br>②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
等式和不等式都不是代数式，但等号和不
等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这
个代数式有意义， 是实际问题的要符合实
际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如
4a；
③带分数与字母相乘时，应先 把带分数化成假分
7
数后与字母相乘，如
2
1
a
应写作< br>a
；
3
3
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即
“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数
4
的写法来写，如4÷（a-4）应写作
a
；注意：
4

9

分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位
名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名
称写在式子的后面，如
(a
※代数式的 系数：
代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的
．．．．
系数。如3x,4y的系数分别为3，4。
．．
注意：①单个字母的系数是1，如a的系数是
1；
②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如
-ab的系数是-1。ab的系数是1
※代数式的项：
代数式
6x
数项
注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交
待。
※同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的
项叫做同类项。
注意：①判断几个代数式是否是同类项
有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字

10
2
2
b
2
)
平方米
3
2x7
表示6x
2
、-2x、-7的和，6x
2
、
-2 x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常

母的指数也相同。这两个条件缺一不可；
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
③几个常数项也是同类项。
※合差同类项：
把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类
项。
①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；
②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所
得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
注意：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类
项后结果为0；
②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每
步运算中都要写上；
③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是
代数式。
※根据去括号法则去括号：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的
“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号< br>前面是“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
※根据分配律去括号：
括号前面是“+”号看成+1，括号前面是

11

“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1
去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。
※注意：
①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还
是“－”号；
③改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各
项都不变号。
第四章 平面图形及位置关系
一. 线段、射线、直线
※1. 正确理解直线、射线、线段的概念以及它
们的区别：
名
称
直
线
射
线
线
段
A
l
B
图形 表示方法 端点 长度
直线
无端无法度
量
无法度
量
可度量
l
A
B
AB
(或
BA
)

点
直
线l
OM

射线OM 1个
线段
AB
(或
BA
) 2个

长度
线段
l


12

※2. 直线公理:经过两点有且只有一条直线.
二.比较线段的长短
※1. 线段公理:两点间线段最短;两之间线段的
长度叫做这两点之间的距离.
※2. 比较线段长短的两种方法:
①圆规截取比较法;
②刻度尺度量比较法.
※3. 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、
差、倍、分;
用圆规可以画出线段的和、差、倍.
三.角的度量与表示
※1. 角:有公共端点的两条射线组成的图形叫
做角;
这个公共端点叫做角的顶点;
这两条射线叫做角的边.
A
※2. 角的表示法：角的符号为“∠”
B
图1
O
b
图2
①用三个字母表示，如图1所示
∠AOB
②用一个字母表示，如图2所示∠b
③用一个数字表示，如图3所示∠1
1
β
④用希腊字母表示，如图4所示∠β
※经过两点有且只有一条直线。

13
图3
图4

※两点之间的所有连线中，线段最短。
终边
※两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距
．．．．．．．
始边
离。
图5
．
1º=60’ 1’=60”
※角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋
转而成的。如图5所示：

※一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一
条直线时，
所成的角叫做平角。如图6所示：
图6
．．
平

※终边继续旋转，当它又和始边重合时，
所成的角叫做周角。如图7所示：
图7
．．
周

※从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分
成两个相等 的角，这条射线叫做这个角的平分
．．．．
线。
．
※经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直
线平行。
※如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两
条直线互相平行。

14

※互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
．．
※平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直。
※如图8所示，过点C作直线AB的垂线，垂足
C
为O点，线段CO的长度叫做点到 直线的距
．
C
．．．．
AB
．．．．
离。
．


第五章 一元一次方程
A
O
B
图8
※在一个方程中，只含有一个未知数x（元），
并且未知数的指数 是1（次）,这样的方程叫做
一元一次方程。
．．．．．．
※等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所
得结果仍是等式。
※等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为
0的数），所得结果仍是等式。
※解 方程的步骤：解一元一次方程，一般要通
过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知
数的系数 化为1等几个步骤，把一个一元一次
方程“转化”成x=m的形式。
第六章 生活中的数据
※科学记数法：一般地，一个大于10的数可以

15

表示成a×10的形式，其中1≤a<10，n是正整
数，这种记数方法叫做科学记数法。
．．．．．
※统计图的特点：
折线统计图：能够清晰地反映同一事物在不同时
期的变化情况。
条形统计图：能够清晰地反映每个项目的具体数
目及之间的大小关系。
扇形统计图：能够清晰地表示各部分在总体中所
占的百分比及各部分之间的大小关系
统计图对统计的作用：
（1）可以清晰有效地表达数据。
（2）可以对数据进行分析。
（3）可以获得许多的信息。
（4）可以帮助人们作出合理的决策。
七年级下册北师大版初中数学知识点总结

第一章 整式的运算
n
一. 整式
※1. 单项式
①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
②单项 式的系数是这个单项式的数字因数，作为
单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号,
如果一 个单项式只是字母的积,并非没有系数.
③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个

16

单项式的次数.
※2.多项式
①几个单 项式的和叫做多项式.在多项式中,每
个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项
叫做常数 项.一个多项式中,次数最高项的次数,
叫做这个多项式的次数.
②单项式和多项式都有次数 ,含有字母的单项式
有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是
单项式,一个多项式的项数 就是这个多项式作
为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有
它们各自的次数,但是它们的次 数不可能都作
是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只
有一个,它是所含各项的次数中最高 的那一项
次数.
※3.整式单项式和多项式统称为整式.

