开平碉楼作文-泰安高考

第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度、正交性
一、向量空间的内积、长度和夹角
1．内积的定义：

内积的符号：括号或方括号
2．内积性质
（1）对称性
(

,

)(

,

)

(
,

)

(

,

)，

R

0
，
(

,

) 0
的充要条件是

0

（2）
(

,

)
（3）
(



,

)(

,

)(

,

)

（4）正定性：
(

,

)

3．向量的长度

1


的单位化向量：




4．向量长度的性质
（1）非负性
（2）齐次性

0

k

k


（3）柯西不等式:
（4）三角不等式:
证（3）

5．向量夹角定义
设
α
,

是R< br>n
的两个非零向量，规定它们的夹角

为
cos



(

,

)
（0 ≤

≤

）

||

6．向量正交定义


(

,

)0

与< br>
若，则称正交，即

=
2

二、向量空间的单位正交基
1．正交向量组定义
一组非零的n维向量，如果他们两两正交，则称之为正交向量
组。
2．定理1 正交向量组线性无关


P113
例1 已知两个向量a1=（1,1,1）与a2=（1, -2, 1）正交, 求一个非零
向量a3 , 使之这三个向量两两正交。
解 设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足
（a1,a3）= 0, （a2, a3）= 0
即 x1 ＋ x2 ＋x3 = 0, x1－2x2 ＋x3=0

这是一个齐次线性方程组AX= 0,

x
1
< br>
111



0

即


121



x
2




0


，


x



3


111

111
< br>101

由
A


121


~


030


~

010


，


x
1
c

x
1


1


 

x
1
x
3

得

，方程组的通解为

x
2
0
，即

x
2

c

0


x0

2< br>
x


1

xc

3

3



1


取c = 1, 则a3=

0

即为所求
。


1


3．正交基、规范正交基（单位正交基）
正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。
规范正交基（单位正交基）——正交基中的向量是单位向量。
4．向量正交化
施密特方法：将基改造为正交基（P114）

例2 用施密特方法把基正交化（P114）
例3 已知
a
1
(1,1,1)
T
，求一组非零向量
a
2
,a
3
，使
a< br>1,
a
2
,a
3
两两正交。
T
解
a
2
,a
3
应满足
1
ax0
，即
x
1
x
2
x
3
0

x
1
x
2
，通解为 解这个齐次线性方程组得
x3

x
1
c
1

x
1
< br>
1

0




< br>x
2
c
2
，即

x
2

c
1

0

c
2

1
，基础解系为


x


1

1



3


x
3
 c
1
c
2

1

0

 

1


0

,

2


1

，把基础解系正交化

1
1


(

1
,

2
)
a
2


1
,a
3

2


1
，于是得
(

1
,

1
)

1





1

0

1


2

 
1

a
2


0

,a< br>3


1



0

< br>
1



1

1

2

1


1


2






2

三、正交矩阵
1．定义4
T
AAE
，称A 是正交矩阵。若A是一个n阶实矩阵，且满足
因为
A
1
AE

T1
AA
所以 A是正交矩阵←→ （充分必要）
2．正交矩阵的构造

定理
n阶正交矩阵←→列(行)向量组是R
n
的单位正交基。
证 （略）


堂上练习 下列矩阵是不是正交矩阵
1213

1

198949



A

12112

，
B

891949


13

494979

121
< br>

3．正交矩阵的性质P116
(1)若A为正交矩阵，则
A
为正交矩阵
(2)若A，B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵
(3)若A为正交矩阵，则det(A)=1或det(A)=－1
4．正交变换的保形性（略）
1

定义5 若P为正交矩阵，则线性变换Y= PX称为正交变换
正交变换保持向量的内积、长度、夹角
P---正交矩阵
（PX, PX）= (X, X)
|| PX || = || X ||
5. 矩阵的QR分解 （略）
定理5.8 设A是满秩n阶矩阵，则存在n阶正交矩阵Q和上三角
矩阵R，使得A=QR
证明： （略）

§2 方阵的特征值与特征向量
1. 定义6 (P117)

2. 特征矩阵、特征多项式、特征方程

3. 求特征值和特征向量的步骤

例 （类似P118 例6）

13作业
P134 1, 2(1), 3，4，5，


例 8 设

是方阵A的特征值，证明
2
2

（1）是
A
的特征值；
1
（2）当A可逆时，

是
A
的特征值
1
证 （1）因为

是方阵A的特征值，设p是

对应的特征向量，故
有

Ap

p
，
A
2
pA( Ap)A(

p)

(Ap)

