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教学目标：1.理解二次函数的概念；
2.能够表示简单变量之间的二次函数的关系。
知识回顾
：
1、正比例函数的表达式为 一次函数
反比例函数表达式为 。
2、某果园有100棵橙 子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高
产量，但是如果多种树，那么树之间 的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验
估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子 。请问种多少棵树才能达到30000
个的总产量？你能解决这个问题吗？
（请列出方程，不用计算）
新知探究：
3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平 均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高
产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树 所接受的阳光就会减少。根据经验
估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个
橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
知识运用：

4.做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是 说，利率是一个变量．在我国利率
的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存．如果 存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考
虑利息税)．
Y=________________________________
5、总结归纳
（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？
（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？
（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。
【归纳总结】一般地，形如 （其中 均为常数 ≠0）
的函数叫做 。
你能举出类似的例子吗？
巩固练习
P30页随堂练习 1 2
布置作业 习题2.1

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2.2二次函数的图像与性质1
一、教学目标
(一)知识与技能
1．能够利用描点法作出函数y=x2
的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x
2
的性
质．
2．猜想并能作出y=-x
2
的图象，能比较它与y=x
2
的图象的异同．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数y＝x
2
的图象 的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性
质的经验．
2．由函数y=x
2
的图象及性质，对比地学习y＝-x
2
的图象及性质，并能比较出它们的
异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理
解．
2． 在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能
够从多个角度看问题，进 而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数y＝±x
2
的图象，并根据 图象认识和理解二次函数y＝±x
2
的性
质。
教学难点：由y=x
2
的图象及性质对比地学习y＝-x
2
的图象及性质，并能比较出它们
的异同 点。
三、教学过程分析
1、情境引入
寻找生活中的抛物线
活动目的：
通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以
激发学生的 求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。
2、温故知新
复习：(1)二次函 数的概念，（2）画函数的图象的主要步
骤，（3）根据函数y=x
2
列表
3、合作学习（探究二次函数y＝±x
2
的图象和性质）
活动内容：
1. 用描点法画二次函数y=x
2
的图象，并与同桌交流。
2. 观察图象，探索二次函数y=x
2
的性质，提出问题：
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0
呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？
你是如何知道的？
3 .二次函数
y
=－
x
2
的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象

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4.它与二次函 数
y
=
x
2
的图象有什么关系？与同伴进行交流。
5.说 说二次函数
y
=－
x
2
的图象有哪些性质？与同伴交流。
4、 练习与提高
活动内容：
m
2
2m
y(m1)x
1、已知函数 是关于
x
的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，
这时当
x
为何值时，
y
随
x
的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值
y
是多少？
这时当
x
为何值时，
y
随
x
的增大而减小？
2、已知点A(1，
a
)在抛物线y=x
2
上。
（1）求A的坐标；
（2）在
x
轴上是否存在点P，使得△OAP
是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明
A
理由。
与同伴进行交流.
o
活动目的：
1.对本节知识进行巩固练习。
2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳
入知识系统。
3.培养学生整合知识的能力。。
yx
2
6、课堂小结
活动内容：
小结：二次函数y=± x
2
的性质
根据图形填表：




yx
2
抛物线
y
=
x
2
y
=－
x
2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
6、 布置作业
P34 习题2.2 1,2题

x

2.2二次函数的图像与性质2

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二、教学目标
知识与技能
1.能作出二次函数
yax
2
和
yax
2
c
的图象，并能够比较它们与二次函数
yax
2
的
图象的异同，理解
a
与
c
对二次函数 图象的影响。
2.能说出二次函数
yax
2
和
yax
2
c
图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
过程与方法
经历探索二次函 数
yax
2
和
yax
2
c
的图象的作法和性 质的过程，进一步获得将表
格、表达式、图象三者联系起来的经验。
情感态度与价值观 体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数
学学习活动，对 数学有好奇心和求知欲。
教学重点：
yax
2
和
yax
2
c
图象的作法和性质
教学难点：能够比较
yax
2
、
yax
2
和
yax
2
c
的图象的异同， 理解
a
与
c
对二次
函数图象的影响。
三、教学过程
第一环节 情境创设
活动内容：
1.二次函数y＝x
2
与y= -x
2
的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？
2.二次函数是否只有y＝x< br>2
与y＝-x
2
这两种呢?有没有其他形式的二次函数？
第二环节 做一做
活动内容：
1.在同一坐标系中作二次函数y=x
2
和y=2x
2
的图象．
(1)完成下表：
x
y=x
2

y=2x
2

…
…
…
－3 －2
9
18
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
33
9
18
…
…
…

(2)分别作出二次函数y=x
2
和y=2x
2
的图象．
(3)二次函数y＝2x
2
的图象是什么形状?它与二次函数y=x
2
的图象 有什么相同和不同?
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
第三环节 议一议
活动内容：
1.在同一直角坐标系内作出函数y＝2x
2
与y＝2x
2
+1的图象，并比较它们的性质．
2.在同一直角坐标系内作出函数y＝3x
2
与y＝3x
2
-1的图象，并比较它们的性质．
活动目的：对二次函数性质 的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（
a
相同）的平

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移关系，培养学生的动态思维。
实际教学效果：学生通过观察图象，发现两个图象 是“全等的”，开口方向、对称轴
都是一样的，只是顶点不一样，向上移动了1格。有几个思维活跃的学 生马上就开始探索
移动的原因，发现y＝2x
2
+1比y＝2x
2
的 y值多1，就向上移动了一格；这时，教师可以
拓展一下：如果减1呢，结果会怎样？减2呢？这样就把 第二个问题也解决了。在老师的
引导下，学生可以总结出这样的发现：y＝ax
2
+c 的图象可以看成y=ax
2
的图象整体上下移
动得到的，当c>0时,向上移动│c│ 个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。
第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结：
1.作二次函数图象的步骤：列表、描点、连线。
2. 快速、准确的说出
yax
2
和
yax
2
c
图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
3. y＝ax
2
+c的图象可 以看成y=ax
2
的图象整体上下移动得到的，当c>0时,向上移动
│c│个单位， 当c<0时，向下移动│c│个单位。
活动目的：帮助学生归纳二次函数的性质。
实际教学 效果：学生学习这节课是先动手，后操作，因此体会很深，对于作二次函
数图象的步骤与归纳二次函数的 性质，都得心应手。
第五环节 布置作业
1.完成课本36页习题2.3
2.函数y＝5x
2
的图象在对称轴哪侧?y随着x的增大怎样变化?
3. 函数y＝－5x
2
有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少：

有利于训练学生的归纳能力。








2.2二次函数的图像与性质3
一、教学目标
知识与技能
1．能够作出y=a(x-h)
2
和y=a(x-h)
2
+k的图象，并能够理解它与y=ax
2
的图象的关系，
理解a,h和k对 二次函数图像的影响。

