租房注意事项-党员寄语

第九章 欧氏空间
一、判断题
1、

1
,
2
,,

n
是
n
维欧氏空间的一组基，矩 阵
Aa
ij
矩阵。( )
2、设
V
是一个欧氏空间，< br>
,

V
，并且



nn
，其中
a
ij
(

i
,

j< br>)
，则A是正定

，则



与



正交。( )
3、设
V
是一个欧氏空间，

,

V
,并且
(

,

) 0
，则

,

线性无关。( )
4、n维Euclid空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）
5、若T 是正交变换，则T保持向量的内积不变 （ ）
6、度量矩阵是正定的 （ ）
7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）
8、欧氏空间
V
上的线性变换

是对称变换的充要条件为

关于标准正交基的矩阵为实对称矩
阵。 （ ）
9、设
A
与
B
都是
n
阶正交矩阵，则
AB
也是正交矩阵。
10、在欧氏空间
V
中，若向量
< br>与自身正交，则

0
.( )
11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )
12、若矩阵
A
为正交矩阵，则
A

A
.( )
13、设

是
n
维欧氏空间
V
的正交变换，则

在
V
的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )
14、设V
1
,V
2
是
n
维欧氏空间
V
的两个 正交子空间，且
VV
1
V
2
，则
VV
1V
2
。( )
15、对称矩阵
A
的任意两个特征向量都正交。( )

1

二、填空题
1、在欧氏空间
R
中，向量

(1,0,1)
，

(0,1,0)
，那么
(

,

)
＝_________，
3

＝_________．
2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．
1< br>3、已知
A
是一个正交矩阵，那么
A
＝_________，
A
＝_________．
2

110


4、已知三维欧式空间
V
中有一组基

1
,

2
,

3
，其度量矩阵为
A

120

，则向量

003



2

1
3

2


3
的长度为 。

5、已知A为n阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .
6、欧氏空间
V
上的线性变换

是对称变换的充要条件为

关于标准正交基的矩阵
为 。
7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。
8、设
X

1,1,0,0

,Y

1,0,0,1

,则
X
与
Y
的夹角


.
9、若
A
为正交矩阵，则
A
1
A
；
10、在
n
维欧氏空间
V
中,

三、选择题
1、若线性变换

与

是（ ），则

的象与核都是

的不变子空间。

n级矩阵
A
是
V
的某个基的度量矩阵的充要条件是 .
A.
互逆的
B.
可交换的
C.
不等的 D. 不可换的

2、设
V
是
n
维欧氏空间 ，那么
V
中的元素具有如下性质（ ）


①若
< br>
,





,

< br>



； ②若
③若





；

< br>,


1

3
1
； ④若
(



,



)0< br>，

|

||

|
。
3、欧氏空间
R
中的标准正交基是（ ）
1

11

1
,0,,0,

;

;
< br>0,1,0

1111
2

22

①
2
； ②；
(,,0),(,,0),(0,0,1)

2222

111

111

,,;,,< br>
;

0,0,0

33

③

333

3
； ④

1,1,1

;

1,1,1

;

1,1,1

。
4、设

是欧氏空间
V
的线性变换，那么

是正交变换的充分必要非充分条件是（ ）
①

保持非零向量的夹角； ②

保持内积； ③

保持向量的长度； ④

把标准正交
基映射为标准正交基。
5、
A
为
n
阶正交方阵，则
A. A.为可逆矩阵 B.秩

A

1
C.
A0
D.
A1

6、若两个
n
阶方阵
A,B
是正交矩阵,则
AB
是 ( )
A.对称矩阵 .B.相似矩阵 C.正交矩阵 D.
ABBA

7、下列说法正确的是( ).
A. 实对称矩阵
A
的属于不同特征值的特征向量必正交;
B. 实对称矩阵
A
的属于相同特征值的特征向量必不正交;
C. 实对称矩阵
A
的所有特征向量都正交;
D. 以上都不对.
8、
n(n1)
维欧氏空间的标准正交基( ).

A.不存在 B.存在不唯一; C.存在且唯一 D.不一定存在.

a
11


a
21
9、若
A




a

n1
TT
a
12
a22

a
n2

a
1n



a
2n

是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。




a
nn


(A)
AA AAE
(B)
A1

(C)
a
11
a
12
a
1n
1
(D)
a
11
a
21
a
12
a
22
 a
1n
a
2n
0

10、 若A是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。
(A)
AAAAE
(B)
A1

(C)
A

A
(D)A的列向量组为单位正交向量组.
1
TT
222
四、计算题 < br>1、把向量组

1
(2,1,0)
，

2
(2,0,1)
扩充成
R
中的一组标准正交基.
2、设
< br>1
(1,1,0),
3

2
(1,0,1),

(0,1)
3
,1
是R
3
的一个基，用正交化方法求R< br>3
的一组标准正交基。
3、 设

1
,

2
,

3
为
V
的基，且线性变换A在此基下的矩阵为

111


A

111



111


（1）求A的特征值与特征向量；
（2）
A
是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵
T
使得
TAT
为 对角形．
4、已知R
3
的一组向量
1
=(1,0,0),2
=(1,1,0) ,
3
=(1,1,1)。
（1）证明
1
,
2
,
3
构成R
3
的一个基；
（2）对其施行施密特正交化方法求出R
3
的一个标准正交基。
1

222
5、 已知二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)2x
1
3x
2
3x3
2ax
2
x
3
(a0)
通过正交变换化为标准形
22
，求
a
的值．
fy
1
2
2y
2
5y
3

五、证明题
1、设
A
，
B
为同级正交矩阵，且
A B
，证明：
AB0
．
2、设
A
为半正定矩阵，且
A0
，证明：
AE0
．
3、设

1
,

2
,

,

n
是欧氏空间V的一 个基，

是V中的向量，
证明 若
(

,

j
)0,j1,2,,n
，则

=0
4、设V是一欧氏空间,

0
是V中一固定向量,试证明:
(1)
W{x|(x,

)0,xV}
是V的一个子空间;
(2)
dimWn1
.
5、设是n维欧氏空间V的一个单位向量，定义
()=,
试证明：（1）为线性变换；
（2）为正交变换；
（3）存在V的一个标准正交基，使得关于这个基的矩阵具有形状

1


0





0

0

0


1

0

。



0

1


6、

1
,

2
,

3
是三维欧氏空间
V
的一个标 准正交基，试证：
1.
1

2

1
2

2


3

3
1

2


2

1


2
2
3


3
1

3


1
2

2
2

3

3

1

也是
V
的一个标准正交基。
7、

1
,

2
,


n
,

都是一个欧氏空间的向量,证明:如果

与每一个

i
,
i
1,2,,
n
正交,那么

0
。

< br>
(

1
,

1
)(

1
,

2
)


(

2
,

1
)(

2
,

2
)
8、设

1
,

2
,

,
n
是n维欧氏空间V中的一组向量，而




< br>
(

,

)(

,

)
m2

m1
证明：当且仅当
0
时

1
,

2

,

m
线性无关。


(

1
,

m
)



(

2
,

m
)






(

m
,

m
)

