学习要点特征值和特征向量
手抄报的花边-雅思写作模板
个人资料整理 仅限学习使用
5.1矩阵的特征值和特征向量
定义<矩阵的特征值和特征向量）设A为n阶方阵，如果存在复数
,使得 (4-1>
或 (4-2>
的一个特征向量。
及n维非零列向量x
则称为A的一个特征值，x为A的对应于<或属于）特征值
求n阶方阵A的特征值与特征向量的一般步骤如下。
第一步：计算特征多项式
第二步：求出特征方程
就是方阵的全部特征值。
如果
则称
为特征方程的单根，则称为A的单特征值；如果
。
=0的
全部根<重根按重数计算），则
为特征方程的k重根，
为A的k重特征值，并称k为的重数。<
br>
,求出齐次线性方程组 第三步：对A的相异特征值中的每个特征值
的一个基础解系
基，而A的属于
(4-3>
，则
的全部特征向量为
其中为不全为零的任意常数。
特征值和特征向量有下列基本性质：
性质1 设的全部特征值为
就是对应于特征值的特征空间的一个
，则有
利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算。
性质2
设为方阵A的一个特征值
，且x为对应的特征向量，则对任何正整数k,为的一个特
，征值且x为对应的特征向量。更一般地，对
于任何多项式
则为方阵的一个特征值，且x为对应的特征向量。
个人资料整理 仅限学习使用
性质3
设
值
性质4
设
则向量组
向量
为方阵A的互不相同的特征值，
线性无关。更一般的，设
，则
向量组
线性无关
性质5
设
关于特征值与特征向量的结论见下图：
kA
的线性无关特征向量的个数不大于k
为属于的特
征向量
为属于
，
的线性无关特征
为可逆方阵A的一个特征值，则为的一个特征
值，为的一个特征
特征值
对应特征向量
5.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件
定义<相似方阵）对于同阶方阵A,B，若存在同阶可逆方阵P，使得
<4-4）
为相似变换。
则称A与B相似，或A相似于B，并称变换：
方阵的相似关系具有反身性、对称性和传递性。
定理<方阵A与B相似的必要条件）设方阵A与B相似，则有
(1>
(2>
(3>
；
(4>与相似，与相似，与相似。
定理<方阵相似于对角矩阵的充分必要条件）n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条
件是A有n个线
性无关的特征向量，且当A相似于对角矩阵D时，D的主对角线元素就是A的
全部特征值。
推论
方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征值的线性无关特征向量个数正
好
等于该特征值的重数。
；
，即A与B有相同的特征多项式<从而A与B有相同的特征值）
；
个人资料整理 仅限学习使用
定理<方阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n阶方阵A有n个互不相
同的特征值<即A
的特征值都是特征值），则A必相似于对角矩阵。
矩阵可相似对角化的条件见下图
<设A是n阶方阵）
5.3正交矩阵
定义<实向量的内积、长度、夹角、正交）对于
中任意两个向量
称实数为与的内积，记为，即
向量的长度<或泛数）定义为
长度为1的向量称为单位向量。若
化。
如果,都是非零向量，则与
，则称由得到单位向量的过程为的单位
的夹角定义为
如果=0，则称与正交<或垂直），记为。
个人资料整理 仅限学习使用
定义<正交向量组）如果实向量组
两正交，则称
就是
说，所谓向量组
中不含零向量，且两
为正交向量组<或正交规范向量组，或标准正交向量组），
也
是一个正交单位向量组，是指它们满足
。
定理
正交向量组必是线性无关向量组
定义<标准正交基）设Ｖ为的子空间，如果V的一个基为正交向量组，
则称它为V
的正交基；如果V的一个基为正交单位向量组，则称它为V的标准正交基。
用施密特正交化方法，可中任何线性无关向量组化为与原向量组等价的正交单位
向量组。同样的，可用
施密特正交化方法，将向量空间V的任何基化成V的标准正交基。
定义<正交矩阵）如果实方阵A满足
矩阵。
正交矩阵的等价定义
，或，则称A为正交
正交矩阵有下列基本性质：
(1>如果A为正交矩阵，则
(2>如果A为正交矩阵，则
。
都是正交矩阵。
(3>如果A,B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。
(4>实方阵A为正交矩阵，当且仅当A的列<行）向量组为正交单位向量组。
利用上述的性质(4>，可以比较方便的检验方阵是否为正交矩阵。
定义<正交变换）设A为n阶正交矩阵，则称
y=Ax(对于x=
到的线性变换
>
为正交变换。
正交变换有下列性质<其中A为正交矩阵）：
(1)
保内积性：若
(2) 保长度性：若，则
，则
；
5.4实对称矩阵的性质及正交相似对角化
实对称矩阵有下列性质：
性质1
实对称矩阵的特征值都是实数。
性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交。
性质3
个人资料整理 仅限学习使用
