盐城高等师范-有关荷花的作文

北师大版高中数学必修4教案集


北师大版高中数学必修4第一章 《三角函数》全部教案

定边中学杜卫军整理
§1.1周期现象与周期函数
一、教学目标
知识与技能
（1）了 解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周
期函数的概念；（ 4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简
单运用。
过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感 知周期现
象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的 认识，感受生活中处处有数学，从而激
发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的 观点认识事物。
二、教学重、难点
重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过 具体现象让学生通
过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的 定义，
再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海

1

水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次 ，这种现象就是我们今天要
学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时 针、分针和秒针
每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周 期
现象与周期函数。(板书课题)
【探究新知】
1．我们已经知道，潮汐、钟表都 是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图
片）， 注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每 隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季 变化等）
（板书：一、我们生活中的周期现象）
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现 象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相
关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图1-1中的“Hm”和“th”？
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？
以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即
存在 不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
（板书：二、周期函数的概念）
3．[展示投影]练习:
已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。
求f(x＋2T) ，f(x＋3T)
略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)
f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x)
本题小结，由学生完成，总结 出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避
免引起混淆，特指最小正周期。
(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)
略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005
(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)
略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2
【巩固深化，发展思维】

2

1．请同学们先 自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展
开合作交流。
2．例题讲评
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？如果是，这个函数
y＝f(t)是不是周期函数？
例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线 MN的距离y是时间t的函数，y
＝g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t＋T)＝g(t),其 中T为钟摆摆动一周（往返一次）
所需的时间，函数y＝g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN 的角θ的度数为变量，根
据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。
例3 .图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设
水车5min 转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3．小组课堂作业
(1) 课本P6的思考与交流
(2) (回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那 一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星
期几?100天后的那一天是星期几?
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
1．作业：习题1.1第1,2,3题．
2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点．
七、课后反思








3

§1.2角的概念的推广（1课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1） 推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的
角的概念；（3） 理解任意角的概念，掌握所有与

角终边相同的角（包括

角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运
算。
过程与方法
类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动 的观点阐
述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，< br>在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及
象限角 的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探
索具有相同终边的角 的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对 角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运
动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引 发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、
探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美， 培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道 最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,
把角的概念进行了推广；角是一 个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角
的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的 表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要
弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终 边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规

4

四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们 在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到 ，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系
呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时 间，2-3分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？
我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。
【探究新知】
如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个
位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动< br>而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)
正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．
我们规定 ：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来
的位置
OA
，绕着它的端点
O
按逆时针方向旋转到终止位置
OB
，就形成角
.旋转开始时
的射线
OA
叫做角的始边，
OB
叫终边 ，射线的端点
O
叫做叫

的顶点.按顺时针方向旋转
形成的角叫做负 角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把
这个角叫做零角，如果α是零 角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总
是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前 提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。
过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件 ）中的角α就是一个0°～360°范围
内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时 针方向旋转一周、两周……而形
成的角是多少度?是不是仍为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程 ，让学生思考；为终边
相同角概念做准备)．将终边OB旋转一周、两周……，分别得到390°，75 0°……的角．如
果将OB继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将OB按顺时针方向 旋转，
也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三版)．如
图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，γ＝－
660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转体720°”
(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手

5

旋转而形成的角．
角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．
2．象限角、坐标轴上的角的概念．
由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内 讨论角，(板书)我们使角的顶点与
原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的 终边(除端点外)在第几象
限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的3 0°、390°、－330°
角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角； 585°角是第三象限角．
(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
3．终边相同的表示方法．
(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线 0A为x轴建立直角坐标系，重新
演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边OB按逆时针方向旋 转一圈、两圈……，分别
得到390°，750°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是 转过的圈数不同，
它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2 ×360°，……在图
(2)中，如果将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330° ，－690°……的
角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用 30°的
角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，…… < br>由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°的角
与 k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，那
么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同
30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与30°角终边相
同。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1.判断下列各角是第几象限角.
(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．
解：(1) ∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴
585 °与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵ —950°
12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第 二
象限角.
例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.

6

解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即9 0°与270°角，因此，所有与
90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360 °，k∈Z}；所有与270°角终边
相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k ∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集
合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z} ∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.
例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并 把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元
素β写出来.
解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：
60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420 °.
2．学生课堂练习
参考练习 (通过多媒体给题)。
(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个
问题.
(2)与—496°终边相同的角是 ，它是第 象限的角，它们中最小正角
是 ，最大负角是 。
(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y
轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；
若角α是第二象限角，则180°—α是第 象限角。
[答案](1)是，不一定.
(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.
(3)—100°，—1200°．
(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。(k∈Z)；
α一β＝180°十k·360°(k∈Z)；一.
五、归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?
象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?
（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业:
习题1.2第2,3题．

7

七、课后反思



§3 弧度制（1课时）
一、教学目标：
知识与技能 < br>（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度
与 弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制
下的弧长公 式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入 弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的
互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的 互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题
使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习 和合作学习，树立学生正确的学习态
度。
情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使 学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却
是相互联系、辩证统一的；在弧度制 下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要
进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制 给角的加、减运算带来的诸多不便，体现
了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到 引入弧度制的优越性，激发
学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教学用具
在 初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯
的问题，与我们 常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通
过自主学习的形式，让学生感 受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教学用具:多媒体、三角板
四、教学思路

8

【创设情境，揭示课题】
1
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的
360
规
定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中
我们还经常 用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概
念．(板书课题)弧度制的单 位是rad，读作弧度．
【探究新知】
1．1弧度的角的定义．
(板书)我们把 长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—
14(见教材)，弧AB的 长等于半径r，则弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记
作rad。
在图1（课 件）中，圆心角∠AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是2rad；圆心
11
角∠AOD所对的弧长l＝
2
r，那么∠AOC的弧度数就是
2
rad；圆心 角∠AOE所对的弧长为l，
那么∠AOE的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制 的定义．
2．弧度制的定义：
一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数
l
是o ；角α的弧度数的绝对值|α|＝
r
，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆
的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中， 我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为
什么可以用这个比值来度量角的大小呢 ?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同
学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可 以看出，这个比值与所取的半径大小无关，
只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证 明：
(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB和AlB l的长分别为
l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r＞0)和rl(rl＞0 )，由初中所学的
n

n

n

l
l1
r
弧长公式有l＝
180
r，l1＝
180
r1，所 以
r
＝
1
＝
180
，这表明以角α为圆心角所对的弧
长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度

