江苏天一中学-财务会计岗位职责

高二数学选修2－1知识点
第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题 的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
则 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆
命题.
若原命题 为“若
p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p< br>”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和 结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称
为原命题的否命题. 若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
p
，则
q
”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结 论的否定
和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另
一个称 为原命题的逆否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题 为“若
q
，则
p
”.
6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真
真 假 假
假 真 真
假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：

1

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
真
真
真
假

2

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
pq
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
pq
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记 作
pq
．
当
p
、
q
都是真命题时，
p q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命
题时 ，
pq
是假命题．
用联结词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
pq
．
当
p
、< br>q
两个命题中有一个命题是真命题时，
pq
是真命题；当
p
、
q
两个命
题都是假命题时，
pq
是假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
p
．
若< br>p
是真命题，则
p
必是假命题；若
p
是假命题，则
p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“

”表
示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对< br>
中任意一个
x
，有
p

x

成立 ”，记作“
x
，
p

x

”．
第 1 页 共 10 页

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 ，用“

”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在< br>
中的一个
x
，使
p

x

成立” ，记作“
x
，
p

x

”．
10 、全称命题
p
：
x
，
p

x
，它的否定
p
：
x
，
p

x

．全称命题
的否定是特称命题．

第二章 圆锥曲线与方程
11、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数 （大于
F
1
F
2
）的点的轨迹
称为椭圆．这两个定点称为椭 圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
12、椭圆的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
x
2
y
2

2
1

ab0


2
ab
axa
且
byb


1

a,0

、

2

a,0



1

0,b

、

2< br>
0,b


F
1

c,0
< br>、
F
2

c,0



y
2
x
2

2
1

ab0


2
ab
bxb
且
aya


1

0,a

、

2

0,a



1

b,0

、

2< br>
b,0


F
1

0,c
< br>、
F
2

0,c


短轴的长
2b
长轴的长
2a

F
1< br>F
2
2c

c
2
a
2
b2


关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e1
2

0e1


aa
a
2
x
c
a
2
y
c
13、设

是椭圆上任一点，点

到
F
1对应准线的距离为
d
1
，点

到
F
2
对应准线
的距离为
d
2
，则
F
1
d
1< br>
F
2
d
2
e
．
14、平面内与两个 定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）的
点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点 ，两焦点的距离称为双曲线
的焦距．

第 2 页 共 10 页

15、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x
2
y
2
1
a0,b0


a
2
b
2
xa
或
xa
，
yR


1

a,0< br>
、

2

a,0


F
1

c,0

、
F
2

c,0



y
2
x
2
1

a0 ,b0


a
2
b
2
ya
或
ya
，
xR


1

0,a
< br>、

2

0,a


F
1

0,c

、
F
2

0,c


虚轴的长
2b
实轴的长
2a

F
1< br>F
2
2c

c
2
a
2
b2


关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e1
2

e1


aa
a
2
a
2
准线方程
x

y

cc
ba
yx

yx

渐近线方程
ab
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
17、 设

是双曲线上任一点，点

到
F
1
对应准线的距 离为
d
1
，点

到
F
2
对应准
线 的距离为
d
2
，则
F
1
d
1

F
2
d
2
e
．
18、平面内与一个定点
F< br>和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点
F
称 为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
19、过抛物线的焦点作垂直于对称 轴且交抛物线于

、

两点的线段

，称为
抛物 线的“通径”，即
2p
．
20、抛物线的几何性质：
y
2
2px

标准方程

p0


图形

顶点



y
2
2px

x
2
2py

x
2
2py


p0



p0



p0



0,0


第 3 页 共 10 页

对称轴
焦点
x
轴

p

F

,0



2


p

F

,0


2

p

F

0,


2

y
轴
p

F

0,


2

准线方程
离心率
范围

x
p

2
x
p

2
y
p

2
y
p

2
e1

x0

x0

y0

y0

第三章 空间向量与立体几何
22、空间向量的概念：

1

在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

2

向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指
的方向表 示向量的方向．


，记作

．
3

向量

的大小称为向量的模（或长度）

4
模（或长度）为
0
的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位 向量．

5

与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为< br>a
的相反向量，记作
a
．

6

方向相同且模相等的向量称为相等向量．
23、空间向量的加法和减法：






1

求两个向量和的运算称为向量的加法，


它遵循平 行四边形法则．即：在空间以同一点

为起点的两个已知向量
a
、
b
为
邻边作平行四边形
C
，则以

起点的对角线



C
就是
a
与
b
的和，这 种求向量和的方法，称为
向量加法的平行四边形法则．

2

求两 个向量差的运算称为向量的减法，它遵
循三角形法则．即：在空间任取一点

，作第 4 页 共 10 页







a
，
b
，则
 ab
．

24、实数

与空间向量
a
的乘积

a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当

0
 
时，

a
与
a
方向相同；当

0时，

a
与
a
方向相反；当

0
时 ，

a
为零向量，


记为
0
．

a
的长度是
a
的长度的

倍．


25、设

，

为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结
合律．





分配律：

ab

a

b；结合律：



a




a
．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合 ，则这些向量称为共线
向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．



