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《高等代数Ⅱ》课程教学大纲
一、课程基本信息

开课单位
课程名称
开课对象
学时学分
先修课程
课程简介：（350字以内）
《高等代数Ⅱ》是信息与计算科学专业必修的一门基础课程。开 设这门课是让学生比较
系统地掌握高等代数的基本内容，进一步熟悉代数处理问题的方法，提高抽象思维 能力和逻
辑推理能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系。培养学生独立思维能力，进而使学生打下坚实的数学基础，掌握牢固的数学知识，提高学生的抽象思维能
力、逻辑 推理能力、实际应用能力以及解题的技能与技巧。
课程类别
课程编码
开课学期
学科基础

2
高等代数Ⅱ Higher Algebra Ⅱ
信息与计算科学
总学时80、理论课学时804.5学分
高等代数Ⅰ
二、课程教学目标
本课程的教学目的是使学生获得二次型，线性空间，线性变换，欧几里得空 间等方面的
系统知识,为进一步学习数值计算方法等后续课程打下坚实的基础。通过本课程的教学，使< br>学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推
理、提 高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。
应达到的具体能力目标：
具有独立思维能力和解决实际问题能力；
具有较强的抽象思维和逻辑推理能力；
熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力
三、教学学时分配
《高等代数Ⅱ》课程理论教学学时分配表
章次
第五章
第六章
主要内容
二次型
线性空间
学时分配
14
22
教学方法或手段
讲授法、启发式、探究式等
讲授法、启发式、探究式等

第七章
第八章

线性变换
欧氏空间
合计
24
20
80
讲授法、启发式、探究式等
讲授法、启发式、探究式等

四、教学内容和教学要求
第五章 二次型（14学时）
（一）教学要求
1. 了解二次型与二次型的矩阵的概念；
2. 理解二次型的标准形、正定二次型的概念；
3. 掌握用正交变换、拉格朗日配方法、合同线性变换法化二次型为标准形，掌握
正定二次型的判定方法。
（二）教学重点与难点
教学重点：二次型的矩阵表示，化二次型为标准形的方法
教学难点：正定二次型的判定与证明
（三）教学内容
第一节 二次型及其矩阵表示
1．二次型的定义
2．二次型的矩阵表示
3. 矩阵的合同关系
第二节 标准形
1．二次型的标准形；
2．化二次型为标准形的方法；
3. 例题讲解
第三节 唯一性
1．复数域上二次型的规范型
2. 实数域上二次型的规范型
第四节 正定二次型
1．正定二次型的定义
2. 正定二次型的判定
3. 半正定二次型的定义及判定
本章习题要点：

1．化二次型为标准形的方法；
2. 正定二次型的判定方法与证明。
第六章 线性空间（22学时）
（一）教学要求
1.了解集合与映射的概念及性质；
2. 理解线性空间的概念与性质，线性空间同构的概念、性质及意义；
3. 掌握基和维数的概念、求法及 维数定理，过渡阵概念、性质及求法，子空间的
概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念。
（二）教学重点与难点
教学重点：线性空间的基与维数，子空间的和
教学难点：子空间的直和
（三）教学内容
第一节 集合.映射
1．集合与映射的概念
2. 集合与映射的性质；
第二节 线性空间的定义与性质
1．线性空间的定义；
2．线性空间的简单性质。
第三节 维数、基、与坐标
1. 维数、基、坐标的概念
2. 维数、基、坐标的性质
第四节 基变换与坐标变换
1．基变换
2．坐标变换。
第五节 线性子空间
1．线性子空间的定义及性质
2．生成子空间的定义及性质
第六节 子空间的交与和
1．线性子空间的交
2．线性子空间的和
3. 维数公式
第七节 子空间的直和