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2．能正确说出y=a(x-h)
2
+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
1．经历探索二次函数y=a(x-h)
2
+k的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数 学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步
形成积极参与数学活动的意识。 教学难点：理解y=a(x-h)
2
和y=a(x-h)
2
+k的图象与 y=ax
2
的图象的关系，理解a
、
h和
k对二次函数图像的影响。
2222
教学重点：y=a(x-h)和y=a(x-h)+k与y=ax的图象的关系，y= a(x-h)+k的图象性质
三、教学过程
第一环节 复习引入
提出问题，让学生讨论交流
二次函数y=3（x－1）
2
+2的图象是什么 形状？它与我们已经作过的二次函数的图象
有什么关系？
第二环节 合作探究
1．做一做
（1）完成下表，并比较3x
2
与3（x－1）
2的值，它们之间有什么关系？
x

3
x
2

3(
x
-1)
2

-3


-2


-1


0


1


2


3


4


(2)在同一坐标系中作出二次函数
y
=3x
2
和
y
=3(
x
-1)
2
的图象．
(3)函数
y
=3(
x
-1)
2
的图象与
y
=3
x
2
的图象有什么关系?它是轴对
称图形吗?它的对称轴和顶 点坐标分别是什么?
(4)
x
取哪些值时,函数
y
=3
(x
-1)
2
的值随
x
值的增大而增大?
x
2取哪些值时,函数
y
=3(
x
-1)的值随
x
的增大而 减少？
（5）想一想,在同一坐标系中作二次函数
y
=3(
x
+ 1)
2
的图象,会
在什么位置?
2．议一议
（1）在上面 的坐标系中作出二次函数
y
=3(
x
+1)
2
的图象.它与 二次函数
y
=3
x
2
和
y
=3(
x
-1)
2
的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（2） x取哪些值时,函数y=3(x+1)
2
的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数
y=3(x+1)
2
的值随x的增大而减少？
（3） 猜一猜,函数
y
=-3(
x
-1)
2
,
y
=-3(
x
+1)
2
和
y
=-3
x
2
的图象的位置和形状.
（4）请你总结二 次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2的图象和性质.
2
总结二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
y
=
a
(
x
-
h
)
2
(
a
>0)
（h，0）
直线x＝h
y
=
a
(
x
-
h
)
2
(
a
＜0)
（h，0）
直线x＝h

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位置
开口方向
在x轴的上方（除顶点外）
向上
在x轴的下方（除顶点外）
向下
在对称轴的左侧,
y
随着
x
的增在对称轴的左侧,
y
随着
x
的增大
增减性 大而减小. 在对称轴的右侧,
y
而增大. 在对称轴的右侧,
y
随
随着
x
的增大而增大. 着
x
的增大而减小.
最值
开口大小
当x＝h时，最小值为0 当x＝h时，最大值为0
|a|越大，开口越小
3．想一想
（1）在同一坐标系中作出二次函数
y
=3
x
²,
y
=3(
x
-1)
2
和
y
=3(
x
-1)
2
+2的图象.
（2）二次 函数
y
=3
x
²,
y
=3(
x
-1)2
和
y
=3(
x
-1)
2
+2的图象有什么关 系?它们的开口方向,对称
轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
二次函数
y< br>=
a
(
x
-
h
)²+
k
与
y
=
ax
²的关系
 一般地,由
y
=
ax
²的图象便可得到二次函数
y=a< br>(
x
-
h
)²+
k
的图象:
y
=< br>a
(
x
-
h
)²+
k
(
a
≠0) 的图象可以看成
y
=
ax
²的图象先沿
x
轴整体< br>左(右)平移|
h
|个单位(当
h
>0时,向右平移;当
h< br><0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)
平移|
k
|个单位 (当
k
>0时向上平移;当
k
<0时,向下平移)得到的.
 因 此,二次函数
y=a(x-h)²+k
的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐< br>标与
a,h,k
的值有关.
总结二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
＋k的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
y
=
a
(
x< br>-
h
)
2
＋k (
a
>0)
（h，k）
直线x＝h
由h和k的符号确定
向上
y
=
a
(
x
-
h
)
2
＋k (
a
＜0)
（h，k）
直线x＝h
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的 左侧,
y
随着
x
的增在对称轴的左侧,
y
随着
x< br>的增大
增减性 大而减小. 在对称轴的右侧,
y
而增大. 在对称轴的右侧,
y
随
随着
x
的增大而增大. 着
x
的增大而减小.
最值 当x＝h时，最小值为k 当x＝h时，最大值为k

第三环节 练习提高
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:

1
1
2
2

1

.y2
x3

,

2

.y
< br>x1

5.

2
3
22
2.(1)二次 函数y=3(x+1)的图象与二次函数y=3x的图象有什么关系?它是轴对称图
形吗?它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?

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(2 )二次函数y=-3(x-2)
2
+4的图象与二次函数y=-3x
2
的图象 有什么关系?
（3）对于二次函数y=3(x+1)
2
,当x取哪些值时,y的值 随x值的增大而增大?当x取哪些
值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)
2
+4呢?
第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。
活动目的：鼓励学生结合本节课的 学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师
给予鼓励）包括二次函数图象的制作，函数图象性质的总 结归纳。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。
第五环节 布置作业
P39 习题2.4














2.2二次函数的图像与性质4
教学目标
2
1、经历探索二次函数
yaxbxc
的图象的作法和性质的过程
2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题
教学重点和难点
2
重点：二次函数
yaxbxc
的图象的作法和性质

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2
难点：理解二次函数
yaxbxc
的图象的性质
教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我 们把一个二次函数通过配方化成顶点式
ya(xh)k
来研究了二次函数中的a、
h、k对二次函数图象的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。这节课，我
们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。
➢
师生共同研究形成概念

复习旧知识

2
|a|
越大，开口越小；
|a|
越小，开口越大
当
a0
时，抛物线的开口向上；当
a0
时，抛物线的开口向下；
当
c0
时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；当
c0
时，抛物 线与y轴的交点在原点的下方。

ya(xh)
2
k

开口方向
向上
向下
对称轴
直线
xh

顶点坐标
（h，k）
a0

a0


平移：左加右减 对称轴、顶点坐标：前相反，后相同
推导二次函数< br>yax
2
bxc
图象的对称轴和顶点坐标公式

4acb
2
b
b
对称轴：直线
x
顶点坐标：（

，）
4a
2a
2a
讲解例题

书本P39
分析：这是二次函数的具体应用，让学生体会对称轴、顶点坐标的在实际问题中的意义。
➢
随堂练习

书本 P 41 随堂练习
➢
小结

2
二次函数
yaxbxc
图象的对称轴和顶点坐标公式。
➢
作业
书本 P 41 习题2.5

2.3 确定二次函数的表达式
一、教学目标
知识与技能
1．通过运用解析式、列表、画 图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二
次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚 实的基础。
2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二
次函数。
3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。

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过程与方法
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．让学生 在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力
和归纳总结的能力。
情感态度与价值观
在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基
础
教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基
础
三、教学过程分析
第一环节 解决问题
活动内容：
1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm
2
. y随x的而变
化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：
（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?
（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
3．问题二：两个数相差2,设其中较大的 一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变
化而变化的?
（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
（2）自变量x的取值范围是什么?
（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?
（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
第二环节 课堂小结
活动内容：
1．二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.
表示
表达式
表格
图象
优点
变量间关系简捷明了,便于分析计
算.
能直接得到某些具体的对应值
直观表示了变量间变化过程和变化
趋势.
缺点
需要通过计算,才能得到所需
结果
不能反映函数整体的变化情况
函数值只能是近似值
关系
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在 表达式和表
格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.

