元旦-高考数学时间

第九章 欧几里得空间（ * * * ）

一、复习指导：在第 九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称
矩阵如何相似对角化，如何求 标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一
个比较重要的内容来复习。

二、考点精讲：

三、首师大真题：
（一）欧氏空间
1.设V 是是数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记为
(

,
)
，
特具有一下性质：
（1）
(

,
)(

,

)
；
（2）
(k< br>
,

)k(

,

)

（3）
(



,

)(

,

)(

,

)
；
（4）
(

,

)0
，当且仅当

=0时
(< br>
,

)
=0.这里

,

,
是V中任意的向量，k是任意
实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。
2 .非负实数
(

,

)
称为向量

的长度 ，记为

。
(

,

)
,0
3.非零向量

,

的夹角

,

规定为

,

arccos
4.如果向量

,

的内积为零，即
(

,

)0
，那么

,

称为正交或互相垂直，记为



。 5.设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基

1,

2,
......,

n
令


,

< br>

a
ij
(

i
,

j
),(i,j1,2,....n)
矩阵
A(a
ij
)
nn
称为基

1,

2,
......,

n
的度量矩阵。
（1）度量矩阵是正定的；
（2）不同基底的度量矩阵是合同的。
6.欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交， 就称为一正交向量组。在n维欧氏空
间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的 正交基称为标准正交基。
（1）施密特正交化
这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.
以3个线性无关向量

1
,

2
,

3
为例.
①令

1
=

1
,


2
=

2
-
(

2
,

1
)

1
,
(

1
,

1
)
(

3
,

1
)(

3
,
2
)


2
.

3
=< br>
3
-
1
-
(

1
,
< br>1
)(

2
,

2
)
此时

1
,

2
,

3
是和

1
,

2
,

3
等价的正交非零向量组.

（二）同构
1.实数域R上欧氏空间V与
v
称为同构，如果由V 到
v
有一个1-1上的映射

，适合
（1）

(



)

(

)

(

)

（2）

(k

)k

(

)

''

（ 3）
(

(

),

(

)) (

,

)
这里

,

 V,kR
，这样的映射

称为V到
v
的同构
映射。
2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。

（三）正交矩阵
1.基本概念
（1）n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果
A
'
AE
。
（2）欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的
'
< br>,

V
都有
(A

,A

) (

,

)

2.主要结论
设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价：
（1）A是正交变换；
（2）A保持向量的长度不变，即对于

V
，
A

< br>
；
（3）如果

1,

2,
..... .,

n
是标准正交基，那么
A

1,
A

2,
......,A

n
也是标准正交基；
（4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

（四）正交子空间
1.基本概念
（1）设
V
1
,V
2
是欧氏空间V 中两个子空间。如果对于任意的

V
1
,

V
2
恒有
(

,

)
=0，
则称
V
1
,V
2
为正交的，记
V
1
V
2。一个向量

，如果对于任意的

V
1
，恒有
(

,

)
=0，则称

与子空间
V< br>1
正交，记为

V
1
。
（2）子空间
V
2
称为子空间的一个正交补，如果
V
1
V
2
，并 且
V
1
V
2
=V。
2.主要结论
（1）如果 子空间
V
1
,.....,V
s
两两正交，那么和
V
1
.....V
s
是直和。
（2）欧氏空间V的每一个子空间
V
1
都有唯一的正交补
V
1
。
（3）
V
1
恰由所有与
V
1
正交的向量组成。

（五）对称矩阵的性质
1.实对称矩阵的性质
（1）实对称矩阵的特征值皆为实数。
（2）设A是n级实对称矩阵，则
R
n
中属于A的不同特征值的特征向量必正交。
（3）对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在 一个n级正交矩阵T，使
T
'
ATT
1
AT
成
对角矩阵。
2.对称矩阵
（1）设A是欧氏空间V中的一个线性变换，如果对于任意的
,

V
，有


(A

,

)(

,A

)
则称A为对称变换。
（2）对称变换的性质
①对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。
②设A是对称变换，
V
1
是A- 子空间，则
V
1

也是A-子空间。
③设A是n维欧氏空间V中的对称变换，则V中存在一组由A得特征向量构成的标准正
交基。
（3）实对称矩阵的对角化
A
是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.

A
的特征值和特征向量有以下特点:
(1) 特征值都是实数.
(2) 对每个特征值,其重数=n-r(
E
-
A
).
(3) 属于不同特征值的特征向量互相正交.
于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.
设
A是实对称矩阵,构造正交矩阵
Q
(使得
QAQ
是对角矩阵)的步骤:
(1)求出
A
的特征值;
(2)对每个特征,求(
E
-
A
)
X
=0的单位正交基础解系,合在一起得到
A
的n个 单位正交的
特征向量;
(3)用它们为列向量构造正交矩阵
Q
.

（六）向量到子空间的距离，最小二乘法
1.长度



称为向量

和

的距离，记为
d(

,

)
，且
（1）
d(

,

)
=
d(

,

)

（2）
d(
< br>,

)0
，当且仅当



时等号成立；
（3）
d(

,

)d(

,

)d(

,

)
（三角不等式）
2.实系数线性方程组
-1

a
11
x
1
a
12
x
2

L
a
1n
x
n
b
1
0


a
21
x
1< br>a
22
x
2

L
a
2n
xn
b
2
0


LLLL

ax
a
n2
x
2

L
a
nnx
n
b
n
0

n11
可能无解，即任何一 组实数
x
1
,x
2
,......x
s
都可能使< br>000

(a
i1
n
i11
xa
i2< br>x
2
......a
is
x
s
b
i< br>)
2
不
00
等于零，寻找实数组
x
1
,x< br>2
,.....,x
s
使上式最小，这样的
x
1
,x
2
,.....,x
s
称为方程组的最小二
乘解。
3.线 性方程组AX=b的最小二乘解即为满足方程组
AAXAb
的解
X
0







''
0