河北高考时间-休斯顿大学世界排名

第一讲

Ⅰ 授课题目：
§5.1 预备知识：向量的内积
Ⅱ 教学目的与要求：
1.了解向量的内积及正交向量组的概念；
1.
了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；
2.了解正交矩阵概念及性质。
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：正交向量组及正交矩阵

难点：施密特正交化方法

Ⅳ 讲授内容：
一、向量的内积
前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度 等方
面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算.
定义1 设有
n
维向量

x
1

x
2
x




x

n< br>
y
1



y
2
y
，






y


n





，



令

x,y

x
1
y
1
x
2
y
2
x
n
，

x,y

称为向量
x
与
y
的内积.
内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当
x
与
y
都是列向量时，有


x,y

xy
.
T
内积具有下列性质（其中
x,y,z
为
n
维向量，

为实数）：
①

x,y



y,x

；
②


x,y




x,y
< br>；
③

xy,z



x,y



x,z

.


1

3



2

0
例1 设有两个四维向量



，


< br>.求


,


及


,


.
16



5

5


解


,


3062534




,


1412531

n
维向量的内积是数量积的一种推广，但
n
维向量没有3维向量那样直观的长度和夹< br>角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义
n
维向量的长度和夹角：
定义2 令x=

x,x

x
1
x
2
x
n
222
，则x称为
n
维 向量
x
的长度（或范数）.
向量的长度具有下列性质：
① 非负性 当
x0
时，
x0
，当
x0
时，
x0
；
② 齐次性

x

x
；
③ 三角不等式
xyxy
.
向量的内积满足施瓦兹不等式

x,y


x,x



y,y


2
由此可得

x,y

x y
1
（当
x y0
时）
于是有下面的定义：
当
x0
，
y0
时，

arccos
二、正交向量组
当

x,y

0
时，称向量
x
与
y
正交.显然，若
x0，则
x
与任意向量都正交.
两两正交的非零向量组称为正交向量组.
定理1 若
n
维向量

1
,

2
,

r
是一组两两正交的非零向量组，则

1
,

2
,

r
线性无
关.
证明 设有

1
,

2
,

r
使

1

1


2

2
 

r

r
0
，

x,y

x y
称为
n
维向量的夹角.

以

1
左乘上式两端，得

1

1

1
0
，
因

1
0
，故

1

1

< br>T
2
TT
0
，从而必有

1
0
.类似可证

2
0,

r
0
.于是向
量组

1
,

2
,

r
线性 无关.
注 1.该定理的逆定理不成立.
2.这个结论说明：在
n
维向 量空间中，两两正交的向量不能超过
n
个.这个事实的几
何意义是清楚的.例如平面上 找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个
两两垂直的非零向量.
正交向量组作为向 量空间的基，称为向量空间的正交基.例如
n
个两两正交的
n
维非
零 向量，可构成向量空间
R
n
的一个正交基.

1

1


3
例2 已知3维 向量空间
R
中两个向量

1


1
，

2


2

正交，试求一个非零向量< br>
1

1



3
，使< br>
1
,

2
,

3
两两正交.


1
T
解 记
A

T



2


1





1


1
2
1


，
1



3
应满足齐次线性方程
Ax0，即

1



1

12

x
1

1



0


，

x
2




1



0


x
3

1
3
1

1

~


0


0
0
1
1

x
1
x
3

，得

，
0

x0


2

1
由
A~


0


1

1< br>

从而有基础解系

0

，取
< br>3


0

即合所求.

