反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系

巡山小妖精
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2020年08月15日 08:59
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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第1页
反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵的关系

作者姓名:张灿
河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班

摘 要:矩 阵在高等代数中有着广泛的应用,本文主要讨论了反对称矩阵与正交矩阵、对
角矩阵的运算性质,初等变 换,并举例说明和分析了反对称矩阵与正交矩阵、对角矩阵矩
阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等 问题中的应用。通过对反对称矩阵与正交矩阵、
对角矩阵的关系的研究,为了更好地理解它们之间的一些 性质,进而可以灵活的运用矩阵
建立一些数学模型来解决实际问题。
关键词:反对称矩阵 正交矩阵 对称矩阵 行列式 特征值
The Relationship of Antisymmetry Matrix, Orthogonal Matrix and
Diagonal Matrix

Author Name:zhangcan
Henan Polytechnic University School of College Mathematics and Information Science
Mathematics and Applied Mathematics Class 2 Grade 2007

Abstract: Matrix has been widely used in higher algebra. This paper mainly discusses the
calculations properties and elementary transformation of antisymmetry matrix,
orthogonal matrix and diagonal matrix, and illustrates and analyzes the application
problems of antisymmetry matrix, orthogonal matrix and diagonal matrix matrix in
resolving the calculation of matrix eigenvalue and the proof of relevant matrix. We can
understand their properties better through researching their relationship, thus flexibly
using matrix to build some mathematical models to solve the actual problems.

Keywords:antisymmetry matrix orthogonal matrix symmetric matrices determinant
eigenvalue

§1引言
在高等代数中,矩阵是一项非常重要的 内容,也是高等数学的很多分支研究问题的
工具。反对称矩阵、
正交矩阵和对角矩阵都是重要的 实方阵,由于它们的一些特
殊的性质,使得它们在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发 展.
本文从反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的最主要的性质入手,来讨论他们之
指导教师:刘 娟 学生:张灿


共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第2页
间的关系。

1.反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的概念
在方阵A=(aij)n中,如果aij=aj i(i,j=1,2,···,n)则称A为对称矩阵.如果A还
是实矩阵,则称A为实对称矩阵. 如果aij=-aji(i,j=1,2,···,n),则称A为反对称矩
阵. 正交矩阵的定义:(定义1
n
阶实矩阵
A
,若满足
A

AE
,则称
A
为正交
矩阵.定义2
n
阶实矩 阵
A
,若满足
AA

E
,则称
A
为正交 矩阵.定义3
n

实矩阵
A
,若满足
A
A
1
,则称
A
为正交矩阵.定义4
n
阶实矩阵
A

n
个行
(列)向量是两两正交的单位向量,则称
A为正交矩阵),以上四个定义是等价
定义.对角矩阵的定义:主对角线上的元素不全为零,其余的元 素全都为零的方
阵称为对角矩阵,

2.反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的性质
a
.反对称矩阵的性质
b
.正交矩阵的性质

A
为正交矩阵,它有如下的主要性质.
性质1 ∣
A
∣=±1,
A
-1
存在,并且
A-1
也为正交矩阵;
性质2
A
′,
A
*
也是正交矩阵;
当∣
A
∣= 1时,
A

A
*
,即
a
ij
A
ij

当∣
A
∣=-1时,
A

A
*
,即
a
ij
A
ij
.
性质3 若B
也是正交矩阵,则
AB,A

B,AB

,A
1
B,AB
1
都为正交矩阵.
证明:
<1>显然
A1

(A
1
)



A


(A
1
)
1
所以
A
1
也是正交矩阵.
1
<2>
A
A
1
,显然
A

为正交矩阵.
A
*
1

A1

A

A

A
*

A1
时,
A

A
,即
a
ij
A
ij


A1
时,
A

A
*
,即
a
ij
A
ij

所以
A
*
为正交矩阵.
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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第3页
<3>由
A

A
1

B

B
1
可知
(AB)

B

A

B
1
A
1
(AB)
1


AB
为正交矩阵.由<1>,<2>推知
A
< br>B,AB

,A
1
B,AB
1
均为正交矩阵.
正交矩阵的性质主要有以上几点,还有例如它的特征值的模为1,且属于不
1
同特征值 的特征向量相互正交;如果

是它的特征值,那么也是它的特征值

等,这些 性质这里就不再证明了.
c
.对角矩阵的性质
对于方阵
A
,经过分块后,非0对角块都只在主对角线上,而且每个小块都是方阵;即

A
1

0
A


0


0
0
A
2
0
0
0


00

,其中
A
i
(i1,2,s)
都是方 阵,那么称
A
为方块对角矩阵。有


0

0A< br>s

0
如下性质:
(1)行列式
AA
1
A
2
A
s
。 < br>(2)若
A
i
0(i1,2,,s)

A0
,并且有

A
1
1

0
A
1



0


0


A
1
0


0A
2



< br>00

A
1

0
A


0


0

0
1
A
2
0
0
0


00

.


