四年级写动物的作文-药店自查报告

第二章 内积空间

目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量 概念，深化对线性空间、线性
变换等的研究。
§1 内积空间的概念
定义2－1 设
V
是实数域
R
上的线性空间。如果对于
V
中任意两个向量

,

，都有一
个实数（记为


,


）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数


,


称为向量

,

的内积 。
(1)


,





,


； （2）
(k

,

)k(

,

)
，（
kR
）
（3 ）
(



,

)(

,
)(

,

)
，（

V
）
（4）


,


0
，当且仅当



时，等号成立。
此时线性空间
V
称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于R
中的任二向量
X


x
1
,x
2< br>,

,x
n

，
Y


y
1
,y
2
,

,y
n

，定义内 积
n
n

X,Y



x
iy
i
，
R
n
成为一个内积空间。内积空间
R
n
称为欧几里得（Euclid）空间，简称
i1
为欧氏空间。由于
n
维实内积空间都与
R
同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于
A,BR
nn
n
，定义内积为

A,B

i,j1

a
ij
b
ij
，则
R
nn
成为一个内积
n
空间。
例2－3
R[a,b]
定义
(f(x),g(x))

b
a
f(x )g(x)dx
，则可以验证
(f(x),g(x))
满足内积
的条件，从而
R[a,b]
构成内积空间。
内积


,


具有下列基本性质
(1) < br>

,k


k


,


，（
kR
）；(2)


,
< br>





,


< br>

,


；
(3)

< br>,





,


0
。
1

定理2－1（Cauchy-Schwarz不等式）设< br>V
是内积空间，则


,

V
，有 

,


2



,


,


，
并且当且仅当

,

线性相关时等号成立。
定义2－2 设

是内积空间
V
的任一向量，则非负实数


,


称为向量

的长度，记
为

。
若
|

|1
，则称

为单位向量。对于任一非 零向量

，取



，则

是与

线性相
|

|
关的单位向量。这种做法称为向量的单位化。
利用向量长度的概念，Cauchy-Schwarz不等式又可以表示为

,






。当

,< br>
都



不是零向量时，由此不等式可得


,





1
。因此，可以利用 等式
cos




,


来定 义两个
非零向量

,

的夹角

，且限制

的取值范围为
0



。
定义 当

,




时，称

,

是正交的，记为



。零向量与任何向量正交。
例2－4 若

,

是两个正交向量，则有
|



|
2
|

|
2< br>|

|
2

一般地，如果

1
,

2
,

,

k
是
k
个 两两正交的向量，则有

|

1


2


k
|
2
|

1
|
2
|

2
|
2
|

k
|< br>2

2

从定理2－1可以推出如下简单推论。
推论 设
V
是内积空间，


,

V
，有
(1)







； (2)







。
n
把定理2－1应用到欧氏空间
R
和例2－3中
R[a,b]
得不等式


xy
i
i1
n
i

< br>x
i1
n
2
i


y
i1n
2
i


bbb
22



a
f(x)g(x)dx




a
fdx

a
g(x)dx


2
这是历史上两个著名的不等式。
§2 正交基与子空间的正交关系

2.1 正交基的概念
内积空间中两两正交的一组非零向量，称为正交组。正交组是线性无关的。
定义2－3 在
n
维欧氏空间中，由正交组构成的基称为正交基。如果正交基中每个向量
的长度都等于单位长 度，则此正交基便称为标准正交基（或单位正交基）。



定理2－2（存在性）任一
n
维欧氏空间
V
都存在标准正交基。
通过施密特（Schmidt）正交化过程，可将欧氏空间的基转化为标准正交基。
标准正交基下的内积
设欧氏空间
V
中的两向量在其标准正交基
< br>1
,

