2016年高考时间-消防演习

目 录
摘要（关键词）………………………………………………………………………………1
Abstract（Key words）…………………………………………………………………… 1
1 前言…………………………………………………………………………………………1
2 正交矩阵的性质……………………………………………………………………………1
3 正交矩阵的相关命题………………………………………………………………………3
4 正交矩阵的应用……………………………………………………………………………5
4.1 正交矩阵在解析几何上的应用………………………………………………………6
4.2 正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用……………………………………………7
4.3 正交矩阵在物理学中的应用…………………………………………………………9
5 后记………………………………………………………………………………………10
参考文献……………………………………………………………………………………10
致谢…………………………………………………………………………………………11


i

关于正交矩阵的性质及应用研究
摘要:正 交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.
目前也有很多关于正 交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正
交矩阵的应用很少提及.本文的主要 任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式
性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正 交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数
及物理学上的应用.
关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用
Abstract:

Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has
some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about
orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the
application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce
the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry,
topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and
utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.
Key words:
Orthogonal matrix; determinant; property; application
1前言
我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏 空间中占有特殊的地位，
从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正 交基到
另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？
我们由上面的问题引出了 关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此
对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要 的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵
所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及 力学领域的一系列应
用。
2正交矩阵的性质
本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强 调外都是指数域
P
上的矩阵，用
P
nn
表示数
域
P
上
n
阶方阵的集合，用
E
表示单位矩阵，用
A
、
A
1
、
A

、
A
'
分别表示矩 阵
A
的行
列式、逆矩阵（当
A
可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵.
定义2.1

n
阶实矩阵A，若有
A

AE
，则称
A
为正交矩阵.

等价定义1:
n
阶实矩阵A，若有 ，则称
A
为正交矩阵；
AAE
等价定义2:
n
阶实矩阵A，若有
A

A
1
，则称
A
为正交矩阵；
等价定义3:
n
阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称
A
为
正交矩阵.
性质2.1
A
为正交矩阵，则其行列式的值为
1
或
-1
.
证明： 由正交矩阵的定义知,
A

AE
两边同取行列式，得
A

AE1
，又由于
A

A
，则< br>A1
， 即
A1

性质2.2
A
为正交矩 阵，
A
的任一行(列)乘以
-1
得到的矩阵仍为正交矩阵.
证明： 设
A


1
,,

i
,

j
,

n

，其中

1
,
,

i
,

,

j
,
,

n
是
A
的单位正交向
量组.显然

1
,

,



i

,

,

j
,

,

n
也是
A
的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3
知成立.
性质2.3
A
为正交矩阵,
A
的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.

页 第1
2

关于正交矩阵的性质及应用研究
证明： 设A


1
,,

i
,

j
,

n

其中

1
,
< br>,

i
,

,

j
,
< br>,

n
是
A
的单位正交向量
组.显然
< br>1
,

,

j
,

,
< br>i
,

,

n
也是
A
的单位正交矩 阵，则由正交矩阵的等价定义3知成
立.
性质2.4
A
为正交矩阵，则
A
1
、
A

、
A

也是正交矩 阵.

11
证明：

A
1

A
1


A


A
1


AA


E
1
E


A
1
为正交矩阵,

A



A
AA

E


2

A

为正交矩阵,

A


A



AA
1

AA
1
A

A
1

AA
1
A

A
1

A
1
E
,
A

为正交
矩阵.
性质2.5
A
为正交矩阵,则
A
也是正交矩阵.

m1
m
证明：
A
为正交矩阵，则
A

A
1
,

A
m


A




A
1


< br>A
m

,由正交矩阵的等价
定义2知，
A
为正交矩阵 .
性质2.6
A
、
B
均为正交矩阵,则它们的积
AB
也是正交矩阵. < br>
1
证明：
A
、
B
为正交矩阵，
A

A
1
,
B

B
1
,由于
AB

B

A

B
1
A
1


AB

,由
正交矩阵的等价定义2知 ，
AB
为正交矩阵.
性质2.7
A
、
B
均为正 交矩阵,则
A

B

AB


也是正交矩 阵.


1
B
为正交矩阵，
A

 A
1
,
B

B
1
由于

A

B

B


A


B
1

A
1

B
1

A


证明：
A
、
m


A< br>
B

所以
A

B
为正交矩阵.
A B

证明同上.
性质2.8
A
、
B
均为正交 矩阵,则
A
1
B

AB
1

也是正交 矩阵.

