正交变换和正交矩阵
安全教育的手抄报-离婚协议书范文下载
7.3正交变换和正交矩阵
授课题目：7.3正交变换和正交矩阵
教学目标：
理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系
授课时数：3学时
教学重点：正交变换的性质
教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质
教学过程：
一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
设{
1
,
2
,,
n
}是n维欧氏空间的两个标准正交基，
(
1
,
2
,,
n
)(
1
,
2
,,
n
)
U
（U=（
U
ij
））
U
1i
<
br>n
U
i
(
1
,
L
,
n
)
2i
U
ki
k
M
k1
U
ni
1ij
Q
1
,
L<
br>
n
是标准正交基，有
i
,
j
0ij
又
Q
i
,
j
U
ki
k
,<
br>
U
kj
k
k1k1
nn
则
UU
ki
k1i1
n
k1
n
nn
lj
k,
l
U
ki
U
kj
1ij
Q
U
ki
U
kj
(i,j1,2,
L
,n)
k1
0ij
从而U
T
UI
定义7.3.1 设
U
是实数域上的n阶矩阵, 如果
UUUUI
,
则称
U
为正交矩阵.
定理7.3.1
设在n维欧氏空间中由标准正交基
1
,
2
,,
n
对基
{
1
,
2
,L,
n
}
的
过渡矩阵是
U
, 那么
{
1
,
2
,L,
n
}
是标
准正交基的充分必要条件是
U
为正交矩阵.
证明: 必要性已证.
现证充分性. 设
U
为正交矩阵, 则
UUUUI
成立, 从而
TT
TT
{
1
,
2
,L,
n
}
是标准正交基.
例1：证明每一个n阶可逆矩阵A都可
以唯一表成A=UT的形式，这里U是一个
正交矩阵，T是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。 证明：存在性，由于A为n阶非奇异实矩阵，故A=
(
1
,
2
,,
n
)
的列向量
1
,
2
,,
n
线性无关，从而为
R
n<
br>的一个基，实行单位化
1
t
11
1
2
t
12
1
t
22
2
令
n
t
1n
1
t
2n
2
t
nn
n
其中t
ii
0,i1,1,,n,都有（
1<
br>，
2
，，
n
）(
1,
2
,,
n
)
1
其中
1
,
2
,,
n
为R
n
的标准正交基，而
t
11
t
12
<
br>0t
22
00
t
1n
t
2n
t
nn
T
1
从而T也是对角线上全为实数
的上三角形矩阵，由于
1
,,
n
是标准正交基，故<
br>有
U(
1
,
2
,,
n
)
是一个正交矩阵，于是知A=UT
唯一性：设另有
AU1
T
1
其中
U
1
为正交矩阵，
T
1<
br>为对角线上全是正实数的上三角
形矩阵，则
UTU
1
T
1
或UO
1
TT
11
1
即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证
TT
故
TT
1
,UU
1
I
思考题
设
1
,
2
,
3
是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合
(
1
)
1
1
2
3
221
333
212
(<
br>
2
)
2
1
2
3
333
练习
设V是一个欧氏空间,
V
是一个非零向量,对于
V
, 规定V的一个变换
(
)
2
,
,
2
证明:τ是V的一个正交变换,且
,
ι是单位变换.