2
,

,

n
的表 达式分别为：

x
1

1
x
2
< br>2
x
n

n
，

y
1
1
y
2

2
y
n

n
，
3

则有


,

x
1
y
1
x
2
y
2
 x
n
y
n
。


两组标准正交基之间的过渡矩阵是一个正交矩阵

,e

设
e
1
,e
2
,

,e
n
及
e< br>12
,

,e

n
是欧氏空间
V
的 两组标准正交基，从前一组基到后一组基
的过渡矩阵为
A
，即
e
< br>i

k1

a
ki
e
k
,
n
n
i

1,2,

,n
。则
(e< br>
i
,e

j
)(

a
kie
k
,

a
tj
e
t
)
k 1t1
n
n
k1t1

a
ki
a
tj
(e
k
,e
t
)

nn

1,ij


a
ki
a
kj


k1

0,ij
这 表明
AAE
，即过渡矩阵为
A
是一个正交矩阵。
2.2 正交子空间

T

i,j

1,2,

,n

定义2－4 设
V
1
,V
2
是内积空间< br>V
的两个子空间。如果对任意的

V
1
,

V
2
，都有


,


0
，则称
V
1
与
V
2
是正交的，并记为
V
1
V
2
。
特别地，如果
V
中某个向量

与子空间
V
1
中的每个向量都正交，则称

与
V
1
正交，记为

V
1
。
定理2－3 内积空间V
的两个正交子空间
V
1
,V
2
的和
V
1
V
2
是直和。
证明：如果存在

V
1
,

V
2
，使得




，则有
0


,







,





,





,





,


，
4

所以



。同理可证，



。因而零向量的表示 方式是唯一的，即
V
1
V
2
是直和。
定义2－5 设
V
1
,V
2
是内积空间
V
的两个子空间。且满足
V
1
V
2
,V
1
V
2
V< br>，
则称
V
2
是
V
1
的正交补子空间，简称 为正交补，记为
V
1

。
定理2－4
n
维 欧氏空间
V
的任一子空间
V
1
都有唯一的正交补。
证明： 若
V
1




，则
V
就是V
1
的正交补。若
V
1
是
V
的
m
mn

维子空间，我们取
V
1
的
一组正 交基
e
1
,e
2
,

,e
m
，并 将其扩充为
V
的一组正交基
e
1
,e
2
,

,e
m
,e
m1
,

,e
n
。
V
2
L(e
m1
,,e
n
)
就是
V
1
的正交补。
唯一性。设除
V
2
外，还有< br>V
3
也是
V
1
的正交补。则
VV
1
V
2
V
1
V
3
。
令

V
2
，则

V
，故存在

1
V1
,

3
V
3
，使得



1


3
。因为



1,

1


3
，
所以
0


,

1




1


3
,

1




1
,

1




3
,

1




1
,

1

，于是

1


。由此可得



3
V
3
，即有
V
2
V
3
。同理可证
V
3
V
2
，因此有
V
2
V
3
。□
推论
dimV
1
dimV
1

n
。
§3 内积空间的同构

定义1 两个内积空间
V
与
V

是同构的，如果
V
与
V

之间存在一个一一对应的映射

，
使得对任意的

,

V
及
kR均满足：
(1)
















；(2)


k


k




；(3)


,





,


。
这就是说，两个内积空间认为是同构的 ，首先作为线性空间它们是同构的；其次，在这个
同构之下向量内积是保持不变的。
5

定理2－5 所有的
n
维欧氏空间都同构。
证明：设
V
是
n
维欧氏空间，
e
1
,e< br>2
,

,e
n
是它的一组标准正交基。对于任意的
x 

1
e
1


2
e
2


n
e
n
V
，定义

:VR< br>n
为


x




1< br>,

2
,

,

n

，则

是一个
一一对应，且满足定义1中的条件(1)、(2)。再证明(3)亦满足即可 说明任一个
n
维欧氏空间
都与
R
同构。由于同构是一种等价关系，所 以所有的
n
维欧氏空间都同构。□
n
§4 正交变换

定义2－7 保持内积空间
V
中向量内积不变的线性变换
T
，称为
V
的一个正交变换。即
对任意的

,

V
，都有

T

,T





,


。








定理2－6 设
T
是
n
维欧氏空间
V
的一个线性变换，则下列各命题互相等价：
(1)
T
是正交变换；
(2)
T
保持向量的长度不变，即


V
，有
T



；
(3) 若
e
1
, e
2
,

,e
n
是
V
的标准正交基，则< br>Te
1
,Te
2
,

,Te
n
也是
V
的标准正交基；
(4)
T
在任一标准正交基下矩阵是正交矩阵。
证明：(1)