二. 整式的加减
¤1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同
类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各
项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与
括号内 各项都要相乘.
三. 同底数幂的乘法
※同底数幂的乘法法则:
aaa(
m,n
都是正数)
是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运
mnm n


单项式

整式

代数式


多项式

其他代数式


17

算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是
相乘时，底 数a可以是一个具体的数字式字母，
也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，
对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于
加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； < br>④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推
广为
aaaa
（其中m、 n、p均为正数）；
⑤公式还可以逆用：
aaa
（m、n均为正整数）
四．幂的乘方与积的乘方
(a)a
(
m,n
都是正数)是幂※1. 幂的乘方法则：
的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混
淆.
※2.
(a)(a)a(m,n都为正数)
.
※3. 底数有负号时,运算时要注意, 底数是a与
(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成
同底，
33
如将（-a）化成-a
mnpmnp
mnmn
mnmn
mnnmmn

※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
nn
※5．要注意区别（ab）与（a +b）意义是不同
的，不要误以为（a+b）
n
=a
n
+b
n
（a、b均不为
零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一

18

a
n
(当n为偶数时),
一般地,(a)
n

a(当n为奇数时).
n

个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
(ab)ab
（n为正整数）。
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
五. 同底数幂的除法
※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数
不变,指数相减,即
aaa
(a≠0,m、n都是
正数,且m>n).
※2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”
而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即
a1(a0)
,
00
101< br>如,(-2.5=1),则0无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于< br>nnn
mnmn
0
0
这个数的p的次幂的倒数,即( a≠0,p是
正整数), 而0
-1
,0
-3
都是无意义的;当a> 0时,a
-p
-p
的值一定是正的; 当a<0时,a的值可能是正也
可能是负的,如,
④运算要注意运算顺序.
六. 整式的乘法
※1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系
数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式
里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因
式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再< br>计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系

19
a
p

1
a
p
(-2)
-2

1
4
( 2)
3

1
8

数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的
指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相
乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※2．单项式与多项式相乘
单项式乘 以多项式，是通过乘法对加法的分配
律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与
多项式相乘 ，就是用单项式去乘多项式的每一
项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项
数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包
括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
※3．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相 乘，先用一个多项式中的每一
项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相
加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方
法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等
于原两个多项式项数的积；

20

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一 次项系数是1的两个
一次二项式相乘
(xa)(xb)x(ab)xab
，其二次项
系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项
的和，常数项是两个因式中常数项的积 。对于
一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）
和（nx+b）相乘可以得到
(mxa)(nxb)mnx(mbma)xab

七．平方差公式
¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等
于它们的平方差，
※即
(ab)(ab)ab
。
¤其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第
一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与
相反项的平方之差。
八．完全平方公式
¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，
等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的
2倍，
¤即
(ab)a2abb
；
¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
¤2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方
和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
2
2
22
222

21

¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右
边中间项的符号，以及避免出现
(ab)a b
这
样的错误。
九．整式的除法
¤1．单项式除法单项式
单 项式相除，把系数、同底数幂分别相除，
作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则连同 它的指数作为商的一个因式；
¤2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式 的每一
项除以单项式，再把所得的商相加，其特点
是把多项式除以单项式转化成单项式除以单< br>项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，
另外还要特别注意符号。
222
第二章 平行线与相交线
一．台球桌面上的角
※1．互为余角和互为补角的有关概念与性质
如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个
角互为余角；
如果两个角的和为180°（或平角），那么这两
个角互为补角；
注意：这两个概念 都是对于两个角而言
的，而且两个概念强调的是两个角的数量
关系，与两个角的相互位置没有关 系。
它们的主要性质：同角或等角的余角相等；
同角或等角的补角相等。
二．探索直线平行的条件

22

※两条直线互相平行的条件即两条直线互相平
行的判定定理，共有三条：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行。
三．平行线的特征
※平行线的特征即平行线的性质定理，共有三
条：
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补。
四．用尺规作线段和角
※1．关于尺规作图
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作
图。
※2．关于尺规的功能
直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段
向两方向延长。
圆规的功能是：以任 意一点为圆心，
任意长度为半径作一个圆；以任意一
点为圆心，任意长度为半径画一段
弧。

第三章 生活中的数据
※1．科学记数法：对任意一个正数可能写 成a
×10
n
的形式，其中1≤a＜10，n是整数，这种记
数的方法称为科 学记数法。

23

¤2．利用四舍五入法取一个数的近 似数时，四
舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一
位；对于一个近似数，从左边第一个不 是0的数
字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这
个数的有效数字。
¤3．统计工作包括：
①设定目标；②收集数据；③整理数据；④表达
与描述数据；⑤分析结果。
第四章 概率
¤1．随机事件发生与不发生的可能性不总是各
占一半，都为50%。
※2．现实生活中存在着大量的不确定事件，而
概率正是研究不确定事件的一门学科。
※3．了解必然事件和不可能事件发生的概率。
必然事件发生的概率为1，即P（必然事件） =1；
不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）
=0；如果A为不确定事件，那么0< P(A)<1
0
不可能发生
1
2
1
必然发生

※ 4.了解几何概率这类问题的计算方法
事件发生概率=
事件所有可能结果所组成的图形面积
所有可能结果所组成的图形面积

第五章 三角形
一．认识三角形
1．关于三角形的概念及其按角的分类
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形。