9

量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二 者之间就应该
可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
2

现在我们知道：1个周角＝360°＝< br>r
r，所以，(板书)360°＝2πrad，由此可以得

180
到 180°＝πrad，1°＝
180
≈0．01745rad，1rad＝（

）°≈57.30°＝57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．
今后我们 用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的

弧度 数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin
3
就表示
3
rad的角的 正弦，但用角度制
表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写 成多

少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝
4
rad ，不必写成45°＝0．785
弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而 角度制与弧度制可以相互转化，所以
与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但 书写时要注意前后两项所
采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度 制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一
一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应， 例如这个角的弧度数或度数；反过
来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于 这个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．把45°化成弧度。

解：45°＝
180
×45rad＝
4
rad.
3

例2．把
5
rad化成度。
3

3
解：
5
rad＝
5
×180°＝108°.

10


1
例3．利用弧度制证明扇形面积公式S ＝
2
lr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。
1
l
证：∵圆心 角为1的扇形的面积为
2

·πr2，又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为
r
，
l
11
∴扇形的面积S＝
r
·
2
< br>·πr2＝
2
lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
度 0° 45° 60° 180° 360°
弧度



3

6


2

2

说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：
习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思











11

§4.1 锐角的正弦函数§4.2 任意角的正弦函数§4.3正弦函数y＝sinx的图像（2课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理 解通过单位圆
引入任意角的正弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段 的概
念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的
正弦曲线。
过程与方法
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由 于我们已将角推广到任意角的情
况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角 坐标系中来找直角
三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第 二节
课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，
巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的 认识；在由锐角的正弦函数推广
到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统 一的思想；通过单
位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决 问题
的能力。
二、教学重、难点
重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点: 1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。
三、学法与教学用具
在初 中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直
角坐标系中时，角 的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，
通过函数定义的形式引出正弦 函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的
基础上，通过平移正弦线得出其图像， 再归结为五点作图法。

12

教学用具:投影机、三角板

第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正弦函数
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
我们学习 角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念
的推广及弧度制、象限 角等概念；（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪
些性质？学生思考回答以后，教师 小结。（板书课题）
【探究新知】
A
对边
在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：sinα＝
斜边
，
b
c
如图：
都是
角放

r

y
C a B
a
sinA＝
c
，由于a是直角边，c是 斜边，所sinA∈(0，1)。由于我们通常
将
到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？
P(a，b)

（如图所示），设角α（α∈（0，
2
））

O M
在直角坐标系中，
的终
x
边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角α的正弦值是：
bb
sinα＝
r
.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，
r
都不会随圆的半经的改变而< br>改变。为简单起见，令r＝1(即为单位圆)，那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单
位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角， 那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为
该如何定义任意角的正弦函数?
一般地，在 直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我
们可以唯一确定点P （a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函
数，记作y＝sinα(α∈R )。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示
为y＝sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值.

13


7

请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：
3
角与
3
角的终边与单位圆的交点

8


5

的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？
3
角和
3角呢？－
3
角和
3
角呢？
2

14

－
3
角和－
3
角呢？
通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦 函
数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k
∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地 ，对于周期函数f(x)，如
果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x )的最小正周期。
【巩固深化，发展思维】
课本P17的思考与交流。
课本P18的练习。
2
3．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sinα＝—
3
，求y值．
4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x (x≤0)
的图像上，则sinα＝ 。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思







14

第二课时 §4.3正弦函数y＝sinx的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有 许多地方用到三角函数。
今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函 数是一个周期函
数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。
【探究新知】
正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计
一种方法加以解决?引出有向线段的概念．
有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，
y＞0时，把MP看作与y轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在
一、二象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向)．
y＜0时，把MP看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程．让
学生 看清后定位，运动的方向表明与y轴反向)．
师生归纳：①MP是带有方向的线段，这样的线 段叫有向线段．MP是从M→P，而PM则
是从P→M。②不论哪种情况，都有MP＝y．③依正弦定义 ，有sinα＝MP＝y，我们把MP叫
做α的正弦线．
(投影仪出示反馈练习) 当α为特 殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过
程，让学生清楚认识到：当α终边在x轴上时， 正弦线变为一个点，即 sinα＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法）y=sinx x[0,2]
作单位圆，把⊙O十二等分（当然分得越细，图像越精确）

15
α的终边
P
y
M O x



十二等分后得对应于0,
6
,
3
,
2
,…2等角，并作出相应的正弦线，
将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形”
取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
描图（连接）得y=sinx x[0,2]
（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x[2k，2(k+1)] （kZ，k0）
与函数y=sinx x[0,2]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2单位长。
可以得到y＝sinx在R上的图像


-
-
4
3
-
2
x

五点作图法：




由上图我们不难发现，在函数 y=sinx，x[0,2]的图像上，起着关键作用的有以下五个关

3
键点： (0,0) (
2
,1) (,0) (
2
,-1) (2,0)。描出这五个点后，函数y=sinx，
x[0,2]的图像的形状就基本上确定了。 因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出
这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到 这个函数的简图。我们称这种画正
弦曲线的方法为“五点法”。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。
（1）y＝－sinx （2）y＝1＋sinx



解：（1）列表
x 0

2

1
π
0
3

2

－1
2π
0 y＝－sinx 0
1

） 描点得y＝－sinx 的图像：（略，见教材P22
2．学生练习
y o

16

教材P22
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业
作业：习题1—4第1,2题．
四、课后反思