1
B
为正交矩阵，
A

A
1
,
B

B
1
,由于

A
1
B

B


A
1

 B
1
AB
1

A
1

证明：< br>A
、
1
A
1
B
,所以
A
1
B
为正交矩阵.
AB
1
证明同上.
性质2.9 A
、
B
均为正交矩阵,则
A
1
BA
也是正交 矩阵.

证明：
A
、
B
为正交矩阵，
A

A
1
,
B

B
1
由于

A
1
BA

A

B


A
1

A
1
B
1
AA
1

BA
所以
A
1
BA
为正交矩阵.

A0

性质2.10
A
、
B
均为正交矩阵,则


0B


也是正交矩阵.


A0

A

0


A
1
0

11

B
为正交矩阵，
A< br>
A
,
B

B
,由于

证明：
A
、

0B





0B






0B
1
< br>



1

A0


A0



0B


为正交矩阵. 
0B


所以



1

AA


性质2.11
A
、
B
均为正交矩阵,则也是正交矩阵.

2

AA



1

AA


AA

1
B
为正交矩阵，
A

 A
1
,
B

B
1
,则有


A
、证明：




2

AA


2

AA


0

A

A0

E0

1

A

A


1

AA

1

2A

A

，则有结





A

2

AA

2

02AA
0AA

0E

2

A
1< br>
AA


论为正交矩阵成立.

2

AA


B
1
A
11
1



A
1

1

页 第2

关于正交矩阵的性质及应用研究
1
也是
A
的特征值.


证明：
A为正交矩阵，有
A

A
1
,那么有

E A


EA



EA



EA
1


性质2.12
A
为正交矩阵，

是
A
的特征值，则

A
1
AA
1
A
1

AEA
1
1
EA

n


n
A
1
1

EA
，则

是
A
的特征值，则
1

也是
A
的特征值.
性质2.13
A
为正交 矩阵,它的特征值为
1
，并且属于
A
的不同特征值的特征向量
两两 相互正交.
证明：设

为
A
的特征值，

是A
的属于特征值

的特征向量，
A


< br>,两边同时
取转置得，


A



,所以






A

A







2



,因为
A
为正交矩阵，所以
A

AE
,而



0
，则

2
1
，即

1
.
另外，设

是< br>A
的属于特征值

的特征向量.由于
A



，
A



,
A

AE
可

得







A


A




A


A






 





,所以

1-





0
，又


< br>，因此可
得



1

，则


0
，即

与

正交.
性质2.14
A
为上（下）三角的正交矩阵，那么矩阵
A
必为对 角矩阵，且对线上的
元素值为
1
.
证明：设
A
为上三角 的正交矩阵，那么
A
-1
必为上三角矩阵且
A
1
A
，因此
A
为对
角矩阵.又由于
A

AE< br>，则矩阵
A
的对角线上的元素为
1
.
性质2.15 A
为正交矩阵，那么矩阵
A
的一切
k
阶主子式之和与一切相应< br>nk
阶主
子式之和或者相等或互为相反数.
性质2.16
A< br>为
n
阶正交基础循环矩阵，那么矩阵
A
的全部特征根为实根，并且是< br>n
个
n
次单根.

010

0



001

0

证明：设
A



为基础循环矩阵可知
A
的特征多项式为
 

000

1


100

0


2k

2k


k1,2,, n

,故
x
n
为
n
isin
f

x

xEAx
n
1
,那么它的特征根为
x
i
cos
nn
次单根.
2
3 正交矩阵的相关命题
1
命题3.1
A
、
B
为正交矩阵，如果
EA< br>
B
为反对称矩阵，则
AB
也是正交矩阵，
2
1
且

AB

A
1
B
1
.
1
证明：由于
A
、
B
为正交矩阵，则
A

A
1
,
B

B
1
，
EA

B
为反对称矩阵，则
2


1

1



EA

B



EB

A



2

2

1

1


AB


< br>AB



A

B

AB

A

AA

BB

A B

BE


EA

B



EB

A

E

2
 
2


页 第3

关于正交矩阵的性质及应用研究
1

因此
AB
为正交矩阵.且

AB



AB

A

B

.
命题3.2
A
、
B
为正交矩阵，且
AB
,则
AB
不可逆.
B
为正交矩阵，证明：由于
A
、则
A

AE
，
B

BE
,又因为
ABAB

BAA

BA

2
< br>B

A

BA

AB

B A

AB

AB
，则
ABAB
,得
AB0
,因
此
AB
不可逆.
命题3.3
A
、
B
为奇数阶的正交矩阵，且
AB
,则
AB
不可逆.
证明：由于
A
、
B
为正交矩阵， 则有
A