(2)
若
T
是正交变换，则由

T

,T




,


，取

< br>
，两边开方即可推出
T


反之，若
T
保 持向量的长度不变，即


V
，有
T



。

T

,T



< br>


,


，
则有

T





,T










,




，即

T

,T


 2

T

,T




T

,T





,

2


,





,< br>

，
于是，得

T

,T
< br>



,


，即
T
是 正交变换。


(1)

(3)
若
T
是正交变换，则对
V
的任一组标准正交基
e
1
,e
2
,

,e
n
，都有
(Te
i
,Te
j
)(e
i
,e
j
)

ij
，
i,j1,2,,n
，
因此
Te
1
,Te
2
,

,Te
n
也是
V
的标准正交基。
6

反之，若
e
1
,e
2
,

,e
n
是
V
的标准正交基，则
Te
1
,Te2
,

,Te
n
也是
V
的标准正交基，则对
V
中的任二向量

x
1
e
1
x
2
e
2
x
n
e
n
，
y
1
e
1
y
2
e
2
yn
e
n
，
便有
T

x
1
Te
1
x
2
Te
2
x
n
Ten
，
T

y
1
Te
1
y
2
Te
2
y
n
Te
n
，
因此
T

,T


x
1
y
1
x
2
y
2
x
n
y
n
< br>

,


，即
T
是正交变换。


(3)

(4)
设
T
在标准正交基
e
1
,e
2
,

,e
n
下的矩阵为
A
，即是说
Te
i

k1

a
kie
k
，
i1,2,,n
。
n
若
Te
1
,Te
2
,

,Te
n
也是
V
的标准正交基，则作为两个标准正交基之间的过渡矩阵，
A
是正交
矩阵。
反之，若
A
是正交矩阵，则有
(Te
i
,Te
j
)(

a
ki
e
k
,

a
tj
e
t
)

a
ki
a
kj

ij
，
i,j1,2,,n

k1t1k1
nnn
这说明
Te
1
,Te
2
,

,T e
n
也是
V
的标准正交基。□
例2－5 设
T
是欧氏空间
R
的线性变换，
T

x
1
,x
2
,x
3



x
2
,x
3< br>,x
1

,

x
1
,x
2
,x
3

R
3
，
3
试证明
T
是正交变换。


证明：

T

,T





,


即可。
例2－6 (1) 证明：
V
的线性变换
T
是正交变换

T
保持
V
中任意两向量

,

的距离不变，即
T

T







。
（2）内积空间中保持距离不变的变换是否一定是线性变换？
证明：1) 若
T正交变换，则
T

T

T(



)



。反之，若该式成立，则取
其中的



，即可说明
T



，即
T
正交变换。
（2）不一定。反例：
T



< br>
0
，这里

0
V
是一个固定向量。
例2－7 设
T
是内积空间
V
的一个变换，证明：如果
T
保持向量的内积不变，即

T

,T





,


,
7


,

V
，

则
T
是一个线性变换，因而一定是正交变换。
证明：通过证明

T





T< br>


T



,T





T



T


0
，说明：
T




T



T



； 通过证明

T

k


kT



,T

k


kT



0
，说明：
T

k


 kT



。
§5 点到子空间的距离与最小二乘法

5.1 点到子空间的距离
定义2－8 (1) 设
V
是欧氏空间， 又

,

V
，则向量



的 长度



称为向量

与

的距离，记为
d


,


。
(2) 设
W
是
V
的子空间，则点

到
W
的距离定义为：
d


,W

infd


,


。

W

命题：设
W
< br>L


1
,

2
,

,< br>
s

，则


W




i
,
i
1,2,,
s
。


命题：设

W
且满足条件




W
，则


W
，都有






。
在初等几何里，我们知道点 到直线（或平面）的距离以垂线最短，该结论说明了：欧氏空
间
V
的一个向量

到子空间
W
的各个向量之间的距离也以“垂线”



最短。
证明：因为


< br>W
，故











。又因













，所以
2











，于是







。
22
5.2 最小二乘法

T
给定 不相容方程组
AXB
，这里
A

(a
ij
)sn
,B

(b
1
,b
2
,
,b
s
)
，
8

X

(x1
,x
2
,

,x
n
)
。则使平方偏 差



(a
i1
x
1
a
i2
x
2
a
in
x
n
b
i
)
2
最小的一组数
T
i1
s
00
，称为此方程组的 最小二乘解，求最小二乘解的方法叫做最小二乘法。
x
1
0
,x
2
,,x
n