17

§4.4 正弦函数的性质（2课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦 诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱
导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导 ；（5）理解并掌握正弦函数的
定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练 运用正弦函数的性质
解题。
过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α ,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦
函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2 π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；
通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性 质；讲解例题，总结方法，巩固练
习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学 生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，
培养学生的自信心；使学生认识到转化 “矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事
求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上，运 用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正
弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌 握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，
直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识； 理解掌握正弦函数的性质；以学生的自
主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:投影机、三角板





18

第一课时 正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相 同的角的正弦函数值也
相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，这一公式体现了求任意 角的正弦函数值转化为求
0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐 角的正弦函数，那
么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
复习：（公式1）sin(360k+) = sin
对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角）

 当0

，90

)


180
< br>）

180当90，



270
）

180当180，

360

当270

，360

）





为第一象限角
为第二象限角
为第三象限角
为第四象限角
（以下设为任意角）
公式2：

设的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+终边与单位圆交于点P’(-x,-y)， 由正弦线
可知： sin(180+) = sin




4．公式3：
如图：在
可得：
sin() = sin,
公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180) = sin[180+()] = sin() = sin,
同理可得： sin(180) = sin,

19
y
P (x,y)

o
，
y
P(x,y)
x
P (-x,-y)
P’(x,-y)

单位圆中作出α与－α角的终边，同样
M
o x

6．公式5：sin(360) = sin
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
求下列函数值
7
（1）sin(－1650)； （2）sin(－15015’)； (3)sin(－
4
π)
解：（1） sin(－1650)＝－sin1650＝－sin(4×360＋210)＝－sin210 ＝－sin(180
1
＋30)＝sin30＝
2

(2) sin(－15015’)＝－sin15015’＝－sin(180－2945’)＝－s in2945’＝－
0.4962
7

2
(3) sin(－
4
π)＝sin(－2π＋
4
)＝sin
4＝
2

sin

2




sin

3




例2．化简：sin






sin

3




sin



< br>


解：（略，见教材P24）
学生练习
教材P24练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思








20

第二课时 正弦函数的性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质 的几个角度，你还记得
有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像， 下面请同学们
根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：
正弦函数的定义域是什么？
正弦函数的值域是什么？
它的最值情况如何？
它的正负值区间如何分？
ƒ(x)＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
定义域：y=sinx的定义域为R
值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]

3．最值：1对于y＝sinx 当且仅当x＝2k＋
2
,kZ时 ymax＝1

当且仅当时x＝2k－
2
, kZ时 ymin＝－1
2当2k＜x＜(2k+1) (kZ)时 y＝sinx＞0
当(2k-1)＜x＜2k (kZ)时 y＝sinx＜0
4．周期性：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin(2k＋x)＝sinx也可以说明
结论：y＝sinx的最小正周期为2
5.奇偶性
sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x∈R)是奇函数
21

6．单调性
x

…
2
－
－1

0 …


2

1
…

π …

3

2

－1 sinx 0 0


增区间为[－
2
＋2kπ，
2
＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；

3

减区间为[
2
＋2kπ，
2
＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材P26）
2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：
习题1—4第3、4、5、6、7题．
四、课后反思








22

§5 余弦函数（2课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1）了解任 意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱
导公式；（4）能利用 五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数
的图像推导出余弦函数的性 质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结
合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三 角函数定
义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得
到余弦函 数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看 问题，建立数形结合的思想，
激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验 自身探索成功的
喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学 生
形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念 是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角
的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们 就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数
的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦 函数的诱导公式。用五点作图的方
法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性 质。
教学用具:投影机、三角板




23

第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
邻边
在初中，我们不但学习了正 弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝
斜边
。同样地，当我们
把角放在平面直角坐标 系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈R).
P(a，b)
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则
O M x
r

y
ba
角α的正弦和余弦分别为：sinα＝
r
，co sα＝
r
.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
π－α

α
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cosα
cos(－α) ＝ cosα
cos(2π－α) ＝cosα
cos(π＋α) ＝－cosα
P’


24
π＋α
－α
y
P(x,y)
M
M’
o x

cos(π－α) ＝－cosα

请同学们观察右图，角α与角
2
＋α的正弦、余弦函数值有什么关

系？由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标 sin(
2
＋α)

相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos (
2
＋α)互为相反数。我们可以得到：

sin(
2
＋α)＝cosα cos(
2
＋α)＝－sinα

问题与思考：验证公式 sin(
2
＋α)＝cosα

cos(
2
＋α)＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦
y
函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评

例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角α的余弦
函数值。
解：∵x＝2，y＝－4 ， ∴ r＝|OP|＝2
5

－4
P
2 x
x
5
∴cosα＝
r
＝
5

例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数值。 < br>解：(提示：在r＝|OP|＝2
5
|t|中，分t＜0和t＞0两种情况，见教材P3 1)
例3．求值：
11

9

3

（1）cos
6
（2）cos
8
（3）cos(－
4
)
（4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’)

25

11


3
解：（1） cos
6
＝cos（2π－
6
）＝cos
6
＝
2< br>
9



（2）cos
8
＝cos （π＋
8
）＝－cos
8
≈－0.9239
(3)、（4）、（5）略，见教材P33
cos

2




cos

3




例4 ．化简：
cos






cos
3




cos







解：（略，见教材P33）
学生练习
教材P31的练习1、2、3 和 P34的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
















26

第二课时 余弦函数的图像与性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中，我 们知道正弦函数y＝sinx的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到
的，在精确度要求不高时， 可以采用五点作图法得到。那么，对于余弦函数y＝cosx的图像
是不是也是这样得到的呢？有没有更 好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数y＝cosx的图像
由诱导公式有：

与正弦函数关系 ∵y＝cosx＝cos(－x)＝sin[
2
－( －x)]＝sin(x＋
2
)

结论：（1）y＝cosx, xR与函数y＝sin(x＋
2
) xR的图象相同

（2）将y＝sinx的图象向左平移
2
即得y＝cosx的图象

（3）也同样可用五点法作图：y＝cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) (
2
,0) (,-1)
3