AE
，
B

BE
,
ABAB

BAA

BA

B

A

BAB

A

BA

 1

AB
，由于
A
、
B
为奇数阶，则
ABAB
,
2
n
即
AB0
,因此
A B
不可逆.
命题3.4
A
、
B
为奇数阶的正交矩阵， 则

AB

AB

必不可逆.
B
为正交矩阵，证明：由于
A
、则有
A

AE
，
B

BE
,

AB

AB

ABAB

nn
A

B

AB< br>
A

B


AB

A< br>
AA

BB

AB

BA

BB

A

1

B

AA

B

1

nnnn
B
AB

BA

AA

B

 1

A

B


AB



1

A

B

AB

1

ABAB

1


A B

AB

,由于
A
、
B
为奇数阶的 矩阵，则

AB

AB

0
,即

AB

AB

必不
可逆.
命题3.5
A
为正交矩阵，且
A1
，则
AE
不可 逆，且
-1
为
A
特征值.
证明：因为
A1
知，
AE
,由定理3.2.1知，
AE0
,故
A E
不可逆.又
AE0
，故
EA

1

EA0
,所以
-1
为
A
特征值.
n
命题3.6
A
为奇数阶正交矩阵，且
A1
，则
AE
不可逆，且
1
为
A
特征值.
证明：因为
A1
知，
AE
,由定理3.2.1知，
AE0
,故
AE
不可逆.又
AE0
，故
EA

1
AE0
,所以
1
为
A
特征值.
n
命题3.7
A
为对称矩阵，
B
为反对称矩阵，
A
、B
可交换，
AB
可逆，则

AB

1< br>
AB

及

AB

AB

1
都为正交矩阵.
证明：由题意知
ABBA
,则

AB

AB

A
2
ABBAB< br>2


AB

AB

,因

11
11
为
AB
可逆，那么
AB
也可 逆.即

AB

AB

,

AB

AB

AB

AB

< br>



AB



A B




1

AB

1

AB



A

B




A

B



1

AB

1

AB


AB

AB

1

1
则

AB

AB

为正交矩阵.同理

AB

1

AB



AB< br>
AB

1

AB

1

AB

E
，
1
可证

AB
AB

也为正交矩阵.
11
命题3.8
B
为反对称矩阵，则

EB

EB

及

EB

EB

都为正交矩阵,
并且其 特征值不为
-1
.
1
证明：
E
为对称矩阵，
B
为反对称矩阵，则由定理3.3知

EB

EB< br>
及
因此
B
的特征

EB

E B

1
都为正交矩阵.由于反对称矩阵的特征值只为零或纯虚数，
n值不是
1
.则
EB0
,
EB

1

EB0
,因此
EB
可逆 ，由于

E B

1

EB

及

EB

EB

1
都为正交矩阵，令
A

EB

1

EB

，那么有
EA


页 第4

关于正交矩阵的性质及应用研究

E B

1

EB



EB

1

EB

2E

EA
1
2

EA

1
,可知
EA
可逆，且
EA


1

n
EA0< br>,因此
-1
不是
A

EB

1

EB

的特征值.同理
-1
不是

EB< br>
EB

1
的特征值.
命题3.9 矩 阵
B

b
ij

nn
,
C

c
ij

nn
,矩阵
A
为正交矩阵，且
CA
1
BA
,则，

b

c
ij
j1i1j1i1
nnnn
ij
.
1
证明：由于
A
为正交矩阵，则
A

A
1
，那么
C

CA

B


A


A
1
BAA

B

BA
,知 < br>B

B
与
C

C
相似，则有它们的迹相等. 即
tr

A

A

tr

B< br>
B

,故

b
ij

c
ij
.
j1i1j1i1
nnnn
命题3.10 矩阵
A
为
n
阶正交矩阵，并且
A
的特征值 不为
-1
，则一定存在反对称
11
矩阵
B
、
C
使得
A

