三杯茶-水浒传第二回读后感

三对角矩阵
在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一 个对角矩阵。准确来说：
一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或 比主对角线
高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：

性质
三对 角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多
解线性代数问题时出现 的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足
a
k,k+1
a
k+1,k
> 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值 都是实
数。后一个推论如果我们将条件 a
k,k+1
a
k+1,k
> 0 换为 a
k,k+1
a
k+1,k
≥ 0，结论仍然成立。

所有
n
³
n
三对角矩阵的集合组成一个
3n-2
维向量空间。
许多线 性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵
继承。譬如，一个 n 阶三对角矩阵
A
的行列式能用 continuant（Continuant）的递归公式
计算：

这里 是第
k
个主子式，即 是由
A
最开始的
k
行
k
列组成
的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性
n
，然而对于一般的矩阵复杂度是 n
的 3 次方。
计算程序 一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多特征
值算法运用到 厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如，LAPACK
Fortran包将一个
n
-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长
n
包含对角元素，
其它两个长为
n
− 1 包含下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程
（Golub and Van Loan）。


，能用一种需要
O(n)
次操作的特殊的算法解出来

正交矩阵
概述
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，
这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的
矩阵 这导致了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在
n
维实数内积空间中的关于正交基 写出的向量v。v的长度
的平方是v
T
v。如果矩阵形式为
Q
v的线 性变换保持了向量长度，则
。
所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合， 都产生正交矩阵。反过来也
成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也 不是同样维度
的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理 论和实践是重要的。
n
³
n
正交矩阵形成了一个群，即指示为
O（
n
）的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是
O
（3）
的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法 比如QR
分解的关键，通过适当的规范化，离散余弦变换（用于MP3压缩）可用正交矩阵表示。
例子
下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。

恒等变换。

旋转16.26°。

针对x轴反射。

旋转反演（rotoinversion）:轴 (0,-35,45)，角度90°。

置换坐标轴。
基本构造
低维度
最简单的正交矩阵是1³1矩阵[1] 和[−1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的
反射。
如下形式的2³2矩阵

它的正交性要求满足三个方程
。
在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设
p
= cos θ,
q
= sin θ；因此要么
t
= −
q
,
u
=
p
要么
t
=
q
,
u
= −
p
。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ = 0是单位矩阵)，第二个解
释为针对在角θ2的直线的反射。
旋转反射
在45° 的反射对换
x
和
y
；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都 是0):
。
单位矩阵也是置换矩阵。
反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是 对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两
个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋 转矩阵。
更高维度
不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于3³3矩 阵和更高维度矩
阵要比反射复杂多了。例如，
和
表示通过原点的反演和关于z
轴的旋转反演(逆时针旋转90°后针对
x
-
y
平面反射，或
逆时针旋转270°后对原点反演)。
旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可 能影响多于一个平面子空间。尽
管经常以一个轴和角来描述3³3旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是 偶然的性质而不适用
于其他维度。
但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。
基本变换
最基本 的置换是换位（transposition），通过交换单位矩阵的两行得到。任何
n
³n
置
换矩阵都可以构造为最多
n
−1次换位的积。 构造自非零向量v的Householder反射为
。
这里的分子是对称矩阵，而分母是 v的平方量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的
反射（取负平行于v任何向量分量）。如果v是单位 向量，则
Q
=
I
−2vv
T
就足够了。Householder

