河南公安高等专科学校-班队活动方案

第六章 二次型(一般无大题)
基本概念
1. 二次型: 个变量得二次齐次函数
f(x
1
,x
2
,
L
,x
n
)a
11
x
1
2
2a
12
x
1
x
2
2a
13
x
1
x
3< br>
L
2a
1n
x
1
x
n
ax 2a
23
x
2
x
3

L
2a
2 n
x
2
x
n

L
2ax
称为元二次型, 简称二次型、 其中,则
2
f(x
1
,x
2
,
L
,x
n
)a
11
x
1
a
12
x
1
x
2
a
13
x
1
x
3
L
a
1n
x
1
x
n
2
 a
21
x
2
x
1
a
22
x
2< br>a
23
x
2
x
3

L
a
2n
x
2
x
n
2
222
2
nnn


LL
2
a
n1
x
n
x
1
a
n2
x
n
x
2
2a
n3
x
n
x
3

L
a
nn
x
n



x
1
x
2
L

a
11

a
x
n


21

L< br>

a
n1
a
12
a
22
L
a
n2
L
L
L
L
a
1n

x
1


a
2n



x
2

L


M



ann

x
n

x
T
Ax
因此,二 次型也记,称为二次型f得矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把
矩阵得 秩称为二次型得秩,记作R(f)=R(A)、
例题:写出下列二次型得矩阵:(p书126例6、1)
2
、
合同矩阵得定义及性质

2、1合同矩阵定义
设均为 阶方阵,若存在可逆矩阵,使得,则称矩阵与合同,记、
实对
称矩阵与合同得充要条件就是二次 型与有相同得正,负惯性指数、(A得正, 负惯性指数:A得特征值得
个数)

合同就是矩阵之间得另一种关系,它满足
(1)反身性,即;
(2)对称性,即若,则有;
(3)传递性,若与,则有
因此,经过非退化得线性替换,新二次型得矩阵与原二次型得矩阵就是合同得、
在数域中要使两个二次型等价,充分必要条件就就是它们得矩阵合同、
2、2 合同矩阵得性质
性质1
合同得两矩阵有相同得二次型标准型、
性质2
在数域上,任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵、
性质3
矩阵合同与数域有关、
例2 设均为数域上得阶矩阵,若合同,则,反之,若,问在上就是否合同？

证

若与合同,即存在可逆矩阵,使、由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵得秩,故
与有相同得秩、

反之,若,则与在上不一定合同、例如,方阵=,=得秩相等,而非对称方阵不能与对称
方阵合同、
例3 设=,=,证明:如果与合同,与合同,则与合同、
证 由于与合同,与合同,故存在满秩矩阵,,使得,,于就是令,则有,即与合同、
2.3 合同矩阵得判定
定理1
两复数域上得阶对称矩阵合同得充分必要条件上就是二者有相同得秩、
定理2
两实数域上得阶对称矩阵合同得充分必要条件就是它们有相同得秩与符号
差、
2、4矩阵与合同矩阵得等价条件
定理1 如果与都就是阶实对称矩阵,且有相同得特征根、则,既相似又合同、
定理2

若阶矩阵,中有一个就是正交矩阵,则与相似且合同、
定理3 若与相似且合同,与相似且合同,则与相似且合同、
例5 已知=,=,=,试判断,,中哪些矩阵相似,哪些矩阵合同？
分析 矩阵得秩与矩阵,得秩不等,则不可能与,相似或合同,只有讨论, 了、
解 得秩为3,而,得秩为2,故与,既不相似又不合同、
又得迹就是8,而得迹就是6,不相等,故与不 相似,最后,就是对称矩阵,而不就是,所
以,与也不合同、
所以,矩阵,,相互之间既不相似又不合同、
3、二次型得标准型, 规范性
标准型: 二次型经过合同变换化为称为得标准形、(在一般得数域内,二次型得标准形不就是唯一得,
与所作得合同变换有关,但系数不为零得平方项得个数由唯一确定)
规范形: 任一实二次型都可经合同变换化为规范形,其中为得秩, 为正惯性指数,为负惯性指数,且规
范型唯一。
4、化二次型为标准型方法
(1) 配方法(任何二次型都可可由此化为标准型)
①如果二次型中至少含有一个平方项,不妨设,则对所有含有得项配方,经配方后所余各项中不再含有,
如此继续, 直至每一项都包含在各完全平方项中, 引入新变量,由, 得
例:p书131例6、4
②如果二次型中不含平方项,只有混合项,不妨设, 则可令, ,,,,然后按①得方法继续做、
例:p书131例6、5
(2) 正交变换法
设就是阶实对称矩阵, 按以下步骤进行:
① 求出得全部特征值、
② 对每个(),求出得一个基础解系;
③ 将正交化,单位化,得,它就是单位正交向量组,而且就是得属于得线性无关得特征向量、
④ 以,, 列向量, 构造出正交矩阵, 即为所求正交变换矩阵,使为对角矩阵、