2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。

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第三环节 布置作业
（1）P43习题2.6第
小组合作讨论更具实效性。
2.4二次函数的应用1
一、教学目标
(一)知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函
数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)过程与方法
1．通过分析和表示 不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分
析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感态度与价值观
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利 用数学方法解决
实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与 人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和
学好数学的信心，具有初步的创新精神和实 践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数 学方法解决
实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分 析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二
次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数
的有关知识解决最大面积的问题．
三、教学过程分析
第一环节 创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次 函数的
最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，
明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用
我们所学过的数 学知识，逐步得到问题的解答过程．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．
活动内容：由四个实际问题构成
1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形
ABCD
，其中
AB
和
AD
分
别在两直角边上．

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(1)设长方形的一边
AB
＝
x
m，那么
AD
边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为
y
m
2
，当
x
取何值时，
y
的值最大？最大值是多少？
下面请小组开始讨论并写出解题步骤．
(1)∵BC∥AD，
EBBC
∴△EBC∽△EAF．∴．

EAAF
又
AB
＝
x
，
BE
＝40－
x
，
40xBC3
∴．∴
BC
＝(40－
x
)．

40304
33
∴
AD
＝
BC
＝(40－
x
)＝30－
x
．
44
33
(2)
y
＝
AB
·
AD
＝
x
(30－
x
)＝－
x
2
＋30
x

44
3
＝－(
x
2
－40
x
＋400－400)
4
3
＝－(
x
2
－40
x
＋400)＋300
4
3
＝－(
x
－20)
2
＋300．
4
当
x
＝20时，
y
最大
＝300．
即 当
x
取20m时，
y
的值最大，最大值是300m
2
．
2．问题二：将问题一变式：“设
AD
边的长为
x
m，则问题会怎样呢？”
解：∵
DC
∥
AB
，
∴△
FDC
∽△
FAE
．
DCFD

∴．
AEFA
∵
AD
＝
x< br>，
FD
＝30－
x
．
DC30x

∴．
4030
4
∴
DC
＝(30－
x
)．
3
4
∴
AB
＝
DC
＝(30－
x
)． 3
4
y
＝
AB
·
AD
＝
x
· (30－
x
)
3

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4
＝－
x
2
＋40
x

34
＝－(
x
2
－30
x
＋225－225)
3
4
＝－(
x
－15)
2
＋300．
3
当
x
＝15时，
y
最大
＝300．
即 当
AD
的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m
2
．
3．问题三：对问题一再变式
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A 和点D分别在两直角边
上,BC在斜边上.
M
B
30
A
m
C
O
D
40m
N

(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
4．问题四：
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总
长(图中所有黑线 的长度和)为15m．当
x
等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到
0.01m )？此时，窗户的面积是多少？

分析：
x
为半圆的半径，也是矩形的较长 边，因此
x
与半圆面积和矩形面积都有关系．要

求透过窗户的光线最多，也 就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2
xy
＋
x
2
最大，而由2
11
157x

x
2
于4
y
＋ 4
x
＋3
x
＋
πx
＝7
x
＋4
y
＋
πx
＝15，所以
y
＝．面积
S
＝
πx
＋2
xy
＝
422
1
x(157x

x)
157x

x
πx
2
＋2
x
·＝
πx
2
＋＝－3.5
x
2
＋7.5
x
，这 时已经转化为数学
2
42
问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即 可．
解：∵7
x
＋4
y
＋
πx
＝15，

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157x

x
．
4
设窗户的面积是
S
(m
2
)，则
1
S
＝
πx
2
＋2
xy

21
157x

x
＝
πx
2
＋2
x
·
24
1
x(157x

x)
＝
π x
2
＋
2
2
2
＝－3.5
x
＋7.5
x

15
＝－3.5(
x
2
－
x
)
7
151575
＝－3.5(
x
－)
2
＋．
14392
15
∴当
x
＝≈1.07时，
14
1575
S
最大
＝≈4.02．
392
即当
x
≈1.07m时，
S
最大
≈4.02m
2
，此时 ，窗户通过的光线最多．
第二环节 归纳升华
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
第三环节 课堂练习，活动探究
活动内容：
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹 篱笆
围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多
少米时, 养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ =PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同
一直线l上，当C、Q两点重合时，
B
A
等腰△PQR以1cms的速度沿直线
l向左方向开始匀速运动，ts后正
P
方形与等腰三角形重合部分面积
M
2
为Scm，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
D Q C R
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，
并求S的最大值。

第四环节 课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增 强了应用数学知识
的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数 学
∴
y
＝

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知识的应用价值．

第五环节 课后作业
习题2．8


















2.4二次函数的应用2
一、教学目标
(一)知识与技能
1、 经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题
的数学模型，并感受数学 的应用价值。

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2、能 够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求
出实际问题的最大(小)值 ，发展解决问题的能力。
(二)过程与方法
经历销售中最大利润问题的探 究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人
类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实 际问题的能力。
(三)情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数
学的信心。
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和
发展人类理性精神 的作用。
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数
的 知识求出实际问题的最值
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次 函数
的知识求出实际问题的最值
三、教学过程
第一环节 复习回顾
活动内容：
1．复习二次函数y＝ax
2
+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。
2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售
额
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：（有关利润的问题）
某商店 经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单
价满足如下关系：在一段 时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1
元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为 ；(2)销售额可以表示为 ；
(3)所获利润可以表示为 ；
(4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ．
这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，
并把这些关系用数学的语言表示出来。
设销售单价为x元，则与原先的单价相比，降低了(13.5- x)元，而每降低1元，可多
售出200件，降低了(13.5-x)元，则可多售出200(13.5 -x)件，因此共售出500+200(13.5-x)
件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x- 2.5)[500+200(13.5-x)]。
经过分析之后，上面的4个问题就可以解决了。
(1)销售量可以表示为500+200(13.5-x)=3200—200x。
(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x
2
。
(3)所获利润可以表示为(3200x-200x
2
)-2.5(3200-200x)＝- 200x
2
+3700x-8000。
(4)设总利润为y元，则
3718225
y＝-200x
2
+3700x-8000=-200(x-
)
2

.
42
∵-200＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值。

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3718225
＝9.25元时，y
最大
= =9112.5元.
42
即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112．5元．
第三环节 巩固练习
活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）
1．本 章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)
与橙子总产量y(个 )的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝
-5x
2
+ 100x+60000。
当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？ 你是怎
么做的？与同伴进行交流。
实际教学效果：
大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。
y＝-5x
2
+100x +60000＝-5(x
2
-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2
+60500。
当x=10时，y
最大
=60500。
2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
第四环节 实践应用
活动内容：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么 半个月内可以售
出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元 ，
销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x
2
+1400x-20000
＝-20(x-35)
2
+4500。
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
第五环节 课堂小结
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过
程，体会了二次函数是 一类最优化问题的数学模型，并感
受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题 中变量之间的二次函数关
系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，
提高解决 问题的能力。
第六环节 课后作业
习题2．9


当x＝

2.5二次函数与一元二次方程1
二、教学目标
知识与技能：
1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 ，及