0< br>
0A
s
1


0
0

A
1
B
1


0

0
< br>
0




B
s

0

0
T
A
2
0
(3)分块对角阵的乘法, < br>0

B
1
0


0

0B
2

0




A
s

00
0
A
2
0
0
0
0A
2
B
2

0
0
0


0



0



As
B
s


(4)分块对角阵的转置,
0


A
1
T


00

0
T
,那么
A


0

0

< br>

0
0A
s


0
0


00




0

T

0A
s


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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第4页
3.反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的应用
定义3.1 将一个分块矩阵
A
用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵,每一块低阶矩阵
称为
A
的子块。以子块 为元素的矩阵
A
称为分块矩阵。我们将单位矩阵
E
分块:

E
r
1

E

0


0
0



0

,其中
E
r
i< br>是
r
i
阶单位矩阵(
1is
)称
E
为分 块单位矩阵。

0E
r
s

0
3.1 反对称矩阵的应用举例
欧式空间
V
中的线性变换
:VV
称为反对称变换,若


,

V,



,




,


.证明:
反对称当且仅当

在一组标准正交基的
矩阵是反对称矩阵.
证 充分 性:设
A(a
ij
)
nn
是线性变换

在标准 正交基

1
,

2
,,

n
下 的矩
阵,且
A
反对称,即
A
T
A
,任给

,

V
,记



1
, ,

n
X,



1
,,
< br>n
Y

则有




1
, ,

n
AX,



1
,,

n
AY
,那么






,




AX

T
YX
T
A
T
YX
T
AY


,


,所以

为反对称变换.

必要 性:设是

反对称变换,且


1
,

2
,,

n


1
,

2
,,

n
A
,其中矩阵

A(a
ij
)
nn


1
,

2
,,< br>
n

V
的标准正交基,那么,


i< br>

1
,

,

n


a
1i








j


1
,

,

n

a


ni



a
1j





.


a


nj

因此



i
,
j

a
ji
,


i
, 

j

a
ij
,所以
a
ij



i
,

j




i
,

j

a
ji
.即知
A
为反对称矩阵.
3.2 正交矩阵的应用
1 正交矩阵在线性代数中的应用
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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第5页
在线性代数中我们通常用施密 特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种特
殊矩阵求标准正交基--- 初等旋转矩阵即Givens矩阵。
定义3.1 设向量
T

t
1
,t
2
,,t
n

,st
i
t
k
0,c
22
T
t
i
t,d
k
,

ss
则称n级矩阵
10
 
0

0
c
0

0
d
0

0d
0

0
c
0



0

1
0
0




0
1


i




k

01

0





1
0< br>



0
G
ik








ik
0
 
为Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作
G
ik
G
i k

c,s


Givens矩阵在向量
T
下,有以下三个性质:
性质1 Givens矩阵是正交矩阵;
性质2 设
T

t< br>1
,t
2
,,t
n

,yG
ik
T

y
1
,y
2
,,y
n

则有
TT
y
i
s,y
k
0,y
j
 t
j
(ji,k)

性质3 任意矩阵
A< br>右乘
G
ik

AG
ik
只改变
A
的 第
i
列和
k
列元素; 任意矩
阵左乘
G
ik

G
ik
A
只改变
A
的第
i
行和
k
行元素。
证明:
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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第6页
t
i
2
t
k
2
T
性质1 由
c d
2