⑤ 再利用正交变换x=Py,二次型可化为标准型f=ƛ
1
y
1
^2+ ƛ
2
y
2
^2+…+ ƛ
n
y
n
^2,其 中ƛ
i
为对角矩阵得对
角元素,也为得全部特征值、因为对角矩阵得位置任意性,故二 次型化为标准型得答案不唯一、
例4 用正交变换化二次型为标准形、
解
f
得矩阵为
A
得特征多项式为
A
得特征值为(二重),


可得
A
对应于得两个线性无关特征向量为
显然已经正交、

得
A
对于得特征向量为
将 ,

,

作正交变换

则 、
例5 已知二次型通过正交变换化成标准形、
(1)求参数
a
及所用得正交变换矩阵;
(2)表示什么曲面？
解 二次型
f
得矩阵为
A
得特征多项式为


由题设可知
A
得特征值为
将代入, 得
因, 故取, 这时, 、
对于, 解, 即
解得对应得特征向量为 、
对于, 解, 即得对应得特征向量为、
对于, 解, 可得对应得特征向量为、
将单位化:
,,
故所用正交变换得矩阵为
(2)当时, 就是椭球面、
例6 设二次型

经正交变换化成、其中, ,
P
就是三阶正交矩阵、 试求常数
a
,
b
、
解 二次型
f
经变换前后得矩阵分别为

故二次型
f
可写为
由于且
P
为正交矩阵, 故且,
因此
即 等价于
由此式可得为所求得常数、
注1:对于同一个二次型来说,她得标准型不唯一;
注3:对二次型所有标准型当中所含有得项数就是一致得,所含得正系数得个数也唯一、
5、 二次型得正定性及正定矩阵
(1) 如果实二次型,对任意一组不全为零得实数,都有,则称该二次型 为正定二次型,正定二次型得矩阵
称为正定矩阵。
(2) 惯性定律
设有实二次型

,它得旨为r,有两个实可逆变换
x=Cy,及x=Pz使

及

则

中正数得个数相等、
(3) 二次型正定得判别法:
实二次型正定得充要条件就是以下条件之一成立:
① 二次型得标准型中得n个系数全为正,即正惯性指数为;
② 得特征值全大于零;
③ 得所有顺序主子式全大于零;
④ 存在可逆矩阵,使
⑤ 存在正交矩阵,使,,
(4) 对称阵a正定得充要条件就是:a得各阶顺序主子式都为正;对称阵a负定得充要条件就是:奇 数阶
顺序主子式为负,而偶数阶顺序主子式为正、
注:设为n阶矩阵,由得前k行与前k列构成k阶子式
得k阶顺序主子式、
例1 用配方法化二次型为标准形, 并判断
f
得正定性
解 先将含
x
1
得各项合并在一起, 配成完全平方, 再接着处理、


令 (5-1)

,成为矩阵
得二次型得标准形为因
f
得正惯性指数小于3, 故
f
非正定二次型、
例3 求

得值, 使二次型就是正定得, 并讨论得情况、

解
f
得矩阵为

f
正定得充要条件就是
A
正定, 而A正定得充要条件就是A得各阶顺序主子式全大于零、

A
得各阶顺序主子式为
,,,
由以上各式可知, 当时,
A
得各阶顺序主子式全大于零, 此时
A
正定, 因而
f
正定、
当时,
A
得各阶顺序方子式非负, 此时
f
为半正定、
当时,
A
得各阶顺序主子式符号不确定, 此时
f
就是不定得、
例4 设二次型问

取何值时,
f
为正定二次型？
解
f
得矩阵为

f
正定得充要条件就是
A
得顺序主子式全大于零、 事实上,
A
得顺序主子式为:
, ,
于就是,
f
正定得充要条件就是且、 联解不等式组:
可得、 当时,
f
正定、