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满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；
过程与方法： 1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一
步培养学生的数 形结合思想．
2．理解一元二次方程ax
2
+bx+c=h的根就是二次函数y= ax
2
+bx+c 与直线y=h（h是
实数）图象交点的横坐标。
情感态度与价值观：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联
系； 2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结
论的确定性。
教学重点：
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满 足
什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
教学难点：
理 解一元二次方程ax
2
+bx+c=h的根就是二次函数y=ax
2
+bx+ c 与直线y=h（h是实数）
图象交点的横坐标
三、教学过程分析
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. y=ax
2
+bx+c (a ,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。
它的对称轴是 直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax
2
+ bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h)
2
+

k交
点式：y = a(x-x
1
)(x-x
2
)
3. 抛物线y = x
2
+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是
___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为
_______________ 。
第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动 时间
t(s)的关系可用公式h=-5t
2
+v
0
t+h
0
表示, 其中h
0
(m) 是
抛出时的高度, v
0
(ms)是抛出时的速度. 一个小球从地
面以40ms的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与
运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) 图象上每个点

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的横、纵坐标含义是什么？
(2) h和t的关系式是什么？
（3）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
2．分别求 出二次函数y=x
2
+2x,y=x
2
-2x+1,y=x
2
-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速
作出草图.
思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.



y=x-2x
y=x
y=x-2x




（1）观察下列二次函数y=x
2
+2x,y=x
2
-2x+1,y=x< br>2
-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个
交点？
(2) 一元二次方程x
2
+2x=0, x
2
-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x
2
-2x+2=0 有
根吗?
(3)说说二次函数y=ax
2
+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax
2
+bx+c=0的根
有什么关系?
3．归纳整理:
a.二次函数y=ax
2
+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.b.当二次函数y =ax
2
+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当
y=0时自变量x的 值, 即一元二次方程ax
2
+bx+c=0的根.
c.完成下列表格，观察二次函 数y=ax
2
+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程
ax
2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?
二次函数y=ax
2
+bx+c的
图象和x轴交点
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0的根
一元二次方程
a x
2
+bx+c=0根的判别式
Δ=b
2
-4ac
有两个相异的实数根
b
2
-4ac > 0

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有两个相等的实数根

b
2
-4ac = 0
b
2
-4ac ＜0
第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
【例】 一个足球被从地面向上 踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t
2
＋19.6t
来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是多少？
（2）t为何值时，h最大？
（3）经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t
2
＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
（5）方程14.7=－4.9t
2
＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
解：（1）t=1时，h=14.7
(2)∵h=－4.9(t-2)
2
+19.6 ∴当t=2时，h最大（3）对于h=－4．9t
2
＋19．6t 球
落地表示h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，
解得t
1
=0（舍去），t
2
=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一：解方程 0=－4.9t
2
＋19.6t 得t=0, t=4
根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一：解方程 14.7=－4.9t
2
＋19.6t 得t=1, t=3
方法二：图象法， 过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，
再分别过交点作x轴的垂线， 找出两个垂足的横坐标即可。
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒
第四环节 开拓创新，试一试
活动内容：
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?

第五环节 放开手脚，做一做
活动内容：
例: 已知二次函数y=kx
2
－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么?
错解：由△=（－7）2
－4×k×（－7）=49＋28k＞0，

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7
．
4
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
得k＞－
∴△=（－7）
2
－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
7
，
4
7
故k≥－ 且k≠0
4
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0．
第六环节 布置作业
p42习题2.10
得k≥－









2.5二次函数与一元二次方程2
一、教学目标
知识与技能
1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax
2
+bx+c=0的根；
2．巩固理解一元二次方程ax
2
+bx+c=h的根就是二次函数y=ax
2
+bx+c 与直线y=h（h
是实数）图象交点的横坐标．
过程与方法
1．经历一元二次方程ax
2
+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程ax
2
+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。

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情感态度与价值观
1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联
系．
三、教学过程
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
-
1
1
-
1. 抛物线y=ax
2
＋bx＋c 经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线
1
的表达式___________________ .
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax
2
＋bx＋c经过 象限．3. 在
平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满< br>足y=－x
2
＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高 度是_____？
（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax2
+bx+c=0的根就是二次函数y=ax
2
+bx+c的图象抛物线与直线_ _______
交点的________坐标。
5.一元二次方程ax
2
+ bx+c=h的根就是二次函数y=ax
2
+bx+c的图象抛物线与直线
_____ ____交点的_________坐标 .
第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x
2
+2x-10=0的
根吗？
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x
2
+2x-10的图象(2) 观察估计二
次函数y=x
2
+2x-10的图象与
x轴的交点的横坐标；由 图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,
另一个在2与3之间,分别约为- 4.3和2.3.(3) 确定方程x
2
+2x-10=0的解;由此可知,方
程x< br>2
+2x-10=0的近似根为:
x
1
≈-4.3,x
2
≈2.3
第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
利用二次函数的图象求一元二次方程x
2
+2x-10=3的近似根.
(1) 用描点法作二次函数y=x
2
+2x-10的图象

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(2) 作直线y=3；(3) 观察估计抛物线y=x
2
+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可
知,它 们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,
另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 确定方程x
2
+2x-10=3的解;由此可知,方程x
2
+2x-10=3的近似根为:
x
1
≈-4.7,x
2
≈2.7
附创新解法2：
(1) 原方程可变形为x
2
+2x-13=0；(2) 用描点法作二次函数y=x
2
+2x-13的图象(3) 观察估
计抛物线y=x2
+2x-13和x轴的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一
个在- 5与-4之
间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。
(4) 确定方程x< br>2
+2x-10=3的解;由此可知,方程x
2
+2x-10=3的近似根为:
x
1
≈-4.7 ，x
2
≈2.7
第四环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
利用二次函数的图象求一元二次方程
-2x
2
+4x+1=0的近似根分析解答：
1)用描点法作二次函数y=-2x
2
+4x+1的图象；2)观察
估计二次函数y=-2x
2
+4x+1的图象与x轴的 交点的横
坐标；由图象可知,图象与x轴有
两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个
在2与3之间,分别约为-0.2和2.2
(3) 确定方程x
2
+4x+ 1=0的解;由此可知,方程x
2
+4x+1=0的近似根为:
x
1
≈-0.2, x
2
≈2.2
第六环节 归纳小节、说一说
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，他们普遍认同了函数问题研究时，应该用
数形结合思想从两方面来考虑问题，说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成 。
但他们 也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更
简洁些。
四、布置作业
P57页习题2.11

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第二章 二次函数
回顾与思考（一）
一、教学目标
知识与技能
1．能用表格、关系式、图 象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考
和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适 当的方法表示变量之间的二次函数关系；
2．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进 行分析，并逐步积累研
究一般函数性质的经验；
3．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何
用数学的方 法去描述变量之间的数量关系；
二、教学过程分析
第一环节 知识要点和重要方法的回顾、总结
教学内容：知识要点的回顾、总结
提出下列问题：
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图来进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.
3.小结一下作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向,对称轴和顶点坐标?请用具体
例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地 利用二次函数的表达式,表格和图象刻画变
量之间的关系.