(
2
,0) (2,1)



2


－1
y
1
1
-
o
1
y

2

3

2
2

x
x
（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y＝cosx x[2k,2(k+1)] kZ,k0的图像
与 y＝cosx x[0,2] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）





-
4

-
3

-
2

-

1
-
y o
1
y

2

3

4

5

6
x

x
2．余弦函数y＝cosx的性质
观察上图可以得到余弦函数y＝cosx有以下性质：
（1）定义域：y=cosx的定义域为R
（2）值域： y=cosx的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）

27

(3)最值：1对于y＝cosx 当且仅当x＝2k,kZ时 ymax＝1
当且仅当时x＝2k＋π, kZ时 ymin＝－1

2当2k-
2
2
(kZ)时 y=cosx>0

3

当2k+
2
2
(kZ)时 y=cosx<0
(4)周期性：y＝cosx的最小正周期为2
(5)奇偶性
cos(－x)＝cosx (x∈R) y＝cosx (x∈R)是偶函数
(6)单调性
增区间为[（2k－1）π， 2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例1．请画出函数y＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。
解：（略，见教材P36）
2．课堂练习
教材P37的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P38的习题8、9、10、11
四、课后反思







28

§6 正切函数（2课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概 念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切
线的画法；（4）能用单位圆中的正切线 画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像
推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函 数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思
想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法 < br>类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关
系；让 学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的
图像；能学以致用， 结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对正 切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，
激发学习的学习积极性；培 养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的
喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形 成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式 给出来的，从而把
锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比 较，
得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；
通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板

第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次 课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助
于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、 余弦函数的学习方法，在直角坐标系

29

内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】
正切函数的定义

在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠
2
＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位
bb
圆交于点P（a，b），唯一确定比值a
.根据函数定义，比值
a
是角α的函数，我们把它叫作

角α 的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠
2
＋kπ，k∈Z.
sin

比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝
cos

(α∈R，α≠
2
＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为 自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角
函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：
o
y
30

T
x
A

当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
210
当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，
我们称有向线段AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
P
xk< br>

（1）首先考虑定义域：

2

kz


（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
tan

x




sin

x


sinx


 tanx

xR,且xk

,kz

cos

x


cosx2




ytanx

xR,且xk

,kz

2

的周期为
T

（最小正周期） ∴

30





,

（3）因此我们可选择

22

的区间作出它的图象 。












根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数
ytanx
y


2
O

2
x
xR
，且
x













2
k


kz

的图像，称“正切曲线”
y
3


2




2
0

2

3
x

2

31


从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝
2
＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线
组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线 。
3．正切函数y＝tanx的性质
引导学生观察，共同获得：



x|xk

,kz

2

， （1）定义域：

（2）值域：R
观察：当
x
从小于
k



2

kz


x k
，



2
时，
tanx
当
x
从大于
2
（3）周期性：
T


 k


kz

x
，

2
k


。 时，
tanx
（4）奇偶性：
tan

x

tanx
奇函数。





k

,k


kz
2

（5）单调性：在开区间

2
内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思


第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图 像与性质的。在学正切
函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？

32

【探究新知】
观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关
系？
y





3



0


3

2


2
2
2

x






我们可以归纳出以下公式：π－α，
tan(2π＋α)＝tanα
tan(－α)＝－tanα
tan(2π－α)＝－tanα
tan(π－α)＝－tanα
tan(π＋α)＝tanα
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
2例1．若tanα＝
3
，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
2
解：∵tanα＝
3
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角
2< br>（1）如果α是第一象限的角，则由tanα＝
3
可知，角α终边上必有一点P（3，2 ）.
y
213
x
313
所以x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝
13
∴sinα＝
r
＝
13
， cosα＝
r
＝
13
.
33

yx
213313
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝
r
＝－
13
， cosα＝
r
＝－
13
.
tan

2




tan

3




例2．化简：
tan






tan

3




tan








tan

tan

tan

tan





1
解：原式＝

tan





tan






tan






＝tan


tan


tan


＝－
tan

.
2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P45习题A组1—11
四、课后反思

















34

§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（1课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1）进一步理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)， 掌握A、φ、ωx＋φ的含义；（2）熟练掌握由
ysinx
的图象得到函数
yA sin(x)k(xR)
的图象的方法；（3）会由函数y＝
Asin(ωx＋φ) 的图像讨论其性质；（4）能解决一些综合性的问题。
过程与方法
通过具体例题和学生练习 ，使学生能正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；并根据图像
求解关系性质的问题；讲解例题 ，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学 生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问
题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的 严谨性，培养学生逻辑思维的
缜密性。
二、教学重、难点
重点:函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质。
难点: 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、余弦、 正切函数的性质，如：定义域、值域、最值、周期性、单
调性和奇偶性，那么，对于函数y＝Asin( ωx＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一
节课就研究这个问题。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函 数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，
也是高考 的热点，因为，函数y＝Asin(ωx＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，
与我们的生活息 息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由
ysinx
的图象得到 函数
yAsin(x)
的图象？
（2）如何用五点法作
yAsin(x)
的图象？

35

（3）
A、、
对函数
yAsin(x)
图象的影响作用
函数
yAsin(x),x

0,),(其中A0,0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T
T：
2

往复振动一次所需的时间，称为“周期”
1

T2
单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
f
f：
x
：称为相位

：x = 0时的相位，称为“初相”

yAsin(x),(A0,0,||)< br>2
的最小值是2，其图象最 例一．函数
高点与最低点横坐标差是3，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。
T1
2
3
6
3
解：易知：A = 2 半周期
2
∴T = 6 即

从而：
1
y2sin(x)
3
设： 令x = 0 有
2sin1

||
又：

1
< br>y2sin(x)
2
∴
6
∴所求函数解析式为
36


1
ysinx
2
例二．函数f (x)的横坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移
2
个单位所得的曲线是
的图像，试求
yf(x)
的 解析式。
y
解：将

