培训活动-同学聚会感言

第七章 二次型


二次型是型论的内容之一，是非线性的.二 次型的研究源于解析几何中对有心二次曲线
和二次曲面方程的化简.由于实二次型的讨论,可以转化为对 实对称矩阵的讨论,所以将它纳
入线性代数的内容,本章内容可以看作矩阵化简理论一个方面的应用.
本章的重点是实二次型化标准形及正定二次型.


7.1 二次型及其矩阵


定义1 数域
F
上的一个二次齐次多项式
f(x
1
,x
2
,,x
n
)a
11< br>x
1
2
a
12
x
1
x
2
a
1n
x
1
x
n

2

a
21
x
2
x
1
a
22
x< br>2
a
2n
x
2
x
n




2

a
n1< br>x
n
x
1
a
n2
x
n
x
2
a
nn
x
n



a
ij
x
i
x
j
, (1)
i1j1
nn
称为
F
上的一个
n
元二 次型.
a
ij
F(i,j1,2,,n)
称二次型
f(x1
,x
2
,,x
n
)
的系数.

由 于
x
i
x
j
x
j
x
i
,令 < br>
a
11
a
12
a
1n

< br>aaa

222n

,
A

21



a


n1
an2
a
nn

T
其中
a
ij
a< br>ji
,i,j1,2,,n
.即
A
为对称矩阵:
AA< br>.那么(1)可表为

a
11
a
12
a
1n

x
1


aaa

21 222n

x
2


f(x
1
,x2
,,x
n
)(x
1
,x
2
,,xn
)







a


n1
a
n2
a
nn

x
n

T

XAX
, (2)
其中

x
1



x
X

2

.



x


n

(2)称为(1)的矩阵表示式,称
A
为二次型< br>f(x
1
,x
2
,,x
n
)
的矩阵.
A
的秩称为该二次
型的秩.
显然,每一个
n
元二次型都对应一个
n
阶对称矩阵.
22
例1 三元二次型
f(x
1
,x
2
,x3
)x
1
2x
1
x
2
3x
2< br>x
3
2x
3
的矩阵

1


110


3
A

10
2< br>
.

0
3
2

2


下面我们主要讨论实数域
R
上的二次型,即对实对称矩阵进行讨论.我们的目的是化实
对称矩阵为对角形矩阵.
实对称矩阵有如下性质:
性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.
T
证 设
A
是
n
阶实对 称矩阵,

为
A
的特征值,

(x
1
, x
2
,,x
n
)
是属于特征值

的特征向量.即 有
A



.
(3)
令

为

的共轭向量,
A
为
A< br>的共轭矩阵（由
A
的元素
a
ij
的共轭数
a
ij
构成）.由(3)两边
取共轭有
A



, 即
A



.因
AA
,所以
A



. (4)
对(4)两边取转置,得

T
A
T


T
. (5)
TTTTT
用

右乘(5)两边,得


A



A



. 于是
(



)

T

0< br>.
T222
T
由

x
1
x
1
x
2
x
2
x
n
x|x
1
||x
2
||x
n
|
,而

0
,则有

＞0.
因此



0
,即



,故

为实数.
性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
证 设

1
,

2
是实对称矩阵
A
的两个不同的特征值,

1
,< br>
2
是分别属于

1
,

2
的特征 向
量（实
n
元列向量）,即有
A

1


1

1
,
A

2


2

2
,
那么
A

1
,

2


1

1
,

2


1


1
,

2

.
又
A< br>
1
,

2
(A

1
)
T

2


1
T
A
T

2


1
T
A

2


2

1
T

2


2


1
,

2

.
于是
(
< br>1


2
)

1
,

2
0
.而

1


2
0
,故


1
,

2
0
,即
1
,

2
正交.
性质3
n
阶实对称矩阵相似于
n
阶对角形矩阵.
证 对
n
采用归纳法.
n2
,令

ab

A


bc


.

