过生日作文-八股文范文

经典难题（二）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
C
E



G

A
B
D O

F
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15
0
．
A D
求证：△PBC是正三角形．（初二）

P






C
B




4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的 中点，AD、BC
的延长线交MN于E、F．
F
求证：∠DEN＝∠F．

E


N C

D


A
B

M
经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
A
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝60
0
，求证：AH＝AO．（初二）

O

·
H
E


B
C
M D
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2、设MN是圆 O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C
及D、E，直线EB及CD分 别交MN于P、Q．
G
E
求证：AP＝AQ．（初二）


O
·
C


B
D



M N
Q
P A


3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN
E
于P、Q．
C
求证：AP＝AQ．（初二）
A
Q

M
·
N
P

·
O
B



D

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一 边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG，点P是EF的中点．
D
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

G

C
E




P
A
Q
B
F
经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
D
A


F



B
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E
C

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
A D
F




B
C

E

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
A D


F



B

P C E


4、如图， PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于
B、D．求证：A B＝DC，BC＝AD．（初三）
A



O D
B
P







E
C
F
经典难题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
A



P


B
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C

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
A
D

P


B
C


3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

A

D




B
C



4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

A




经典难题（五）

B
D
F
P
E
C
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：


B

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≤L＜2．
A

P

C

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．





A

D

P

B

C


3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．



A

P

D


B

C

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80
0
，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30
0
，
A

∠EBA＝20
0
，求∠BED的度数．





D

E

B

C

经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
即 △GHF∽△OGE,可得
EOGOCO
==,又CO=EO，所以CD=GF得证。
GFGHCD
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2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝15
0
所以∠DCP=30
0
，从而得出△PBC是正三角形

3.< br>如下图
连接BC
1
和AB
1
分别找其中点F,E.连接C2
F与A
2
E并延长相交于Q点，
连接EB
2
并延长 交C
2
Q于H点，连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点，
0
111
由A
2
E=
1
AB=BC= FB，EB=
AB=BC=F
C，又
∠GFQ+∠Q=90和
11112 21
2222
∠GE
B
2
+
∠Q=90
0
,所以∠GE
B
2
=
∠GFQ又∠B
2
FC
2< br>=∠A
2
EB
2
，
可得△B
2
FC2
≌△A
2
EB
2
，所以A
2
B
2
=B
2
C
2
， 又∠GFQ+∠HB
2
F=90
0
和∠GFQ=∠EB
2
A
2
,
从而可得∠A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得 出四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。< br>

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4.
如下 图
连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得
∠QMF=∠F，∠QNM=∠
DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。



经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG
⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得
∠BOC=120
0
，
从而可得∠BOM=60
0
,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。

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3.作O F
⊥
CD，OG
⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
ADACCD2FDFD
由于，
====
ABAEBE2BGBG
由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，
∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。


4.过E,C,F点分别作AB所在 直线的高EG，CI，FH。可得PQ=
AB
AI+BI
= ，从而得证。
2
2
EG+FH
。
2
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
从而可得
PQ=

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经典难题（三）
1.顺时针旋转
△ADE，到△ABG，连接CG.
由于
∠ABG=∠ADE=90
0
+45
0
=135
0
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=30
0
，既得∠EAC=30
0
，从而可得∠A EC=75
0
。
又∠EFC=∠DFA=45
0
+30
0
=75
0
.
可证：CE=CF。


2.连接BD作CH
⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=30
0
，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=15
0
，

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又∠FAE=90
0
+45
0
+15
0
=150
0
，
从而可知道∠F=15
0
，从而得出AE=AF。


3.作FG
⊥
CD，FE
⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EP F=
Z
X
=，可得YZ=XY-X
2
+XZ，
Y
Y-X+Z
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，
得到PA＝PF ，得证 。








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经典难题（四）
1. 顺时针旋转
△ABP 60
0
，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得
△PQC是直角三角形。
所以∠APB=150
0
。


2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出
∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。


3.在BD取一点E，使
∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BEAD
=，即AD•BC=BE•AC， ①
BCAC
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

ABDE
=，即AB•CD=DE•AC， ②
ACDC
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
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4.过D作AQ
⊥AE ，AG⊥CF ，由
S

ADE
=

S

ABCD
=
S

DFC
，可得：
2
AEPQAEPQ
=，由AE=FC。
22
可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。




经典难题（五）

1.（1）顺时针旋转
△BPC 60
0
，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小L= ；
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（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。
由于
∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ；
由（1）和（2）既得：


≤L＜2 。

2.顺时针旋转
△BPC 60
0
，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。


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既得AF=
134+23

+(+1)
2
=
2+3
=
422
(3+1)
2
2
(3+1)
=
2
2
=
=
6+2
。

2




3.顺时针旋转
△ABP 90
0
，可得如下图：

既得正方形边长L =
(2+
2
2
2
)+()
2
a
=
5+22a
。

22

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4.在AB上找一点F，使
∠BCF=60
0
，
连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，
可得∠DCF=10
0
, ∠FCE=20
0
,推出△ABE≌△ACF ，
得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=80
0
，
既得：∠DFG=40
0

又BD=BC=BG ，既得∠BGD=80
0
，既得∠DGF=40
0

推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ，
从而推得：∠FED=∠BED=30
0
。




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①
②