11
sinxysin(x)
222
的图像向右平移
2
个单位得：
1
11
yc osxycos2x
22
即的图像再将横坐标压缩到原来的
2
得：
1
yf(x)cos2x
2
∴

36

例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。
411

（1）y＝sinx－2 (2)y＝
3
sin
2
x (3)y＝
2
cos(3x＋
4
)

解：（1）当x＝2 kπ＋
2
(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx－2取最大值－1； < br>3

当x＝2kπ＋
2
(k∈Z)时，sinx取最小值－1，此时函 数y＝sinx－2取最小值－3；
（2）、（3）略，见教材P59
1

例四．（1）求函数y＝2sin(
2
x－
3
)的递增区间；
5

1
（2）求函数y＝
3
cos(4x＋
6
)的递减区间。
解：略，见教材P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材P60练习3
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1-7第4，5，6题．
七、课后反思










37

§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2课时）
一、教学目标：
知识与技能
（ 1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx
＋φ 的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变
换；（4） 会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位
变换画出函数 的图像。
过程与方法
通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本 要求；通过在同一个
坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能 利用五
点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动 变化的观点认识
事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的 学
习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像
三、学法与教学用具 < br>在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们
回忆， 然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让
他们画图，教师只是 加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推
广；先分解各个小知识点，再综合 在一起，上升更高一层。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 y＝sinx和y＝Asinx的图像， y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在物理和工程技术的许多问题中，经常会 遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，例如：在简
谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y＝ Asin(ωx＋φ)的函数。正因为此，我们要
研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。

38

【探究新知】
1
例一．画出函数y=2sinx xR；y=
2
sinx xR的图象（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：







作图：








2
1
y=2sinx
x
sinx
2sinx
0
0
0

2

3

2


0
0
0
2
0
0
0
1
2
1
2

-1
-2
1
-
2

1
0

2
sinx
y
2
1
-1
O
-2
1
2
y=sinx
y=
1
sinx
2


2
2
x
2
配套练习：函数y＝
3< br>sinx的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xR(A >0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或
缩短(02．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。
性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性
变化的有值域、最值、
由上例和练习可以看出：在函数y＝Asinx（A＞0）中，A决定了函数的 值域以及函数的最大
值和最小值，通常称A为振幅。

39


例二．画出函数y=sin(x+
3
) (xR)和y=sin(x
4
) (xR)的图像（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：















y=sinx

x+
3

0


3

x

2


6


2

3

3

2
2

7

5

6

3


0
sin(x+
3
)
1 0 -1 0
1

O
1

y=sin(x+
)

3

2
3
4
y=sin(x-
x

)
4

配套练习：函数y＝sin（x－
15
）的图像与函数y＝si nx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
y=s in（x＋φ），xR(φ0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移φ(φ>0)个单
位 或向右平移－φ个单位(φ＜0＝得到的。
性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期
变化的有奇偶性、单调区间与单调性
由上例和练习可以看出：在函数y=sin（x＋φ），xR( φ0)中，φ决定了x＝0时的函数，
通常称φ为初相，x＋φ为相位。
【巩固深化，发展思维】
课堂练习：P52练习第3题
二、归纳整理，整体认识

40

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思


第二课时 y＝sinx和y＝sinωx的图像， y＝sinx和 y＝Asin(ωx＋φ)的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
上一节课，我们已过y＝sinx和y＝Asinx的图像，y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的 图像间
的关系，请与y＝Asin(ωx＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？
【探究新知】
1
例一．画出函数y=sin2x xR；y=sin
2
x xR的图象（简图）。
解：∵函数y=sin2x 周期T= ∴在[0, ]上作图
t
令t=2x 则x=
2
从而sint=sin2x
列表：
t=2x
x
sin2x
作图：







0
0
0

2


4



2

3

2

3

4

2

0 1 0 -1
1
y


O
1
y=sin2x
y=sin
1
x
2
4



2
3
4
2
x
y=sinx

41

x
函数y=sin
2
周期T=4 ∴在[0, 4]上作图
列表
x
t=
2

0
0
0


2


3


2

2
4
0
x
x
sin
2


2
1 0
3
-1
2
配套练习：函数y＝sin
3
x的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较，结论：
1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
1
(ω>1)或 伸长(0<ω<1)到原来的

倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
由上例和练习可以看出：在函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)中，ω决定了函数的周 期T
2

1

＝

，通常称周期的倒数f＝
T
＝
2

为频率。

例二．画出函数y=3sin(2x+
3
) xR的图象。
解：周期T=（五点法），设

t=2x+
3
则x=
t 


2x+
3

0


6

3

t


226

x

3sin(2x+
3

2


12



3

3

2

7

12

2
5

6










0 3 0 -3 0
)




3
6
y
1
y=sin(2x+

)

3
y=sin(x+

)

3
O
1

5


6
3
4
x

42

小结平移法过程（步骤）









两种方法殊途同归
【巩固深化，发展思维】
教材P58练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业:教材P62习题2、3、4
四、课后反思









43
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
沿x轴平 移|
φ
|个单位
得y=sin(x+φ)
横坐标伸 长或缩短
得y=sin(ωx+φ)
纵坐标伸 长或缩短
横坐标 伸长或缩短
得y=sinωx
沿x轴平 移|

|个单位

得y=sin(ωx+φ)
纵坐标伸 长或缩短
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一
个周期闭区间上再扩充到R上。

本章复习与小结（1课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及
三 角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的
解题方法， 形成较好的能力。
过程与方法
三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它 们之间的联系，帮助学生系统
地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启 发学生将本章内
容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。
情感态度与价值观 < br>通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何
事，养 成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国
争光，为洋浦的开发 建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的 知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，
再到三角函数的图像与性质；整 理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当
归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、 触类旁通。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】