若
b0
,
A
已是对角形矩阵.若
b0
,由

 ab
|

EA|

2
(ac)
acb
2
. (6)
b

c
(6)式右端为

的二次三项式,其判别式 < br>(ac)
2
4(acb
2
)(ac)
2
4b
2
＞0.
因而
A
有两个不同的特征值,由定理6.3.1 的推论,
A
可对角化.
设对
n1
阶实对称矩阵,结论成立.当< br>A
为
n
阶实对称矩阵时,设
A

1


1

1
.由于
k0
,
k

1
也属于

1
的特征向量,于是可取

1
为单位向 量.令
p
1
(

1
,

2
, ,

n
)
为正交
矩阵,则有

2



1
T


T



2

T
p
1
1
APpAP
111



(A

1
,A

2
,,A

n
)




T


n



1
T
A

1

1
T
A

2


1
T
A

n


T

TT


A

1

2
A

2


2
A

n



2
,







T
A
 
T
A



T
A


1n2nn

n
该矩阵仍为对称矩阵.而


1
,j1,
T


T
A< br>






,



j1j111j1

0,j1.
于是


1
00



0

p
1< br>1
Ap
1


.


B


0


其中
B
为
n1
阶对称矩阵.由归纳假设,有(
n1
)阶可逆矩阵
Q
,使得


2


Q
1
BQ



令

3





.



n



10

p
2



0Q


,


且令
pp
1
p
2
,则

10


1
0

10

11p
1
App
2
p
1
Ap
1
p2



0Q
1




0B




0Q






1



2
< br>

. (7)




n



实对称矩阵的讨论可以放在欧氏空间中进行.一个实对称矩阵
A
化对角形矩阵,先求出
A
的全部特征值(它即为对角矩阵中的元素)及相应的特征向量.将
A
的属于同一特征 值的
特征向量正交化,单位化,仍为
A
的属于该特征值的特征向量.由于属于不同特征 值的特征
向量正交,那么,此时
A
的这
n
个特征向量均为单位向量, 且两两正交.以它们为列构成(7)
式中的
p
,则
p
为正交矩阵.于 是有
定理7.1.1
A
是
n
阶实对称矩阵,则一定存在
n
阶正交矩阵
U
,使得
UAU
为对角
形矩阵.
定义2 设
A
,
B
是数域
F
上两个
n< br>阶矩阵,如果存在
F
上的一个
n
阶可逆矩阵
p
,使< br>得

3
T

P
T
APB
(8)
那么就称
A
与
B
合同,记为
A
≈
B
.
矩阵的合同关系具有以下性质:
1°自反性:
A
≈
A
. 在(8)中取
PE
即可.
2°对称性: 若
A
≈
B
,则有可逆矩阵
P
,使< br>P
T
APB
.于是
(P)BP
T11

(P)

1T
BP
1
A
.即有
B
≈
A
.
T
3°传递性: 若
A
≈
B,
B
≈
C
,则有可逆矩阵
P
,
Q
,使 得
P
T
APB
,
QBQC
.
TTTT
于是
(PQ)A(PQ)QPAPQQBQC
,即有
A
≈
C
.
若
A
≈
B
,显然秩(
A
)=秩(B
).
定理7.1.1说明,任意一个实对称矩阵都合同于一个对角形矩阵.

例2 设

220


A

2 12



020


求正交矩阵
U
,使
UAU
为对角形.

解 A的特征多项式 T

2

EA2
0
特征值为:

1,

4,

2
.
对

1,
求得齐次线性方程组
20

12 (

1)(

4)(

2)
,
2


x
1


2x
1


2x
2
2x
3
2x
2
x
30
0

0
T
的基础解系

1
 (2,1,2)
.对应

2
4,

3
2
的齐次线性方程组分别求得基础解
系:


2
(2,2 ,1)
T
,

3
(1,2,2)
T
.将

1
,

2
,

3
单位化得:
212221122

1
(,,)
T
,

2
(,,)
T
,

3
(,,)
T
.
333333333
221


1

于是
U

122

,
3

12


2


1


而
U
T
AU

4

.


