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正交矩阵与酉矩阵的性质与应用
摘要
本文中提到在探讨性质之前，先得了解 正交矩阵的出处，正交矩阵来
自于正交变换的定义，设A
End
R
(V)是 欧几里得空间的线性变换，如果
A保持内积不变，也就是说，对任意的

,

V
，有(A(

),A(

))＝(

,

).
正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等.
矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,
它在正交变换理论中起着十分重要的作用 .
先介绍正交变换、正交矩阵等相关概念，研 究线性变换为正交变换的
等价条件；正交矩阵的构造以及定义的等价条件.从矩阵理论的角度，本
文对正交矩阵进行了较为深入的研究 ,得到了正交矩阵的一系列常用性
质 ,相关性质的概括、改进和推广 ,以及正交矩阵和酉矩阵的应用.对矩
阵的理论研究有重要的意义 .
.
关键词：正交矩阵，酉矩阵，运算关系

ABSTRACT
This paper discusses the nature of mentioned before, you have to understand the
origin of orthogonal matrix, orthogonal matrix from orthogonal transform, A
definition of A (V) is Euclidean space linear transformation, if A keep inner product
unchanged, that is to say, the arbitrary, there is (A), A ()) = (.) orthogonal
transformation is the inner product, namely the length and Angle, the transformation
and graphics congruent.
Matrix is the core content in linear algebra, and orthogonal matrix is a kind of more
common matrix, it in the orthogonal transformation theory plays a very important
role.
First introduces orthogonal transformation, orthogonal matrix and other related
concepts, the linear transformation for orthogonal transformation equivalent
conditions; Orthogonal matrix structure and definition of the equivalent conditions.
From the point of view of the matrix theory, in this paper, the orthogonal matrix for a
more in- depth research, obtained the orthogonal matrix of a series of common
properties, the relevant properties of the summary and improvement and promotion,
and orthogonal matrix and unitary matrix application. For the study of the theory of
the matrix has an important significance.
Key words: Orthogonal matrix, unitary matrix, operation relations

第一章 矩阵概述
约在公元前 300 年 ，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联
系的法则，现在叫做欧几里得几何.欧几里得首先 开发了处理在平面上的二维物
体的“平面几何”.他接着开发了分析三维物体的“立体几何”.所有欧几 里得的
公理已经被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中.这些数学空
间可以被 扩展来应用于任何维度，而这种空间叫做 n-维欧几里得空间 或 n-空
间.正交矩阵在欧氏空间中发挥着重大的作用.德国数学家弗罗伯纽斯
(ius,1849-1917) 在矩阵论的发展史上的贡献是不可磨灭的.他讨论了
最小多 项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相
似变换、合同矩阵等概念，以合 乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，
并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质. 国内有很多学者研究了正交矩阵和酉矩阵的性质和应用，正交矩阵在线性代
数及线性系统理论中有非 常重要的应用.特殊类矩阵的广泛应用推动了特殊类矩
阵理论的深入研究.国内学者研究得出正交矩阵和 酉矩阵在数值分析、矩阵分解、
正交矩阵特征多项及特征根、数理统计等相关方面的应用.对矩阵理论研 究做了
重大的贡献，对于研究学习高等代数有重大的理论意义.
矩阵是数学中重要的基本概念 ,是代数学的重要研究对象之一,也是数学与
其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵的思想萌芽历史 悠久,我国古代解线
性方程组用的是筹算,算筹的排列即为矩阵最早的雏形，而特殊矩阵中的正交矩阵，在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，它具有很好的性质.正交矩阵
的特征多项式及特征 根有某些独特的规律，同时正交矩阵与特殊矩阵的关系、正
交矩阵与矩阵运算的关系都体现出了正交矩阵 良好的性质.而且正交矩阵与酉矩
阵在数值分析与方程组求解、矩阵分解中都有广泛的应用.正交矩阵以 及其领域
很有研究价值.