反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何
n
³
n
正交矩阵都可以构造为最多
n
次这种反
射的积。
Givens 旋转作用于由两个坐标轴所生成的二维（平面）子空间上，按选定角度旋转。它
典型的用来置零一个单一 的次对角线元素（subdiagonal entry）。任何
n
³
n
的旋 转矩阵都
可以构造为最多
n
(
n
−1)2次这种旋转的积。在3x3 矩阵的情况下，三个这种旋转就足够了；
并且通过固定这个序列，我们可以用经常叫做欧拉角的三个角来 （尽管不唯一）描述所有3
³3旋转矩阵。
雅可比旋转有同Givens旋转一样的形式，但 是被用做相似变换，选择来置零2³2子矩
阵的两个远离对角元素（off-diagonal entry）。
性质
矩阵性质
实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带 有普通欧几里得点积的欧几里得空间
nn
R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交 基。假设带有正交（非正交规范）列
的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有 特殊名字；他们只是
M
T
M
=
D
，
D
是对角矩阵。
任何正交矩阵的行列式是 +1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出:
。
反过来不是真的；有 +1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。

对于置换矩阵，行列式是 +1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函
数。
比行列式限制更强的是正 交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，
它们全都必须有（复数）绝对值1。
群性质
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有
n
³
n
正交矩阵的集
合满足群的所有公理。它是
n
(
n−1)2维的紧致李群，叫做正交群并指示为
O
（
n
）。
行列式为 +1的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为2的
O
（
n
）正规子群，叫做旋转
的特殊正交群
SO
（
n
）。商群
O< br>（
n
）
SO
（
n
）同构于
O
（1） ，带有依据行列式选择[+1]或[−
1]的投影映射。带有行列式−1的正交矩阵不包括单位矩阵，所 以不形成子群而只是陪集；它
也是（分离的）连通的。所以每个正交群被分为两个部分；因为投影映射分 裂，
O
（
n
）是
SO
（
n
）与
O
（1）的半直积。用实用术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一
个旋转矩阵并 可能取负它的一列来生成，如我们在2³2矩阵中看到的。如果
n
是奇数，则半
直积实 际上是直积，任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。
现在考虑 (< br>n
+1)³(
n
+1)右底元素等于1的正交矩阵。最后一列（和最后一行）的 余下元
素必须是零，而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是
n
³
n
正交矩阵；因此
O
（
n
）是
O
(
n< br>+1) (和所有更高维群)的子群。

因为H ouseholder正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式，一
系列的这种反 射可以把任何正交矩阵变回单位矩阵；因此正交群是反射群。最后一列可以被
固定为任何单位向量，并且 每种选择给出不同的
O
（
n
）在
O
(
n
+ 1)中的复本；以这种方式
O
(
n
+1)
是在单位球
Sn
与纤维
O
（
n
）上的丛。
类似的，
SO< br>（
n
）是
SO
(
n
+1)的子群；任何特定正交矩阵 可以使用类似过程通过Givens
平面旋转来生成。丛结构持续:
SO
（
n
）↪
SO
(
n
+1) → < br>S
n
。一个单一旋转可以在最后一列的
第一行生成一个零，而
n
−1次旋转序列将置零
n
³
n
旋转矩阵的除了最后一列的最后一行的所有元素。因为平面是固定的，每次旋转只有一个自由度，就是它的角度。通过归纳，
SO
（
n
）
因此有

自由度，
O
（
n
）也是。
置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个有限群，
n
! 次对称群
S< br>n
。通过同类的讨
论，
S
n
是
S
n
+1
的子群。偶置换生成行列式 +1的置换矩阵的子群，
n
!2次交错群。
规范形式
更广泛的说，任何正交矩阵的效果分离到在正交二维空间上的独立动作。就是说，如 果
Q
是狭义正交的，则你可以找到（旋转）改变基的一个正交矩阵
P
，把Q
带回到分块对角形式:
(n偶数)， (n奇数)。
这里的矩阵
R
1
,...,
R
k
是2³2旋转矩阵，而余下的元素是零。作为例 外，一个旋转块可
以是对角的，±
I
。因此如果需要的话取负一列，并注意2³2反射 可对角化为 +1和−1，任
何正交矩阵可变为如下形式
,
矩阵
R1
,„,
R
k
给出位于复平面中单位圆上的特征值的共轭对；所以这个分 解复合确定所
有带有绝对值1的特征值。如果
n
是奇数，至少有一个实数特征值 +1或−1；对于3³3旋转，
关联着 +1的特征向量是旋转轴。