00 0
令
YAX
，则

YB
。所谓的最小二乘法就是要找 一组数
x
1
，使
Y
与
,x
2
,,xn
2
B
的距离最小。设
A(

1
,

2
,,

n
)
，则有

Yx< br>1

1
x
2

2
x
n
n
L(

1
,

2
,,

n
)
2－6
所以最小二乘法可以叙述为：在< br>L(

1
,

2
,,

n
)
中找一向量
Y
，使得向量
B
到它的距离比到
子空间L(

1
,

2
,,

n
)
其他向量的距离都短。即向量
CBYBAX
必须垂直于子空
间L(

1
,

2
,,

n
)
，而保证这一结论成立的充分必要条件是
(C,

1
)(C,

2
)(C,

n
)0
，
即< br>TT

1
T
C0,

2
C0,,
n
C0
。这组等式相当于
A
T
(BAX)
，亦即
A
T
AXA
T
B
。
这就是最小二乘解所满足的代数方程。


x
1

x

1
例 用最小二乘法解方 程组


x
1


x
1
x2
1
x
3
2
x
2
x
30
2x
2
x
3
1


< br>1
1111



1
解：
A
T
A1012



1


0111



1

10


441

01


，


461

11

113



21

9


1


111 1



2

2


T

AB

1012



1

，

0


0111

1



3




4 41

x
1

2

17134
 
,x,x
解方程组
461x
2
1
，求 得最小二乘解为
x
1

。
23

66 6

113x3

3

§6 酉空间（复内积空间）

1. 酉空间的定义 设
V
是复数域
C上的线性空间。若


,

V
，都有一个复数


,


与
之对应，并且满足下列各个条件，则称复数


,


为向量

,

的内积。


(1)


,

< br>


,


；(2)

k
,


k


,

< br>，
kC
；
(3)




,





,





,


,

V
；
(4)


,


0
，当且仅当

 0
时，等号成立。
此时线性空间
V
称为复内积空间，或酉空间。
例2－9
C
H
n
中向量
X


x
1
,x
2
,

,x
n

，< br>Y


y
1
,y
2
,

, y
n

的内积定义为

X,Y

XY



x
i
y
i
，则
C
n
成为一个酉空间。
i1
n
在酉空间中，内积具有下列基本性质：
(1)


,k


k


,


；(2)


,







,





,


；(3)


,0



0,


0
。
在酉空间中，向量

的长度也定义为

|

|(

,

)