24

这里要注意两点：
①组成三角形的三条线段要“不在同一直线
上”；如果在同一直线上，三角形就不存在； ②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条
线段两两之间有一个公共端点，这个公共端
点就 是三角形的顶点。
三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三
角形、直角三角形、钝角三角形。
2．关于三角形三条边的关系
根据公理“连结两点的线中，线段最短”可
得三角形三 边关系的一个性质定理，即三角
形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质：三角形任意
两边之差小于第三边。
对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，
应用时才不会出错。
设三角形三边的长分别为a、b、c则：
①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一
定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|
＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才 能构成三
角形；
②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c
＞a，那么a、b 、c三条线段就能构成三角形；
如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那
么这三条线 段就能构成三角形。
3．关于三角形的内角和

25

三角形三个内角的和为180°
①直角三角形的两个锐角互余；
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝
角；
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
4．关于三角形的中线、高和中线
①三角形的角平分线、中线和高都是线段，
不是直线，也不是射线；
②任意一个三角形都有三条角平分线，三条
中线和三条高；
③任意一个三角形的三条 角平分线、三条中
线都在三角形的内部。但三角形的高却有不
同的位置：锐角三角形的三条高都 在三角形
的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角
形的内部，另两条高恰好是它两条边，如 图2；
钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条
高在三角形的外部，如图3。
④一 个三角形中，三条中线交于一点，三条
角平分线交于一点，三条高所在的直线交于
一点。
A
F
E
C
B
F
A
C
B
D
锐角三角形
C
A
D
直角三角形
B
E
钝角三角形< br>D
鹏翔教图1

二．图形的全等
¤能够完全重合的图形称为全等形。全等图形的

26

< br>形状和大小都相同。只是形状相同而大小不同，
或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。
三．全等三角形
¤1．关于全等三角形的概念
能够完 全重合的两个三角形叫做全等三角形。互
相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对
应边， 互相重合的角叫做对应角
所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个
角也对应相等。因此 也可以这样说，各条边对应
相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等
三角形。
※2．全等三角形的对应边相等，对应角相等。
¤3．全等三角形的性质经常用来证明两条线段
相等和两个角相等。
四．探三角形全等的条件
※1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为
“边边边”或“SSS”
※2．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角
形全等，简写成“边角边”或“SAS”
※3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等，简写成“角边角”或“ASA”
※4．两角和其中一个角的对边对应相等的两个
三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
五．作三角形
1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用

27

三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作
图的。
2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用
三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作
图的。
3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全
等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。

六．探索直三角形全等的条件
※1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。
这只对直角三角形成立。
※2．直角三 角形是三角形中的一类，它具有一
般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、
“A AS”、“SSS”来判定。
直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：
①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三
角形全等。
③三条边对应相等的两个直角三角形全等。

第七章 生活中的轴对称
※1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两
旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形；这条直线叫做对称轴。
※2．角平分线上的点到角两边距离相等。

28

※3．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个
端点的距离相等。
※4．角、线段和等腰三角形是轴对称图形。
※5．等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、
底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
※6．轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴
垂直平分。
※7．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）

北师大版初中数学八年级上册知识点汇总
第一章 勾股定理
※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。
即：
abc
。
如果三角形的三边长a，b，c满足
abc
，那么
这个三角形是直角三角形。 < br>满足条件
abc
的三个正整数，称为勾股数。
222
222
222
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（681（5，12，
13）；（8，15，1 7）；（7，24，25）；（20，21，

29

29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍
数仍是勾股数）
第二章 实数
※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方
2
等于a，即x=a，那么正数 x叫做a的算术
平方根，记作
a
。0的算术平方根为0；
从定义可知，只有当 a≥0时,a才有算术
平方根。
※平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，
2
即x=a，那么数x就叫做a的平方根。
※正数有两个平方根（一正一负）；0只有一个平
方根，就是它本身；负数没有平方根。※正数的
立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根 是
负数。
abab

a0,b0

aa
(a0,b0)
b
b
第三章 图形的平移与旋转

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一
定距离，这样的图形运动称为平移。
平移的基本性质：经过平
移，对应线段、对应角分别
相等；对应点所连的线段平
行且相 等。
旋转：在平面内，将一个图
形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这
样的图形 运动称为旋转。
这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形

30

状相同；
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的
距离相等；
对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此
相等。
（例：如图所示，点D、E、F分别 为点A、B、C
的对应点，经过旋转，图形上的每一点都绕旋
转中心沿相同方向转动了相同的角 度，任意一
对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转
角，对应点到旋转中心的距离相等。）
第四章 四平边形性质探索
※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形
叫 做平行四边形，平行四边形不相
邻的两顶点连成的线段叫做它的对
角线。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,
对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的
四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则
其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离
相等。这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱
形。

31

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条
边都相等,两条对角 线互相垂直平分,
每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是
对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形
是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱
形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫
矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※ 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角
线相等，四个角都是直角。（矩形是轴
对称图形， 有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形
叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方
形。
※正方形的性质：正方形具有平行 四边形、矩形、
菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两
条对称轴）

32

※正方形常用的判定：
有一个内角是
直角的菱形是
正方形；
邻边相等的矩
形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系
(如图3所示)：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行
的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内
角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是
等腰梯形。
※多边形内角和：n边形的内角和等于（n－
2）·180°
※多边形的外角和都等于360°
※在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如
果旋转前后的图形互相重合，那么这个图开叫
做中心对称图形。
※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线
段被对称中心平分。
第五章 位置的确定