第二章 正交矩阵与酉矩阵
1，正交矩阵和酉矩阵的相关定义.
1、正交矩阵的定义
正交矩阵的几种等价定义.
2、酉矩阵的定义
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵.
3、特殊正交矩阵的定义
在矩阵论中 ，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，
如果正交矩阵的行列式为+1，则我们称之 为特殊正交矩阵.
4、正交变换的定义
设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的 内积不变,即对于任意
的，V都有(A，A) = (，)，则称A为V的正交变换.
正交变换关于标准正交基的矩阵称为正交矩阵.
正交矩阵蕴涵了正交变换.
5、正交基的定义
在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basi s）是元素两两
正交的基.称基中的元素为基向量.假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长
度1，则称这正交基为标准正交基
6、列正交矩阵的定义
设
A
是一个< br>mn
矩阵，如果
A

A
是一个
n
阶可逆对 角矩阵，那么就称
A
是
一个列正交矩阵.
7、行正交矩阵的定义
设
A
是一个
mn
矩阵，如果
A

A
是一 个
m
阶可逆对角矩阵，那么就称
A
是
一个行正交矩阵.
8、行列正交矩阵定义
如果
A
既是行正交矩阵，又是列正交矩阵，那么就称
A
是一个行列正交矩
阵.

9 广义酉矩阵的定义
P
广义酉矩阵；
n
阶酉矩阵集；
n
阶次酉矩阵集；
n阶拟酉矩阵集;2
m
阶
共轭辛矩阵集.
2，正交矩阵的基本构造
1、低维度
最简单的正交矩阵是 1×1 矩阵 [1] 和 [−1]，它们可分别解释为恒等和
实数线针对原点的反射.
2、更高维度
不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于 3×3 矩阵
和更高维度矩阵要比反射复杂多了.
3、基本变换
最基本的置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到.任何
n

n
置换矩阵都可以构造为最多 n-1次换位的积. 构造自非零向量 v 的
Householder反射 ， Givens旋转 ， 雅可比旋转.
3，等价条件及其证明
1、设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列命题等价:
（1)A是正交变换；
（2)A保持向量的长度不变,即对于

V，|A|=||；
（3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基；
（4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
2、若U为复数域上n阶方阵，则下列条件等价：
（1）是酉矩阵
（2）列向量构成内积空间C上的一组正交基
（3）行向量构成内积空间C
n
上的一组正交基
n
4，正交矩阵和酉矩阵的性质

1、正交矩阵的性质
（1 )若
A
,
B
都是正交矩阵，则
AB
也是正交矩阵.
（2)若
A
是正交矩阵，则A
-1
也是正交矩阵.
（3)若
A
是正交矩阵，则 det
A
=1或-1
（4)若
A
=(a
ij
)
nn
是正交矩阵，则
nn


a
ik
a
jk

a
ki
a
kj
k1k1

1,当ij


(i,j1,2,，n)

0,当ij

（5）设为A正交矩阵，则：
1）|A|=1；
2）A可逆，其逆A
1
也是正交矩阵；
3）
A
T
，A
*
也是正交矩阵.
（6） 设A，B都是正交矩阵，则：
1) AB，
A
m
(m为自然数),AT
B，AB
T
，A
-1
B，AB
-1
，A-1
BA等都是正交矩阵；
（7） 1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆；
2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则A-B必不可逆.
（8）1）设A是第二类正交矩阵，则A+E必不可逆；
2）设A是奇数阶第一类正交矩阵，则A-E必不可逆.
2、正交矩阵与矩阵运算的关系：
设
A
,B为正交矩阵，即有A
T
AE,B
T
BE
.
（1）正交矩阵的和
（2）正交矩阵的积
（3）正交矩阵的逆和转置
（4）正交矩阵的伴随
3、正交矩阵的一些特征
（1）特征值
（2）特征多项式
（3）特征根

（4）行列式
（5）可逆性
（6）实对称正交矩阵的正定性
（7）迹
（8）对角化
4、正交矩阵与特殊矩阵的关系
（1）三角矩阵
（2）对角矩阵
（3）反衬矩阵
5、整系数域上的正交矩阵
6、规范形式
7、酉矩阵的性质
定理1 设
PC
n
n
,AU
P
,
那么（1）
A的行列式的模A1
; < br>（2）

