浅谈正交矩阵的求法
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浅谈正交矩阵的求法
作者：管茂年
来源：《新课程·教研版》2010年第24期
1.引言
矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变
换理论中起着
十分重要的作用.正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优
化
理论、计算方法、信息分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两种正交矩阵的求法：第一种
是用施密特正交化求一个正交矩阵，说明了具体的解题步骤，并举例说明；第二种是利用合同
变换求一个
正交矩阵，对其中用的重要定理、引理进行了证明，说明了这种方法的具体求解过
程，并举例说明.
定义1.1n阶实矩阵A，若满足A′A=E，则称A为正交矩阵.
2.用施密特正交化方法求正交矩阵
关于化实对称矩阵A为对角形的讨论，大部分教
科书中，都采用施密特正交化的方法求
出正交矩阵T，按常规是分三步进行：
（1）求λE-A的全部不同的特征根λ1，λ2，…，λ1它们都是A的特征根.
（2）对每个特征根λ，解齐次线性方程组（αiE-A）X=0，求出它的一个基础解系：αi1，
α
i2，…，αiki（1），对（1）施用施密特正交化得：βi1，βi2，…，βiki（2），再把（2）
单位
化，得：ηi1，ηi2，…，ηiki（3）
（3）以ηi1，ηi2，…，ηiki为列向量的矩阵T就是所求的正交矩阵.
例1.设矩阵A=1 2 22 1 22 2 1，求一个正交矩阵T，使得T′AT成为对角矩阵.
解：λE-A=（λ+1）2（λ-5）特征值是-1（二重）和5
把特征值-1代入齐次方程组
（λ-1）x1-2x2-2x3=0-2x1+（λ
-1）x2-2x3=0-2x1-2x2+（λ-1）x3=0
得到-2x1-2x2-2x3=0-2x1-2x2-2x3=0-2x1-2x2-2x3=0