33

※平面直角坐标系概念：在平面内， 两条互相垂
直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水
平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴 叫y轴或纵
轴，两数轴的交点O称为原点。
※点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴 分
别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、
b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序
实数对（a、b）叫做P点的坐标。
※在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个
点（如 图4所示），方法是由P（a、b），在x轴上
找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y
轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两
垂线的交点即为所找的P点。
※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计
算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几
条常用的方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图形中某线段所在直线为x
轴（或y轴）；③以已知线段中点为原点；④以< br>两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以
对称轴为y轴等。
※图形“纵横向伸缩”的变化规律:
A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原
来的图形在横向：①当n>1时，伸长为原来的
n倍；②当0
34

B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵
坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原
来的图形在纵向：①当n>1时， 伸长为原来
的n倍；②当0※图形“纵横向位置”的变化规律:
A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横
坐标分别加上a，所得的图形形状、大小不变，
而位置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|< br>个单位。
B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵
坐标分别加上b，所得的图形 形状、大小不变，
而位置向上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|
个单位。
※图形“倒转与对称”的变化规律:
A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别
乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。
B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别< br>乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。
※图形“扩大与缩小”的变化规律: 将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n
倍（n>0），所得的图形与原图形相比，形状不变；①当n>1时，对应线段大小扩大到原来的n
倍；②当0n倍。
第六章 一次函数
若两个变量x,y间的关系式可以表

35

示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数
(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y
是x的正比例函数。
< br>b.0

k0

b0

b0

1


2


3




※正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一
条直线。
※在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增
大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。
第七章 二元一次方程组
※含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数
都是1的方程叫做二元一次方程。 两个一次方
程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。
※解二元一次方程组：①代入消元法；
②加减消元法（无论是代
入消元法还是加减消
元法，其目的都是将
“二元 一次方程”变
为“一元一次方程”，
所谓之“消元”）
※在利用方程来解应用题时， 主要分为两个步
骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况
只要设问题为x或y；但也有时也 须根据已知条
件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关

36
b.0

k0

b0

b0


1


2


3


< br>
系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的
句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为：
问题
分析求解
方程(组)解答
抽象检验


第八章 数据的代表
※加权平均数：一组数据
x
1
,x< br>2
,x
n
的权分加为
，则称为这n个数
的加权平均数。 （ 如：对某同学的数
学、语文、科学三科的考查，成绩分别
为72，50，88，而三项成绩的“ 权”
分别为4、3、1，则加权平均数为：
w
1
,w
2
, w
n
x
1
w
1
x
2
w
2
x
n
w
n
w
1
w
2
w< br>n
）
※一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中
间位置的一个数据（或最 中间两个数据的平均
数）叫做这组数据的中位数。
※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这
组数据的众数。
※众数着眼于对各数据 出现次数的考察，中位数
首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当
数据个数为奇数时，中间 的那个数据就是中位
数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数
据的平均数才是中位数，特别 要注意一组数据
的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定
是唯一的。

37
724503881
431

北师大版八年级数学下册知识点汇总
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”
（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合
在一起，构成不等式的解集. 求不等式解集的过
程叫解不等式.
由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫
做一元一次不等式组
不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等
式的解集的公共部分。
等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）
同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性
质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除
数不为0），所得的结果仍是等式.
二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上
（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
（注：移项要变号，但不等号不变。）性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不
等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不

38

等式的基本性质<1>、 若a>b, 则a+c>b+c；
<2>、若a>b, c>0 则ac>bc若c<0, 则ac不等式的其他性质：反射性：若a>b,则b递性:若a>b,且b>c,则a>c
三、解不等式的步骤:1、去分母; 2、去括号;
四、解不等式组的步骤:1、解出不 等式的解集2、
五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步
骤：（1） 审题；（2）设未知 数，找（不等量）
关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等
式(组)（4）解不等式 组；检验并作答。
六、常考题型：
1、 求4x-6 7x-12的非负数解.
2、已知3（x-a）=x-a+1r的解适合2（x-5） 8a,
求a 的范围.
3、当m取何值时，3x+m-2（m+2）=3m+x的解在
-5和5之间。

第二章 分解因式
3、移项合并同类项; 4、系数化为1。
在同一数轴表示不等式的解集。
一、公式：1、 ma+mb+mc=m（a+b+c）2、a－b=
222
22
（a+b）（a－b）3、a±2ab+b=（a±b）
二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这

39

种变形叫做把这个多项式分解因式。
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是
乘法运算.
2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是
因式分解.
3、ma+mb+mc=m（a+b+c）
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这
个多项式的各项的公因式.
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单
项式与多项式相乘的形式. 找公因式的一般步< br>骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公
约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低 的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
四、分解因式的一般步骤为:
（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有
公因式,则再提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特
点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.

40

五、形如a+2ab+b或a－2ab+b的式子称为完
全平方式. 分解因式的方法：1、提公因式法。2、
运用公式法。


第三章 分式
2222
注：1.对于任意一个分式，分母都不能为零.
2.分式与整式不同的是：分式的分母中含有
字母，整式的分母中不含字母.
3.分式的值为零含两层意思：分母不等于
零；分子等于零。（ 中B≠0时，分式有意义；
分式 AB中，当B=0分式无意义;当A=0且B≠0
时，分式的值为零。）
常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。
2、分式的加减乘除运算。
3、分式方程的解法及其利用分式
方程解应用题。
第四章 相似图形
一、 定义 表示两个比相等的式子叫比例.
1.如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么 或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d
叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中 间的两
项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.
2.如果选用同一个长度单位量得 两条线段AB、
CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的