2




习 题


1.写出下列实二次型的矩阵.

4

222
(1)
f(x
1
,x
2
, x
3
)x
1
2x
1
x
2
3x
1
x
3
2x
2
4x
2
x
3
x
3
;

(2)
g(x
1
,x
2,x
3
,x
4
)x
1
x
2
2x< br>1
x
3
3x
1
x
4
5x
2x
3
6x
3
x
4
;
222
(3)
h(x
1
,x
2
,x
3
)2x
1
3x
2
4x
3
.
2.设

120

A

222

,

0 23


求可逆矩阵
P,使PAP
为对角形.
3.设
A
是一个可逆对称矩阵.证明,
A
1
≈
A
. < br>4.
A
为四阶实对称矩阵,秩(
A
)
2
,问与A
合同的对角形矩阵有哪几种情况?
*5. 设

是欧氏空间
V
的一个线性变换,若


,

V
有


(

),



,
(

)
,
则称

是一个对称变换.证明对称变换
在
V
的任一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵.

T

7.2 实二次型的标准形


我们已经知道,如 果
A
是
n
阶实对称矩阵,秩
(A)r
≤
n
,那么,总存在
n
阶可逆矩阵
P
,有

d
1




T

PAP






d
2
d
r
0






. (1)




0

显然,与(1)中这个对角形矩阵相应的二次型只含有变量的平方项,即为
2
d
1
y
1
2
d
2
y
2d
r
y
r
2
.
称此二次型为与
A
相应的二次型的标准形.
如何将一个二次型化为标准形,定理7.1.1已经给出了一个方法.事实 上,设实二次型
f(x
1
,x
2
,,x
n
)X
T
AX
.其中

x
1



x
2

T

X

,

AA
.

 

x


n

由定理7.1.1,则有正交矩阵
P
,使得


1


2
P
T
AP





T
令
XPY,
Y(y
1
,y
2
,,y
n
),
那么




.


n


TT

f(x
1
,x
2
,,x
n
)XAX(PY)A(PY)


5



1


y1






y
2

2
TT
Y(PAP)Y(y,y,,y)

12n




. (2)







n

y
n



(2)中

1
,

2
,,

n
为A
的全部特征值.
P
的 第
j
列为属于

j
的特征向量正交化、单位
化后所得的特征 向量.
上述这种化二次型为标准形的方法,称为正交变换法.如果不考虑求正交矩阵
P
,那么,
求出实二次型矩阵的全部特征值后,便可得到该二次型的标准形.
在正交变换法中,
XPY
(
P
为正交矩阵),称为坐标的正交变 换.解析几何中.就是
通过这种坐标的正交变换,将有心二次曲线或二次曲面方程化为标准形式的. < br>正交变换法中,如果要求出正交矩阵
P
,显然是比较麻烦的.下面我们再给出两种化二< br>次型为标准形的方法.
1.初等变换法
设

d
1


d
2

P
T
AP

,



d
n


由
P
可逆,令
Pp
1
p
2
p
s
,
p
i
(i1,2,,s)
为初等矩阵,那么有

d
1


T
P
s
T
P
2
T
PAPPP
112S




又
d
2





. (3)

d
s


EP
1
P
2
P
s
P
. (4)
(3)与 (4)说明,对
A
施行某一类行初等变换后,同时施行相应的列的 初等变换,并且对单位
矩阵
E随A
施行同样的列变换,当
A
化成对角 矩阵时,那么
E
化为可逆矩阵
P
.综合(3)、(4),
可表成如下 形式:

A

D



E





P


,


其中
D
为对角形矩阵.这种化实二次型为标准形的方法称为初等变换法.
例1 用初等变换法化下列二次型为标准形
22
f(x
1
,x< br>2
,x
3
)x
1
2
4x
2
 2x
3
2x
1
x
2
2x
1
x
3
4x
2
x
3
.