任意角
的概念

弧长与扇形
面积公式

44
同角三角函
数的关系
诱导公式
角度制与
弧度制
任意角的三
角函数定义
三角函数的
图像与性质

【知识的概括与引申】
1．角是由射线的旋转所产生的，那 么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意
正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得 简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅
使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函 数作好了准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另 一种
三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用的基础。
【例题选讲】
例1．求图中公路弯道处弧AB的长
l
（精确到1m）
图中长度单位为：m
60
R=45
60


解： ∵

3

l

R
∴

3
453.141547(m)

cos
已知 是第三象限角且

2
0

，问
2
是第几象限角？
(2k1)



(2k1)


解：∵

2

(kZ)

k


∴

2


2
k



3

4

(kZ)
则
2
是第二或第四象限角

45

cos
又∵

2
0

则
2
是第二或第三象限角

∴
2
必为第二象限角
sin4cos 
及sin
2
2sincos的值。
例3．已知
sin 2cos
，求
5sin2cos

解：
sin2costan2


sin4co stan421

5sin2cos5tan2126
< br>2
sin
2
2sincostan
2
2tan 426
sin2sincos
222
415

sincostan1


ytan

3x

3

的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

例4．函数
3x
解：由

3
k



2
得
x
k

5


318< br>，
k

5


,kz

x|xR,且x
318



所求定义域为

T
值域为R，周期

3
，是非奇非偶函数。

k

k

5


,


kz

318318

在区间

上是增函数。
【随堂练习】 教材P77复习题一A组1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有那些？你在这节课中的表现怎样？你 的体会是什么？【布
置作业】 教材P77复习题一A组12—15
【课后反思】





46

北师大版高中数学必修4第二章 《平面向量》全部教案

定边中学杜卫军整理
2.1从位移、速度、力到向量（1课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
2.过程与方法
通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相
等的 含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善
于独立思考，学会 分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对向量的实际 背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学
习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚 忍不拔的意志，实事求是的科学学习
态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，

47
A B

问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
【探究新知】
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？
既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重
性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：
AB

注意：起点一定写在终点的前面。
有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段
AB
的长度
有向线段的三要素：起点、方向、长度
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即< br>AB
可表示为
a
（印刷时用黑体
字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？
向量
AB
的大小——长度称为向量的模。
记作：|
AB
| 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为0的向量，记作
0
。
0
的方向是任意的.
注意
0
与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。





a
A(起点)
B
（终点）

48

思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
②
AB
与
BA
是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
5.向量间的关系：
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：
a
∥
b
∥
c

规定：
0
与任一向量平行
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：
a
=
b

规定：
0
=
0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。




OA
=
a

OB
=
b

OC
=
c

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O 是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量
OA
、
OB
、
OC
相等的向量；②分别写出图中与向量
OD
、
OE
、
O E
共线的向量.




C
B
O
F

49




a
b
c
C O B A
A
D E

[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.
②向量的模.
③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）
④相等向量与平行向量.
五.作业：P86 习题2—1
六. 课后反思



















50

2.2从位移的合成到向量的加法（2课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法 则和平行四边形法则做几个向量的和向量；
能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进 行向量计算.
（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.
（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法
教材利用同学们熟 悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两
个向量的和，另一方面帮助我们 利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义
向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现 知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能
力.
3.情感态度价值观
通过本节 内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认
识，进一步让学生理解和 领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，
这样有助于激发学生学习数学的兴趣 和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精
神.
二.教学重、难点
重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.
难点: 向量的减法转化为加法的运算.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想

51

【创设情境】
提出课题：向量是否能进行运算？
某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
C A B
则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
AB
+
BC
=
AC

船速为
AB
，水速为
BC
，
则两速度和：
AB
+
BC
=
AC

提出课题：向量的加法
【探究新知】
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：






强调：
① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点
②可以推广到n个向量连加
③
a00aa

④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
b
A
a+b
a
B
A
B
a+b
C
a
C
b
a+b
C
A
a
a
b
A B




A B C


C

A B
C

B

52

例1、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

作法：在平面内取一点，
作
OAa

ABb

则
OBab

【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则 思考：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同 验证结果相同
从而得到：1向量加法的平行四边形法则
2向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

4．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)（可请学生先上来做，不足之处学生更正）
D

证：如图：使
ABa
,
BCb
,
CDc

则(
a
+
b
) +
c
=
ACCDAD


a
+ (
b
+
c
) =
ABBDAD

∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)

O

a
b
a
A
b

b
a


a+b+c
b+c
a+b
c
C
b
A
a
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例2．如图，一艘船从A点 出发以
23kmh
的速度向垂直于对岸的方
向行驶，同时水的流速为
2kmh
，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设
AD
表示船垂直于对岸的速度，
AB
表示水流的速度，
以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则
AC
就是船实际航行的速度
在
RtABC
中，
|AB|2
，
|BC|23

2
|AC||AB||BC|4
所以

2




B
tanCAB< br>因为
23
3CBA60

2


53

【探究新知】




a
思考：已知，
b
，怎样求作
ab
？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念.
5.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作 a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a  b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
6.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a  b
7.请同学们自己解决思考题：



ab
的作法：


方法一、 已知向量
a
、
b
，在平面内任取一点
O，作
OAa,OB b
，则
BA
ab
。即



ab
可以表示为从向量
b
的终点指向向量




a
的终点的向量
方法二、在平面内任取一点O，作
OA a,OBb
则
AB
ab
。即
ab
也可以表示为

从向量
a
的起点指向向量
b
的起点的向量. 方法三、在平面内任取一点O，作
OAa,OBb
，则由向量加法的平行四边形法则 可
得
OC

a(b)ab
.
[展示投影]思考与讨论：



 






思考：从向 量
a
的终点指向向量
b
的终点的向量是什么？（
ba
）

54





讨论 ：如右图，
a
∥
b
时，怎样作出
ab
呢？






[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例3.已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。
解：在平面上取一点O，作
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
OD
= d, 作
BA
,
DC
, 则
BA
=
ab,
DC
= cd




O








例4.平行四边形中，AB
=
a
，
AD
=
b
，用
a
、
b
表示向量
AC
，
DB
.