例
2：设
{
1
,
2
,,
n
}
和
{
1
,
2
,,
n
}
是n维欧氏空间V的两个标准正交基。
（1） 证明，存在V的一
个正交变换
，使
(
i
)
i
,i1,2,,n
（2） 如果V的一个正交变换
，使
(
i
)
i
那么
(
2
),,
(
n
)
所
生成的子空
间与
2
,,
n
由所生成的子空间
重合。
证：（1）一定存在一个变换
使
(
i
)
i
,又{
1
,,
n
}
及
{
1
,,
n
}<
br>为标准正
交基，故
为正交变换
( 2 )证
L(
(
2
),,
(
n))L(
2
,,
n
)分两步证明
<
br>
L(
(
2
),,
(<
br>
n
))则
先证设
a
i
(
i
)
(
a
i<
br>
i
)
i2i2
nn
又由
V知
可由{
1
，
2
，，
n
}线性表出，令
b
i
,且b
i
,
i
,i1,2,,
n
i1
n
又
是正交变换，而
（
<
br>1
）
1
故b
1
,
1
(
a
i
i
),
(
1
)
<
br>a
i
i
,
i
0
i2i
2
nn
所以
b
i
L(
2
,
3
,,
n
)
i2
n
另一放面，若
L(
2
,
3
,,
n
)
则
因为
是正交变换，
c
，ii
i2
n
故
(
),
(
2
),,
(
n
)
是
V的一个标准正交基，不妨令
d
1
(
1
)d
2
(
2
),,d
n
(
n
),d
i
,
(
i
)
由于
（
1）
1
故
d
1
,
(
1
)
c
i
i
0
I2
N
故
d
2
(
2
)d
n
(
n
)L(
(
2
),,
(
n
))
因而
L(
2
,
3
,,
n
)L(
(
2
),
(
3
),,
(
n
))
L(
(
<
br>2
),
(
n
))L(
2
,,
n
)
有
U(
1<
br>,
2
,,
n
)
是一个正交矩阵，于是
知A=UT
唯一性：设另有
AU
1
T
1
其中
U
1
为正交矩阵，
T
1
为对角线上全是正实数的上三角
形
矩阵，则
UTU
1
T
1
或UO
1
TT
11
即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证
TT
1
I
故
TT
1
,UU
1
例2：设{
1
,
2
,,
n
}
和
{
1
,
2
,,
n
}
是n维欧氏空间V的两个标准正交基。
（3） 证明，存在V的一个正交变换
，使
(
i
)
i
,i1,2,,n
（4） 如果V的一个正交变换
，使
(
i
)
i
那么
(
2
),,
(
n
)
所生成的子空
间与
2
,,
n
由所生成的子空间重合。 <
br>证：（1）一定存在一个变换
使
(
i
)
i
,又{
1
,,
n
}
及
{
1
,,
n
}
为标
准正
交基，故
为正交变换
（5） 证
L(
(
2
),,
(
n
))L(
2
,,
n
)分两步证明
先证
L
(
(
2
),
(
n))L(
2
,,
n
)
<
br>L(
(
2
),,
(
<
br>n
))则
设
a
i
(
i
)
(
a
i
i
)
i2i2
nn
又由
V知
可由{
1
，
2
，，
n
}线性表出，令
b
i
,且bi
,
i
,i1,2,,n
i
1
n
又
是正交变换，而
（
1
）
1
故b
1
,
1
(
a
i
i
),
(
1
)
a
i
i
,
i
0
i2i2
nn
所以
b
i
L(
2
,
3
,,
n
)
i
2
n
另一放面，若
L(
2,
3
,,
n
)
则
因为
是正交变换，
c
，
ii
i2
n
故
(
),
(
2
),,
(
n
)
是
V的一个标准正交基，不妨令
d
1
(
1
)d
2
(
2
),,d
n
(
n
),d
i
,
(
i
)
由于
（
1）
1
故
d
1
,
(
1
)
c
i
i
0
I2
N
故
d
2
(
2
)d
n
(
n
)L(
(
2
),,
(
n
))
因而
L(
2
,
3
,,
n
)L(
(
2
),
(
3
),,
(
n
))
二、正交阵的判断。
定理7.3.2：U是n阶正交矩阵
U
的行（列）向量组成n维欧式空间
R
的一个标
准正交基
。
证： 必要性 设U是正交矩阵则有
U
U
=I 令U=（
<
br>1
，
2
……，
n
）
T
T
n
1
1
1
T
T
T
2
T
T
T
UU
=
(
…
)=
21
1
2
n<
br>
T
n
n
1
n
1
2
T
2
2
T
n
2
T
n
n
T
1
n
T
2
n
T
在欧氏空间
R
中有
i
j
=<
i
,
j
> i,j=1,2,3,……
n
T
<
1
,
2
>
<
1
,
1
>
<
,
><
,
>
2122
T<
br>故有
UU
=
<
n
,
1
><
n
,
2
>