41

比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成 = ，其中，
线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后
项.如果把 表示成比值k，则 =k或AB=k•CD.
四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与
d的比，即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比
例线段，简称比例线段. 黄金分割的定义：在
线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和
BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割
（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分
割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中 ≈0.618.
引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相
交的直线，所截得的三角 形的三边与原三角形三
边对应成比例. 相似多边形： 对应角相等，对
应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形:各角对应相等、各边对应成比例的
两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多
边形对应边的比叫做相似比.
二、比例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都
不等于0），那么 .如果（b,d都不为0），那么
ad=bc.2、合比性质：如果 ,那么 。3、等比性
质：如果 =…= （b+d+…+n≠0），那么 。4、更
比性质：若 那么 。5、反比性质：若 那么

42

三、求两条线段的 比时要注意的问题：（1）两条
线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位
长度不同，应先 化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采
用的长度单位无 关；（3）两条线段的长度都是正
数，所以两条线段的比值总是正数.
四、相似三角形（多边 形）的性质：相似三角形
对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高
的比、对应角平分线的 比和对应中线的比都等于
相似比。相似多边形的周长比等于相似比，面积
比等于相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，
SSS，直角三角形除此之外再加H L
六、相似三角形的判定方法，判断方法有：1.
三边对应成比例的两个三角形相似；2.两 角对应
相等的两个三角形相似；3.两边对应成比例且夹
角相等；4.定义法: 对应角相等， 对应边成比例
的两个三角形相似。5、定理：平行于三角形一
边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似。 在特殊
的三角形中，有的相似，有 的不相似.1、两个全
等三角形一定相似.2、两个等腰直角三角形一定

43

相似.3、两个等边三角形一定相似.4、两个直角
三角形和两个等腰三角形不一定相似.
七、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距
离之比等于位似比。 如果两个图形不 仅是
相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同
一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形 ，这
个点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比。
八、常考知识点：1、比例的基本性质， 黄金分
割比，位似图形的性质。2、相似三角形的性质
及判定。相似多边形的性质。
第五章 数据的收集与处理
（1）普查的定义：这种为了一定目的而对考察
对象进行的全面调查，称为普查.
（2）总体：其中所要考察对象的全体称为总体。
（3）个体：组成总体的每个考察对象称为个体
（4）抽样调查：（sampling investigation）：
从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为
抽样调查.
（5）样本（sample）：其中从总体中抽取的一部
分个体叫做总体的一个样本。
（6） 当总体中的个体数目较多时，为了节省时
间、人力、物力，可采用抽样调查.为了获得较

44

为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性
和广泛性.还要注意关注样本的大小. （7）我们
称每个对象出现的次数为频数。而每个对象出现
的次数与总次数的比值为频率。 < br>数据波动的统计量：极差：指一组数据中最大数
据与最小数据的差。方差：是各个数据与平均数< br>之差的平方的平均数。标准差：方差的算术平方
根。识记其计算公式。一组数据的极差，方差或< br>标准差越小，这组数据就越稳定。还要知平均数，
众数，中位数的定义。
刻画平均水平用：平均数，众数，中位数。 刻
画离散程度用：极差，方差，标准差。 < br>常考知识点：1、作频数分布表，作频数分布直
方图。2、利用方差比较数据的稳定性。3、平均
数，中位数，众数，极差，方差，标准差的求法。
3、频率，样本的定义
第六章 证明
一、对事情作出判断的句子，就叫做命题. 即：
命题是判断一件事情的句子。一般情况下：疑问
句不是命题.图形的作法不是命题. 每个命题
都有条件（condition）和结论（conclusion）
两部分组成. 条件是已知的事项，结论是由已

45

知事项推断出的事项. 一般地，命题都可以写
成“如果……，那么……”的形式.其中“ 如
果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是
结论. 要说明一个命题是一个假命题，通 常可
以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具
有命题的结论.这种例子称为反例。
二、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等
于180度。
1、证明三角形内角和 定理的思路是将原三角形
中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需
要作辅助线.既可以作 平行线，也可以作一个角
等于三角形中的一个角。
2、三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.
三、三角形的外角与它不相邻的内角关系是：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和.
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相
邻的内角.
四、证明一个命题是真命题的基本步骤是：
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、
求证.

46

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，
写出证明过程.
在证明时需注意：
（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来.
（2）证明中的每一步推理都要有根据. 如果两
条直线都和第三条直线平行，那么这两条直 线也
相互平行。30。所对的直角边是斜边的一半。斜
边上的高是斜边的一半。
常考知识点：
1、三角形的内角和定理，及三角形外角定理。
2、两直线平行的性质及判定。命题及其条件和
结论，真假命题的定义。

北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册)
第一章 证明(二)
※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底
边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边
三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个
全 等的
直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所
对的直角边必然等于斜边的一半。

47

※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角
形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想
的定理有：
①勾股定理：
区分斜边与直角边）
（注意
②在直角三角形中，如有一个内角 等于30º，
那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
一半（此定理将在第三章出现）
※垂直 平分线是垂直于一条线段并且平分这条
．．．．．．．
线段的直线。（注意着重号的意义）
．．
<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端
点距离相等。

48

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距
离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 < br>※三角形的三边的垂
直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距
离相等。（如图1所 示，AO=BO=CO）
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角
两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

49

角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集
合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三
边距离相等，交点即为三角形的内心。
(如图2所示，OD=OE=OF)
第二章 一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为
（a、b、c为
常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次
．．．．
方程。
．．

50

※把（a、b、c为常数，
a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二
次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变
为的形式>