2
1
,则
G
ik
G
i k
E
,故
G
ik
是正交矩阵。
ss
22
性质2 由
G
ik
定义知,
G
ik
右乘向量
T
,有
t
i
2
t
k
2
y
i
ct
i
dt
k
s,
ss
tttt
y
k
dt
i
ct
k

ik

ik
 0,

ss
y
j
t
j

G
ik
右乘向量
T
,只改变向量
T

i
个和
k< br>个元素,其他元素不变。
性质3 由性质2和矩阵乘法即可证得结论即任意矩阵
A右乘
G
ik

AG
ik
只改变
A
的< br>第
i
列和
k
列元素; 任意矩阵
A
左乘
G< br>ik

G
ik
A
只改变
A
的第
i< br>行和
k
行元素。
引理1 任何
n
阶实非奇异矩阵 ,
Aa
ij

nn
可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三
角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的。
定理1 设
Q

n
阶正交矩阵
(I)

Q1
, 则
P
可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即
QQ
1
Q
2
Q
r
;
(II)

Q1
, 则
Q
可以表示成若干个初等旋转 矩阵的乘积再右乘以矩

E
n
, 即
QQ
1
Q
2
Q
r
E
n
, 其中
Q
i
(i1,2,r)
是初等旋转矩阵。
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(其中
E
 n

1


1







1


1


nn
证明:
由于
Q

n
阶正交矩 阵,根据引理1知存在初等旋转矩阵
S
1
,S
2
,S
r< br>使
S
r
S
r1
S
2
S
1QR
这里
R

n
阶上三角阵,而且
R
的对角 线上的元素除最后一
个外都是正的,所以有

S
2

S
r

R

QS
1
(1)

Q
是正交矩阵和(1)式得
'

S
r

RE

R

RE

QQR

S
r
S
1
S
1
(2)

r
11


R
=






r
12

r
1n


r
22

r
2n

其中



r
nn


r
ii
0(i1,2,,n1)


r
11

r
R

R

12
< br>


r

1n
由上式得
r
22

r
2n

r
11


 




r
nn


r< br>12

r
1n




1
r
22

r
2n


=

1< br>










r
nn


1

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0
1

r
ij



1

< br>1
所以
ij,
ij,
ijn且
ijn且i,j1,2,

,n1
Q1
Q1



E,当Q1
R

(3)
E,当Q1


n
于是由(1)(3)式得
(I)

Q1
时,
QS
1

S
2

S
r



S
r

E
n

(II)

Q1
时,
QS
1

S
2

Q
i
S
i

(i1,2,,r )

Q
i
是初等旋转矩阵,故定理1结论成立。
引理2 设
A(a
ij
)
nm
,秩(A)m,则AQ

< br>R
1


其中
Q

n
阶正交矩阵,
R
1

O

m
阶上三角阵,
O

(nm)m
零矩阵。
则由上结论可得以下定理:
定理2 设< br>A(a
ij
)
nm
,秩(A

A
可以通 过左连乘初等旋转矩阵,把
A


)m




R


的形式,其中
R

m
阶 上三角阵,
O

(nm)m
矩阵。

O

证明:

R
1

由引 理2知
AQ

,其中
Q

n
阶正交矩阵,R
1

m
阶上三角阵,又

O

根据 定理1知:
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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第9页


Q
Q
r
,Q1
Q

1
其中
Q
(,2,r)
i
i1
Q

QE,Q1

rn

1
是Givens矩阵。
(I)当
Q1< br>时,
AQ
1
Q
2

Q
r


R
1

R



RR

Q

QA
1r1


O

O


R
1


于是有
< br>O

(II)当
P1
时,
AQ
1
Q< br>2

Q
r
E
n


R
 
R

Q
r


Q
1

AE
n

1





O

O

显然,
R

m
阶上三角阵,当< br>nm

R

R
1
除最后一行对应元素绝对相
等符号相反外,其余元素对应相等。当时
nm
时,
RR
1

所以由(I)、(II)知本定理的结论成立。

a
12


a
11

a
1m


a
aa
21
22
2m





,……,





1


2
m











a



a


a



n2


n1
 
nm

是欧氏空间
R
的子空间
V
的一组基,记
n
m

a
11

a
A(
1

2


m
)

21




a

n1
是秩
m
为的nm
的矩阵。

a
1m


a
2 2

a
2m





a< br>n2

a
nm


a
12

A(a
ij
)
nm
满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵
Q
1
,Q
2
,,Q
r
,使

R

(4)
Q
r


Q
1

A 



O

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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第10页

EQQ

(Q
1
,Q
2
,,Q
r
)(Q
r

,

,Q
2

,Q
1

)