若为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于的线性无关特征向量正好有k个。
定理
设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使得为对角矩阵。
5.5重点与难点
本章的重点
是特征值和特征向量的概念及计算、方阵对角化的条件及计算，难点是
实对称阵的正交相似对角化。
1 特征值和特征向量的概念及计算
特征值和特征向量有广泛的应用。深刻理解特征值和特征
向量的概念并且熟练掌握
特征值和特征向量的计算，是建立特征值和特征向量的一般理论并且应用其解决
有关问题
的基础。
求方阵A的特征值的关键是计算行列式
特征向量的关键是
求齐次线性方程组
，求A的属于特征值的线性无关
的基础解系，而研究属于特征值
的线
性无关特征向量个数<着实研究方阵A可否相似对角化的关键）就是研究齐次线性方程
组的基础解系所含
向量的个数。所以，无论从计算还是理论的角度看，本
章内容都是前几章内容的发展和应用。在学习本章
内容的过程中，也可以使读者对前几张
的有关基本理论得到进一步的理解，对有关的基本计算得到进一步
的掌握。
关于特征值和特征向量必须注意以下几点：
(1>n阶方阵A的特征值共
有n个
(2>特别注意特征向量是非零列向量。
(3>方阵A的属于特征值的特征向量有无穷多个，
它们就是齐次线性方程组
都是属于
）时，
的特征向量，
的特征向量的所有非零
解向量。由此可知，如果
，则当
仍是属于
<其中为任意常数，
的特征向量。特
别的，如果x为属于
则将x单位化后得到的向量仍是属于的特征向量。
(4>方阵的
特征值，有的是实数，有的是虚数。对于A的特征值
是实数矩阵，则齐次线性方程组
因而属于的
特征向量为实向量；如果矩阵
，若矩阵
是实系数方程组，它的解可取为实向量，
的元素
中有虚数，则属于的特征
向量的分量中可能有虚数。
2 一般方阵的相似对角化 <
br>相似是同阶方阵之间的一种重要关系，相似矩阵具有许多共同性质。那么在一类相
个人资料整理 仅限学习使用
似矩阵中，能否找到一个有代表性的且最简单的矩阵，使得我们通过研
究它的性质就能得
到这类矩阵的共同性质？这类问题中的一种常见问题，是研究方阵能否相似于对角矩阵
的
问题。由于对角矩阵实最简单的矩阵，而且方阵的相似对角化有许多重要应用，因此研究
方阵
相似于对角矩阵的问题是一个重要问题。
研究方阵对角化的主要问题是：
(1>对于给定的方阵A，研究A是否相似于对角矩阵？
(2>若A可相似对角化，如何求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得？
从定理4.2和定理4.
3知道，当n阶方阵A没有重特征根时，A必可相似对角化；当A有
重特征值时，A能否相似对角化，取
决于A是否有n个线性无关的特征向量，即属于每个特
阵值的线性无关特征向量个数是否等于该特征值的
重数。
如果n阶方阵A相似于对角矩阵，则A的相似对角化的一般步骤如下。
第1步：求出A的全部特征值；
，求出齐次线性方程组第2步：对A的相异特征值中的每个特
征值
的一个基础解系，将所有这样的基础解系中的向量合在一起，按假定，这样的向量共有n个
，它们就是A的n个线性无关的特征向量
第3步：令矩阵，则有
；
其中是属于特征值的特征向量。注意P的列向量的排列次序与对角矩
阵的主对角线元素的排列次序相
一致。
下图是方阵相似对角化过程的框图。
解方程
有
无
A有重特征值
么?
个人资料整理 仅限学习使用
有
A有n个线性
无关的特征
向量么?
A可相似对角化
求出A的n个线性无关的特征向
无
量
A不可相似对角
令矩阵P=[
3
实对称矩阵的正交相似对角化
并非任何方阵都相似于对角矩阵，但实对称矩阵却是必定相似于对角矩阵
的一类矩
阵。对于实对称矩阵，一般地，我们希望用正交矩阵使之对角化，即求正交矩阵P，使
为此，只需对n阶实对称矩阵A的每个特征值
次线性方程组的正交化单位化的基础解系，即属于特征值<
br>，取其
],则有
的正交化单位
化的特征向量，将所有这样的特征向量
放在一起，由实对称据阵的性质3，此向量组共有n
个向量，而且它们是两两正交的。事实上，若两个向
量分别属于A的两个不同特征值，由
实对称矩阵的性质2，它们是正交的；若两个向量属于A的同一特征
值，由前面的取法，他
们也是正交的。因此，若这些特征向量为
向量，以它们为列向量做成矩阵
则由正交矩阵的充分必要条件知P为正交矩阵，且有
，则它们是A的正交化单位化的特征
个人资料整理 仅限学习使用
其中矩阵P的第j列是属于特征值的特征向量.
下图是实对称矩阵的正交相似对角化过程的框图。
解方程
U只含1个向量，将
U单位化
得到n个标准特征向量
令矩阵P=[
从图中可以看出，实对称矩阵的正交相似对角化过程一般有4个步骤：求特征值，求
特征向量，正交化，单位化。其中，只有在为重特征值，且对应于的线性无关向量组
],则P为正交矩阵
且使得
对不同的
解方程
为单特征值 解方程为重特征值
U已是正交向量组，
将U单位化
U不是正交向量组，
将U先正交再单位化
U不是正交向量组时，才应用施密特正交化方法将向量组U正交化。
实对称矩阵的正交相似对角化在下章的二次型化为标准型的问题中有重要应用。