51

②公式法 （注
意在找abc时须先把方程化为一般形式）
③分解因式法 把方程的一边变成0，另
一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程
化成一元二次方程的一般形式；
②将二次项系数化成1；
③把常数项移到方程的右
边；
④两边加上一次项系数的
一半的平方；

52

⑤把方程转化成
的形式；
⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系：当b-4ac>0时，方程有两
个不等的实数根；
当b-4ac=0时，方程有两个相等的实
数根；
当b-4ac<0时，方程无实数根。
2
2
2

53

※如果一元二次方程
的两根分别为x
1
、x
2
，则有：
。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x
1
、x
2
的对称
式的值，特别注意以下公式：

54

①

②
③
55

④

⑤
56

⑥

⑦其他能用
或
表达的代数式。
57

（3）已知 方程的两根x
1
、x
2
，可以构造一元二
次方程：
（4） 已知两数x
1
、x
2
的和与积，求此两数的问题，
可以转化为求一元 二次方程
的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步
骤：①设未知数（在设 未知数时，大多数情况
只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件
及等量关系等诸多方面考虑 ）；②寻找等量关

58

系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的
句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为：

第三章 证明（三）
※平行四 边的定义：两线对边分别平行的四边形
叫做平行四边形，平行四边形不相邻
．．．．．
的两顶点连成的线段叫做它的对角
．．
线。
．
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,
对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的
四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平
行四边形。

59

一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是
平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相 平行，则
其中一条直线上任意两点到另一条
直线的距离相等。这个距离称为平
行线之间 的距离。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱
形。
※菱形的性质：具有 平行四边形的性质,且四条
边都相等,两条对角线互相垂直平分,每
一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的
直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形
是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱
形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫
矩形。矩形是特殊的平行四边形。
．．

60

※矩形的性质：具有平行四边形的性 质，且对角
线相等，四个角都是直角。（矩形是轴
对称图形，有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形
叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方
形。
※正方形的性质：正方形具有平行 四边形、矩形、
菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有
两条对称轴）
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形
是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系
(如图3所示)：

61

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行
的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形
叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内
角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三
边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一
半
第四章 视图与投影
※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

62

三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。
一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图
要画在正视图的右边。
主视图：基本可认为从物体正面视得的图象
俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象
左视图：基本可认为从物体左面视得的图象
※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个
表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一
定 不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定
是平面体（或曲面体）上凸 出或凹的各个小的
平面体（或曲面体）。
※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成
实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它
的影子，这就是投影。
．．
太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所
形成的投影称为平行投影。 ．．．．
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点
出发的，像这样的光线所形成的投 影称为中心投
．．．
影。
．

63

※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观
察影子。
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视
．．．
线；眼睛看不到的地方称为盲区。
．．．
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正
投影，是当光线与投影垂直时的 投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点；
②线段在一个面上的投影可分为三种情况：
线段垂直于投影面时，投影为一点；
线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实
际长度；
线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实
际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情
况：
平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实
际形状；
平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一
线段；
平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于
实际的形状。


64

第五章 反比例函数
※反比例函数的概念：一般 地，
（k为常数，k≠0）叫
做反比例函数，即y是x的反比例函数。
（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）
※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数
←→ ←→

65

←→
←→ 变量y与x成
反比例，比例系数为k.
※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种
方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两
个变量的乘积是否为定值<即

66

>。（通常第二种方法
更适用）
※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲
线
※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数
的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；
②选取的点越多画的图越准
确；
③画图注意其美观性（对称
性、延伸特征）。
※反比例函数性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个
象限内，y随x的增大而减小；
②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象
限；在每个象限内，y随x的增大而增大；

67

③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y
轴），但不会与坐标轴相交。
※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)
点P(x,y)在双曲线上
都有


第六章 频率与概率
※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数
叫做频数；
．．

68

每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小
组的频率； 即：
．．

在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积
等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。
因此，各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的
频率 分布的两种不同表示形式，前者准确，后
者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生
的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较
复杂情况。

69

※假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们
可以估计出布袋内随 机摸出一球，它为白球的概
率；
※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里
捉上 100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从
池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有
标 记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照
估算出鱼的条数。（注
意估算出来的数据不是确切的，所 以应谓之“约
是XX”）
※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不
确定现象的 数学模型，它能准确地衡量出事件
发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。


北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册)

70

第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义： 在Rt
△
ABC中，锐角∠A的对边与邻
边的比叫做∠A的正切
．．
，记作tanA，即
tanA
A的对边
A的邻边
;
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号
“∠”；
②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值
越大。
※二. 正弦：
．．
定义：在Rt
△
ABC中，锐角∠A的对边与 斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即
sinA
A的对边
;
斜边
※三. 余弦：
定义：在Rt
△
ABC中，锐角∠A的邻边与 斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即
cosA
A的邻边
;
斜边
※余切：
定义：在Rt
△
ABC中，锐角∠A的邻边与对边的 比叫做∠A的余切，记作cotA，
即
cotA
A的邻边
;
 A的对边
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、
正切。

sin

0º
0
30 45 60 90
º
1

2
º
2

2
º
3

2
º
1
71

（通常我们称正弦、余弦互为
余函数。同样，也称正切、余
切互为余函数，可以概括为：
一个锐角的三角函数等于它
的余角的余函数）用等式表
达：若∠A为锐角，则
①
sinAcos(90A)
；
cosAsin(90A)

α
cos
α
tan
α
cot
α
1
0
—
3
2



2
2

1
2



0
—
0
3
3
1
1
3
②
tanAcot(90A)
；
cotAtan(90A)

