正交矩阵的对角线元素
工作经历-幼儿园小班个人工作总结
正交矩阵的对角线元素
L.米尔斯基，英国谢菲尔德大学
1.
下面出现的所有数字均被认为是实数，用
表示
来
之中全部负
数的个数.通过一点我们可以构造一个为
线性空间.一个正交矩阵被称为特正交矩阵或非正常正交阵，是
依据
它的行列式的值是+1还是-1.所有矩阵被认为是矩阵.
以下引人关注的结论由A.
Horn([1] 定理8)创立.
定理1
数字是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当
的点的复包线上. 位于有偶数个负坐标的形如<
br>以上定理说明的对象是从这个结果中获得一个有效的标准，来判
断给定的个数是否是特正交矩阵的
对角线元素.实际上，我们有以下
结论：
定理2
数字
要条件是
(1)
是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必
(2)
其中被赋值为1或0是根据
Horn([1]
定理9)得出定理2是在当
以及当N(
是偶数还是奇数.
全是非负的情况下，
)是偶数时；此外，在所有情况下,条件1和条件2
的必要性包含在他的论据中([1]
p.627).上面给出的证明结合了不
同的理论.
我们注意到定理2的2个结果.
推论1
数字
要条件是
(1)
是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必
(2)
其中被赋值为1或0是根据N)是偶数还是奇数
推论2
数字是特正交矩阵的对角线元素，同时也是非
正常正交阵的对角线元素的充分必要条件是
(1)
(2)
很明显，推论2由
定理2和推论1得出，推论1由定理2得出，
凭借的事实是是非正常正交阵的对角线元素当且仅当
是特正交矩阵的对角线元素.
我对他提供有用意见表示感谢.
2.
这里我们将需要一些初步的结果
引理1
对任意数字
()
，我们有
最大数在所有中产生,=
()
(3) 最大数在所有中产生,=
首先，我们
同样，根据
可得
≥0或<0把赋值为+1或-1
这证明了(1).下面有
如果满足(3),对于符合条件≤0的，我们有
再次，根据<0或者是≥0把赋值为+1或-1，对于那些
的，根据
我们有
≥0或者是<0把赋值为+1或-1，那么(3)得到满足，
显然，()式得证.
推论2 令, .
位于点
有
的复包线上当且仅当，对任何数字.我们
很明显的，这一结果表明了事实位于
没有超平面可以把P从所有
入的细节，请参看([2] pp.23-24)
作为定理1和引理2的导出结果，我们有
的复包线上当且仅当
中分开.对这个标准结果的更深
推论3
数字
于任何数字
(4)
(5)
是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当对
我们能找到数字
,
3.
现在我们对定理2进行证明.首先假设数字
一个特正交矩阵的对角
线元素，条件(1)显然满足，用形如
(6) ,
是
然
后，满足(4)的合适的,关系(5)是有效的.由于=1，至少有一
个值.因此
(7)
其中数列的最大数满足(6)式
如果
如果
是奇数，或
是偶数.
由推论1，这个最大数等于
这个最大
数等于
由(7)式可知，推论(2)是成立的.这证明了(1)和(2)的必要性.
下面，假设(1)和(2)以给出.令
显有：
(8)
为任何值
由(1)我们明
现在，假设
的,我们有
(9)
是奇数，是偶数.对满足
当
,都是奇数时，这种不平衡显然存在.
,
是奇数时
利用(9)(1)和(2).我们推断，当
因此，有式子(8)可知，我们有满足任何值的
(10)
但是，由引理1，选取适合条件(4)的数字
这样(10)式的右边就等于
是有可能的，
从而，选取同时满足(4)和(5)的数字
所述是特正交矩阵的对角线元素
参考文献
是可能的，如推论3
[1]
A. Horn, Doubly
stochastic matrices and the diagonal of
a
rotation matrix, Amer. J. Math. vol. 76, 1954, pp.
620-630.
[2] T. Bonnesen and l,Theorie der
konvexen
Korper,Berlin,1934