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6.用自己的语言描述二次函数y=ax
2
+bx+c的图象与方程ax< br>2
+bx+c=0的根之间的关系.
重要方法的回顾、总结
提出下列问题：
通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？
1.理解二次函数的概念；
2.会用描点法画出二次函数的图象；
3.会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
4.会用待定系数法求二次函数的解析式；
5.能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。
第二环节 复习二次函数的图象和性质
教学内容：
1．二次函数的图象和性质要点
（一）形如
yax
2
(a≠0) 的二次函数
（二）形如
yax
2
k
(a≠0) 的二次函数
（三）形如
ya(xh)
2
( a≠0 ) 的二次函数
(四) 形如
ya(xh)
2
k
(a ≠0) 的二次函数
(五)二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象和性质
2．二次函数的图象和性质练习
（1）抛物线y = x
2
的开口向
,
对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第
象限 ；
（2)已知y = - nx
2
(n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点
A（-2，3）。
（3）抛物线y =x
2
+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由
抛物线y =x
2
向 平移 个单位得到的；
2
（4）已知（如图）抛物线y = ax +k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2)
和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。
2
（5）抛物线 y = 2 (x -0．5 ) +1 的开口向 , 对称轴 , 顶
点坐标是
（6）若抛物线y = a (x+m)
2
+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n
0。
第三环节 二次函数关系式的三种表示方式
教学内容：二次函数关系式的三种表示方式：一般式、顶点式、两根式。
1.若无论x取何实 数，二次函数y=ax
2
+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是
（ ）
A.a>0且b
2
-4ac≥0 B.a>0且b
2
-4ac>0
C.a<0且b
2
-4ac<0 D.a <0且b
2
-4ac ≤0
2.已知二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a
0 ,b 0, c 0 ,∆ 0 , a-b+c 0,a+b+c 0
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）

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4.已知二次函数y =ax
2
+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特
征的二次函数 草图.
第四环节 练习与提高
教学内容：练习与提高
1、已知二次函数y= ax
2
+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经
过点（3 ，-6）。求a、b、c。
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax
2
+ bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所
得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线 的解析式.
3、已知抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B 两点，与y轴负半轴交
于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
y
A
x
B
O
C

第3题图 第4题图
4、已知二次函数y=ax
2
-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
第五环节 课堂小结
请学生总结回顾
第六环节 布置作业
课本复习题1－5
三、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过知识要点和重要方法的回顾、总结，梳理 所学知识和方法，使其系统化。通过练
习，巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题 的能力。
在解决问题的过程中为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上
要把激发学 生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，
以及组织小组合作学习，帮 助学生形成积极主动的求知态度。
2．注意改进的方面
应该留给学生充分的独立思考的时间 ，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他
学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对讨论给予 适当的指导，包括知识的启发引

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导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使合作学习更具实效性。








第二章 二次函数
回顾与思考（二）
一、教学目标
1．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润 问题、最大高度问题、最大面积问
题等。会通过建立坐标系来解决实际问题
2．理解一元二次 方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方
程的近似解。
二、教学过程
第一环节 最大值问题
教学内容：
通过：1、最大利润问题；2、最大高度问题 ；3、最大面积问题，说明如何利用二次
函数知识解决实际问题。
（一）最大利润问题 例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的
团给予 优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团
的人数是多少时, 旅行社可以获得最大营业额？
自我检测
某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40 元,生产厂家要求每箱售价在40
元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售 出90箱,价格每降低1元,
平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
（二）最大高度问题
例2：竖直向上发射物体的h(m)满足关系式y=-5t2+v0t， 其中t(s)是物体运动的时
间,v0(ms)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水 的最大高度要求达到
15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01ms).

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（三）最大面积问题
例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面
积最大? < br>例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，
小明的爸爸 准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围
栏，为了浇花和赏花的方便 ，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃
各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽A D究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
第二环节 需建立坐标系问题
教学内容：通过建立坐标系来解决实际问题。
一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的 路线是抛物线，当球运行的水平距离
是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离
地面多高时才能中？
一座抛物线 型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的
宽度是多少?(结果精 确到0.1m).
第三环节 二次函数与一元二次方程
教学内容：理解二次函数与一元二次方程之间的联系与区别。
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交
点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x
的值,即一元二次方程ax2+bx+c =0的根.
二次函数一元二次方程
一元二次方程
y=ax2+bx+c的图象和xa x2+bx+c=0根的判别式Δ
ax2+bx+c=0的根
轴交点 =b2-4ac
有两个相异的实数
有两个交点 b2-4ac > 0
根
有两个相等的实数
有一个交点 b2-4ac ＝ 0
根
没有交点 没有实数根 b2-4ac ＜ 0
二次函数
yax
2
bxc
，何时为一元二次方程?它们的关系如何?
2
例：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式
h4.9t19.6t
来表示。其中t（s）足球被踢出后经过的时间，图象如图所示：
（1）当t＝1和t＝2时，足球的高度分别是多少？
（2）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？
4.9t
2
19.6t0
（3）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来
4.9t
2
19.6t14.7
吗？
第四环节 课堂小结
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
第五环节 布置作业
课本复习题

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三、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过小组讨论方式，使学生能够在解决问题的 过程中与人合作和进行交流，并在交流
的过程中对自己的观点进行有条理地论述为学生提供展示自己聪明 才智的机会，并且在此
过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便 指导今
后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启
发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
2．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生
的回答代替 了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指
导，包括知识的启发引导、 学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合
作学习更具实效性。

§3.2.1 圆

教学目标
12、 经历探索圆的对称性及相关性质，
13、 理解圆的对称性及相关性质
14、 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法
教学重点和难点
重点：垂径定理及其逆定理 难点：垂径定理及其逆定理
教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

圆是我们比较熟悉的图形。它是漂亮的图形，这节课，我们研究一下它的性质。

➢
师生共同研究形成概念

B
16
、

圆的轴对称性

☆ 议一议 书本P 89
A
在探索圆是 轴对称图形时，大多数学生可能会采用折叠的方法，
有的学生也可能用其他方法，只要合理，都应该鼓励
C
D
O

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线

17
、

圆的几个概念

对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别。
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 弧AB记作AB
⌒
⌒
劣弧AB 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 优弧DCA
连接圆上任意两点的线段叫做弦
经过圆心的弦叫做直径

1） 注意
直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧

C
A
O
M
B

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18
、

垂径定理

☆ 做一做 书本P 90 做一做
从此例子得出垂径定理。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为M，
（1） 图中相等的线段有 ，相等的劣弧有 ；
（2） 若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC = 。
⌒
⌒
19
、

讲解例题

例9 如图，AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB于点C，OA = 5，AB = 8，求OC的长。


O
20
、

垂径定理的逆定理

☆ 想一想 书本P 91 想一想
B
A
C
鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流，得出结论。
C

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
M
A
B

如图，在⊙O中，直径CD平分弦AB，交AB于点M，
O
（1） 图中直角有 ，相等的劣弧有 ；
（2） 若BC = 5，则AC = 。
⌒
⌒

21
、

讲解例题

D
例10 如图，AB是⊙O的一条弦，点C为弦AB的中点，OC = 3，AB = 8，求OA的长。

例11 如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与< br>BD的大小有什么关系？为什么？


O

O

A
C
B
D
B
A

C



，点O是
⌒
例12 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
⌒
CDCD的圆心），其中CD = 600m，E
⌒
为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF = 90m。求这段弯路的半径。
C