解
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩阵
1

11

A

142

.

122




6

1

0

11

10


142

033


0
2)(1)
22

(
(3
31


A


1
)(1)






E




100

11

1


0

0

1010
 

0

01

01


0



10


03

00
(3)(2)


1

1

01


00

所以
0


0

2


.
2

1


1



112

P

011

,

001


而经可逆变量替换
XPY
, < br>22
f(x
1
,x
2
,x
3
)y
1
2
3y
2
2y
3
.
2.配方法 .配方法是将二次型的一些项,配成全完平方项,逐步通过可逆的变量替换,最
后化成只含新变量的平方 项的二次型
例2 用配方法化下列二次型为标准形
f(x
1
,x
2
,x
3
)x
1
x
2
2x
1x
2
4x
1
x
3
6x
2
x
3
4x
3
.
2
解
f(x
1
,x< br>2
,x
3
)[x
1
(x
2
2x
3
)]2x
2
x
3

222

令

y
1
x
1
x
2
2x
3
,










x
1
y
1
y
2
2y
3
,
x
2

x
3

y
2
,
y
2

y
3

x
2
, 或
x
3
.
y
3
.
经变量替换
Xp
1
Y
,其中

x
1< br>
y
1

112


< br>X

x
2

,
Y

y
2

,
p
1


010

,

y

x

001


3


3

有
f(x
1
,x
2
,x< br>3
)y
1
2y
2
y
3
.
再令

y
1
z
1
,

y
2
=
z
2
z
3
,

y
3


z
2
z
3
.
经变量替换
YP
2
Z,
其中
2

7


100

z
1


p
2


011

,
Z

z
2

,

011
 
z


3

2223
有
y
1
2y
1
y
2
z
1
2z
2
2z
3
.
令

131

pp
1
p
2


011

, 
011


那么,经可逆变量替换
XPZ
有
22
f(x
1
,x
2
,x
3
)z
1
2
2z
2
2z
3
.
采用初等变换法或配 方法化二次型为标准形,由于变换过程不同,或者选择配方的变量
不一样,所化得的标准形可能不同,但 标准形中,所含变量的平方项的个数都是一样的,这是
因为两个相似或合同的矩阵有相同的秩.
一个二次型经过变量的替换后,化成一个含新变量的二次型,那么,称这两个二次型是
等价的.于是可 以说,一个实二次型与它的标准形等价.
为了避免实二次型的标准形可能出现的不唯一性,我们需要将它的标准形作进一步的
规范. < br>设
A是n
阶实对称矩阵,秩
(A)

r
(0＜
r
＜
n
)
,
P
为实可逆矩阵,且


d
2




d
r

.

0




0

T
必 要时,交换对角矩阵中的两列和两行(相当于对它右乘以
R
ij
左乘以
Rij
),因而,总可
以假定
d
1
,,d
p
＞ 0;
d
p1
,,d
r
＜0, 0≤
p
≤
r
.令

d
1

< br>

T
PAP







1


|d
1
|


Q







则有
1
|d
r
|
1







,




1


0


0

.

0



E
P

Q
T
P
T
APQ

0

0

0
E
rP
0于是我们得到
定理7.2.1 任意一个秩为
r
的实
n
元二次型,都与如下一个二次型等价:

y
1
y
P
y
P1
y
r< br>.
(5)