A
a
b
d
c
B
D
C



D C
解：由平行四边形法则得：

AC
= a + b,
DB
=
AB
-
AD
= ab

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）

例5.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

55


A B

证：由向量加法法则：

AB
=
AO
+
OB
,
DC
=
DO
+
OC

由已知：
AO
=
OC
,
OB
=
DO

∴
AB
=
DC
即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①向量加法的三角形法则与平行四边形法则.
②向量加法运算律.
③相反向量及向量减法的运算法则.
五、评价设计
1．作业：习题2.2 A组第1、2、3、4、5、6题．
2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量a.b
都有
②证明：


D C

O

A B

abab

ababab
并说明什么时候取等号？


提示：可用 例5的图当
a
、
b
不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于 第
三边得
abACABBCab
即
、
abAC ABBCab

ababab

六、课后反思：









56

2.3从速度的倍数到数乘向量（2课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.
（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基 本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量
分解为两个向量。
（4）通过练习使 学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深
刻的理解，并能用来解决一些简 单的几何问题。
2.过程与方法：
教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；
通过正 交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相
应的知识，教材设置 了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能
力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的 认识，让
学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.
2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解.
2. 平面向量基本定理的理解.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：

57

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】

aaaaaaa
1．思考: （引入新课）已知非零向量 作出++和()+()+()






a


a

O
N

a

A
M

a


a


a

a
B
Q

a
C
P

OC
=
OAABBC
=
a
+
a
+
a
=3
a


PN
=
PQQMMN
=(
a
)+(
a
)+(
a
)=3
a


aaaa
讨论：① 3与方向相同且|3|=3||

aaaa
② 3与方向相反且|3|=3||

aa
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ

aa
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

aa
①|λ|=|λ|||

< br>
aaaaa
②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
0
（请学生自己解释
其几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例1.（见P96例1）略
[展示投影]
思考：根据几何意义，你能否验证下列实 数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过
程可根据学生的实际水平决定）

aa
结合律：λ(μ)=(λμ) ①

aaa
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ② 



第二分配律：λ(
a
+
b
) =λ
a
+λ
b
③
结合律证明：

58

如果λ=0，μ=0，
a

=0
至少有一个成立，则①式成立
如果λ0，μ0，
a


0
有：|λ(μ
a

)|=|λ||μ
a

|=|λ||μ||
a

|
|(λμ)
a

|=|λμ||
a

|=|λ||μ||
a

|
∴|λ(μ
a

)|=|(λμ)
a

|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与
a

同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与
a

反向。
从而λ(μ
a

)=(λμ)
a


第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，
a

=
0
至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ0，μ0，
a


0

当λ、μ同号时，则λ
a

和μ
a

同向， ∴|(λ+μ)
a

|=|λ+μ||
a

|=(|λ |+|μ|)|
a

|
|λ
a

+μ
a

|=|λ
a

|+|μ
a

|=|λ| |
a

|+|μ||
a

|=(|λ|+|μ|)|
a

|
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与
a

同向
即：|(λ+μ)
a

|=|λ
a
< br>+μ
a

|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ
a

同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ
a

同向
还可证：|(λ+μ)
a

|=|λ
a

+μ
a

|
∴②式成立
第二分配律证明：
a

如果

=< br>0
，
b
=
0
中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然 成立
b

当
a


0
，
0< br>且λ0，λ1时
B
1
1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，
B
O
A
A
1
59





OAAB< br>aa
OA
作=
AB
=
b

1
=λ
11
=λ
b







则
OB
=
a
+
b

OB
1

λ
a
+λ
b

< br>由作法知：
AB
∥
A
1
B
1
有OAB= OA1B1 |
AB
|=λ|
A
1
B
1
|




|OA
1
|
∴
|OA|



|A
1
B
1|
|AB|



λ ∴△OAB∽△OA1B1
|OB
1
|
∴
|OB|



λ AOB= A1OB1


因此，O，B，B1在同一直线上，|
OB
1
|=|λ
OB
|
OB
1
与λ
OB
方向也相同






λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b





当λ<0时 可类似证明：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

∴ ③式成立

【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
A
1
O
B
1
B
A



若有向量
a
(
a

0
)、b
，实数λ，使
b
=λ
a
则由实数与向量积的定义知：
a
与
b
为共
线向量
< br>





若
a
与
b
共线(
a

0
)且|
b
|：|
a|=μ，则当
a
与
b
同向时
b
=μ
a
；当
a
与
b
反向时
b
=

a
μ


aa
bb
从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且 只有一个非零实数λ，使=λ.
[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）
例2. （见P97例2）略
例3.（P97例3改编）如图：
OA
，OB
不共线，P点在AB上，求证：存在实数

.

且



1

P

使
OP

OA

OB

（证明过程与P97例3完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
O
B
A


60

【巩固深化，加强基础】
1.见P98练习1、2、3、4题.
2.如例3图，
OA
，
OB
不共线，
AP
=t
AB
(tR)用
OA
，
OB
表示
OP
.
【探究新知、展示投影】
1．思考：
①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
②．对于平面上两个不 共线向量
e
1
，
e
2
是不是平面上的所有向量都可以用它们 来表示？
2．教师引导学生分析


 

ee
a
12
设，是不共线向量，是平面内任一向量


e
1

a

M
C
N B
e
2

O

OA
=
e
1

OM
=λ1
e
1

OC
=
a< br>=
OM
+
ON
=λ1
e
1
+λ2
e
2

OB
=
e
2

ON
=λ2
e
2

得平面向量基本定理：如果
e< br>1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

aa
的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1
e
1
+λ2
e
2
.
[注意几个问题]：
①
e
1< br>、
e
2
必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.
② 这个定理也叫共面向量定理.

a
③λ1，λ2是被，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量.
④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
[展示投影]例题讲评（教 师可从中选择几个例题让学生先做，学生评讲，教师提示或适当补
充；）
例4．1kg的重物 在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成
30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
|OP|
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30
60