3
3
3
※当从低处观测
高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角
．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所
成
的锐角称为俯角
．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)
当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随
着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； 余弦值、
余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增
大)。(2)0≤sinα≤1，0≤ cosα≤1。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctg
α=1。

72
图1

※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，
即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角
外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫
做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a
2
+b
2
=c
2
；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边与角之间的关系：
asinA,
c
b
sinB,
c
b
cosA,c
a
cosB,
c

a
tanA,
bb
tanB,
a
b
cotA;
a
a
cot B;
b


(4)面积公式:
S
11
abc hc
22
(hc为C边上的高);
bc
(5)直角三角形的内切圆半径
r
a
2

(6)直角三角形的外接圆半径
R
1
c

2
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

B
i=h:l
h
C
A






l
图2
73

图3

图4




※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角
．．
(或叫做坡比
．．
)。用字母i 表示，即
i
h
l
tanA

◎从某点的指北方向按顺时 针转到目标方向的水平角，叫做方位角
．．．
。如图3，
OA、OB、OC的方位角分 别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫 做方向角
．．．
。如
图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°， 南偏东45°(东南方
向)、南偏西为60°，北偏西60°。

第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如
yax
2
bxc(a
、、 b、
是常数
，a
0)
的函数，叫做x的二次函数
．．．．
。自变量的取值范
围是全体实数。
yax
2
(a0)
是二次函数的
特例，此时常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变
量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，< br>并确定自变量的取值范围
．．．．．．．．
。
※二次函数y＝ax
2
的图象是一条顶点在原点关

74

于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
．．．
描述抛 物线常从开口方向、对称性、y随x的变
化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与
x轴的 交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开 口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物
线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：
;

x0时,y随x增大而减小
A、当a＞0时

B、当a＜0时
x0时,y随x增大而增大.

;

x0时,y 随x增大而增大


.

x0时,y随x增大而减小

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值： 当a＞0，且x＝0时函数有
最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函
数有最大值，最大 值是0．
※二次函数
yax
2
c
的图象是一条顶点在y轴上且
bb
为对称轴，顶点在（

，
2a2a
与y轴对称的抛物线
※二次函数
yax
2
bxc
的图象是以
x
4acb
2
）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）
4a
※|a| 的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）
速度越快；|a|的越小， 抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增
长（或下降）速度越慢。
※二次函数< br>yax
2
c
的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物< br>线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
※二次函数
y ax
2
bxc
的图象与y＝ax
2
的图象的关系：

75

yax
2
bxc
的图象可以由y＝ax
2
的图象平移得到，其步骤如下：
①将
ya x
2
bxc
配方成
ya(xh)
2
k
的 形式；（其中h=

4acb
2
k=）；
4a
b
，
2a
②把抛物线
yax
2
向右（h>0）或向左（h<0）平 移|h|个单位，得到y=a(x-h)
2
的图象；
③再把抛物线
ya(xh)
2
向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到
ya(xh)
2
k
的图象。
※二次函数
yax
2
bxc
的性质：
b
2
4acb
2
二次函数
yaxbxc
配方成
ya( x)
则抛物线的
2a4a
2
①对称轴：x=

2
b
②顶点坐标：（

b
，
4acb
）
2a
4a
2a
③增减性： 若a>0，则当x<

随x的增大而增大。
．．．．．．
若a<0，则当x<

随x的增大而减小。
．．．． ．．
bb
时，y随x的增大而减小；当x>时，y

．．．．．
2a 2a
bb
时，y随x的增大而增大；当x>时，y

．．．．．
2a 2a
4acb
2
bb
④最值：若a>0，则当x=

时，
y
最小

；若a<0，则当x=

时，
4a
2a2a
y
最大
4acb
2


4a
※画二次函数
yax
2
bxc
的图象：
我们可以利用它 与函数
yax
2
的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用
简化了的描点 法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
①先找出顶点（
b< br>
2a
，
4acb
2
4a
），画出对称轴x=
2
b
a
；
②找出图象上关于直线x=

2
b
a
对称的四个点

76

（如与坐标的交点等）；
③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a( x-h)
2
+k的形式求得，
也可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的
关系；
③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数
yax
2
bx c
的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x
1
，x
2
是
对应一元二次方程
ax
2
bxc0
的两个实数根
※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

b
2
4ac
>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；

b
2
4ac
=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；

b
2
4ac
<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）； < br>※当
b
2
4ac
>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这 两个点之间的距
离：
|AB||x
1
x
2
|(x< br>2
x
1
)
2
(x
1
x
2)
2
4x
1
x
2

b
2
 4ac
2
化简后即为：
|AB|(b4ac0)
------ 这就是抛物线与x轴的两
|a|
交点之间的距离公式。
第三章 圆
一. 车轮为什么做成圆形
※1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O
．
叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙
．．．．
O，读作“圆O”

77

集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长 的点的集合。其中定点叫做
圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大
．．．． ．．
小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
．．
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二
是半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r;
②点在圆内 <===> d③点在圆外 <===> d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就
是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:
※1. 与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做
弦。
．
直径：经过圆心的弦叫做直径。
．．
②弧、半圆、优弧、劣弧： < br>弧：圆上任意两点间的部分叫做圆
．
弧，简称弧，用符号“⌒”表示，
．．以CD为端点的弧记为“”，读
作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条
弧，每一条弧叫做半圆。
．．
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
．．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区
．．