bb0
27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量
a< br>，，
ab
的充要条



件是存在实数

，使
a

b
．
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
29、向量共面定理：空间一点
< br>位于平面
C
内的充要条件是存在有序实数对
x
，
 
y
，使
xyC< br>；或对空间任一定点

，有
xyC
；或

若四点

，

，
，
C
共面，则
xyzC

xyz1

．






 a
，
b
，30、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点

，作

则







称为向量
a
，
b
的夹角，记作
a,b
．两个向量夹角的取值范围是：
a,b

0,

．






< br>

31、对于两个非零向量
a
和
b
，若
 a,b
，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
ab
．
2










osab,
称为
a
，b的数量积，32、已知两个非零向 量
a
和b，则
abc
记作ab．即






ababcosab,
．零向量与任何向量的数量积为0
．








bcosa,b
的乘积．
a
33、ab等于
a
的长 度与b在
a
的方向上的投影




34、若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有

1

eaaeacosa,e
；





2








aba与b同向
，
aaa
，
aaa
；

2

abab0
；

3

ab





ab a与b反向









ab


4

cosa,b


；

5

abab
．
ab


第 5 页 共 10 页










35、向量数乘积 的运算律：

1

abba
；

2



a

b

aba
b
；


3







abcacbc
．





36、若
i
，
j
，
k
是 空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量
p
，存在有序









实数组

x,y ,z

，使得
pxiyjzk
，称
xi
，
y j
，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，< br>k
上
的分量．




37、空间向量基 本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，


存在实数组

x,y,z

，使得
pxaybzc
．



38、若 三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间向量组成的集合是







ppxayb zc,x,y,zR
．这个集合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的，







a,b,c
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为 基向量．空间任意三个不共面的向

量都可以构成空间的一个基底．

39、设
e
1
，
e
2
，
e
3为有公共起点

的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位
 
ee
eee
正交基底），以
1
，
2
，3
的公共起点

为原点，分别以
1
，
2
，e
3
的方向为
x

轴，
y
轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系
xyz
．则对于空间任意一个向量
p
，


一定可以把它平移，使它的起点与原点

重合，得到向量
p
．存在有序实



数组

x,y,z

，使得
pxe
1
ye
2
ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基底



e
1
，< br>e
2
，
e
3
下的坐标，记作
p

x,y,z

．此时，向量
p
的坐标是点

在空间直角坐标系
xyz
中的坐标

x,y,z

．




40、设
a

x
1
, y
1
,z
1

，
b

x
2,y
2
,z
2

，则

1

ab

x
1
x
2
,y
1
y
2
,z
1
z
2

．



2

ab

x
1
x
2
,y
1
y
2
,z
1
z
2

．

3


a


x
1
,

y
1
,

z
1

．



4

abx
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
．
< br>





5

若
a< br>、
b
为非零向量，则
abab0x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
0．

第 6 页 共 10 页







6

若
b0
，则
aba

bx
1


x
2
,y1


y
2
,z
1


z< br>2
．

7


aaax
12
y
1
2
z
1
2
．



xxyyzz
ab


8

c osa,b



2
1
2
2
212
2
12
22
．
ab
x
1
y< br>1
z
1
x
2
y
2
z
2

x
2
,y
2
,z
2

，则
d


9



x
1,y
1
,z
1

，



x
2
x
1


zz

1< br>
y

2

2
y
1
22

2

．
41、空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点

以及一个定方向确定．点


是直线l
上一点，向量
a
表示直线
l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点

，



有
 ta
，这样点

和向量
a
不仅可以确定直线
l
的 位置，还可以具体表示出直
线
l
上的任意一点．
42、空间中平面

的位置可以由

内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线


相交于点

，它们的方向向量分别为
a
，
b
．
为平面

上任意一点，存在有序





实数对

x,y

，使得
xayb
，这样点

与向量
a
，
b
就确定了平面

的位置．

43、直线
l
垂直

，取直线l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面

的法向 量．




44、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
abab






a

b< br>

R

，
ababab0
． 

45、若直线
a
的方向向量为
a
，平面

的法向量为
n
，且
a

，则
a
a



anan0
，
a

a

ana

n
．




46、若空间不重合的两个平面

，
的法向量分别为
a
，
b
，则



a b







a
b
，



abab0
．

47、设异面直线
a
，
b
的夹角为

，方向 向量为
a
，
b
，其夹角为

，则有


ab
cos

cos




．
ab


48、设直线
l
的方向向量为
l
，平面

的法向量为
n
，
l
与

所成的角为

，
l
与
n


ln的夹角为

，则有
sin

cos



．
ln

49、设
n
1
，
n
2
是二面角

l

的两个面

，

的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹
角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角

l
的平面角为

，
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
n
1
n
2
则
cos


．
n
1
n
2

< br>50、点

与点

之间的距离可以转化为两点对应向量
< br>的模

计算．

51、在直线
l
上找一点

，过定点

且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定 点

到直线


n


l
的距离为
dcos,n

．
n
52、点

是平面

外一点，

是平面
内的一定点，
n
为平面

的一个法向量，
< br>
n


则点

到平面

的距离为
dcos,n

．
n


综合检测题
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 顶点在原点，且过点
(4,4)
的抛物线的标准方程是
A.
y
2
4x
B.
x
2
4y

C.
y
2
4x
或
x
2
4y
D.
y
2
4x
或
x
2
4y

2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.