E


F
➢
随堂练习

D
O
22、 书本 P 93 随堂练习 1、2 《练习册》 P 45

➢
小结

垂径定理及其逆定理。

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➢
作业

书本 P 94 习题3.2 1

➢
教学后记






第2课时
§2.1 圆的对称性

知识目标：经历探索圆的对称性及相关 性质；理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何
图形的各种方法
德育目标：培养学生科学严谨的学习态度和开拓进取的精神
能力目标：培养学生观察、分析、探索能力和创造力

教学重点和难点
重点：垂径定理及其逆定理
难点：垂径定理及其逆定理

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

在上一节课，我们研究了圆是轴对称图 形，还学习了垂径定理及其逆定理。这节课，我们继续研
究圆的圆心角、弧、弦之间相等关系。

➢
师生共同研究形成概念

23
、

圆的中心对称（圆的旋转不变性）

☆ 做一做 书本P 94 顶
通过这个实验，让学生了解圆的旋转不变性。

圆是中心对称图形，对称中心为圆心

圆的旋转不变性——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，圆的中 心
对称性是其旋转不变性的特例。
A
E

B
24
、

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

D
1） 弦心距、圆心角、圆周角、同圆、等圆
O
如图，在⊙O中，∠AOB是圆心角、∠DCE是圆周角
C

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2） 探索圆心角、弧、弦之间的关系（分开同圆和等圆两种来研究）
☆ 做一做 书本P 94 做一做
课件演示实验，或学生动手操作（剪）
通过实验探索圆的另一个特征。







A
B
O

A
O


C
B

O'
D
D
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

知二推三：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分圆弧；⑤平行劣弧

1） 举反例强调前提条件：同圆或等圆
A






C
O'
C
O

B

25
、

知一推三

D
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各
组量都分别相等

①圆心角；②弧；③弦；④弦心距


26
、

讲解例题

例13 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F
1） 如果∠AOB = ∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
2） 如果OE = O F，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什
C
么？∠AOB与 ∠COD呢？
A

例14 书本 P 98 随堂练习 3
F
E

O

D
➢
随堂练习

B
27、 书本 P 98 随堂练习
28、 书本 P100 习题3.3 2、3
29、 《练习册》 P 47

➢
小结

圆心角、弧、弦之间的关系。

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➢
作业

书本 P 99 习题3.3 1

➢
教学后记





第3课时
§3.3 圆周角和圆心角的关系
知识目标：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质
德育目标：体会分类、归纳等数学思想方法
能力目标：提高分类、归纳的数学能力

教学重点和难点
重点：圆周角和圆心角的关系 难点：圆周角和圆心角的关系

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我们学习了：在同圆或等圆中，相等的弧 所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，
相等的弧所对的圆周角有什么关系？这节课，我们研究圆周 角和圆心角的关系。

➢
师生共同研究形成概念

30
、

圆心角与弧的关系

我们把顶点在圆心的周角等分 成360份时，每一份的圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心
角所对的弧相等，所以整个圆也被等 分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。所以，圆心
角的度数和它所对的弧的度数相等。

☆ 巩固练习：若一条弧是70°，则它所对的圆心角是 °；若一个圆周角等于80°，
则它所对的弧等于 °。

31
、

圆周角与圆心角

通过射门游戏引入圆周角的概念。提出这一问题意在引起学生思考，为本节活动埋下伏笔。
C

圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦
O
圆心角：角的顶点是圆心，两边是圆的两条半径
O
A
A

B
32
、

讲解例题

B
例15 下列图形中的角是不是圆周角。

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分析：通过此例，让学生理解好圆周角的定义。

33
、

讲解例题

例16 下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
A

A

O
O
D

O
O

D
B
B
BC
C

B
B
C
C
分析：通过此例，让学生理解好什么是同一条弧所对的圆心角和圆周角。

34
、

同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系

☆ 议一议 书本P 101 议一议
可放手让学生自己观察动手操作验证思考，老师作适当提点。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
B

学生动手画图验证
圆周角定理的几个推论

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

B
A
35
、

总结方法

在这里要帮学生方法，以利于学生解决圆的一些证明的题目。
☆ 议一议 书本P 106 议一议
鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量与证明、分类与转化，以及类比等。
☆ 做一做 书本P 107 做一做
是一个有实际背景的问题，解决这一问题 不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用反证法及
分类的思想。

36
、

讲解例题

例17 如图，AB是的直径，BD是的弦，延长BD到C，使CA = AB。BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
分析：此例是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合应用。
A

➢
随堂练习

37、 书本 P 107 随堂练习
O
38、 《练习册》 P 49

➢
小结

C
B
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相
等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
A
O
C
C
A
O
E
D
C

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➢
作业

书本 P 104 习题3.4 2

➢
教学后记




第4课时
§3.4 确定圆的条件
知识目标：经历不在同一 条直线上的三个点确定一个圆的探索过程；了解不在同一条直线上的三个点
确定一个圆，以及过不在同一 条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角
形的外心等概念
能力目标：进一步体会解决数学问题的策略
德育目标：提高分类、归纳的数学能力


教学重点和难点
重点：了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点：过不在同一条直线上的三个点作圆


教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

在初一的时候，我们研究过，确定一条直线。经过一 点可以作无数条直线，经过两点只能作一条
直线。那么经过一点能作几个圆？经过两点、三点，能确定几 个圆呢？


➢
师生共同研究形成概念

39
、

平分一条弧



要写作法





40
、

确定圆的条件

☆ 做一做 书本P 109 做一做
由易到 难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件。作图前，要引导学生通过思考明确这
样的基本思想： 作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定。

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不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆
要向学生明确为什么在同一条直线上的三个点不能确定一个圆。




41
、

讲解例题

例18 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆。
分析：要让学生动手操作。







42
、

外接圆与外心

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

锐角三角形：外心在圆内
直角三角形：外心在斜边的中点
钝角三角形：外心在圆外


➢
随堂练习

43、 书本 P 114 1
44、 《练习册》 P 53


➢
小结

确定圆的条件。


➢
作业

作一个钝角三角形的外接圆。


➢
教学后记

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第7课时
§3.6.1 直线和圆的位置关系

知识目标：经历探索直线与圆位置关系的过程；理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关 系；了
解切线的概念
能力目标：提高学生的读图能力
德育目标：运用辩证的观点看待问题

教学重点和难点
重点：理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系
难点：灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

上一阶段，我们研究过点与圆的位置关系。这节课，我们研究直线与圆的位置关系。


➢
师生共同研究形成概念

45
、

地平线与太阳的位置关系

首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，然后 让学生动手操作。在这一过程中引导
学生归纳出直线与圆的几种位置关系。

46
、

直线与圆的位置关系

☆ 做一做 试按下列要求画直线
1）与⊙O有两个交点；2）与⊙O有一个交点；3）与⊙O没有交点。


O
O
O




直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。

相交——直线与圆有两个交点；
相切——直线与圆有一个交点；
相离——直线与圆有零个交点。

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直线和圆有惟一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点。