1

1


定义3 设
n维向量
e
1
,e
2
,

,e
r
是向量空间
V
(
VR
)
的一个基，如果
e
1< br>,e
2
,

,e
r
两两
正交，且都是单位向 量，则称
e
1
,e
2
,

,e
r
是
V
的一个规范正交基.
n

若
e
1
,e
2
,

,e
r
是
V
的一个规范正交 基，那么
V
中任一向量

应能由
e
1
,e
2
,

,e
r
线
性表示，设表示式为



1
e
1


2
e
2


r
e
r
.为求其中的系数

i
( i

1,

r)
，可用
e
i
左乘上式，有
e
i



i
e
i
e
i


i
，即

i
e
i



,e
i

.
T
TTT
设

1
,

2
,

r
是向量 空间
V
的一个基，要求
V
的一个规范正交基.这也就是找一组
两两正 交的单位向量
e
1
,e
2
,

,e
r，使
e
1
,e
2
,

,e
r
与

1
,

2
,

r
等价.这 样一个问题，
称为把

1
,

2
,
< br>r
这个基规范正交化.
以下办法可把

1
,
2
,

r
规范正交化：
取
b
1


1
；
b
2


2


b
1
,

2

b
1
；

b
1
,b
1

b
1
,

r

b,


b
1

2r
b
2

b
1
,b
1

b
2
,b
2


b
r 1
,

r

b
.

b
r1
,b
r1

r1
…… < br>b
r


r

容易验证
b
1< br>,b
2
,

,b
r
两两正交，且
b
1
,b
2
,

,b
r
与

1,

2
,

r
等价. 然后只要把它们单
位 化，即取
e
1

b
1
b
1
，
e< br>2

b
2
b
2
，……，
e
r

b
r
b
r
，就得
V
的一个规范正交基.上述从
线性无关向量组

1
,

2
,

r
导出正交向量组
b
1
,b
2
,

,b
r
的过程称为施密特（Schimidt）
正交化过程.它不仅满足
b
1
,b
2
,

,b
r
与

1< br>,

2
,

r
等价，还满足：对任何
k( 1kr)
，
向量组
b
1
,b
2
,
< br>,b
k
与

1
,

2
,

k
等价.

1

1

4


例3 设

1


2

，

2


3

，

3


1

，试用施密特正交化过程把这组向量规范
1

1

0


正交化.

解 取
b
1


1
；
b
2


2



2
,b
1

b
1
2

1

1
< br>1


4

5

b
1

3



2


1

；

1

6

1

3

1



1

 


3
,b
1


3
,b< br>2

b
3


3
b
1
 b
2
2

0

.
22
b
1< br>b
2

1


再把它们单位化，取
< br>1


1

1


11

1
e
1


1

，
e
3


0

.

2

，
e
2

6

3

2


1
1

1


即合所求 .

1


例4 已知

1


1

，求一组非零向量

2
,

3< br>，使

1
,

2
,

3
两 两正交.

1


解

2
,

3
应满足方程

1
x0
，即
x
1< br>x
2
x
3
0
.
它的基础解系为

1

0



< br>1


0

，

2

< br>1

.

1

1

 
T
把基础解系正交化，即合所求.亦即取


2
于是得

1


1



1



0

，

3


2

.
2

1


1




1
，

3


2



1
,

2


1
.


1
,

1



2
三、正交矩阵
在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为


xx

cos

y

sin




yxsin

y cos



cos

对应的矩阵
A


sin


sin


1
T

，显然
AA

0cos


0


E
.这样的矩阵称为正交

1

矩阵.
定义4 如果
n
阶矩阵
A
满足
A
T
AE
（即
A
1
A
T
），称
A
为正交矩阵.
上式用
A
的列向量表示，既是


1
T



T
< br>
2



T


n
< br>




1
,

2
,< br>
,

n

E
，



j
亦即

i

T

(

ij
)
，
这也就是
n
2
个关系式
T

i

j


ij



1, 当ij,

0, 当ij
（
i,j1,2,n
）.
这就说明：方阵
A
为正交矩阵的充分必要条件是
A
的列向量都是单位 鲜花量，且两两正
交.又
A
T
AE
与
AA
TE
等价，所以上述结论对
A
的行向量亦成立.由此可见，正交
矩阵的< br>n
个列（行）向量构成向量空间
R
n
的一个规范正交基.




，







1
2
1
2
1
2
0


1
2
1
1

2
1
2

1

2

1


2

都是正交矩阵 .