故 <
i
,
j
>=
<
1
,
n
>
<
2
,
n
>
=I
<
n
,
n
>
1当ij
i，j1，2，，n
0当ij
n
因而
1
，
2
……，
n
是
R
的标准正交基
充分性 设
1
，
2
……，
n
是
R
的一个标准正交基，以上过程可逆
有
UU
=I，从而
U
是正交矩阵。
三、正交矩阵的性质
⑴
正交矩阵可逆，且逆矩阵仍然为正交矩阵；
UU
T
T
n
I
故
U
1
U
T
TTTT
⑵
两个正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵；
(AB)(AB)ABBAAAI
⑶
正交矩阵的行列式为
1
；
AA
T
I
故
A
A
T
1
A1A1
四、正交变换
1 定义7.3.2：
是欧氏空间
V
的一个线性变换，如果
V
有
(
)
2
则称
是
V
的一个正交变换。
2 正交变换的判断
定理7.3.3
是
V
的一个线性变换，于是以下四个命题等价：
⑴
是
V
的正交变换；
⑵
,
V
，有<
(
)
，
(
)
>=<
,
>；
1
,
2
,,
n
是
V
的标准正交基则
(
1
),
(
2
),,
(
n
)
也是
V
的 ⑶ 若
标准正交基；
⑷
是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。
证明
：用⑴
⑵
⑶
⑷
⑴的循回证法来证
明，
⑴
⑵
是正交变换
,
V
有
(
)
=
而
(
)
=<
(
)
,
(
)
>=<
(
)
(
)
,
(<
br>
)
(
)
>
= <
(
)
,
(
)>+2<
(
)
,
(
)
>+<
(
)
,
(
)
>
=<
,
>=<
,
<
br>>+2<
,
>+<
,
>
<
(
)
,<
br>
(
)
>=<
,
> , <
(
)
,
(
)
>
=<
,
>
2
2
22
故<
(
)
，
(
)
>=<
,
>
⑵
⑶
<
(
i
)
,
(
j
)
>=<
i
,
j
>=<
br>
1ij
0ij
故
(
1
)
，
(
2
)
，……，
(
n
)
是
V的标准正交基。
1
,
2
,,
n
是
V
的标准正交基，
关于基的矩阵
U为 ⑶
⑷ 设
（
<
br>(
1
),
(
2
),,
(
n
)
)
=
(
1,
2
,
n
)
U
<
br>
(
1
),
(
2
)
,
(
n
)
,
1
,
2
,
n
均为标准正交基
故
U
是正交基。
1
,
2
,
n
的矩阵
U
的
正交矩阵， ⑷
⑴
设
是关于标准正交基
T
即 <
br>
(
1
),
(
2
),,
(
n
)
=
1
,
2
,,
n
U
UUI
(<
br>
1
)
，
(
2
)
，…，
(
n
)
也是标准正交基。
V
则有
x
1
1<
br>x
2
2
x
n
n
n
n
x
i
i1
n
j
<
(
)
,
(
)
>=<
(
x
i
i1
i
j
j
),
(
x
i
j1<
br>j
)
>
=
x
i1j1
nn
(
i
),
(
j
)
=
x
i1
n
2
i
,
即
(
)
推论1：正交变换保持向量的夹角不变。
=arccos
,
=arccos
(
),
(
)
'
=<
br>
(
)
(
)<
br>注意：逆命题不一定成立。
当
V
取定了标准基之后，正交变换与正交
矩阵是一一对应的。并且保持乘法运算，研
究正交变换可归结为研究正交矩阵。
推论2：两正交变换的积仍是正交变换，正交变换的逆变换也是正交变换。
证：设
，
均为正交变换则
(
)
1
(
)
(
(
))
(
)
1
(
)
1
(
)
3 正交变换的分类
若正交变换关于某一标准正交基的矩阵为
U
U
1
时称
为第一类正交变换，并称为旋转；
U1
时称
为第二类正交变换，并称为反射。
1
,
2
,,
n
和
1
,
2
,,
n
<
br>是n维欧氏空间
V
的两个标准正交基， 例：则存在
V
的一个正
交变换
。使
(
i
)
i
i1,2,,n
证：定义
，<
br>
V
，有
x
1
1
x
2
2
x
n
n
(
)x
1
1
x
2<
br>
2
x
n
又
y
1
1
y
2
2y
n
n
<
br>(
)y
1
1
y
2
2
y
n
n
则
(k
l
)(kx
1
ly
1)
1
(kx
2
ly
2
)
2
(kx
n
ly
n
)
n
=
k(x
1
1
x
2
2
x
n
n
)
l(y
1
1
y
2
2
yn
n
)
=
k
(
)l
(
)
是
V
的一个线性变换，
又
x
1
2
x
n
(
)
222
是正交变换，且
(
i
)
i
i1,2,,n
正交变换类型
二阶正交变换
U
1
cos
sin<
br>
sin
U
1
1
cos
sin
U
2
1
cos
cos
U
2
sin