BE

EB



EC

EC


证明：由于
A
的特征值不为
-1
，则
-EA

1
EA0
,所以
EA
可逆.矩阵
A
n
为
n
阶正交矩阵，取
C

EA

EA

,由于
ECE

EA

EA

< br>
EA



1
1
2
下证矩阵
C
为反正交矩阵：
11

11
1

C



EA

EA



EA


EA


EA
1


E A

，
C

EA

AE





EA

1
A< br>
EA

1
，则有
C

C
,则
C
为反对称矩阵，则取
B

EA

E A

1
，同理

EA



EA

1

EA



EA
1


EA



EA

,那么可以得到

EC

2

EA

1
和
1

EC

2

EA

1
A
，因此
EC
可逆，从 而

E-C

EC

1
2
EA

1
A

2

EA
1



1
1
2

EA

A

EA

A
；

可证< br>B
为反对称矩阵，且满足
A

BE

EB< br>

1
4 正交矩阵的应用
在对正交矩阵的性质有一定的了解之后 ，下面我们开始讨论正交矩
阵
在不同领域上
的应用问题.
4.1正交矩阵在解析几何上的应用

在讨论正交矩阵在解析几何上的应用时 ，我们先从正交矩阵的性质出发，转化到
转化到正交变换，进而研究正交矩阵在解析几何上的简单应用.
由定义2.1[1]等价定义3知正交矩阵的行（列）向量组为标准正交向量组.引入
R
n
上的正交变换定义

定义4.1
n
阶正交矩阵
A
，对于
x

x
1,
x
2
,
< br>,x
n

R
n
,称
R
n
到
R
n
的线性变换

x

xcos

 ysin

，将
R
2
上的
T
:
T

x

Px
为
R
n
上的正交变换.对于
R
2
上的线性变换


y

xsin

ycos

sysin


x

x



x

xco

2
点
映射为
R
上的点

，现将变换

写成矩 阵的形式


yy
yxsin

yco
s


ssin


x


cos

sin



x


co


A
，由于矩阵是正交矩阵，因此上述变换是< br>



y


sin
< br>s

y


sin

cos
< br>


co

正交变换.
下面我们看一下这个变换在平面直角坐标系下的几何意义，如图所示：

页 第5

关于正交矩阵的性质及应用研究


y
r

x

,y





r




O

x,y


x





xrcos

在一个平面直角坐标系
xo y
中,设点

x,y

的极坐标为

r,


,由极坐标变换知



yrsin

x

xcos

ysin


x

xcos

ysin

rcos
cos

rsin

sin

rcos





由

得

，


yxsin

ycos


yxs in

ycos

rsin

cos

ycos

sin

rsin






x

可知点

x

,y


的极坐标是

r,




,这说明将向径


y


按逆时针方向旋转角度

，即可得


x


x

2

到向径

(如图所示)因此这个正交变换是平面
R
上将向径


绕坐标原点按逆时针

yy
 

x

方向旋转

角的一个变换.因此同理，如果用< br>P
1
左乘向量


y


，那么 可以表示成将这个

向量按照逆时针的方向旋转角度

.
正交变换在解析几何里面有重要的性质：
定理4.1 设
A
为n阶正交矩 阵,
x
1
,x
2
是
R
n
中的任意向量，则 有
⑴
Ax
1
,Ax
2
x
1
,x
2
,即正交变换保持向量的内积不变性.

证明：由于
Ax
1
,Ax
2


Ax
1

Ax
2

x
1
A

Ax
2
,而正交矩阵
A
满足
A

AE
,因此

Ax
1,Ax
2
x
1
x
2
x
1
,x2

⑵
Ax
1
x
1
,即正交变换保持向量的范数不变. 证明：在⑴中令
x
1
x
2
,便得
Ax
1x
1
,两边开平方，既得
Ax
1
x
1
.
22
4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用
将所有的
n
阶正 交矩阵做成的集合记作
M

n

,在近似代数和拓扑的角度来说，它 将
构成一拓扑群，我们将进一步证明它也是一个不连通的紧致
lie
群.
首 先我们证明
M

n

构成拓扑群.在证明
M
n

构成拓扑群之前，我们先介绍一下有关的概
念.
定义4.2 设< br>P
是任意集合,
Q
是
P
的子集构成的子集族，并且满足下列条 件：
⑴结合
P
与空集

属于
Q
；
⑵
Q
中任意个集中的并集属于
Q
；
⑶
Q
中任意有穷个集的交集属于
Q
.
那么称
Q< br>是
P
上的一个拓扑，集合
P
上定义了拓扑
Q
，称P
是一个拓扑空间.
定义4.3 如果
P
是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的在
乘法运算

：
PPP
;
求逆运算

：
PP
.