☆ 想一想 书本P 117 想一想
通过观察得出“圆心到直线的距离和半径 的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，
从而实现位置关系与数量关系的相互转化。这种 等价关系是研究切线的理论基础。


O
O

O



直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
dr

dr
；
dr

割线 切线


☆ 巩固练习 1、《练习册》 P 54 1、2、3；
2、随机找一些数据让学生判断直线和圆的位置关系。


47
、

讲解例题

例19 已知Rt△ABC的斜边AB = 8cm，AC = 4 cm。（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB
与⊙C相切？（2）以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与
AB分别有怎样的位置关系？
分析：以直线 与圆的位置为主线分析，可画圆演示。根据d与r的数量关系判断直线和圆的位置
关系，同时应用了三角 函数的知识。
A

D




C
B

➢
随堂练习

48、 书本 P 120 随堂练习 1
49、 《练习册》 P 54 7、9

➢
小结

直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。

➢
作业

书本 P 120 习题3.7 1

➢
教学后记

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第8课时
§3.6.2 直线和圆的位置关系

知 识目标：探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画
圆的切 线
能力目标：提高学生的读图能力
德育目标：运用辩证的观点看待问题

教学重点和难点
重点：切线的性质
难点：灵活运用切线的性质解决实际问题

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

复习直线与圆的位置关系及切线的性质。

➢
师生共同研究形成概念

50
、

探索圆的切线的性质

☆ 议一议 书本P 114 议一议
由直线和圆的三种位置关系逐步转向对切线的进一步研究。

圆的切线垂直于过切点的直径

O
在⊙O中，AB切⊙O于点C，
∴ OC⊥AB

C
AB
知切线，连半径，得垂直；知直径，得直角。

51
、

反证法

只要求学生了解，并且知道第一步是要假设结论不成立。


52
、

讲解例题

例20 如图，CA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，如果∠CAB = 55°，求∠AOB的度数。

A


C
☆ 巩固练习 P55 1
O
B

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例21 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为 D。求证：
D
AC平分∠DAB。

C



B
A
O


➢
随堂练习

53、 书本 P 120 随堂练习 2
54、 《练习册》 P 55 2、3、4、5
55、 如图，已知AB是⊙O的直径，AD是弦，过点B的切线交AD的延长线于C，求证：
BD
2
CDAD
。
56、 如图，AB是⊙O的直径，CE是切线，切点为C，BE⊥CE于E，交⊙O于D，求证：
AC = CD。
57、 如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∠APB = 90°，OP = 4，求⊙O的半径。

C
D

B

O
B
O

A
B
O
D
A


E
C
A

➢
小结

切线的性质。


➢
作业

如图的两个圆是以 O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C
切点。求证：C是AB的中点。


➢
教学后记

P
O
为
A
C
B

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第9课时
§3.6.3 直线和圆的位置关系

知识目标：能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线
能力目标：提高学生动手操作的能力
德育目标：辩证地看待问题的能力

教学重点和难点
重点：判定一条直线是否为圆的切线
难点：判定一条直线是否为圆的切线

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，圆的切线垂直于过切点的直径。

➢
师生共同研究形成概念

58
、

切线的判定

通过旋转实验的办法，探索切线的判定条件。

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线

B
在⊙O中，
∵ AB⊥CD，且点A在⊙O上
O
∴ CD是⊙O的切线


A
D
59
、

切线判定的应用

C
☆ 做一做 书本P 121 做一做
这是切线判定定理的一个直接 应用，由于学生只学过用尺规作线段的垂直平分线，而没有学过用
尺规一般地作垂线，因此，这里不要求 所有学生都用尺规作图，允许用三角尺作垂线。


60
、

讲解例题

例22 如图，AB是⊙O的直径，∠ACB = 45°，BA = BC，求证：BC是⊙O的切线。
分析：此例是巩固学生对圆的切线判定的理解。可让手让学生自己做。
A



O


C
B

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61
、

讲解例题

例23 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD = OB，∠CAB = 30°，求证：DA是⊙
C
O的切线。


A

D
B
O





➢
随堂练习

62、 书本 P 123 随堂练习 1
63、 《练习册》 P 56 4、5、7
64、 《练习册》 P 57 2、3


➢
小结

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。


➢
作业

书本 P 123 习题3.8 1


➢
教学后记

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第10课时
§3.6.4 直线和圆的位置关系
知识目标：知道三角形 的内心是三个角的平分线的交点，会作出三角形的内心，能借助三角形的内心
解决实际问题
能力目标：提高学生动手操作的能力
德育目标：辩证地看待问题的能力
教学重点和难点
重点：借助三角形的内心解决实际问题
难点：借助三角形的内心解决实际问题

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；圆的切 线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，
并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

➢
师生共同研究形成概念

65
、

复习三角形的外接圆、外心

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
锐角三角形：外心在圆内；直角三角形：外心在斜边的中点；钝角三角形：外心在圆外

66
、

讲解例题

例24 如图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆，使其与各边都相切？
分析：这里作圆的关键是确定圆心的位置。
A
A



F
I
E


BC
BC

D
D
67
、

三角形的内切圆、内心

与 三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这
个点叫做三 角形的内心。

68
、

三角形外、内心对比


构成
特点
位置
外心
三边垂直平分线的交点
到三个顶点的距离相等
可在圆内、圆上、圆外
内心
三条角平分线的交点
到三边的距离相等
圆内
69
、

讲解例题

例25 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心。

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例26
例27
例28
例29
如图1，I是△ABC的内心，∠BIC = 130°，∠1 = 20°，求∠A的大小。
如图2，D是△ABC的内心，且∠A = 50°，求∠BDC的度数。
如图3，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D。求证：DE = DB。
如图4，点O是△ABC的内心，以O为圆心的圆和△ABC的三边相交于D、E、F、G、H、I，< br>A
求证：DE = FG = HI。
A
A

A
I
D

E

D
I
O
H

C
E
1

C
B
C
B
B

B
D
C
FG

➢
随堂练习

70、 书本 P 123 随堂练习 2
71、 《练习册》 P 56 1、2、3、6
72、 《练习册》 P 57 1、5
73、 如图，在Rt△ABC中，∠A BC= 50°，∠ACB = 75°，点I是内心，求∠BIC的度数。
74、 如图，点I是△ABC的内心，AI交BC边于点D，交△ABC的外接圆于点E。求证：IE
2
AEDE
。
A
A


I
I

B

C
D

BC
➢
小结

E
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这
个点叫做三角形的内心。

➢
作业

书本 P 124 习题3.8 2

➢
教学后记

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第11课时
§3.6 圆和圆的位置关系

知识目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程；了解圆与圆之间的几种 位置关系；了解两圆外切、
内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系
能力目标：
德育目标：

教学重点和难点
重点：圆与圆之间的几种位置关系
难点：两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

1）复习点与圆的位置关系；2）复习直线与圆的位置关系。

➢
师生共同研究形成概念

75
、

书本引例

☆ 想一想 P 125 平移两个圆
利用平移实验直观地探索圆和圆的位置关系。

76
、

圆与圆的位置关系

每一种位置关系都可以先让学生想想应该用什么名称表达。在讲解 两圆外切、内切与两圆圆心距
d、半径R和r的数量关系的联系时，可先让学生探索，老师不要生硬地把 答案说出来