虽然，当
(

,

)0
时也称向量

,

为正交的，但在酉空间中不再定义向量间的夹角，因为
向量的内积一般是复数。又若
XC
n
（见例2－9），则有

|X||x
1
|< br>2
|x
n
|
2

10

2. Cauchy-Schwarz不等式
定理1（Cauchy-Schwarz不等式） 设
V
是酉空间，


,

V
，有


,

< br>



，
并且当且仅当

,

线性相关时等号成立。
证明：若< br>


，结论显然成立。设



。由(

k

,

k

)0
得
(

,

)k(

,

)k(

,

)kk(

,

)0
。
取
k


,


，并用< br>

,


来乘上面不等式的各项，得


,


(

,

)(

,

)(

,

)(

,

)(

,

)(

,

)(

,

)(

,

)0
， < br>或
(

,

)(

,

) (

,

)(

,

)
，即< br>

,






。
如果

,

线性无关，则

k

0
，则
(

k

,

k

)0
，从而


,






。
如果

,

线性相关，例如
k

，则


,




k

,


k


,





对于例2－9的酉空间
C
中的Cauchy-Schwarz不等式为
n

。□
x
1
y
1
x
n
y
n


x
1
x
n
22
y
1
y
n
。
22
注：设
V
是酉空间，则


,

V
，有






。


< br>
(



,



)
(

,

)(

,

)(

,

)(

,

)(
< br>,

)2Re(

,

)(

,

)
因为
Re


,



2


,





，所以



2


2
2








2

2
。
3. 在酉空间中的正交基和标准正交基。
(1) 正交组线性无关；线性无关组可进行正交化。
11

(2) 在
n
维酉空间中，标准正交基
e
1
,e
2
,

,e
n
下的任二向量
x

1
e
1
< br>
2
e
2


n
e
n
，
y

1
e
1


2
e2


n
e
n

的内积可以表示为：
x,y



1

1


2

2


n

n
。
4. 酉空间的酉变换
定义2－11 酉空间
V
的酉变换
T< br>，是保持任二向量内积不变的线性变换，即对任意的

,

V
，都有

T

,T





,


。
定义2－12 若
AC
nn< br>，且
AAAA
HH
E
，则
A
称为酉矩阵。




酉矩阵具有下列基本性质：
(1)
A
行列式的模等于1；



(2)
A
1
A
H
,
1
(A
1
)
H
(A
H
)
1
；
(3)
A
也是酉矩阵；两个
n
维酉矩阵的乘积也是酉矩阵；
(4) A
的每个列（行）向量是单位向量；不同的列（行）向量是酉正交的（在
C
的n
内积定义下正交）。
定理2－7 设
T
是
n
维酉空间
V
的线性变换，则下列各命题互相等价：
(1)
T
是酉变换；







(2)
T
保持向量的长度不变，即

V
，有
T



；
(3) 若
e
1
,e
2
,

,e
n
是
V
的标准正交基，则
Te
1
,Te
2
,

,Te< br>n
也是
V
的标准正交基；
(4)
T
在任一标准正交基下矩阵是酉矩阵。
n
5. 所有的
n
维复内积空间都同构，且都同构于
C
。
§7 正规矩阵



定义2－12 设
AC
nn
，且
AAAA
，则称
A
为正规矩阵。
TH
HH
如：对角矩阵，实对称矩阵，反对称矩阵（
AA
），厄米特矩阵（
A
H< br>A
），反厄
米特矩阵（
AA
），正交矩阵及酉矩阵等都是正规矩 阵。
12

定理2－8
AC
nn
为正规矩 阵

A
酉相似于对角形矩阵，即存在酉矩阵
Q
，使得
< br>
1

H1
QAQQAQ



其中

1
,

2
,

,< br>
n
是
A
的特征值。



2



， 2－11




n

引理 若
e
1< br>是酉空间
C
的一个单位向量，则存在一个以
e
1
为第一个列向 量的酉矩阵
Q
。
证明：因
e
1
为单位向量，所以可以从< br>e
1
开始构造
C
的一个基。经过正交化过程后得到
C
nn
n
的一个标准正交基
e
1
,e
2
,