8
22 22

二次型(5)称为实二次型的规范形.下面我们进一步证明(5)中的
P< br>也是唯一确定的,即有
定理7.2.2(惯性定理) 实二次型的规范形是唯一的.
证 设实二次型
f(x
1
,x
2
,,x
n)
的秩为
r
，且经过可逆变量替换
XBY
和
XCZ
分别化为
2
f(x
1
,x
2
,x
n< br>)y
1
2
y
2
y
r
2

p
y
p1

222
和
f(x
1
,x
2
,x
n
)z
1
z
q
 z
q
z
r
2
.
1

即经
ZCBY
,有
2222222
z
1
2
z
q
z
q1
z
r
y
1
y
p
y
p1
y
r
(6)
1
假设
p
＞
q
,令

t
11
t
12

t

t
C
1
B
2122



t

n1
tn2
那么,
ZCBY
即为
1


< br>
t
1n


t
2n

.



t
nn



z
1t
11
y
1
t
12
y
2
t
1n
y
n

ztytyty

2211 2222nn


(7)




z
n
t
n1
y
1
t
n2
y
2
t
nny
n
.
考虑齐次线性方程组:

t
11
y< br>1
t
12
y
2
t
1n
y
n
0




t
q1
y1
t
q2
y
2
t
qn
y
n< br>0


(8)
y0
p1




y
n
0,

(8)中方程个数为
q(np)n(pq)
＜
n
,因而有非零解:
(k
1
,,k
p
,k
p 1
,,k
n
)
，
22
其中,
k
p1< br>k
n
0
.将它代入(6)的右端得
k
1
 k
p
＞0,又代入(8)的前
q
个方程
22
知(7)中有
z
1
z
q
0
,于是(6)的左端
zq1
z
r
≤0,矛盾.因而
p
≤
q
, 同法可
得
q
≤
p
,从而
pq
.
规范形 (5)中的
p
称实二次型的正惯性指数,
rp
称为负惯性指
数,< br>p(rp)2pr
称为二次型的符号差,记为
s
,即
s2p r
.
由惯性定理得,
推论 两个实二次型等价,当且仅当它们有相同的秩和符号差.


习 题


1.用正交变换法,化二次型为标准形
22
f(x
1
,x
2
,x
3
)x
1
2
2x
2
2x
3
4x
1
x
3
.
2.分别用初等变换法和配方法,将二次型
22
f(x
1
,x2
,x
3
)x
1
2
2x
1
x2
x
2
4x
2
x
3
2x
3

9

化为标准形.
3.求下列二次型的秩、正惯性指数和符号差.
(1)
f(x
1
, x
2
,x
3
)2x
1
x
2
6x
2
x
3
2x
1
x
3
;

22 2
(2)
f(x
1
,x
2
,x
3
)x< br>1
2x
2
4x
3
2x
1
x
2
4x
2
x
3
.

4.将等价的二次型作为一类,证明,所有的
n
元实二次型共有

1
(n1)(n2)
个类.
2

7.3 正定二次型


T
一个
n
元实二次型
f (x
1
,x
2
,,x
n
)XAX
,实际上可以 看成定义在实数域
R
上的一
T
个
n
元实函数.用
X
0
(c
1
,c
2
,,c
n
)
取代
X
,得到一个唯一确定的实数
T
f(c
1
,c
2
,,c
n
)X
0
AX
0
,称该实数为
f(x
1
,,x
n
)
在
XX
0
时的 值.
T
定义1 设有
n
元实二次型
f(x
1
, x
2
,,x
n
)XAX
,如果对于任何一组不全为零的
实数
c
1
,c
2
,,c
n
,都有
f(c
1
,c
2
,,c
n
)
＞0,那么称
f( x
1
,x
2
,,x
n
)
是正定二次型.
正定二次型的矩阵
A
称为正定矩阵(
A
是正定矩阵简称A正定).
T
定理7.3.1
n
元实二次型
f(x
1
,x< br>2
,,x
n
)XAX
正定的充分必要条件是它的正惯
性指 数
pn
.
证 若
f(x
1
,x
2
, ,x
n
)
的正惯性指数
pn
,则经可逆变量替换
XP Y
,可化为规范
形
22
f(x
1
,x
2
,,x
n
)y
1
2
y
2
y
n
. (1)
T
任取
X
0
(c
1
,c
2
,,c
n
)0
,代 入
PYX
,得线性方程组
PYX
0
.由
p
可逆 及
X
0
0
,可得唯一非零解
Y
0
p
 1
X
0
.令
Y
0
(b
1
,b
2
,,b
n
)
T
0.
得
22
f(c< br>1
,c
2
,,c
n
)b
1
2
 b
2
b
n
＞0.故
f(x
1
,x
2
,,x
n
)
是正定二次型.
T
反之,若
f(x
1
,x
2
,,x
n
)XAX
正定,而正惯性指 数
p
＜
n
.1＝.设秩
(A)p
,则
该二次型经 可逆变量替换
XQ
1
Z
,化为规范形:
222
f(x< br>1
,x
2
,,x
n
)z
1
2
 z
2
z
n1
z
n
.
(2)
p个np个