OOO
O
O
O
OO
O
O


外离 外切 相交 内切 内含
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
两圆没有交点 两圆只有一个交点 两圆有两个交点 两圆只有一个交点 两圆没有交点
dRr

dRr

dRr


☆ 巩固练习 若两圆没有交点，则这两个圆的位置关系是 ；
若两圆有一个交点，则这两个圆的位置关系是 ；
若两圆有两个交点，则这两个圆的位置关系是 ；

☆ 想一想 书本P 126 想一想
通过实际例子让学生理解圆与圆的位置关系。



77
、

圆与圆相切的性质

☆ 想一想 书本P 127 想一想
旨在引导学生思考两圆相切的性质：如果两圆相切，那么两圆的连心线经 过切点，这一性质是下

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面议一议 的基础。学生容易看出两圆相切图形的轴对称性及对称轴，但要说明切点在连心线上则有一
定困难。

如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点



78
、

讲解例题

例30 已知⊙
O
1
、⊙
O
2
相交于点A、B，∠A
O
1
B = 120°，∠A
O
2
B = 60°，
O
1
O
2
= 6cm。求：（1）
∠
O< br>1
A
O
2
的度数；2）⊙
O
1
的半径
r
1
和⊙
O
2
的半径
r
2
。





O
1
A
O
2
B
79
、

讲解例题

例31 两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示，分隔两个肥皂 泡的肥皂膜PQ成一条直线，
TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小。
N
T

P



O'
O


Q
➢
随堂练习

80、
81、
书本 P 128 随堂练习
《练习册》 P 59

➢
小结

圆与圆的位置关系；圆心距与两圆半径和两圆的关系。

➢
作业

书本 P 130 习题3.9 1

➢
教学后记





第12课时

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§3.7 弧长及扇形的面积

知识目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积 计算公
式、并会应用公式解决问题
能力目标：提高分析问题、解决问题的能力
德育目标：辩证地看待问题

教学重点和难点
重点：弧长计算公式及扇形面积计算公式
难点：弧长计算公式及扇形面积计算公式

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

在小学时，我 们学习过圆的周长公式及面积的公式：
c2

r
、
S

r
。这节课，我们在原有
的基础上，学习弧长公式及扇形的面积公式。
l

➢
师生共同研究形成概念

82
、

弧长公式

☆ 想一想 书本P 132 输送带
R
通过具体实际情境，探索弧长的计算公式。
n

在讲解圆心角时，大家还记得我们是如何推导出圆心角的度数与所对的弧的度数相同的？
我们把顶点在 圆心的周角等分成
360
份时，每一份的圆心角是
1
°的角。我们把每一份这 样的弧
叫做
1
°的弧。所以，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。


圆的弧长也是一样，把一个圆平均分成360份，那么圆弧的公式就是：
2
l
nn
2

R

R

360180
一定要在理解的基础上记忆


只要知道圆弧的度数、半径、弧长的其中两个，那么我们就可以求得另一个未知的量。

83
、

讲解例题

例32 制作弯形管道时，需要决定按 中心线计算“展直长度”
再下料。试计算图中所示的管道的展直长度，即
AB
⌒
的长。 AB
40mm
分析：例题主要是让学生应用公式进行计算，在计算时，
110°
意公式中的字母的意义。


84
、

扇形的面积公式

☆ 想一想 书本P 133 想一想
S< br>通过具体实际情境，探索扇形面积的计算公式。扇形面积公
式以圆面积公式为基础，在让学生思考 此问题时，要注意两点：
R
一是最大活动区域的数学含义。二是圆心角是360度的扇形面积< br>n
要注

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等于圆面积，圆心角为n度的扇形面积等于圆面积的360分之n。
S
扇形

n

R
2

360
一定要在理解的基础上记忆



的长（结果精确到0.1cm）和扇形AOB的例33 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB = 120°，求
⌒
AB
面积（结果精确到0.1
cm
）。
分析：例题主要是让学生应用公式进行计算，在计算时，要注意公式中的字母的意义。


85
、

2
l
弧长公式与扇形面积公式之间的关系

S
扇形

n1n1

R
2


RRlR

36021802
S
R



➢
随堂练习

86、 书本 P 134 随堂练习 1、2
87、 《练习册》 P 60
88、 填表：
弧长l


6π
9π

➢
小结

弧长公式与扇形的面积公式。

➢
作业

书本 P 135 习题3.10 1

➢
教学后记

扇形的面积S




半径R
4
8
10

n
弧的度数n
150
240

120




第13课时
§3.8 圆锥的侧面积
知识目标：经历探索圆锥侧面积计算公式的过 程，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问

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题
能力目标：提高分析问题、解决问题的能力
德育目标：辩证地看待问题

教学重点和难点
重点：圆锥侧面积计算公式
难点：圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题

教学过程设计
➢
从学生原有的认知结构提出问题

89、 复习 弧长公式：
l
l
S
R
n
n
nn

R
2
；弧长与
2

R

R
；扇形的 面积公式：
S
扇形

360
360180
n1n1
扇形面积关系的公式：
S
扇形


R
2


RRlR
。
36021802
90、 扇形的半径为50cm，弧长为80

cm，则扇形的面积为 ，扇形的圆心角
的度数为 。

➢
师生共同研究形成概念

91
、

圆柱的侧面展开图

圆柱的侧面展开图是矩形，
这个矩形的长是圆柱的底面圆的周长，宽是这个圆柱的高。

92
、

圆锥的侧面展开图

1） 圆锥的侧面展开图是什么图形？
2） 介绍圆锥的母线、底面半径、高、轴截面、锥角
3） 如何计算圆锥的侧面积？

首先让学生通过观察圆锥，认识到它的表面是由一个圆面和一个曲 面围成的，然后再思考圆锥的
曲面展开在平面上，是什么样的图形。
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长

1） 巩固练习
1） 圆锥的底面半径为3，则底面的周长为 ，侧面展开图的扇形的弧长为 。
2） 圆锥的底面半径为3，高为4，则母线长为 。
3） 圆锥的母线长为4，侧面展开的扇形的弧线长为12π，则底面圆的周长为 ，底面半径
为 ，圆锥的高为 。
4） 圆锥的底面半径为6，母线长为12，则锥角为 度。

93
、

圆锥的侧面积和全面积

应要求学生理解圆锥侧面积公式的推导过程，在理解的基础上记忆。
圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l
；

扇形的弧长是底面圆的周长，即
2

r
；
圆锥的侧面积为 ：
S
圆锥侧

1
2

rl

rl
，即
S
圆锥侧


底面半径母线长

2
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积

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94
、

讲解例题

例34 圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为6cm，求它的侧面积。
分析：借助直角三角形三十度角的性质，求得底面圆的周长。




95
、

讲解例题

例35 某家商店正在制作 圣诞节的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20
顶这样的纸帽至少要 用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1
cm
）
分析：例题是利用圆锥侧面积公式进行计算。




➢
随堂练习

96、 书本 P 137 随堂练习
97、 书本 P 138 习题3.11 1、2、3
98、 《练习册》 P 62


➢
小结

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长。


➢
教学后记

2