页 第6

关于正交矩阵的性质及应用研究
上是连续的映射，那么就称
P
为拓扑群.
根据定义4.3，我们将证 明所有的
n
阶正交矩阵做成的集合
M

n

构成拓 扑群的证明分
成三步来实现：首先证明所有的
n
阶正交矩阵做成的集合
M
n

构成一个拓扑空间；其次
证明所有的
n
阶正交矩 阵做成的集合
M

n

构成一群；最后证明所有的
n
阶正交矩阵做成
的集合
M

n

构成一个拓扑群. 证明：⑴设
N
表示全部具有实元素的
n
阶矩阵所构成的集合，用
A

a
ij

表示
N
的
22
一 个代表元素.我们把
N
等同于
n
2
维欧氏空间
E
n
,可以理解为将
A

a
ij

对应成
E
n
的
点

a
11
,a
12
,
,a
1n
,a
21
,

,a
nn< br>
,
Q
是点集
E
n
的子集族，则
E
n
和空集

都属于
Q
，
Q
中任
22
意一个集合的并集都属于
Q
，
Q
中有穷个集合的交集也属于
Q，可得
E
n
构成一个拓扑
空间.进而
N
成为一拓扑空间 .
M

n

是所有实元素的
n
阶正交矩，因此是< br>N
的子集合，因
此由
N
的拓扑可以引出这个子集的拓扑，从而
M

n

构成
N
的一个子拓扑空间.
⑵对于任意 的
A,B,CM

n

,因为矩阵的乘法满足结合率则有

AB

CA

BC


存在
E
n
M

n

对于任意
AM

n

,有
E
n
AAE
n
A

任意
AM

n

，存在
A
1
A< br>
,使得
A
1
AA

AAA
1AA

E

因此正交矩阵做成的集合
M

n

对于乘法运算可构成群.
⑶对于⑴中的拓扑空间
N
的拓扑，定义矩阵的乘法运算

：
NNN
,设对于任
意
A

a
ij

,B

b
ij

,乘积


A,B
的第
ij
个元素是
2

ab
i1
n
ijij
,现在
N
具有乘积空间
E
1
E
1
E
1
(
n
2
个因子)的拓扑，现在对于任意满足
1i,jn
的
i,j
,都通过投影映射

ij

:NNNE
1
,将
A
和
B
的乘积


A,B

映射为它的第
ij
个元素，则
< br>ij


A,B



a
ijb
ij
为
A
和
B
的元素的多项式，因此
ij

连续，投影映射

ij
也是连续的.
i1n
因此可以证明映射

是连续的.由于
M

n

具有
N
的子空间拓扑，是
N
的一个拓扑空间.
由上面的讨 论知，映射

：M
n
M
n
M
n
也是连 续的.

M

n

中的可逆矩阵，定义求逆矩阵的 映射
g:M
n
M
n
,对于任意的
AM
n
,
g

A



A
1
;合成 映射

ij
g:M
n
M
n
E
k
,可以理解为将任意映射为
A
1
的第
ij
个元素，由于矩
A
ij
A
ij
A

阵
A
为正交矩阵，由 性质2.1知
A
可逆，那么有
A
,因此
a
ij

,即

ij
g

A


, A
AA
1
又因为
A
的行列式和
A
的代数余子 式都是
A
内的元素多项式，并且
A0
,所以

0
g
是连
续的，因此求逆映射
g：M
n
M
n
为连续 函数.
因此，
M

n

又是一个拓扑空间，并构 成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间上
的连续映射，因此所有的
n
阶正交矩阵做 成的集合
M

n

构成一个拓扑群.且称它为正交
群. < br>其次证明
M

n

是一个紧致
lie
群，证 明之前给出有关的定义定理.
定义4.4 设
P
为拓扑群，
P
的 拓扑为
n
维实（或复）解析流行，且映射

p
1
,p
2

p
1
p
2
1
,对于任意
p1
,p
2
P
,为解析流行
PP
到
P
上的解析映射，那么称
P
为
n
维
lie
群.