0

1


2



0
比如：


1
1


0< br>

2

，

2

1
< br>
2
1



2

2
< br>2


2
1
2
0
0
1
2< br>注 正交矩阵的性质：设
A,B
均为正交矩阵，则

1.
A1
，因此
A
为满秩矩阵；
2.
A
T
A
1
，并且也是正交矩阵；
3.
AB
也是正交矩阵.
定义5 若
P
为正交矩阵，则线性变换
yPx
称为正交变换.
设
yPx
为正交变换，则有

yyy
T
xPPx
TT
xxx
.
T按
x
表示向量的长度，相当于线段的长度.
yx
说明经正交变换线段长 度保持
不变，这正是正交变换的优良特性.
Ⅴ 小结与提问：
小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质.
2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等
式保证的，因为对任何非零 向量

,

，由施瓦兹不等式有


,





1
.从而

arccos< br>

,





才有意义.
3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位
化，后正交化.
4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵
A
是正交矩阵的充分必要条件是
A
的 行（列）向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据.
提问：1.向量空间的规范正交基是否唯一？
2.
A
、
B
均是正交阵，
AB
是正交阵吗？
Ⅵ 课外作业：

P
161
1.（2）2.（1）3.

第二讲

Ⅰ 授课题目：
§5.2 方阵的特征值与特征向量
Ⅱ 教学目的与要求：
1.
理解矩阵的特征值与特征向量的概念;
2.
掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。

Ⅲ 教学重点与难点：
重点：
矩阵的特征值与特征向量的概念

难点：
矩阵的特征值与特征向量的性质及求法

Ⅳ 讲授内容：
一、特征值与特征向量的定义
定义1: 设
A
是
n
阶方阵 ，数

和
n
维若非零列向量
x
，使得
Ax

x
成立，则称

是
方阵
A
的一个特征值,x
为方阵
A
的对应于特征值

的一个特征向量。
注 1.
A
是方阵；
2.特征向量
x
是非零列向量；
3.方阵
A
的与特征值

对应的特征向量不唯一；
4.一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法

Ax

x
(A

x)0
或
(A

E)x0
已知
x0
，所以齐次线性方程组
(A
E)x0
有非零解
A

E0

定义2 设
A
nn
(a
ij
)
nn
，

为实数，则行列式
a
11


a
1 2
a
22



a
n2



a
1n
a
2n

a
nn



A

E
a
21

a
n1
< br>是关于

的
n
次多项式，称为方阵
A
的特征多项式. 方程
A

E0
称为方阵
A
的特
征方程.
显然，矩阵
A
的特征方程在复数域内的
n
个根就是
A
的所有特征值.故求矩阵
A
的特征值、特征向量的步骤为：
（1）由
A

E0
求出

，即为特征值； < /p>

（2）把得到的特征值

代入
齐次线性方程组
(A< br>
E)x0
，求出非零解
x
，即
为所求
特征向量.

例1 求
A


1


3 1


的
特征值与特征向量.


3

3

1
1
3

(3

)1(4

)(2

)
.
2
解
A
的特征多项式为
所以
A
的特征值为

1< br>2,

2
4
.
当

1
2
时，对应的特征向量应满足



1

故特征向量可取为
p
1



1

.


32

1
1

< br>x
1


0





，


32


x
2


0

同理，当

2
4
时， 对应的特征向量可取为
p
2



1


.

注 若
p
i
是矩阵
A
的对应于特 征值

i
的特征向量，则
kp
i
（
k0
）也是对应于特征
值

i
的特征向量.

1

例2 求矩阵
A

4
1

1


1

1
3
0
1
0


0

的特征值与特征向量.
2


0
0
2

(2

) (1

)
，
2
解
A

E4
1
3

0
所以

1
2,

2


3
1.

0


当

1
2< br>时，解方程
(A2E)x0
，得基础解系
p
1


0

，

1



所以
kp
1
(k0)
是对应于

1
2
的全部特征向量.