T
取
Z
0
( 0,,0,1,,1)
,得
X
0
Q
1
Z
0< br>.由
Z
0
0
且
Q
1
可逆,知
X< br>0
0
.令
X
0
(k
1
,k
2< br>,,k
n
)
T
0
,代入(2),得
f(k
1
,k
2
,,k
n
)0
,与
f(x
1
,x
2
,,x
n
)
正定矛盾.
2).设秩< br>
A

rp
,则该二次型经可逆变量替换
XQ
2
W
化为规范形:
22
f(x
1
,x
2
,,x
n
)w
1
2
w
2
p
w
p1
w
r
.

p个np个

TT
取
W
0
(0,,0,1,,1)
.同样可得X
0
(t
1
,t
2
,,t
n
) 0.
f(t
1
,t
2
,,t
n
)(rp) 0,
必与
f(x
1
,x
2
,,x
n
)
正定矛盾.故
pn.

而
由定理7.3.1,可得
推论1
A是n
阶实对称矩阵,
A
正定的充分必要条件是
A
的所有特征值都大于零.
推论2
n
阶实对称矩阵
A
为 正定矩阵的充分必要条件是
A
合同于单位矩阵
E
n
.
由推论1,2可知,
A
是正定矩阵,那么
A
对应的二次型是正定二 次型.这样,对正定二
次型的讨论可以转化为对正定矩阵的讨论,下面给出正定矩阵的几个性质.
性质1 实对称矩阵
A
正定的充分必要条件是存在可逆的实矩阵
Q
,使得
AQQ
.

10
T

事实上,若
A
正定,那么有可逆矩阵
p
,使
P
T
APE
n
.
于是
A(P)P
T
T11
(P
1
)
T
P
1
.令
QP
1
,则有
AQ
T
Q
.
TT11
反过来,若
AQQ
,且
Q
可逆,那么
(Q) AQ
有
pAPE
,由定理7.3.1的推论2知,A正定.
性质2 实对称矩阵A正定,则
|A|
＞0
(Q
1
)
T
AQ
1
E.
令
PQ
1
,便
事实上,在性 质1中,对
AQQ
两边取行列式即得.
为了直接从
A
来判定
A
是否正定,我们先给出
定义2 设
A(a
ij
)是n
阶实对称矩阵,由
A
的前
k
行,前
k
列的元构成的
k
阶子式
T
a
1 1
a
21

a
k1
a
12
a
22




a
1k
a
2k
, 
a
kk
a
k2

称为
A
的
k
阶主子式(或称
k
阶顺序主子式).
取
k1,2,,n,
便得到
A
的所有主子式.
定理7.3.2
A
是
n
阶实对称矩阵,
A
正定的充分必要条件是
A
的所有主子式都大于
零.
证 设
f
k
(x
1
,x
2
,,x
k
)
为
k
元二次型,其矩阵为
A
k
(a
ij
)
kk
.任取
X
0
(c
1
,c
2< br>,,c
k
)
T
0
代入
f
k
,有
f
k
(c
1
,c
2
,,c
k
) 
i,j1

acc.

ijij
k
k个
n

T
令
X
1
(c
1
,,c
k
,0,,0)
,则
X
1
0
.由f(x
1
,x
2
,,x
n
)
正定,有 f(c
1
,,c
k
,0,,0)f
k
(c
1
,c
2
,,c
k
)
＞0,
因此
f
k
(x
1
,x
2
,,x
k
)
正 定,从而
A
k
正定,由性质2, |
A
k
|＞0,
k1,2,,n.

