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名辰教育 提分热线： 学海无涯、追求卓越！
☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】

第一章 整式的乘除
一、 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则:
注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是
一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂 的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不
仅底数相同，还要 求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为
a
⑤公式 还可以逆用：
a

mn
m
a
m
a
n< br>a
mn
(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要 < br>a
n
a
p
a
mnp
（其中m、n、p均为 正数）；
a
m
a
n
（m、n均为正整数）
二．幂的乘方与积的乘方
1. 幂的乘方法则：
(a
2.
mn< br>)a
mn
(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
(a
m
)
n
(a
n
)
m
a< br>mn
(m,n都为正数)
.
如将（-a）
3
化成-a
3

3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，

a
n
(当n为偶数时),

一般地,(a)

n

a(当n为奇数时).
n
4．底数有时形式不同，但可以化 成相同。
5．要注意区别（ab）
n
与（a+b）
n
意义是不 同的，不要误以为（a+b）
n
=a
n
+b
n
（a、b均不 为零）。
6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
(ab)
为正整数）。
7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

n
a
n
b
n
（n
三. 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
a
且m>n).
2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不 等于0的数的0次幂等于1,即
a
0
m
a
n
a
mn
(a≠0,m、n都是正数,
1(a0)
,如
10
0
1
,(-2.5
0
=1),则0
0
无意义.
p
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即
a
1
a
p
( a≠0,p是
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正整数), 而0
-1
,0
-3
都是无意义的;当a>0时,a-p
的值一定是正的; 当a<0时,a
-p
的值可能是正也可能是负
1 1
3
,
(2)

48
④运算要注意运算顺序.

的,如
(-2)
-2


四. 整式的乘法
1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的 字母，
连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘
与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式， 是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项
式相乘，就是用单项式去乘 多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
3．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多
项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一 个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘
(xa)(xb)x
2
(a b)xab
，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常
数项是两个因式 中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得
到(mxa)(nxb)mnx
2
(mbma)xab

五．平方差公式
1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即
( ab)(ab)a
其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
2
b
2
。
六．完全平方公式
1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
即
(ab)
2
a
2
2abb
2
；
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口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
3．在运 用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现
(ab)
误。
2
a
2
b
2
这样的错

七．整式的除法
1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它
的指数作为商的一个因式；
2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把 所得的商相加，其特点是把多项式除
以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数 相同，另外还要特别注意符号。

【典例讲解】
（一）填空题（每小题2分，共计20分）
103212（ ）
1．
x
＝（－
x
）·_________＝
x
÷
x

2．4（
m
－
n
）÷（
n
－
m
） ＝___________．

232
3．－
x
·（－
x
）·（－
x
）＝__________．

22
4．（2
a
－
b
）（）＝
b
－4
a
．

22
5．（
a
－
b
）＝（< br>a
＋
b
）＋_____________．

6．（

7．20

8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．
222
9．（
x
－2
y
＋1）（
x
－2
y
－1）＝（ ）－（ ）＝_______________．

2
10．若（
x
＋5）（
x
－7）＝
x
＋
mx
＋
n
，则
m
＝__________，
n＝________．

（二）选择题（每小题2分，共计16分）
11．下列计算中正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）
（A）
a
·
a
＝
a
12．
x
2
m
＋1
32
1
－2010199
）＋＝_________；4×0 .25＝__________．
3
21
×19＝（ ）·（ ）＝___________．
33
n
22
n
（B）（
a
）＝
a
325
（C）
x
·
x
·
x
＝
x
437
（D）
a
2
n
－3
÷
a
3－
n< br>＝
a
3
n
－6

可写作„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）
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（A）（
x
）
2
m
＋1
（B）（
x
）
m
2＋1
（C）
x
·
x
2
m
（D）（
x
）
mm
＋1

13．下列运算正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）
（A ）（－2
ab
）·（－3
ab
）
3
＝－54
a4
b
4

（B）5
x
2
·（3
x3
）
2
＝15
x
12

（C）（－0.16） ·（－10
b
2
）
3
＝－
b
7

（D）（2×10
n
）（
1
2
×10
n
）＝10< br>2
n

14．化简（
a
n
b
m
）
n
，结果正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
（A）
a
2
n
b
mn
（B）
a
n
2
b
m
n
（C）
a
n
2
b
mn
（D）
a
2n
b
m
n

15．若
a≠
b
，下列各式中不能成立的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
（A ）（
a
＋
b
）
2
＝（－
a
－
b< br>）
2
（B）（
a
＋
b
）（
a
－
b
）＝（
b
＋
a
）（
b
－a
）
（C）（
a
－
b
）
2
n
＝（
b
－
a
）
2
n
（D）（
a
－
b
）
3
＝（
b
－
a
）
3

16．下列各组数中，互为相反数的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
（A）（－2）
－3
与2
3
（B）（－2）
－2
与2
－2
（C）－3
3
与（－
1
3
）
3
（D）（－3）
－3
与（
1
3
3
）
17．下列各式中正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
（A）（
a
＋4）（
a
－4）＝
a
2
－4 （B）（5
x
－1）（1－5
x
）＝25
x
2
－1
（C）（－3
x
＋2）
2
＝4－12
x
＋9
x
2
（D）（
x
－3）（
x
－9）＝
x
2
－27
18．如果
x
2
－
kx< br>－
ab
＝（
x
－
a
）（
x
＋
b
），则
k
应为„„„„„„„„„„„„„（
（A）
a
＋
b
（B）
a
－
b
（C）
b
－
a
（D）－
a
－
b

4分，共24分）
19．（1）（－3
xy
2
）
3
·（
1
32
6
xy
）；



（2）4
a
2
x
2
·（－
2
5
a
4
x
3
y
3
）÷（－
1
2a
5
xy
2
）；




（3）（2
a
－3
b
）
2
（2
a
＋3b
）
2
；
第4页
）
）
）
）
）






（三）计算（每题

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（4）（2
x
＋5
y
）（2
x
－5
y
）（－4
x
－2 5
y
）；






n< br>－2
nn
－1
n
＋12
nn
－3
（5）（2 0
ab
－14
ab
＋8
ab
）÷（－2
ab
）；






2
（6）（
x
－3）（2
x
＋1）－3（2
x
－1）．





20．用简便方法计算：（每小题3分，共9分）
（1）98； （2）899×901＋1； （3）（
1 000
2
22
10
2002
）·（0.49）
7
．






（四）解答题（每题6分，共24分）
22
21．已知
a
＋6a
＋
b
－10
b
＋34＝0，求代数式（2
a
＋
b
）（3
a
－2
b
）＋4
ab
的值．





a
2
b
2
22
22．已知
a
＋
b
＝5，
ab
＝7，求，a
－
ab
＋
b
的值．
2







2222
23．已知（
a＋
b
）＝10，（
a
－
b
）＝2，求
a
＋
b
，
ab
的值．



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24．已知
a
＋
b
＋
c
＝
ab
＋
bc
＋
ac
，求证
a
＝
b
＝< br>c
．










（五）解方程组与不等式（25题3分，26题4分，共7分）
25．













26．（
x
＋1）（
x
－
x
＋1）－
x
（
x
－1）＜（2
x< br>－1）（
x
－3）．





22
222
(x1)(y5)x(y2)0


(x4)(y3)xy3.
第6页