1

A1,则Re

IA

0;若A1,则Re

IA0

;
n
(3)
A的伴随阵A、A
1
U
p
；（4）若
BU
p
,则AB,BAU
p
.
定理2 设
P PC
n
n
,AU
p
,那么PC
n
n
,AU
p
,
那么，（1）
AU
p
;
（2）若
1
~
PP,PJP,PJJP,则J,A


< br>
U
p
1
.
定理3 设
PC
nn
,AU
p
,

为A的属于特征值

的特征 向量
或


P

0

，那么

的模为1
定理4 设
PC
n
n
,uC
n1
,u

uc0,Puu

uu

P,
则
HI
2

c

uu

U
p
,H

H,H1

定理5 设
A、B、P均为n阶复可逆阵，则

(1)
A
< br>PAB

PBQU
p
使AQB;

(2 )
APA

BPB

QU
p
使ABQ< br>
.

定理6 设
PC
n
n
,A,BU
p
,那么，

（1） 若
AB1,则Re

AB

0;
(2)若
AB0,则Re

AB

0;

(3) 若

1

AB1,则Re

AB

0;

n
（4）

1

A B1,则Re


AB

AB

0;

n
2
5，正交矩阵和酉矩阵的应用
1、正交矩阵在数值分析中的作用
数值分析利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质.
2、正交矩阵在矩阵分解中的作用
一些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵，包括:QR分解 奇异值分解 谱分解
极分解
3、正交矩阵在方程组的求解中的应用
（1）如果线性方程组
Axb
的系数阵A是列正交矩阵，则其有唯一解
（2）正交矩阵在欧氏空间理论中的应用
在n维欧氏空间中，由一个标准正交基到另一个标准 正交基的过渡矩阵是列
正交矩阵.反之，如果任一标准正交基到一个基的过渡矩阵为列正交矩阵，那么< br>该基是一个标准正交基.
（3）正交矩阵在求逆矩阵与求行列式值中的应用
（4）、广义正交矩阵在二次型方面的应用
（5）、广义正交矩阵在微分代数系统中的应用
（6）、酉矩阵在矩阵张量积交换中的应用

第三章 结论
本文系统 的论述了正交矩阵和酉矩阵的意义、定义、性质、应用.全文总共
分为五部分：第一部分叙述了正交矩阵 在矩阵理论中的重要性；第二部分集中叙
述了正交矩阵和酉矩阵的相关定义；第三部分研究正交矩阵的基 本构造和等价条
件及其证明；第四部分全面讨论正交矩阵和酉矩阵的性质；第五部分研究正交矩
阵和酉矩阵的应用.
本文将全面讨论研究正交矩阵和酉矩阵的性质以及它们的应用，首先研究线
性变换为正交变换的等价条件，进而全面研究它们的性质以及与相关矩阵的关
系，从而进行探讨正交矩 阵在数值分析，矩阵分解，方程组求解，数理统计中的
作用；广义正交矩阵在二次型、微分代数系统中的 应用；酉矩阵在矩阵张量积交
换中的作用.旨在能够对这方面的研究有所启示以及对正交矩阵和酉矩阵能 够更
加灵活的应用.

第四章 参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)北京:
高 等教育出版社
[2]同济大学应用数学系．线性代数(第四版)[M]，北京：高等教育出版
社,2003.
[3]谢帮杰： 《线性代数》人民教育出版社，1978年.
[4]H.J.赖顿瑟著 李乔译 《组合数学》，科学技术出版社，1983年
[5 ]李先崇. 正交矩阵的两个特征性质[J ] . 数学通报,1997 ,(8) :31232.
[6 ]郭 伟. 广义次对称矩阵及广义次正交矩阵[J ] . 西南师范大学学报
(自然科学版) ,2000 ,25 (1) :18222.
[7 ]马龙,刘晓冀,张纯根. 广义对称矩阵及广义正交矩阵[J ] . 铁道师范
学院学报(自然科学版) ,2000 ,17