反之，设

a
11


a
A

21



a

n1
A
的所有主子式
|A
k
|
＞0,
k1,2,
样的第三类初等变换,首先有
a12

a
22


a
n2

a
1n


a
2n

.



a
nn


,n
.从第二行起,逐步对
A
的第
i
行,第
i
列施行同

a
1100


0

A

,
 B
1


0


TTTT
TT
其中
a
11
＞0,
B
1
仍为对称矩阵(因为
(P
s
P
2
P
1
AP
1
P
2
P
S
)P
s
P
2
P
1
AP
1
P
2

P
S
T
,P
i
为第三类初等矩阵).如此下去,最后得

11


a
11


d

2
A

. (3)



d
n


由行列式的 性质得知
a
11
|A
1
|
＞0,
a
11
d
2
|A
2
|
＞0,…,
a
11
d
2
d
n
|A|
＞0,因此
a
11
＞
0,
d
i
＞0,
i2,,n
.而(3)相当于 
a
11


d

2
P
T
AP

,



d
n


其中
p
为第三类初等矩阵的乘积,而
A
对应的二次型 经可逆变量替换
XPY
,有
22
f(x
1
,,xn
)a
11
y
1
2
d
2
y
2
d
n
y
n
.


f(x
1
,x
2
,,x
n
)
的正惯性指数
pn,因而
f
例1 证明
A
是正定矩阵

1

A

1

1

证 由于
A
的主子式
1
|A
1
|1
＞0,
|A
2
|
1
所以
A
正定.
例2

为何值时,二次型
(x
1
,,x
n
)
正定,故
A
正定.
11


42

.
25

< br>1
4
3
＞0,
|A|1
＞0.
22
f (x
1
,x
2
,x
3
)x
1
2
x
2
5x
3
2

x
1
x
2
2x
1
x
3
4x
2
x
3

是正定二次型.
解
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩阵

1

1


A


1 2

.

125


A
的主子式
A
1
1
,
A
2

1

1

2
, 
1
1

1
A
3


12 5

2
4

.

125
由

1

2
＞0


2

5

4

＞0

12

解得

44
＜

＜0.即当

＜

＜0时,所给二次型为正定二次型.
55
与正定二 次型相仿,我们可以定义负定二次型,半正定二次型.即对任意的
X(x
1,
x2
,,x
n
)
T
0
,若
f(x
1
,x
2
,,x
n
)X
T
AX
＜0,
那么称
f(x
1,
x
2
,,x
n
)为负定二次型;若有
f(x
1
,x
2
,,x
n)X
T
AX
≥0,
那么称
f(x
1,
x< br>2
,,x
n
)
为半正定二次型.
习 题


1.下列矩阵中,哪些是正定矩阵

220



12

13

(1)


25


;
(2)


34


;
(3)

241

.


015


2.下列二次型中,哪些是正定二次型
222
(1)
1 0x
1
2x
2
3x
3
4x
1
x2
4x
1
x
3
;
222
(2)
5x
1
x
2
5x
3
4x
1
x2
8x
1
x
3
4x
2
x
3
.
3.

取何值时,下列二次型是正定的.
22

( x
1
2
x
2
x
3
)2x
1
x
2
2x
2
x
3
2x
1
x
3
.
4.证明:如果
A
正定,那么
A
1
、
kA(k0)
、
A
*
也正定.
5.如果
A,B为n< br>阶正定矩阵,证明
AB
也是正定矩阵.






13