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正交矩阵与正交变换的性质及应用

程祥
河南大学数学与信息科学学院 开封 475004
摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研 究对象之一，也是数学与其他
领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵， 在矩
阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的
意义.本文 主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广.
关键词:正交矩阵;正交变换;性质

1.1 正交矩阵的的定义及其判定
定义1
n
阶实矩阵
A
, 若满足
A
'
AE
, 则称
A
为正交矩阵.
性质1
A
为正交矩阵
A
'
A
1
.
性质2
A
为正交矩阵


i
'

j



1,ij,

0,ij,
i,j 1,2,

,n
.

i
为A的列向量
.
性质

1,ij,
'

ij1,2,...n

3
A
为正交矩阵

ij

0,ij,
.

i
为A的行向量
.
1.2 正交矩阵的性质

性质1
[3]
若
A
为正交矩阵则
A
1
,A
'
,A
*
均为正交矩阵.
证明 有
A
'
(A
'
)
'
(A
'
A)
'
E ,A
1
(A
1
)
'
(A
'
A)1
E
,
A(A)(AA)E
**''*
,
可得
A,A,A
1'*
均为正交矩阵.
性质2 若
A
为正交矩阵则
det(A)1或1

证明 对
A
'
AE
两边同取行列式,

第 1 页 共 10 页

可得
(det(A))1
,
2
故
det(A)1或1
.
性质3
[4]
若
A,B
为正交矩阵，则
AB
也为正交矩阵.
证明 有
(AB)(AB)
'
ABB
'
A
'
AA
'E
,
可得
AB
为正交矩阵.
性质4 正交矩阵的特征值的模为1.
证明 设
A
为正交矩阵，复数

为其任一特征值
X
为其对应的特
征向量，即
AX

X
，
X0

两边取转置
XA

X
'''
，
由此得
XAAX

X

X
'''
,
有
A
'
AE
可得
XX

XX
'
2
'
,
从而

1
.
性质5 正交矩阵的实特征值为
1
.
性质6
[5]
行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1.
证明 设
A
为n阶正交矩阵且
det(A)1
，n为奇数
则
EAAAA(1)EA(1)(EA)
'n'n'


(1)
n
EA
EA
,
故

第 2 页 共 10 页

EA0
,
即
A
有特征值1.
性质7 行列式为

1的正交矩阵必有特征值

1.
证明 设
A
为正交矩阵且
det(A)1

则
EAAAAAEAA(EA)
'''


EA
,
故
EA0
,
即
A
有特征值

1.
性质8
[6]
设

为正交矩阵
A
的特征值，则

1
也为
A的特征值.
证明 因

为
A
的特征值
故存在特征向量

使得A




从而
AA

A

''
,
得
A



'1
,
即

1
为
A
'
的特征值,
从而

也为
A
的特征值.
1
性质9
[8]
设
A
为一n阶正交矩阵，有一特征值为

i

(

0)
，相应的特征向量
为
xiy
，则
x
'< br>xy
'
y,xy
'
0.

证明 有
A(xiy)(

i

)(xiy)
,
得

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A

xy



x


y






,






两边转置得
< br>x
'

'



A






y
'







x
'


,

'





y

令
Xx
'
x,Yy
'
y,Zx
'
y
,
故






Z



Z






X




Y











X

Z








ZY

,

计算可得


222

X

2
Y2

Z

Z

Z

(XY)




2
Z

2
Z

(XY)

2
Y

2< br>
X2

Z




X



Z
比较第一行元素可知
(

2
1)X

2
Y2

Z
,
(1

2


2
)Z

(XY)
,
又
A
为正交矩阵，有性质4知

2


2
1
,
代入并注意到

0
有
2

Z

(XY)
,
2

Z

(XY)
,
可得
(
2


2
)(XY)0
即
XY
,
易得
Z0
,
从而
x
'
xy
'
y,xy
'
0
.

第 4 页 共 10 页

Z

Y


,


下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.
例1
[1]
证明：不存在正交矩阵
A,B使得A
2
ABB
2
.
证明 设有正交矩阵
A,B使得A
2
ABB
2
,
''22'
AB,AB
都是正交矩阵, 则
A
'
,B以及
且
ABAB,ABAB
,
'22'
故
AB,AB
为正交矩阵,
从而
E(AB)(AB)

2EBA

AB

,
E(AB)(AB)

2EBA

AB

,
两式相加，得
2E4E
,
矛盾 故得证.
例2 设
A,B为n阶正交方阵且AB0,证明r(AB)1


证明 因
A,B
为正交方阵，故
AA

E,A1
,
又
AB0,估BA
,
从而
AB

AB

A
2
1
,
得
AB

有特征值-1,
故
EAB

(1)AAAB

0
,
n'

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即
(1)AAB

(1)AAB0,AB0
,
n'n
因此
r(AB)1
.

例3
[1]
设
A为一三阶正交方阵且
使得
A
3
kA
2
kAE0
.
证明 设
A的三个特征值分别为
A1
证明：存在一实数
k,1k3


1
，

2
，

3
则

f(

)

EA

3
(

1


2


3
)

2
(

1

2


2

3


1

3
)



1

2

3
,
因为
A
为奇数阶正交矩阵且
A1
,
故
A
有特征值1，不妨设

1
1
则

1

2

3


2

2
A1,
于是

1


2

3
1

2


3
,

1

2


2

3


1

3
1

2


3
,
从而
f(

)

EA

k

k

1
,
32
其中
k1

2


3
(

2
,

3
为实数或共轭虚数
有因正交矩阵的特征值的模为1,
故
)
,
(

2


3
)

2


3


2


3
,
得
2

2


3
2
,
于是
1k3
,
从而
32
AkAkAE0
,
1k3
.