页 第7

关于正交矩阵的性质及应用研究
定理4.2 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.
证明：设
N
是所有具有实元素的
n
阶矩阵做成的集合， 对于任意的
CN
,
C
对应
的
n
2
维欧氏空间
E
n
的点
c

c
11
,c
12
,

c
1n
,c
21
,c
22
,

,c
nn

,
N
可作为
n
2
维 欧氏空间.
A
为元
2
素
c
11
,c
12< br>,

c
1n
,c
21
,c
22
,< br>
,c
nn
的解析函数，
CNC0
为
N
中的开子集，由诱导拓扑可
知
N

为解析流形，并且对于矩阵的乘法和求逆运 算都解析，故
N

为
n
2
维
lie
群.< br>M

n

为
N

的闭子集，根据诱导拓扑为 子流行，
M

n

为
lie
群.
< br>想要证明
M

n

紧致，根据定理内容，只需要证明
N
等同于
E
n
时,
M

n

相当 于
E
n
内
的有界闭集.设任意的
CM

n

,由于
C

CE
,有


c
ij
c
kj


ik

1i,kn

j1
n
22
对任意的
i,k
,定义映射

g
ik
:NE

CN

g
i k

C



a
ij
b
kj
j1
n
那么
M

n

为系数各集 合的交集

0


1i,kn

ik

1

g
ik

1


1in
由于
f
ik

1i,kn

都是连续映射，因此上 述的集合都是闭集，则
M

n

是
N
的有界闭集，

g
ik
1
则M

n

的紧闭性得证.
由于在拓扑结构上是紧闭的
lie
群，我们称它为紧
lie
群，因此
M

n

是紧
lie
群.
最后证
M

n

是不连通的
证明：设
R M

n

是全部行列式为
1
的正交矩阵所构成的集合，R
为所有行列式为
-1
的
1

是
E
1
的闭正交矩阵所构成的集合.由于
det:RM

n

E
1
是连续映射，又由于单点集

集,
RM

n
为
M

n

的闭集，同样可证
R
为 闭集.由于
RM

n

RM

n
< br>,
RM

n


R

,而
RM

n

和
R
是闭集，根据不连通的定义可直接 证明
M

n

是不连通的，在这里我们就不做
详细说明了.
4.3正交矩阵在物理学中的应用

物理学中每一个刚体运动都对应着一个 正交矩阵，三维空间中的一条曲线经过刚
体运动，它的曲率和挠率一直是不变的，在物理学中称它们为运 动不变量.下面我们来
考察曲线在做刚体运动时的量.


设曲线
r
1

t



x
1

t

,y
1

t

,z
1
< br>t

与曲线
r

t



x

t

,y

t

,z
< br>t

只差一个运动，从曲线
r
1

t
< br>到

x
1


x


b< br>1


b
11
b
12

 

r

t

变换设为

y
1

B

y



b
2

， 其中
B

b
21
b
22
z


z


b


b

3


31
b
32

1

b
13


且
b
1
,b2
,b
3
b
23

是三阶正交矩阵，
b
33



n


n

< br>x

x
1

x
1


x


b
1




< br>

n



n


 B

y

，从而有为常数.对

y
1
< br>B

y



b
2

两 边分别求
n
阶导数，可以得
y
1


n




n



z


z


b


z




3

1



z
1< br>

页 第8

关于正交矩阵的性质及应用研究
x
1
m


m

y
1
< br>

m


z
1



x
m


b
11
x
m
b
12
y
m
b
13
z
m


 


