欧几里得空间练习题
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欧几里得空间练习题
一、填空题
1.
与任何向量都正交。
1
2.
设
A
、
B
均为正交矩阵，则
AB
。
3. 若
1
,
2
,
3
,
4
为欧氏空间
V
的一组标准正交基，且
2
1
3
2
6
3
4
，则
。
1
4.
设
A
、
B
均为3阶正交矩阵，则
2AB
。
5. 若
1
,
2
,
3
,
4
为欧氏空间
V
的一组标准正交基，且
1
2
2
3
3
4
，则
。
6. 若
1
,
2
,
3
,
4
为欧氏空间
V
的一组标准正交基，且
12
2
3
3
4
4
，则
。
7. 设欧氏空间的正交变换
在一组标准正交基下的矩阵是
U
，则
U
。
8. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。
1
二、选择题
1.
设
,
是欧氏空间
V
的两个正交变换，则（
） 。
A.
也是正交变换
B.
也是正交变换
C.任意
kR,k
也是正交变换
D.
也是正交变换
2.
设
V
是
n
维欧氏空间 ，那么
V
中的元素具有如下性质（
）。
A．若
,
,
B．若
C．若
,
1
1
D. 若
,
>
0
3. 关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（ ）。
A.
欧氏空间是特殊的线性空间 B .如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间
C.
如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间 D. 线性空间比欧氏空间范围大
4.
设
V
是n维欧氏空间，W是
V
的子空间，则W的正交补的维数等于（
）。
A. dimW B. n-dimW C . n-2dimW
D . 不确定
5. 设u是正交矩阵，则（ ）。
A . u的行列式等于
1 B . u的行列式等于-1
C. u的行列式等于± 1
D . u的行列式等于0
6.
n维欧氏空间
V
上的线性变换
为正交变换的充要条件是（ ）。
A.
在
V
的任一组基下的矩阵都是正交矩阵
B.
在
V
的任一组正交基下的矩阵都是正交矩阵
C.
在
V
的任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵
D.
在
V
的任一组基下的矩阵都是实对称矩阵
7.
设
是n维（n>0）线性空间V的一个对称变换,则下列说法错误的是( )。
A.
的特征值全部为实数 B.
一定可以对角化
C.
关于某一组标准正交基的矩阵是对称矩阵 D.
一定是正交变换
2
三、计算题
1. 设二次型
f<
br>
x
1
,x
2
,x
3
2x1
2
2x
2
2
2x
3
2
2x<
br>1
x
2
2x
1
x
3
2x
2x
3
，用正交线性替换将
二次型化为标准形。
122
2. 设实对称矩阵
A
212
,求正交矩阵
Q
,使得
Q
T
AQ
为对角形矩阵。
221
222
3. 已知二
次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)4x
1<
br>通过正交线性替换
4x
2
4x
3
2x
1
x
2
2x
1
x
3
2x
2
x
3
，
XTY
化成标准形，并写出所做的正交线性替换。
4. 设
1
,
2
,
3
为数域P上线性空间<
br>V
的基，且线性变换
在此基下的矩阵为
111
A
111
。
111<
br>
（1）求
的特征值与特征向量；
（2）
A
是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵
T
使得
TAT
为对角形矩阵
。
注：也可以指出
A
是实对称阵，故
A
可以对角化．另外注意正交
矩阵
T
的取法不唯一。
5.设
1
1
,
2
,
3
为数域P上线性空间
V
的基，且线性
变换
在此基下的矩阵为
011
A
101
。
110
（1）求
的特征值与特征向量；
（2）
A
是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵
T
使得
T
AT
为对角形。
1
3
四、证明题
1. 证明:欧氏空间
V
上的对称变换的属于不同特征值的特征向量是正交的.
2. 设
是欧氏空间
V
的一个线性变换，证明以下两个命题等价:
（1）
是正交变换。
（2） 若
1
,
2
,,
n
是
V
的标准正交基，那么
1
,
2
,
基。
3.设
<
br>是欧氏空间
V
的一个线性变换，证明
是正交变换的充分必要条件是若
,
n
也是
V
的标准正交
1
,
2
,,
n
是
V
的标准正交基，那
么
1
,
2
,,
n
也
是
V
的标准正交基。
3.
设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵
T，使得
T
1
ATB
的充分必要条件是
A，B有相同的特征值。
4. 设
是
n
维欧氏空间V的一个对称变换，且
，证明存在V的一组标准正交基使
2
1
1
。
得
关于这个基的矩阵有形状
0
0
4