扬州采购-反邪教标语

第九章 欧氏空间

［教学目标］ < br>1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。
2理解正交组、正交基、标 准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧
氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质 ，重
点掌握施密特正交化方法。
3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。
4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换
的几个等价条件。
5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一
性。
6理解对称 变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对
称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实 对称矩阵及实二次型
化为对角形和标准形的方法。
［教学重难点］
欧氏空间的定义 ，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，
正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩 阵及实二次型化
为对角形和标准形的方法。
［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。
［教学时间］18学时。
［教学内容］

欧氏空间的定义和性质，标 准正交基，同构，正交变换，子空间，对
称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法
[ 教学过程]
§1 定义、性质
定义1：设
V
是
R
上的 一个线性空间，在
V
上定义了一个二元实函
数，称为内积，记为
(

,

)
，如果它具有以下性质：
（1）
(
,

)(

,

)

（2）
(k

,

)k(

,

)

（3）
(



,

)(
< br>,

)(

,

)

（4）(

,

)0
当且仅当

0
时< br>(

,

)0
。
这里

,
,

V,kR
，则
V
称为欧几里得空间（简称欧 氏空间）
例1、例2。
练习：
P
394
1（1）。
定义2：非负实数
(

,

)
称为

的 长度，记为


性质：
k

k


单位向量：长度为1的向量。

单位化：



*。
Cauchy
Буняковский不等式：


,

，有

(

,

)


等号成立当且仅当

,

线性相关。
Cauchy
Буняковский不等式的具体例子：在不同内积中，
222 2
a
n
b
1
2
b
2
bn
例1中，
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
a
1
2
a
2

b
例2中，

a

f(x)g(x)dx


f(x)dx


a

nn
b
1
2



g (x)dx




a

b
1
2
（2）中，

a
ij
x
i
y
j

P
394
1、
j1i1

a
j1i 1
nn
ij
x
i
x
j

a
j 1i1
nn
ij
y
i
y
j

定义3： 非零向量

,

的夹角

,

为

,

arccos
(

,

)
，
0

,



。
三角不等式：








定义4：若
(

,

)0
，称

,

正交或垂直，记为

⊥


性质：（1）两个向量正交

,



2

（2）只有零向量才与自身正交，除此之外，任意非零向量均不
能与自身正交。
（3 ）勾股定理：当

⊥

时，







可推广到有限个向量正交的情形：


1


2


m


1


2


m

定义5：度量矩阵
设
V
是数域
F
上的
n
维线性空间，

1
,

2
,

,

n
是它的一组基，


,

V
，有
2222
222

x
1

1
x
2

2


x
n

n

y
1

1
y
2

2


y
n

n
(

,

)

(

i
,

j
)x
i< br>y
j


a
ij
x
i
y
j
，这里
a
ij
(

i
,

j
)

j1i1j1i1
nnnn
由于
(

i
,

j
)(

j
,

i
)
，故
a
ij
a
ji
，令
A
a
ij

nn
，
A

A


y
1


x
1
< br>


x


y

则
(

,

)X

AY
，其中
X

2

，
Y

2

，
< br>



y


x


n


n

则
A
称为基
1
,

2
,

,

n
的度量 矩阵。
性质：不同基的度量矩阵是合同的。
证明：设

1
,
2
,

,

n
是
V
的另一 组基，
(

1
,

2
,,

n
)(

1
,

2
,,

n< br>)
C
，
设
C

c
ij

nn
，则

i


c
li

l
，

j


c
kj

k

l1
n
k1
nn
(

i
,

j
)(

c
li

l
,
c
kj

k
)

(

l
,

k
)c
li
c
kj

l1k1l 1k1
nnn
则
B

(

i
,
j

nn

nn




(

l
,

k
)c
li
c< br>kj

C

AC
。证毕。

l1k 1

nn

0


0

若对


0
，即
X



，有
(

,

)X

AX
>
0
，则称度量矩阵
A
是正


0

 
定的。
练习：
P
394
2；作业：1。

§2 标准正交基
一、标准正交基
1、定义：在
n
维欧氏空间
V
中，由
n
个向量组成的两两正交的向量组
称为正交基，若
n
个向量均是单位向量，则称为标准正交基。
由此可知：有正交基得到标准正交基的方法就是把正交基中的向
量全部单位化。
2、性质：

（1）若

1
,

2
,

,

n
是标准正交基，则有
(
i
,

j
)


1,ij


0,ij
即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，反之也成立。
（2）< br>

V,

x
1

1
x2

2
x
n

n

(

i
,

)x
1
(

i
,
1
)x
i
(

i
,

i
)x
n
(

i
,

n
)x
i

即：

(

1
,

)

1
(

2
,

)

2
(

n
,

)

n
。
若

y
1

1
y2

2
y
n

n
，则
(
,

)(

x
i

i
,

y
j

j
)x
1
y
1
x
2
y
2


x
n
y
n< br>X

Y
。
i1j1
nn
二、标准正交基的求 法：设
V
是数域
F
上的
n
维线性空间任一组线性
无 关的向量均能正交化，任一组正交向量组均能扩充为一组正交基，
然后进行标准化（即单位化）即可。
若