1．线性子空间的直和定义
2．线性子空间的直和性质
第八节 线性空间的同构
1．同构映射的定义及性质
2．线性空间同构的充要条件
本章习题要点：
1. 基和维数的概念、求法及维数定理；
2. 过渡阵概念、性质及求法；
3. 子空间的和与直和。
第七章 线性变换（24学时）
（一）教学要求
1. 了解线性变换的值域与核的概念及主要性质；
2. 理解矩阵相似及其性质；
3. 掌握特征值、特征向量的求法，矩阵的相似对角化，最小多项式的性质。
（二）教学重点与难点
教学重点：线性变换，矩阵的特征值与特征向量的概念及计算
教学难点：矩阵相似对角化的条件，最小多项式的性质
（三）教学内容
第一节 线性变换
1．线性变换的定义
2．线性变换的性质
第二节 线性变换的运算
1．线性变换的运算
2．线性变换的运算性质
第三节 线性变换的矩阵
1．线性变换在一组基下矩阵的定义
2．在同一基下，线性变换的运算与它们的矩阵运算的对应关系
3. 矩阵的相似
第四节 特征值与特征向量
1．线性变换的特征值、特征向量的定义及求法
2．矩阵的特征多项式、迹
3. 特征子空间
4. 哈密尔顿－凯莱定理

第五节 对角矩阵
1．矩阵可对角化的充要条件
2．矩阵对角化的方法
第六节 线性变换的值域与核
1．线性变换的值域与核的定义
2．线性变换的值域与核的性质
第七节 不变子空间
1．不变子空间的概念及性质
2．不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系
第八节 若当标准形介绍
1．若当标准形的定义
2．复矩阵与若当标准形的关系
本章习题要点：
1. 矩阵的特征值与特征向量的计算；
2. 矩阵相似对角化的条件；
第八章 欧几里得空间（20学时）
（一）教学要求
1. 了解向量的内积、夹角、长度的概念及性质；
2. 理解正交向量组及性质，正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系；
3. 掌握标准正交基定义，施密特正交化过程，将实对称矩阵化为对角阵的正交化
方法。
（二）教学重点与难点
教学重点：标准正交基，用正交线性变换化二次型为标准形
教学难点：欧氏空间中子空间的正交关系
（三）教学内容
第一节 定义及基本性质
1．欧几里得空间的定义
2．欧几里得空间的基本性质
第二节 标准正交基
1．标准正交基的定义及性质
2．标准正交基的求法
第三节 同构
1．欧几里得空间同构的定义

2．欧几里得空间同构的充要条件
第四节 正交变换
1．正交矩阵、正交变换的定义
2．正交矩阵与正交变换的关系
第五节 子空间
1．子空间的正交
2．子空间的正交补空间
第六节 实对称矩阵的标准形
1．实对称矩阵与对称变换的关系
2．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
3. 实对称矩阵的正交相似标准形
4．用正交线性替换化实二次型为标准型
第七节 最小二乘法
1．向量到子空间的距离
2．最小二乘法
本章习题要点：
1. 正交矩阵的性质；
2. 施密特正交化过程；
3. 将实对称矩阵化为对角阵的正交化方法。
五、教学方法或手段
1、教学方法：讲授法、启发式、讨论式、案例式、探究式等。
2、教学手段：传统讲授、多媒体、移动课堂和MOOC等网络教学手段相结合。
六、考核方式及评价要求
本课程教学严格按照理论课程教学大纲、实验课程教学大纲课程教学 进程安排进行日常
教学，采取课堂讲授、课堂讨论、课外自主实践等多种形式完成教学任务。课程总评成 绩由
以下三部分构成，各部分分数分布情况如下：
1. 平时成绩（15%）：课堂测试、作业撰写、出勤率等。
2. 期中成绩 （15%）：期中考试
3. 期末理论考试（70%）：闭卷
七、教材及教学主要参考书

推荐教材：
《高等代数》，北京大学数学系前代数小组主编，高等教育出版社，2013年8月第4
版。
参考书目：
《高等代数》，丘维声著，清华大学出版社，2010年6月第1版。
《高等代数》，黄廷祝等主编，高等教育出版社，2012年1月第1版。