正交变换的类型
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正交变换的类型
作者：刘瑞龙
来源：《价值工程》2010年第03期
摘要:在这里主要研究的
是正交变换的类型,首先是从正交变换到矩阵,然后用矩阵去研究变
换,通过从简单的矩阵向高阶矩阵的
推广,运用正交矩阵的性质来得到相应的旋转变换和反射变
换。
Abstract:Here the main study is the type of
orthogonal transformation, first from the
orthogonal
transformation to the matrix, and
then to study the transformation by the simple
matrix from matrices
to higher order and the
use of orthogonal matrix corresponding to the
rotation transformation and
reflection
transformations.
关键词:线性变换;正交;旋转;反射
Key words:linear transformation;
orthogonality; rotate; reflect
中图分类号:TP30 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)03-0156-01
三维欧式空间 的正交变换的类型:
现在我们设σ是V3的一个正交变换,σ的特征多项式是一个实系数的三次多项式。因而至
少有一个实根
γ作为本征值,令γ1是σ的属于本征值γ的一个本征向量。我们设γ1作为单位向
量。即使不为单位向
量,也可以把它化为单位向量γ2,γ2使{γ1γ2γ3}是V3一个规范正交集。那
么σ关于这个基
德矩阵有形状V=r st0ab0cd,也就是说σ{γ1γ2γ3}={γ1γ2γ3}r st0ab0c
d,由于V是
正交矩阵,由正交矩阵的性质知:VTV=VVT=Ir00sabtcdr st0ab
0cd=Ir2=1,rs=0,rt-=0,从而
r=±1,s=t=0。于是V=±100 0
ab 0 cd。由于V正交矩阵abcd是一个二阶正交阵。abcd=cosφ-
sinφsinφ
cosφ①或cosφsinφsinφ -cosφ②。
(1)在①中V=±100 0 cosφ-sinφ 0 sinφ cosφ。(2)在②中根据对V2的正
交变换的讨论,我们可
以取V3的一个规范正交基{γ1γ'2γ'3}使σ关于这个基的矩阵为T=±
10 0 0 1 0 0 0-1。如果在T
中左上角的元素为1,那么重新排列基向量,σ关于基{
γ'3γ'2γ1}的矩阵是-10 0 0 1 0 0 0
1。如果左
上角的元素是-1,那么σ关于基{γ'2γ'3γ1}的矩阵是1000 -1 000
-1=1 000 cosφ-sinφ0 sinφ cosφ。
这样,V3的任一正交变换σ关于某一规范正交基{α1α2α3}的矩阵为下列三种类型之一:1
000 cosφ-sinφ0 sinφ cosφ,-10 0 0 1 0 0 0
1或-1000 cosφ-sinφ0 sinφ cosφ=1000 cosφ-sinφ0 sinφ
cosφ-10 0 0 1 0 0 0 1