78

别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做
弓形。
．．
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个
圆叫做同心圆。
．．．
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等
圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重
合的弧叫做等弧。
．．
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
．．．
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心
．．
距.
．
※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对
的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦
心距中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
※1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°
的圆心角,相应的整个 圆也被等分成360份,每一份同样的
弧叫1°弧.
※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

79

这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠
AOB= ,这是错误的.
※3. 圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※4. 圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角
所对的弧也相等；
※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
※四. 确定圆的条件:
※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点
线段的垂直平分线上.
※2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.
※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这
个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
五. 直线与圆的位置关系
※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d 直线L和⊙O相交.
②d=r <===> 直线L和⊙O相切.
③d>r <===> 直线L和⊙O相离.
※3. 切线的总判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
※4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

80

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内
心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
※6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的
这个内角.
六. 圆和圆的位置关系.
※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心
圆)这五种位置关系的定义.
(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点
都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.
(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个
公共点以外,每个圆上的点都在另一个
圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个
惟一的公共点叫做切点.
(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两
个圆相交.
(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并 且除了这个
公共点以外,一个圆上的都在另一个圆
的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.
(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的
点都在另一个圆的内部时,叫做这两个

81

圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.
※2. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 <===> d>R+r
(2)两圆外切 <===> d=R+r
(3)两圆相交 <===> R-r(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r)
(5)两圆内含 <===> dr)
※3. 相切两圆的性质:
如果两个圆相切,那么切
点一定在连心线上.
※4. 相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平
分公共弦.
七. 弧长及扇形的面积
※1. 圆周长公式:
圆周长C=2

R (R表示圆的半
径)
※2. 弧长公式:

R
弧长
l
n
(R表示圆的半径, n表示弧所对
180
的圆心角的度数)
※3. 扇形定义:

82

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所
组成的图形叫做扇形.
※4. 弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.
※5. 圆的面积公式.
圆的面积
S

R
(R表示圆的半径)
2
※6. 扇形的面积公式:
扇形的面积
S
扇形
n

R
2

360
(R表示圆的半径, n表示弧
所对的圆心角的度数)
※ 弓形的面积公式:(如图5)
A


A




B
O
A
O
B
O
B
C
C
C
图5
(1)当弓形所含的弧是劣弧时,
(2)当弓形所含的弧是优弧时,
(3)当弓形所含的弧是半圆时,
八. 圆锥的有关概念:

S
弓形
S
扇形
S
三角形
S
弓形
S
扇形
S
三角形



1
S
弓形
< br>
R
2
S
扇形
2
83

※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角
边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一< br>条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜
边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的
半径是圆锥侧面 的母线长、弧长是圆锥底
面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形
半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的
侧面积是:
11
S
侧
c l2

rl

rl
22


_O
_A

_P
S
表
S
侧
S
底面


rl

r
2

r(rl)
¤九. 与圆有关的辅助线


1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦
_

B
_

图6


的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的
圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的
半径(或直径)为辅助线.
4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心
和切点是最常用的辅助线.

84

¤十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同 一个圆上,这
个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做
这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的
对角互补;
②圆内接四边形
任意一个外角等于它的内错角.
※十一.北师版数学未出理的有关圆的性质定理
1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线 ，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条
切线的夹角。
如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B

2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对
_B
_A
_O

∴PA=PB，PO平分∠APB

_D
的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那
么这两个弦切角也相等。
如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=
∠B
3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点

85
_C

分成的两条线段长的积相等；
②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的
一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8，AP•PB=CP•PD
如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，
则CP
2
=AP•PB
4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割
线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条
线段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一
点到 每条割线与圆的交点的两条线段长的积相
等。
如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，
点A、B是它与⊙O的交点，则PT
2
=PA•PB
②PA、PC是⊙O的两条割线，则
PD•PC=PB•PA
5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，
或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆
的公共弦。

86
_7图

如图11，⊙O
1
与⊙O2
交于A、B两点，则连
心线O
1
O
2
⊥AB且AC= BC。
6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切
线的长相等。 < br>如图12，AB分别切⊙O
1
与⊙O
2
于A、B，
连结O1
A，O
2
B，过O
2
作O
2
C
⊥O
1
A于C，公切线长为l，两
圆的圆心距为d，半径分别为R，
r则外公切线 长：
Ld
2
(Rr)
2

如图13，AB分别切⊙O
1
与⊙O
2
于A、B，
O
2
C∥AB，O
2
C⊥O
1
C于C，⊙
O
1
半径为R，⊙O
2半径为r，则
内公切线长：
L


_C
d
2
(Rr)
2

_D
_P
_B

_B


_A



O_





_A
_D

_9图
_O


P_

_C
P

_
_ D
B _
C _
O _
A _
图




_ T
图10 _

87

_A




_

R
_

O

d_

_A
_1
_
2

_

O

O_
1

_

_

C
_

B

图_

11



C_
_13图




_

r
_

B
_
2
O
_


d_

_

C
_

R
_

A
_

图12

_
1
O
_



_

r
_

B
_
2
O
_





第四章 统计与概率
1. 实验频率与理论概率的关系只 是在实验次数
很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再
多,也很难保证实验结果与理论 值相等,这就是
“随机事件”的特点.
三. 游戏公平吗?
1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机
会,或者游戏多方赢的机会相等.
2. 表示一 个事件发生的可能性大小的数叫做该
事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1
之间.
3. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概

88

率:
P
事件A包含的基本事件的个数
基本事件的总数

4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键
性的两点:
(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;
(2)要弄清楚所有机会均等的结果.

（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）

∵∴⊙∠①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩•⊥



89