数值线性代数
优点
数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如，经常需要计算空间< br>的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式±1和所有模为1的
特征值 是对数值稳定性非常有利的。一个蕴涵是条件数为1 (这是极小的)，所以在乘以正交
矩阵的时候错误 不放大。很多算法为此使用正交矩阵如Householder反射和Givens旋转。有

帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要 对换索引（下
标）。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点（partial pi voting）的运算繁重的高
斯消去法（这里的置换用来定支点）。但是它们很少明显作为矩阵出现； 它们的特殊形式允
许更有限的表示，比如
n
个索引的列表。
同样的，使用H ouseholder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例
如，Given s旋转只影响它所乘的矩阵的两行，替代完全的
n
3
次的矩阵乘法为更有效的
n
次运
算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生 成
这个变换。
[编辑] 分解
一些重要的矩阵分解（Golub & Van Loan, 1996）涉及到了正交矩阵，包括:
QR分解
M = QR, Q正交，R上三角。
奇异值分解
M = UΣV
T
, U和V正交，Σ非负对角。
谱分解
S = QΛQ
T
, S对称，Q正交，Λ对角。
极分解
M = QS, Q正交，S对称非负确定。

正定矩阵
在线性代数里，正定矩阵（即“正数-确定-矩阵”）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简
称为正 定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的
线性算子是对称正定 双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。


定义
一个
n
³
n
的实对称矩阵
M
是
正定
的当且仅当对于所有的非零实系数向量
z
，都有
z
T
Mz
> 0。其中
z
T
表示
z
的转置。
对于复数的情况，定义则为：一个
n
³
n
的埃尔米特矩阵
M
是正定的当且仅当对于每
个非零的复向量< br>z
，都有
z
*
Mz
> 0。其中
z
*
表示
z
的共轭转置。由于
M
是 埃尔米特矩阵，
*
经计算可知，对于任意的复向量
z
，
zMz
必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定
义是自洽的。
正定阵的判别
对
n
³
n
的埃尔米特矩阵
M
，下列性质与“
M
为正定矩阵”等价：
矩阵M的所有的特征值 λ
i
都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似
.
（也就是说M = P
−
1
DP，其中P是幺正矩阵，或者说M在某 < br>个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上
元素都是 正数。
半双线性形式
.

定义了一个C
n
上的内积 。实际上，所有C
n
上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方
式得到。
.
M是n个线性无关的n维向量
数。更精确地说，M定义为：

换句话说，
M
具有
A*A
的形式，其中
A
不一定是方阵，但需要是单射 的。
M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确
.
来说，就是考察下列矩阵的行列式：

M左上角1× 1的矩阵

M左上角2× 2矩阵

...

M自身。
对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能
推出矩阵是半正定 的。比如以下例子：
的Gram矩阵，其中的k为某个正整

存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得：
. M = LL
*
.
其中
L

*
是
L
的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。
对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 改为 ，将“共轭转置”改为“转置”就
可以了。
二次型
由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 代表 或
，设 是 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

是一个双线性映射，使得
B
(
x
,
y
)总是
B
(
y
,
x
)的共轭。这样的一个映射
B
是正定的当且
仅当对 中所有的非零向量
x
，都有
B
(
x
,
x
) > 0。
负定、半定及不定矩阵
与正定矩阵相对应的，一个
n
³
n
的埃尔米特矩阵
M
是负定矩阵当且仅当对所有不为零
的 （或），都有：

M
是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的 （或），都有：

M
是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的 （或），都有：

可 以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、
半正定矩阵和半负 定矩阵的准则。注意当
M
是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的
向量组成 。对任意矩阵
A
，
A
*
A
必然是半正定的，并有rank(
A
) = rank(
A
*
A
)（两者的秩相等）。
反过来，任意的半正定矩阵都可以写作
M
=
A
*
A
，这就是Cholesky分解。
一个埃尔米特矩阵
M
是负定矩阵当且仅当
M
的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数
阶顺序 主子式大于0。当
M
是负定矩阵时，
M
的逆矩阵也是负定的。
如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵。
相关性质