,e
n
，从而
Q
(
e
1
,
e< br>2
,

,
e
n
)
是酉矩阵。证毕。
定理2－8的证明：充分性。设2－11成立，则有：


1

AQ





2


1




Q
1
，
A
HQ







n
< br>


2



Q
1
，




n




1

1

H
于是有
AAQ








2

2

Q
1
A
H
A
。所以
A
为正规矩阵。




n

n


必要性（数学归纳法）。对于一阶矩阵，定理成立。设定理对
n1
阶矩阵已成立，现证明对
n
阶正规矩阵
A
，定理的结论也成立。
(1) 设

1
是
A
的一个特征值，
e
1
是
A的属于

1
的单位特征向量，
Ae
1

1
e
1
。由引理
1
知，存在酉矩阵
Q
1(e
1
,e
2
,,e
n
)
。由
E Q
1
Q
1
Q
1
e
1
,，Q
1
e
n

11

，知
Q
1
 1
e
1


1,0,

,0

。 于是
T
Q
1
1
AQ
1
Q
1
1

A
e
1
,A
e
2
,
,A
e
n



1
Q
1
1
e
1
,Q
1
1
A
e
2
,

,Q
1
1
A
e
n


1< br>b
1

b
n


0

< br>



1


B

< br>0



0






B


13

(2) 设
A
1
Q
1
1
AQ
1
，验证
A
1
是正规矩阵。
(3) 说明

0
及
B
是正规矩阵。


< br>1
H
A
1
A
1



0< br>


1



B

 
0
H


1

1


1



H
B


H

B
H
B




1

HH


1

1


B



A
1
A
1
H
HH
BB

B

HH
故有

1

1


H


1

1
，从而



及
BBBB
。
(4) 由归纳法，存 在
n1
阶酉矩阵
C
，使得
C
H
BC
< br>diag


2
,

,

n

。

10

设
Q
2


，则
Q
2
及
QQ
1
Q
2
都是< br>n
阶酉矩阵。
0C

(5) 验证
Q
即为所求。
推论1 设
A
是
n
阶正规矩阵，其特征值为

1< br>,

2
,

,

n
，则
1)
A
是Hermite矩阵


1
,

2
,

,

n
全为实数。
2) A
是反Hermite矩阵


1
,

2,

,

n
为零或纯虚数。
3)
A
是酉矩阵

每个特征值的模为1。
推论2 Hermite矩 阵
AC
nn
的两个不同特征值

,

对应的特 征向量
x,yC
正交。
n
§8 Hermite二次型
定义2-13 设
Aa
ij
C

nn
为 Hermite矩阵，
x


x
1
,

, x
n

C
n
，则称
T
f

x< br>
xAx
H
i,j1

a
n
ijx
i
x
j
为Hermite二次型。
A
的秩称为该二次 型的秩。
标准化
定理2-9 Hermite二次型
f

x< br>
xAx
经过满秩线性变换
xCyCC
H

n n
,C0

后，仍为
Hermite二次型，且秩不变。
14

注：称矩阵
BCAC
和矩阵
A
是Hermite相 合的。一个Hermite二次型经过满秩线性
变换
xCy
化成标准型
f< br>
y


H

byy
ii
i1< br>n
i
等价于矩阵
A
与对角矩阵
B

diag

b
1
,

,b
n

Hermi te相合。
定理2-10 每个Hermite二次型
f

x

x
H
Ax
可经过某个酉变换
xQy
（
Q
是酉矩阵）
化成标准型
f

y




yy
ii
i1
n
i
。其中

1
,

2
,

,

n
是
A
的特征值。
例2-10 将
fx
1
x
1
ix
2
x
1
x
3
x
1
ix
1
x
2
2ix
3
x
2
x
1
x
3< br>2ix
2
x
3
化成标准型。
1

1i

解：
Ai02i
，特征值0，3，
2
；相应的 特征向量分别为



12i0



1


2,i,1

T
,

2


i,1,i

T
,

3


0,1,i

T
。

1
,

2
,

3
两两正交，单位化后为
e
1

1
6

1
,e
2

1
3

2
,e
3

1
2

3
。
令< br>Q

e
1
,e
2
,e
3

并作
酉变换
xQy
，得标准型
f3y
2
y
2
2y
3
y
3
。
注意：由定理2-10可知，对每个H ermite二次型
f(X)X
H
AX
，都存在满秩线性
n
XQY
，使其化为标准形
f


i
|y
i< br>|
2
，且系数

i
为
A
的特征值（
i1,2,,n
）。
i1
正定性
H
定义2-14 x0
，Hermite二次型
f

x

xAx ()0
，则称该二次型是正定的（负
定的），这时Hermite矩阵
A
也 称为正定的（负定的）。
若
f
恒为非负（正）数，则
f
叫做半正（ 负）定的，相应地
A
也叫做半正（负）定的。
H
定理2-11 Herm ite二次型
f

x

xAx
为正定（半正定）

A
的特征值全为正数（非
负数）。
15

定理2-12 Hermite矩阵
A
为正定矩阵

存在满秩矩阵
C
，使得
CACE



存在满秩矩阵
B
，使得
ABB

H
H


A
的各阶顺序主子式大于零。
定理6

设
f

x

x
H
Ax
，
g

x

x
H
Bx
，是两个Hermite二次型，且矩阵
B
正定。则
存在满秩线性变换
xCy
，将两个二次型同时化成标准型： < br>f

y




i
y
k< br>,
2
k1
n
g

y
k
。 k1
n
2
这里

1
,

2
,

,

n
是方程

BA0
的根（矩 阵
A
相对于矩阵
B
的广义特征值）。
证明：(1)
C
1
，使得
C
1
H
BC
1
E
。
(2)
DC
1
H
AC
1
是Hermite矩阵 ，存在酉矩阵
C
2
，使得
HH
C
2
DC
2

C
2
C
1
H
AC
1
C
2

diag


1
,

,
< br>n

。
(3) 令
CC
1
C
2
即为所求。
(4) 证明
< br>1
,

2
,

,

n
是方 程

BA0
的根。考虑
C
H


B A

C

C
H
BCC
H
AC




Ediag


1
,,

n

(



1
)(



2
)(



n
)< br>
的根。
16