2

当

2

3
1
时，解方程
(AE)x

4

1

1
2
0
0

x
1

0

x
2

1


x< br>3

0





0

，

0



1


得基础解系
p
2


2

，所以
kp< br>2
(k0)
是对应于

2


3
1
的全部特征向量.

1



2

例3 求矩阵
A

0

4

2

1
2
1
1


0

的特征值与特征向量.
3


11
0
3

(

 1)(

2)

2
解
A

E0
4
2

1
所以< br>
1
1
，

2


3
2
.

1


当

1
1
时，解方程
(AE)x0
，得基础解系
p
1


0

，

1


所以kp
1
(k0)
是对应于

1
1
的全部 特征向量.

0


1



当

2


3
2
时，解方程
(A2E) x0
，得基础解系
p
2


1

，p
3


0

，

1


4



所以
k
2
p
2
k
3
p
3
(k< br>2
,k
3
不同时为0)
是对应于

2

3
1
的全部特征向量.
三、特征值与特征向量的性质
性质1 若
A
为
n
阶矩阵，
x
为
A
的对应于特征值

的特征向量，则
（1）
kA
的特征值为
k

（
k
是任意常数）；
（2）
A
m
的特征值为

（
m
是正整数）；
（3）若
A
可逆 ，则
1
m

是
A
1
的特征值；

（4）若
f(x)
为
x
的多项式，则
f(

)
是
f(A)
的特征值.
性质2
A
与
A
T
有相同的特征值.
定理1 设
n
阶矩阵
A
=
(a
ij
)
的特征值为

1
,

2
,

,

n
，则
（1）

1


2


n
a
11
a
22
a
nn
；
（2）

1

2


n
A
.
例4 设三阶矩阵
A
的特征值为
1,2,3
，求行列式
A
33AE
的值.
解 设
f(x)x
3
3x1
，则
f(A)A
3
3AE
，由定理1可知f(A)等于
f(A )
的
三个特征值之值.而由性质1得
f(A)
的特征值为
f(1), f(2),f(3)
，故
f(A)153
.
定理2 设
1
,

2
,

,

m
是方阵
A
的
m
个特征值，
p
1,
p
2
,

,p
m
依次是与之对应的特征向
量.如果

1< br>,

2
,

,

m
各不相同，则< br>p
1,
p
2
,

,p
m
线性无关.
证明 设有常数
x
1
,x
2
,

,xm
使
x
1
p
1
x
2
p
2< br>x
m
p
m

0
.
则
A(x
1
p
1
x
2
p
2
x
m< br>p
m
)0
，即

1
x
1
p
1


2
x
2
p
2

< br>m
x
m
p
m
0
，
类推之，有

1
x
1
p
1


2
x
2
p
2


m
x
m
p
m
0
.（
k1,2,,m1
）
把上列各式合写成矩阵形式，得

1


1

(x
1
p
1
,x
2
p
2
,

,x
m
p< br>m
)




1

kkm

1

2




m



m1


2


(0,0,

,0)
.


m1


m


1
m1
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当

i
各不相等时该行列式不等
于零，从而该矩阵可逆.于是有
(x
1
p
1
,x
2
p
2
,

,xm
p
m
)

(0,0,

,0)
.
即
x
j
p
j

0(j

1,2,

,m)
.但
p
j
0
，故
x
j

0(j

1,2,

,m)
.

所以向量组
p
1
,p
2
,

,p
m
线性无关.
Ⅴ 小结与提问：
小结：1.特征值

可能是实数，也可能是复数.
kx
也 2.特征向量是满足方程
Ax

x
的非零向量，且对任意非零常数
k0
，
是
A
的属于特征值

的特征向量.
3.如果
x
1
,x
2
都是
A
的属于特征值

的特征向量，且当
k
1
x
1
k
2
x< br>2
0
时，
它也是
A
的属于

的特征向量.
提问：设

与

分别是矩阵
A
的属于特征值

1
与

2
的特征向量，而且

1
< br>
2
，问



是否是
A
的特征向 量？
Ⅵ 课外作业：

P
162
4.（1）（2）