mmmm
A

y



b
21
xb
22
yb
23
z

,又
B
是正交矩阵，则有
r
1

t

r

t

成立.另一方


m



z


bx
m
by
m
 bz
m

3233


31


x
1

y
1

z
1



x

y

z


x



面，由一阶到三阶导数可以构成矩阵
x
1
y
1
z
1


xyz

B

x



x< br>

x
1

y
1

z
1




y

z


x



现取

r
1

t

,r
1

t
,r
1

t



r

t

,r

t

,r

t
 可类似的讨论.因为

y
1

z
1
< br>
x
1

z
1

x
1

y
1


y
1
z
1
x1

y
1
z
1


x
1
y
1
z
1

x
1


yzzxxy
111111
< br>x

y

z


11

1
z





z
，
y

z



y

y


y
1

z
1

< br>x
1

z
1

x
1

y
1


y
1
z
1
x
1

y
1
z
1


x
1
y
1
z
1

x
1


yzzxxy
111111

x

y

z


11

1
将
m

x
1
m

b
11
x
m
b
12
y
m
b
13
z
m


x




m
mmmm


y
1
A

y



b
21
xb< br>22
yb
23
z



m


m



z


bx< br>m
by
m
bz
m


z
1
3233


31


带入到

y
1

z
1


x
1

y

z

z

x
< br>x

y
1

y
1

z
1


x
1

11
y
1

11
z
1

1


x
1


y
1
z
1
z
1
x
1
x
1
y
1

x

y

z


11
1
的右边，得到

y

z< br>
z

x

x

y

< br>b
11
x

b
12
y

b
13
z


11


b
21
x

b
22
y

b
23
z


11


b
31
x< br>
b
32
y

b
33
z


11

z
1

x
1< br>
y
1

y
1
z
1
x1

z
1

x
1


y
1
z
1
x
1


bxbxbx

11
y

z

21< br>z

x

31
x

11111


z
1

x
1


y< br>1
z
1
x
1



bzbzbz

13
y

z

23z

x

33
x

11111


对照以上三个式子可得：


y
1
y

z

z

x

x

y





b
12
y

11
b
22
y

11
b
32
y

11






z
1

x
1

y
1

y
1
y
1
z
1
x
1< br>


y
1


y
1



页 第9

关于正交矩阵的性质及应用研究
y

z


z
1

x
1

y
1

y
1
z
1
x
1b
11
bb
y

z


z
1

21
z
1

x
1

31
x
1

y
1

y
1z

x


z
1

x
1< br>
y
1

y
1
z
1
x
1

b
12
bb
z
 
x


z
1

22
z
1

x
1

32
x
1

y< br>1

y
1
x

x

y


z
1

x
1

y
1
y
1
z
1
x
1
b
13
 bb
y


z
1

23
z
1

x
1

33
x
1

y
1

y
1
n
i1
由于正交矩阵的性质，b
ij
B
ij
,且

B
ij
Bkj


jk


j,k1,2,3


将上边三个式子左右两边分别平方之后相加得：
223
22
y
< br>z

z

x

x

y
< br>
z
1

x
1

222
y
1
222
z
1
B
11
B
12
 B
13
B
21
B
22
B
23
y

z

z

x

x

y


z
1

x
1
y
1
z
1


z
1
x
1

y
1

y
1
y
1
z
1
x
1

31

z
1

x
1

y
1
y
1
y
1
z
1
x
11


t

r


t

r


t

将上式写成矢量函数形式记得：
r
1
< br>
t

r
1



t

r


t

r


t

r
1


t

r
1




K

3

3
K
1

r


t

r
1


t



t

r
1


t

r


t

r


t

r


t

r
1


t

r
1








2


1

2

t

r


t
< br>r


t

r
1

t

r
1



其中
K,K1
;

,

1
分别为曲线
r


t

,
r
1


t

的曲率和挠率.


B
2
B
32B
33
22


x
x

1
2222

5 后记
以上就是本篇文章的全部内容，由于时间和能力有限，本文仅 针对正交矩阵矩阵的
性质以及正交矩阵在解析几何，近似代数和拓扑学以及物理化学的应用上做了粗略的 研
究，希望得到的结论能给日后这部分的研究提供帮助，也希望读者在阅读后能受到一些
启示， 从而得出更有价值的理论．事实上，正交矩阵的这部分值得研究的内容还有很多，
例如正交矩阵在化学等 方面也有很多的应用，但是本位并没有对其给予明确的说明。这
些在我以后的学习中会继续研究的．
参考文献
[1]魏战线.线性代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社，2004.
[2]燕建梁,裴金仙等.线性代数[M].北京:清华大学出版社，2007.
[3]熊金 城.点集拓扑讲义[M].北京:高等教育出版社，1985.110-111，193-195
[4]程稼夫.力学[M].合肥:中国科学技术大学出版社，1996.
[5].线性代数及其应用(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2006.
[6]周英.正交矩阵的一个性质及应用[J].苏州大学学报,1987.






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关于正交矩阵的性质及应用研究
致 谢 本篇论文在指导教师包振华的多次指导和帮助下终于完成，我对包振华老师感激之
情溢于言表。在整 篇论文写作过程当中，我也得到了很多同学的帮助，包振华老师严谨
的专业知识、认真负责的态度给了我 很多的支持。从论文选题、查阅资料，到整体思路、
校对文章，无论在理论上还是在实践中，包振华老师 都给予了我很大的帮助，我不胜感
激！感谢所有帮助我、指导我、关心我的老师和同学，谢谢你们！












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