所以
Q
r

Q
r1

Q
2

Q
1

EQ
r

Q
2

Q
1

Q

(5)
由(4)(5)两式知,对
A

E
做同样的旋转变换, 在把
A
化为


就将
E
化成了
Q

,而
Q
的前
m
个列向量属于子空间
V

m

R


的同时,


O

综上所述可得化欧氏空间的子空间
V
的一组基:
m

1,

2
,,

m


i
 (a
1i
,a
2i
,,a
ni
)

,i 1,2,,m

为一组标准正交基的方法为:
(1)由已知基

1
,

2
,,

m
为列向量构成矩阵
A(a
ij
)
nm

(2)对矩阵
(AE)
施行初等旋转变换,化
A



矩阵
Q

,这里
R

m
阶上三角阵;
(3)取
Q
的前< br>m
个列向量便可得
V
的一组标准正交基。
显然,上述方法是求子空间
V
的一组标准正交基的另一种方法。
下面,我们通过实例说明此方法的应用。

求以向量

1
(1,1,0,0)



2
(1,0,1,0)



3
(1,0,0,1)

为基的向量空
m
m

R


,同时
E
就被化为正交

O


V
3
的一组标准正交基.

矩阵

111


100


A(

1

2

3
)


010



001



对分块矩阵
(AE)
依次左乘
T
12

T
23
,< br>T
34

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2
< br>

2

2



T
12


2

0


0
2
2
2

2
0
0
0
0
1
0
0

1


0

1

0



3
0

,
T
23
=

2


0

0

3



0
1

0

0
2
3
1
3
0
0


0





0


1



1


0

T
34
=

0

0

0
1
0
0
0

1< br>2
3
0
2
0


0

3



2

1


2


T
34
T
23
T
12
(AE)






=








2
0
0
0
1
2
3
2
0
0
1
2
1
6




1
2
1
6


1
2
1
6
1
23
1

2

0
23
1
23
1

2

1
6
1< br>
6
2
3
0
1
23


2 3
3
1
0


2
0
2
3

1
23
1

2

0



0



3


2

1



2

11


< br>2

1



2


1



2

1



2 
1



2


1


6

P




1



23

1


2
1
2

1
6
1
23
1

2
< br>1

0



2


< br>1

0


2


P


3


0

2



1




0
2

23
1

23
1
23
3
2

指导教师:刘娟 学生:张灿


共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第12页

1
< br>
1



23



1




6


2
< br>
1



1



23



1




6
P
,,
P
3


P
2
1


2

1




2



0

23


< br>
0


3


3



0



2

P
1< br>,P
2
,P
3
就是由

,,

2< br>,

3
,
得到的
V
的一组标准正交基.
3.3 分块矩阵初等变换在秩问题中的应用
矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用。而 矩阵秩的问题,比较复杂,处理起来
也没有一般的方法,而初等变换不改变矩阵的秩。利用分块矩阵的初 等变换来处理矩阵秩
的问题,要充分利用性质2,即对一个分块矩阵作一次分块矩阵初等行(列)变换, 相当
于用一个相应的分块初等矩阵左(右)乘该矩阵,利用分块矩阵左乘、右乘的灵活性,构
造 适当的分块矩阵,使问题得以简化。
例3.3.1:设
A

mn
矩阵


3

AB



的可逆 顺序主子阵,则
CD


AB

1

r

r(A)r(DCAB)


CD


证明:



E< br>r

1

CA
0

AB

AB





1

Emr


CD

0DCAB

A
是可逆矩阵,由以上性质知
B

AC

A

1

=
r(A)r(DCAB)

r
r
1

0B

0DCAB


例3.3.2:设
n
阶矩阵
A(Q
ij
)
为反对称矩阵,证明
r(A)
必为偶数。
证明:

n
应用数学归纳法
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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第13页
1)
n
=2时命题显然成立。
2)设阶数小于
n
时命题为 真,则对阶数为
n
的反对称矩阵
A
,将
A
分块成

A
1
A


C

其中
B




D

a
12



0



0
A
1



a
12
不妨设
a
12
0


< br>
E

1

CA
1
0


A
1

E



C
B


EA
1
1
B


A
1





D


0E


0
0



DCA
1
1
B

0


< br>A
r(A)r

1

C
1
B


A
1
r


D


0

11
r(A)r(DCAB)2r(DCAB)

111
1
DCA
1
B

又因为
DCA
1
B
为阶数比
A
低的反对称矩阵,
由归纳假设可知
r(DCA
1
B)
为偶数,
所以
r(A)
为偶数。
综合1)、2),可知命题成立 。
例3 .3.3:(Sylvester公式)设
A

B
分别为
mn
ns
矩阵,则
1
r(A)r(B)nr(AB)min(r(A),r(B)).