(1)
a(1,2,1)
,
b(1,2,3)
； (2)
a(8,4,6)
,
b(4,2,3)
；


（3）
a(0,1,1)
,
b(0,3,3)
； （4）
a(3,2,0)
,
b(4,3,3)

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

3. 若平面

的法向量为
n
1
(3,2,1)
，平面

的 法向量为
n
2
(2,0,1)
，则平面

与

夹角的余弦是
70707070
B. C.

D. －
14101410
51
4.“

k



,kZ
”是“
sin2
< br>
”的
122
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. “直线< br>l
与平面

内无数条直线都垂直”是“直线
l
与平面

垂直”的（ ）
条件
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
A.
6.在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是棱
A
1< br>B
1
的中点，则
A
1
B
与
D
1E
所成角的余
弦值为
A．
5
10
5
10
B． C． D．
105
105
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7. 已知两定点
F
1
(5,0)
，F
2
(5,0)
，曲线上的点P到
F
1
、
F
2
的距离之差的绝对值
是6，则该曲线的方程为
x
2
y< br>2
x
2
y
2
x
2
y
2
y< br>2
x
2
A.

1
D.
1
B.
1
C.

1

2536
9161692536

8. 已知直线
l
过点P (1,0,－1)，平行于向量
a(2,1,1)
，平面

过直线
l
与点
M(1,2,3)，则平面

的法向量不可能是
1111
A. (1,－4,2) B.
(,1,)
C.
(,1,)
D. (0,－1,1)
4242
9. 命题“若
ab
，则
acbc
”的逆否命题是
A. 若
acbc
，则
ab
B. 若
acbc
，则
ab

C. 若
acbc
，则
ab
D. 若
acbc
，则
ab

x
2
y
2
1
，若其长轴在
y
轴上.焦距为
4
，则
m等于 10 . 已知椭圆
10mm2
A.
4
. B.
5
. C.
7
. D.
8
.
11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：
（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；
(2) “
ab
”是“
a
2
b
2
”的充要条件；
(3) “
x3
”是“
x
2
2x30
”的必要不充分条件；
（4）“
ABB
”是“
A

”的必要不充分条件.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
x
2
y
2
12。双曲线
2

21
（
a0
，
b0
）的左、右焦点分别是
F
1
，F
2
，过
F
1
作倾
ab
斜角为30

的直线交双曲线右支于
M
点，若
MF
2
垂直于
x
轴，则双曲线的离心
率为
A．
6
B．
5
C．
3
D．
2

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
13．请你任意写出一个全称命题 ；其否命题为 .

14．已知向量
a(0,1 ,1)
，
b(4,1,0)
，
|

ab|29
且

0
，
则

=
15． 已知点M（1，－1，2），直线AB过原点O, 且平行于向量（0，2，1），则
点M到直线AB的距离为
16．已知点P到点
F(3,0)
的距离比它到直线
x2
的距离大1，则 点P满足的方
程为 .
17．命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 .
18. 已知椭圆
x
2
4y
2
16
，直线AB过点 P（2，－ 1），且与椭圆交于A、B两点，
1
若直线AB的斜率是，则
AB
的值为 .
2
三、解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
y
2
x
2
19. （本小题满分15分）已知椭圆的顶点与双曲线< br>1
的焦点重合，它
412
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们的离心率之和为

13
，若椭圆的焦点在
x
轴上，求椭圆的方程.
5
20. （本小题满分15分）如图，在四棱锥
OABCD
中，底面
ABCD
是边长 为1
的菱形，
ABC

4
,
OA底面ABCD
,
OA2
,
M
为
OA的中点，
N
为
BC
的
O
中点，以A为原点，建立适当的 空间坐标系，利用空
间向量解答以下问题：
（Ⅰ）证明：直线
MN
‖
平面OCD
；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离.



B
M
A
NC
D
5
.
5
(1)求椭圆的标准方程； （2）若直线
l
过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N
16
两点，且
MN5
，求直线
l
的方程.
9


21. （本小题满分15分）已知椭圆的焦点在
x
轴上，短轴长为4，离 心率为
x
2
y
2
21已知命题
p
：“直线y=kx +1与椭圆
1
恒有公共点” 命题
q
：只有个
5a
实数
x
满足不等式
x
2
2ax2a0
. 若命题“
p
或
q
”是假命题，求实数
a
的取值范围．


19.（本小题满分10分）
如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面 的棱柱)
ABCA
1
B
1
C
1
,底面
 ABC
中

CACB1,BCA90
0
，棱AA
1
2
，
M、N
分别为
A
1
B< br>1
、A
1
A
D的中点.
（I ）求
cosBA
1
,CB
1
>的值；
（II）求证：
BN平面C
1
MN

（III）求
点B
1
到平面C
1
MN的距离
.

A
第 10 页 共 10 页
B
A
1
M
N
C
C
1
B
1