普陀山风景名胜区-济南海关

正交矩阵的有关结果
一、定义：
设
A
是
n
阶矩阵，若
A
T
AE
，则称矩阵
A
为正交矩阵。
由定义容易验证：(1) 正交矩阵的每一行(列)元素的平方和等于1；
(2) 不同行(列)对应元素的乘积等于0。
二、性质：
1、若
A
是正交矩阵，则
|A|1或-1
。
2、设
A
是
n
阶正交矩阵，证明：(1) 如果
|A|1
，则
A
的每一元素等于它自己的
代数余子式；(2) 如果
|A|1
，则
A
的每一元素等于它自己的代数余子式的负
值 。
证明：由定义知：
A
1
A
T
，而
A
*
|A|A
1
，所以
A
*
|A|A
T
。
又
A
*(A
ij
)
T
，所以
(A
ij
)|A|A
。
从上式得需要的结果。
3、设
A
是
n
阶实矩阵，证明：(1) 如果
|A|1< br>，且
A
的每一元素等于它自己的代
数余子式，则
A
是正交矩阵 ；(2) 如果
|A|1
，且
A
的每一元素等于它自己的
代数余 子式的负值，则
A
是正交矩阵。
证明：(1) 因为
A
1

1
*
AA
*
(A
ij
)
T
(a
ij
)
T
A
T
，所以
A
是正交 矩阵。
|A|
类似可以证明(2)。
4、设
A
是
n阶实矩阵，
n3
，且
A0
。证明：(1) 如果
A
的每一元素等于它自
己的代数余子式，则
A
是正交矩阵；(2) 如果
A的每一元素等于它自己的代数
余子式的负值，则
A
是正交矩阵。
证明： 由
A
的每一元素等于它自己的代数余子式，得：
A
T
A
*
。
两边取行列式得：
|A
T
||A
*
|
，所以
|A||A|
n1
(*)。
因为
A0
，所以至少有一个元素不等于零。不妨设
a
11
0
，则

< br>2
|A|a
11
A
11
a
1n
A< br>1n
a
11
a
1
2
n
0

而
n3
，则从(*)式得
|A|1
。从性质3结果知
A
是正交矩阵。
类似可以证明(2)。
5、设
A
是一个
n
阶正交矩阵，证明：（1）如果
A
有特征值，则
A
的特征值只能是1或
1
；（2）如果
A1
，则
1
是
A
的一个特征值；（3）如果
A1
，且
n
是奇数，则1是
A
的一个特征值。
证明：(1) 设

是矩阵
A
的一个特 征值，

是对应的特征向量，则
A



。 < br>从而
(A

)
T
A



T
A
T
A



2

T

(*)
由于
A
是正交矩阵，所以
A
T
AE
。
从而由(*)式得：

T



2

T< br>
。
因为

0
，所以

T

0
。
因此

2
1
，即

1
。
(2) EAA
T
AA(EA)
T
A
EA

所以
EA0
，即
1
是
A
的一个特征值。
(3)
EAA
T
AA(EA)
T
A
(1)
n
EAEA

由此得
EA0
。 < br>6、已知正交矩阵
A
有二个不同特征值，证明
A
的属于不同特征值的特 征向量一
定正交。
证明：由性质5知：

1
。
因为 正交矩阵
A
有二个不同特征值，所以这二个不同的特征值分别为1
和
1。
设这二个特征值对应的特征向量分别为

1
,

2
，则
A

1


1
,A

2


2
。
由此得：
(

1
,

2
)(A

1
,A

2
)

TT
(A

1
)
T
A

2


1
AA

2

T


1

2
(

1,

2
)

从而
(

1
,< br>
2
)0
，即

1
,

2
正交。