1
,

2
,

,

n
是一组线性无关的向量，令

1


1

2


2


3


3

(

2
,

1
)

1
(

1
,

1
)
(

3
,

1
)(

,

)
1

32

2
(

1
,
< br>1
)(

2
,

2
)

 
(

,

)(

,

)(

n
,

n1
)
< br>n


n

n1

1

n 2

2




n1
(
1
,

1
)(

2
,

2< br>)(

n1
,

n1
)
可验证

1
,

2
,

,

n
两两正交，再单位化，
令

1



1


,

2

2
,

,

n

n
，即为要求的标准正交向量组。

1

2
n
P
369
例；练习：
P
395
7；作业：6，9。
三、由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。
证明：

1
,

2
,

,
n
与

1
,

2
,

,
n
是线性空间
V
的两组标准正交基，

且
(

1
,

2
,,

n
) (

1
,

2
,,

n
)A< br>，
A

a
ij

nn


1,ij

(

i
,

j< br>)


0,ij
因为：

i
a
1i

1
a
2i

2
a
ni< br>
n
，

j
a
1j

1
a
2j

2
a
nj

n


即
(

i
,

j
)a
1i
a
1j
a
2i
a
2j


a
ni
a
nj



1,ij
< br>
0,ij
而
a
1i
a
1j
a
2i
a
2j
a
ni
a
nj
是
A
A
的第
(i,j)
元素，故
A

AE，
即
A
1
A

。
正交矩阵：我们把满 足
A

AE
（或
AA

E
）的矩阵称 为正交矩阵。
四、结论：
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，反之，若两< br>组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而其中一组基为标准正交基，那么
另外一组基也是标准正交基。

§3、同构
一、两个欧氏空间同构
1、定义：
R
上的两个欧氏空间称为同构的，如果存在

:V V

（双射）
满足：


,

V,k R

（1）

(



)

(

)

(

)

（2）
(k

)k

(

)

（3）
(

(

),

(

)) (

,

)

其中，

称为
V
到
V

的同构映射
2、性质：
（1）具有反身性、对称性、传递性。
（2）同构的欧氏空间有相同的维数，反之，有相同维 数的两个欧氏
空间也同构。并且同构的欧氏空间有相同的性质。
因此，以后对一个
n
维欧氏空间
V
，我们只需要研究与它同构的
最简单的欧氏空间
Rn
即可。
例：数域
R
上的
n
维欧氏空间
V< br>，

1
,

2
,

,
< br>n
是
V
的一组标准正交
基，


V,，

x
1

1
x
2

2
x
n

n

作
V
到
Rn
的双射：

(

)(x
1
,x
2
,

,x
n
)R
n

令
V
，设

y
1

1
y
2

2
y
n

n

（1）
(



)

((x
1
y
1
)

1
(x
2
y
2
)

2


(x
n
y
n
)
n
)
(x
1
y
1
,x
2
y2
,

,x
n
y
n
)
(x
1
,x
2
,

,x
n
)(y
1
,y
2
,

,y
n
)


(< br>
)

(

)

（2）
kR


(k

)

(kx
1

1
kx
2

2


kx
n

n
)
(kx
1
,kx2
,

,kx
n
)
k(x
1
,x< br>2
,

,x
n
)
k

(

)

（3）
(

(

),

(

))((x
1
,x
2
,

,x
n
),(y
1
,y
2
,

,y
n
))
x
1
y
1
x
2
y
2


x
n
y
n
(x
1
1
x
2

2


x
n

n
,y
1

1
y
2

2


y
n

n
)
(

,< br>
)

故数域
R
上的
n
维欧氏空间
V
与
R
n
同构。

特别地：由同构关系的传递性知，所有
n
维欧氏空间都同构。

§4 正交变换
一、正交变换
1、定义：设
V
是
n
维欧氏空间，
AM(V)
，若

,

V
，有
(A

,A
)（

，

）

则称
A
是正交变换。
2、等价命题：
A
是正交变换



V
，
A




若

1
,

2
,

,

n
是标准正交
基，则
A

1
,A

2,

,A

n
也是标准正交基

A
在 任意一组标准正交基
下的矩阵是正交矩阵。
3、正交变换的分类：
第一类的正交变换：
A1

第二类的正交变换：
A1

作业：
P
395
11。

§5 子空间
定义1：
V
1
,V
2
是欧氏空间
V
的两个子空间，若对


V
1
,

V
2
恒有
(

,

)0

则称
V
1
,V
2
为正交的，记为
V
1
V
2

1、若对


V
1
，恒有
(

,

)0
，则称

与
V
1
正交，记为

V
2
。
2、若
V
1V
2
，则对


V
1
V
2有

V
1
，

V
2
，