证明:
0


E
n

E
n



AE



n


A


E
n
r


A

B


E
n



0



0
B


E
n




E
s



0
0


AB



B

< br>r(E
n
)r(AB)nr(AB)


0

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共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第14页

E
n< br>又
r


A

r(A)r(B)nr(AB )

2)记
C


0


B< br>
BE
n


r


0A

r(A)r(B)

0


< br>AAB

0AB



,D
 
0

0AB


AAB


E
n



00






0
B


A0





00



E
s




r(AB)r(C)r(A)





0


0B

0B

< br>E
n


0AB





00





AE
m



r(AB)r(D)r(B).

所以
r(AB)min(r(A),r(B))

综合1)、2),命题得证。
3、对角矩阵的应用
3.4 结论
分块矩阵初等变换是矩阵理论中的一个不可缺少 的部分。在简化计算矩阵的逆、行列式和
秩等问题时一定要找出合适的分块初等矩阵。与普通的初等变换 相比,要注意分块矩阵初
等变换必须在矩阵乘法能够进行的前提下运算才能进行,这是分块矩阵初等变换 与普通分
块矩阵的区别所在。
4. 反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵的关系
首先了解一下矩阵之间的关系 一、等价:
A
可通过初等变换化为
B
,
AB
, 即存在
可逆阵
P
,
Q
,使
PAQB
二、相似:
A
,
B

n
阶方阵,存在可逆阵
P
,使
PAPB
三、合
同:
A
,
B

n
阶方阵,存在可逆阵P
,使
PAPB
。正交矩阵能够使实对称矩阵和对角矩阵
相似又合同
T
1
对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在,使它化为对角形.定理的证明过程也给出了将实对称矩阵
A
对角化找出正交阵
P
的方法,具体步骤如下:
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1.求出实对称矩阵的A
全部特征值

1
,

2
,,
< br>s
.
2.对每个

i
(i1,2,,s)
,< br>由


i
EA

X0
求出的特征向量.
3.用施密特正交法,将特征向量正交化,单位化,得到一组正交的单位向量组.
4.以这组向量为列,作一个正交矩阵
P
,它就是所要求的正交阵.
根据上述讨论,下面举例说明.

400


例 求一 正交矩阵
P
,将实对称矩阵
A

031

化为对 角阵.

013


4

00
解 由于
A

E0
0
3

1(
2)(

4)
2

A
的特征值为
13


1
2


2


3
4
.


0



1
2
,由

A2E

x0
得基础解系< br>
1


1



1



1

0




2


3
4
,由

A4E

x0
得基础解系

2


0



3


1



2


3
恰好

0

1

 
正交,所以

1


2


3
两两正交.

0


1




再将

1


2

< br>3
单位化,令

i

i

i1,2,3< br>
,得

1


12



2


0



i

0


12


10

0< br>
0


3


12
< br>,于是得正交阵
P


1
,

2
,

3



12012



1212012

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200



P
1
AP

040

.

004


小结
从上面的讨论我们知道,对于 一些给出的不是具体的矩阵,如果要计算或证明有关它的特
征值问题时,我们一般都采用分块矩阵的方法 ,这样可以使解决过程变得简洁。

5.总结:
本文从基础理论和实际应用方面讨论 了对称矩阵的基本性质,给出对称
矩阵可对角化的理论证明以及对角化的方法,并阐述了对称矩阵正定性 的判别
等.其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点,对此我们要仔细琢磨
和思考, 努力掌握好对称矩阵的相关问题.


致谢: 感谢刘娟老师对本论文的用心指导和对作者的理解与支持!

参考文献
[1] 胡茂林 矩阵计算与应用 科学出版社 2008
[2] 陈公宁 矩阵理论与应用 科学出版社 2007
[3] 霍恩,杨奇 矩阵分析 机械工业出版社 2005
[4] 徐树方 数值线性代数 北京大学出版社 2000
[5] 北大高等代数组 高等代数 高等教育出版 2005
[6] Richard Bronson Fairleigh Linear Algebra Dickinson University 2009
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