2
p

2
2
所以

是
A
的特征值。
1< br>1
Ap

p
p

Ap
，
A
（2）当A可逆时，存在，由，得
11
1
p
，即 是
A
1
的特征值。 因为
p0,

0
，所以 有
Ap


3．特征向量的性质

例9 设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求 A*+3A- 2E的特征值。
解 因为A的特征值不为0，所以A可逆，由
1
*
*1

A
A
A
，得
AAA
，而
A

1

2

3
2
，
所以
1
A*+3A- 2E=
2A3A2E

(A)

1
令


(

)2

1
3

 2


从而得

(A)
的特征值为
< br>(1)1,

(1)3,

(2)3
。


（即P120的定理2）

§3 相似矩阵
1． 定义7 （P121）

2． 性质

（即定理3 P121）
推论 若n 阶矩阵A与对角矩阵


1




2








n

相似，则

1
,

2
,

,

n
是A的n个特征值。
3． 矩阵可对角化的条件

定理4

推论

4 例11 （P123）

001


设
A

11x

，

100


问x 为何值时，矩阵A可以对角化？
解 （先求A的特征值，如果A有三个不相等的特征值，那么可
以对角化；如果有重根，根据矩阵A可对 角化的充分必要条件：“重
根对应相同重数的特征向量要线性无关”来判断）
若APP
1
，那么
A
K
P
K
P
1
（第二章 P45例13）

§4 对称矩阵的对角化
1． 定理
定理5
实对称矩阵的特征值都是实数
定理6
设
< br>1
,

2
是对称矩阵A的两个特征值，
p
1
,p
2
是对应的特征向量，若

1


2
，则
p
1
与
p
2
正交。
定理7

设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得
P
1
A P
为对角矩阵，
即


1



2


P
1
APP
T
AP

,
1
,

2


n
是A的特征值。





n


3．例

0111


1011

已知实对称矩阵


1101




1110


求正交矩阵Q, 使
Q
T
AQ
为对角矩阵。
方法步骤：
（1） 求A的特征值
（2） 求特征值对应的特征向量
（3） 把特征向量正交化、单位化，形成单位正交基，即可写出所
求的正交矩阵。
解

验证上述结果。
例13 设
A



21

n
A

，求。


12

解 因A是对称矩阵，所以可对角化，即有可逆矩阵P使
P
1
AP
， 于是
APP
1
，从而
A
n
P
nP
1
。
（下面求A的特征值及特征向量，由特征向量组成P）
由< br>A

E

1
1,

2
3< br>。
2

1


2
4
3(

1)(

3)
，得A的特征值
12

对应

1
1
，由
A E



11

11

1

，得特征向量；
~


1
 

11

00

1


对应

2
3
，由
A3E


并有
P


n

11

11< br>
1


，得特征向量；
~


1


11

00

1


11

1

11

1

，在求出，所以
P

2

11< br>
11

n1

11


1
n
0

1

11

1

13
n
13
n




。

APP




11



nn

03
n

2





11

2

1313


14作业 P135 9, 12, 15, 17，19（1）
§5 二次型及其标准形
1． 定义


二次型的矩阵记号


其中
a
ij
a
ji
，即A是对称矩阵。
对称矩阵A与二次型f存在一一对应的关系：
对称矩阵A称为二次型f的矩阵，
f称为矩阵A的二次型，

A的秩为f的秩。
例
2． 二次型的标准型（只含平方项）
22

fk
1
y
1
2
k
2
y
2
k
n
y
n

k
1

y
1


k
2

y
2


(y
1
,y
2
,
,y
n
)







k
n


y
n
3. 把二次型化为标准形
定理8 任给二次型
f

a
ij
x
i
x
j
(a
ij
a
ji
)< br>，总有正交变换
xPy
使f
i,j1
n
22
化为标准形
f 

1
y
1
2


2
y
2
，其中


n
y
n

1
,

2
,

,

n
是f的矩阵
A
(
a
ij
)
的特征值。

例14
§6 用配方法把二次型化为标准形
§7 正定二次型


15作业
P135 19(1), 26
作业主要问题
一 行列式
范德蒙行列式

余子式，代数余子式 P21 例13
行列式性质 P27 8(2)
二 矩阵
矩阵乘法，矩阵方程 P55 11(2)(4)
求逆阵：初等变换方法(P64 例2)，伴随矩阵方法
证明逆阵存在并求逆阵 P56 21
方阵的行列式
三 初等变换 方程组解的讨论 通解
求秩 行最简形 P78 1(4)
方程组解的讨论
四 向量组的线性相关性
判断具体向量组的相关性（计算秩） P107 4(1)
证明向量组的相关性，从定义出发 P107 9, 10,
证明向量组等价 P109 28

五 相似矩阵 二次型

求

a00


A

0a0


00a

，的特征值与特征向量

（有三个自由未知量，n, r, s）