若
M
为半正定阵，可以写作。如果
M
是 正定阵，可以写作
M
> 0。这个记法来自
泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。
对于一般的埃尔米特矩阵，
M
、
N
，当且仅当。这样可以定义一个< br>在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义
M
>
N
。
.
每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果
。
如果M是正定阵，r > 0为正实数，那么 rM 也是正定阵。
.
如果
M
、
N
是正定阵，那么和
M
+
N
、乘积
MNM
与
NMN
都是正定的。如果
MN
=
NM
，
那么
MN
仍是正定阵。
.

那么
如果M = (m
ij
) > 0 那么主对角线上的系数m
ii
为正实数。于是有tr(M) > 0。此外还有

矩阵M 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B > 0 使得 B
2
= M。根据其唯一性可以记
.
作B = M
1 2
，称B 为M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M > N > 0 那么
M
1 2
> N
1 2
> 0.
.
.
如果M,N > 0 那么 ，其中 表示克罗内克乘积。
，即
。
对矩阵M = (m
ij
),N = (n
ij
)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为
，称为M 与 N的阿达马乘积。如果M,N > 0，那么
如果 M,N 为实系数矩阵，则有如下不等式成立：

.
设M > 0，N 为埃尔米特矩阵。如果
（N > 0）。
.
.
如果为实系数矩阵，则。
（MN + NM > 0），那么
如果M > 0为实系数矩阵，那么存在δ > 0 使得，其中 I 为单位矩阵。
非埃尔米特矩阵的情况
一个实矩阵
M
可能满足对所有的非零实向量
x
，
x
T
Mx
> 0而并不是对称矩阵。举例来说，
矩阵

就满足这个条件。对
x
= (
x
1
,
x
2
)
T
并且，

一般来说，一个实系数矩阵
M
满足对所有非零实向量
x
，有
x
T
Mx
> 0，当且仅当对称矩
阵 (
M
+
M
T
) 2是正定矩阵。
对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎扩展
z
*
Mz
> 0 这一性质。要使
z
*
Mz

总为实数，矩阵
M
必须是埃尔米特矩阵。因此，若
z
*
Mz
总是正实数，
M
必然是正定的埃尔米
特 矩阵。如果将
z
*
Mz
> 0 扩展为 Re(
z
*
Mz
) > 0，则等价于(
M
+
M
*
) 2为正定阵。

伴随矩阵
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆 矩阵的概念。如果矩阵可逆，
那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可 逆的矩阵也有定
义，并且不需要用到除法。


定义
参见：子式和余子式、余因子矩阵及转置矩阵
设
R
是一个交换环，A是一个以
R
中元素为系数的
n
³
n
的矩阵。
A
的伴随矩阵可按如下
步骤定义：

定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作M
ij
）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)
³(n − 1)矩阵的行列式。

定义：A关于第i 行第j 列的代数余子式是：
。
定义：A的余子矩阵是一个n³n的矩阵C，使得其第i 行第j 列的元素是A关于第i 行
第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

。
也就是说， A的伴随矩阵是一个
n
³
n
的矩阵（记 作adj(A)），使得其第
i
行第
j
列的
元素是A关于第
j
行第
i
列的代数余子式：
。
例子
[编辑] 2x2矩阵
一个矩阵 的伴随矩阵是
.
[编辑] 3x3矩阵
对于的矩阵，情况稍微复杂一点：
.
其伴随矩阵是：

其中
. 要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第
3
行第
2
列的系数应该是A关于第
2
行第
3
列的
代数余子式。
具体情况
对于数值矩阵，例如求矩阵