第 6 页 共 10 页

例4
[7]
有椭球面
x
a
2
2

y
b
2
2

z
c
2
2
1
的中心 ，引三条两两垂直的射线，分
交曲面于点
P
1
,P
2
,P
3
，设OP
1
r
1
,OP
2
r
2
,OP
3
r
3
.证明：

1
r
1< br>2

1
r
2
2

1
r
3< br>2

1
a
2

1
b
2
< br>1
c
2
.
证明 设
OP
i
的方向余弦为

i
,

i
,

i
，
1i3

则

P
i
点坐标为
r
i

i
,r
i

i
,r
i

i

，且

i


i


i
1
,
代入曲面方程可得
1
r
i
2
222


i
a
2
2

i
b
2
2


i
c2
2
,
故
1
r
1
2

1
r
2
2

1
r
3
2


1


2


3
a
2
222


1


2

3
b
2
222


1


2


3
c
2
222
,


1

有
OP
1
,OP< br>2
,OP
3
两两垂直可得


2



3

1

2

3

1


2

为正交矩阵,

3



故

1


2


3
1,

1
< br>
2


3
1,

1


2


3
1
,
222222222
从而有
1
r
1
2

1
r
2
2< br>
1
r
3
2

1
a
2
< br>1
b
2

1
c
2
.
2.1正交变换的定义及等价条件

定义2：欧氏空间
V
的线性变 换
T
称为正交变换，如果它保持向量的内积
不变，即对任意的

,< br>
V
，都有
(T

,T

)(

,

)
.
正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.
定理
[2]
设
T
是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等

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价的：
(1)
T
是正交变换；
（2）
T
保持向量的长度不变，即对于

V,T


；
（3）如果

1
,

2
,

n
是标准正交基，那么
T

1
,T

2
,

,T

n
也是标准正交
基；
（4）
T
在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.


2.2正交变换的性质和应用
由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平
移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.
例5
[2]
设
T是欧氏空间的一个变换，证明：如果
T
是保持内积不变.即对于

,
V,(T

,T

)(

,

)
，那么它一定是线性的，因而它是正交变换.
证：先证：
T(



)T

T

.
由条件得
(T(



)T

T

,T(< br>


)T

T

)
(T(



),T(



))2(T(< br>


),T

)
2(T(



),T

)(T

,T

)(T< br>
,T

)2(T

,T

)
 (



,



)2(
< br>

,

)2(



,

)
(

,

)(

,

)2(

,

)0,

从而
T(< br>


)T

T

0,T(



)T

T

,

再证：
T(k

)kT(

).
同理，由于 < br>(T(k

)kT(

),T(k

)kT(< br>
))
(T(k

),T(k

))k(T
,T(k

))k(T(k

),T

) k(T

,T

)
k(

,

)k(

,k

)k(k

,

) k(

,

)0
故T(k

)k(T

)0,T(k

)k(T

).T是线性变换，得证.22
2

例6 设

1
,

2
,

,

m
与

1
,

2
,

,

m
是
n
维欧氏空间
V
的两组向量，证明：存在正

第 8 页 共 10 页

交变换
T
使
T

i

i
(i

1,

,m)
的充要条件是
(

i
,

j
)(

i
,
< br>j
),
i
,
j
1,,
m

证明 设有正交变换
T,
使得
T

i


i(i

1,

.m)
，则

(< br>
i
,

j
)

(T

i
,T

j
)

(

i
,

j
),i,j

1,

,m.

证 设
(

i
,

j
)

(

i
,

j
),i,j

1,

,m.
成立.令
V
1
L(

1
,

2
,,

m
),V
2
L(

1
,

2
,,

m
),

则
VV
1
V
1
V
2
V
2
.


但易知

1
:k
1

1
k
m

m
k
1

1
 k
m

m

是
V
1
到
V
2
的同构映射.于是
dim
(V
1
)
=
dim( V
2
)
.从而得，
dim(V
1
)dim(V
2
)
,

令

2
为
V
1

到
V
2

得一个同构映射，则对

V,
令


< br>1


2
,

1
V
1,

2
V
1
,

易知
T:



1

1


2

2
是
V
的正交变换且由

i


i
0
得
T

i


1

i

2
0


i
,i

1,

,m

例7
[1]
设
T
1
,T
2
是
n
维欧氏空间
V
的两个线性变换，
(T
1

,T
1

)(T
2

,T
2

)(

V)
，
证明：存在
V的正交变换T使得TT
1
T
.
证明 令
V
1
T
1
(V),V
2
T
2
(V)
则易知

1
:T
1

T
2

(

V),
是
V
1
与V
2
的一个同构映射

，因此有

VV
1
V
1
V
2
V
2< br>得dim(V
1
)dim(V
2
)
,
令

2
是V
1

与V
2

的一个 同构映射，则易知

,
T:



1

1


2

2
(



1


2
V,

1
V
1
,

2
V
2
)

第 9 页 共 10 页

是
V
的正交变换，且对任意

V
有

T
1

T
1
(V)V
1
,而T
1
< br>T
1

0，
故
TT
1

T(T
1

)

1
(T
1

)T
2

,
因此
TT
1
T
.

参考文献

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