的伴随矩阵
余子式为
，只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第2行第3列的代数

因此伴随矩阵中第3行第2列的位置上是-6。
计算后的结果是：
应用
作为拉普拉斯公式的推论，关于
n
³
n
矩阵A的行列式，有：

其中I是
n
阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第
i
行第
i
列的系数是
。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果
i
≠
j
，那么A adj(A)的第
i
行第
j
列的系数是

。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元 素换成第
i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个 重要结论：交换环
R
上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环
R
中可逆。
这是因为如果A可逆，那么

如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明

[编辑] 性质
对n³n的矩阵A和B，有：
1.
2.
3.
4.
5.
6. 当n>2时，






7. 如果A可逆，那么
8. 如果A是对称矩阵，那么 其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n
为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n 为奇数时则是对称矩阵。
9. 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
10. 如果矩阵A和B相似，那么 和 也相似。
11. 如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当

伴随矩阵的秩
当矩阵A可逆时， 它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是
n
。当矩阵A不可逆
时，A的伴随矩阵 的秩通常并不与A相同。当A的秩为
n
-1 时，其伴随矩阵的秩为1，当A
的秩小于
n
-1 时，其伴随矩阵为0。

伴随矩阵的特征值
设矩阵A在复域中的特征值为
矩阵的特征值为
显示▼证明
（即为特征多项式的
n
个根），则A的伴随
。
伴随矩阵和特征多项式
设
p
(
t
) = det(A −
t
I)为A的特征多项式，定义
,
其中
p
j
是
p
(
t
)的各项系数：

伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。


，那么：

置换矩阵
在数学中的矩阵论里，置换矩阵是 一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每
一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。 在线性代数中，每个
n
阶的置换矩阵都代
表了一个对
n
个元素（n
维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的
是原来矩阵的横行（置 换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。
严格定义
每个
n
元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个
n
元置换：

给出其映射图：

它对应的
n ³ n
的置换矩阵
P
π
是：在第
i< br>横行只有π(
i
)位置上系数为1，其余为0。
即可以写做：
其中每个
元横排数组。
由于单位矩阵是

表示正则基中的第j
个，也就是一个左起第
j
个元素为1，其余都是0的
n

置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。
性质
对两个
n
元置换π 和 σ的置换矩阵
P
π
和
P
σ
，有

一个置换矩阵
P
π
必然是正交矩阵（即满足

用置换矩阵
P
π
左乘一个列向量 g所得到的是 g 的系数经过置换后的向量：
），并且它的逆也是置换矩阵：

用置换矩阵
P
π
右乘一个行向量 h 所得到的是 h 的系数经过置换后的向量：

置换矩阵与置换
设
Sn
是n次对称群，由于
n
置换一共有
n
! 个，
n
阶的置换矩阵也有
n
! 个。这
n
! 个置
换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设
A
是所有
n阶的置换
矩阵的集合。映射
S
n
→ A ⊂ GL(
n
, Z
2
)是一个群的忠实表示。
对一个置换σ，其对应的置换矩阵
P
σ
是将单位矩阵的横行进行 σ 置换，或者将单位矩
阵的横行进行 σ
−
1
置换得到的矩阵。
置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯²诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶
的置换 矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。
置换矩阵
P
σ
的迹数等于相应置换σ的不动点的个数。设
a
1
、
a
2
、„„、
a
k
为其 不动点的
序号，则
e
a
1
、
e
a
2
、„„、
e
ak
是
P
σ
的特征向量。
由群论 可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵
P
σ
都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。
P
σ
的行列式就等于 σ 的符号差。
例子
对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵
P
π
是

给定一个向量 g，

推广
置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况：

一个
m
³
n
的0-1矩阵
P
是置换矩阵当且仅当
这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1，每一列至多有一个1。
置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数：
一个
n
阶的方块矩阵
P
是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不
为零。
这时的置换矩阵
P
可以看做由0和1组成的置换矩阵
Q
与一个对角矩阵相乘的结果。