61
P
1

30

1
1
|
=
|OP|
cos60 =1•
2
=0.5 (kg) ∴
|OP

3|OP
2
|
=
|OP|
cos30=1•
2
=0.87 (kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg




例5.如图 ABCD的两条 对角线交于点M，且
AB
=
a
，
AD
=
b
，





用
a< br>，
b
表示
MA
，
MB
，
MC
和MD

解：在 ABCD中
D

C
M
B


∵
AC
=
AB
+
AD
=
a
+
b





DB
=
AB< br>
AD
=
a

b



b
A
a
1

111





∴
MA
=
2
AC
=
2
(
a
+
b
)=
2
a

2
b

< br>1111111





MB
=
2
DB
=
2
(
a

b
)=
2
a

2
b

MC
=
2AC
=
2
a
+
2
b


111



MD
=
MB
=
2< br>DB
=
2
a
+
2
b






例6. 如图，在△ABC中，
AB
=
a
,
BC
=
b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向

量
AG
1

1





A
解法1：∵
AB
=
a
,
BC
=
b
则
BD
=
2
BC
=
2
b


12




a
AG
23
b
AB
+
BD
=+∴
AD
=
b
而=
AD


a
B
D C
2
1


A
b
∴
AG
=
3
a
+
3

a
解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
E
F
G
22
C
D


a
33
∵△AEF∽△ABC ∴
AE
=
AB
=
B
b

62

2

2 12
1

1









EF
=
3
BC
=
3
b

EG
=
2
EF
=
3
b
∴
AG
=
AE
+
EG
=
3
a
+
3< br>b


例7．设
e
1
,
e
2< br>是两个不共线向量，已知
AB
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1

e
2
,
若三点A, B, D共线，求k的值.
解：
BD
=
CD

CB
=(2
e
1

e
2
)(
e
1
+3
e
2
)=
e
1
4
e< br>2

∵A, B, D共线 ∴
AB
,
BD
共线 ∴存在λ使
AB
=λ
BD


 




2

< br>k4

∴k=8
eeee
即2
1
+k
2
=λ(
1
4
2
) ∴

【巩固深化，发展思维】






1．在 ABCD中，设对角 线
AC
=
a
，
BD
=
b
试用
a< br>,
b
表示
AB
，
BC


2.已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证 ：
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE
.
3.见P100练习1、2题.
[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
①数乘向量的几何意义理解.


< br>aa
bb
②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
③平面向量基本定理的理解及注意的问题.
五、评价设计
1．作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题．

a
AD
2.（备选题）如图，已知梯形ABC D中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设=,






AB
=
b
，试 以
a
,
b
为基底表示
DC
,
BC
,
MN

11


解：
DC
=
2
AB
=
2
b
连ND 则DC╩ND

D
1


a
∴
BC
=< br>ND
=
AD

AN
=
2
b




N
M
O
M
C
A
B
1

1


又∵
DM
=
2
DC
=
4
b



63

∴
MN
=< br>DN

DM
=
CB

DM
=
BC

DM







111


=(
a
+2
b
)
4
b
=
4
b

a< br>
3.体会向量在平面几何中的应用．
六、课后反思
2.4平面向量的坐标（2课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.
（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法
教材利用正交分解 引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平
行的坐标表示；最后通过讲解例 题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学 们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可
以建立一一对应关系（即点或向量都可以看 作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形
结合的思想；培养学生勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【创设情境】

a
（回忆）平面向量的基本定理（基底） =λ1
e
1
+λ2
e
2

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.

64

【探究新知】
（一）、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取
x
轴、
y
轴上两个单位向量
i
,
j
作基底，则平面内作一向量
axiyj

记作：
a

=(x, y) 称作向量
a

的坐标

y
A
c
a


b


i2j



O
如：
a
=
x
OA
=
2
=(2, 2)
b
=
OB
=
2ij
=(2, 1)

B

c
=
OC
=
i5j
=(1, 5)
i
=(1, 0)
j
=(0, 1)
0
=(0, 0)

C

由以上例子让学生讨论：
①向量的坐标与什么点的坐标有关？
②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？
③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）
[展示投影]思考与交流：
直接由学生讨论回答：
1）已知
a


(x1, y1)
b
(x2, y2) 求
a


思考1．（+
b
，
a



b
的坐标
(2)已知
a

(x, y)和实数λ, 求λ
a

的坐标
解：
a


+
b
=(x1
i
+y1
j
)+(x2
i
+y2
j
)=(x1+ x2)
i
+ (y1+y2)
j

即：
a


+
b
=(x1+ x2,y1+y2)
同理：
a



b
=(x1x2, y1y2)
λ
a

=λ(x
i
+y
j
)=λx
i
+λy
j

∴λ
a

=(λx, λy)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
65

思考2.已知
A(x
1
,y
1
) ,B(x
2
,y
2
)
你觉得
AB
的坐标与A、B点 的坐标有什么关系？
∵
AB
=
OB

OA
=( x2, y2)  (x1,y1)
= (x2 x1, y2 y1)
结论：③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向
线段终点的坐标减去始点的坐标。
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（教材P104例2）
例2. （教材P104例3）
例3.已知三个力
F
1
(3, 4),
F
2
(2, 5),
求
O



A(x
1
, y
1
)
y
B(x
2
, y
2
)
x
F
3
(x, y)的合力
F
1
+
F< br>2
+
F
3
=
0

F
3
的坐标.
F
3
=
0
得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0) 解：由题设
F
1
+
F
2
+

32x0

x5

45y0y1
∴
F
3
(5,1) 即：

∴

例4.已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四
点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，
仿例2得：D1=(2, 2)
B
当平行四边形为ACDB时，
仿例2得：D2=(4, 6)
当平行四边形为DACB时，
仿例2得：D3=(6, 0)
【巩固深化，发展思维】
D
3
A
O
x
D
1
y
C
D
2
MP
1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且

1

2
MN
, 求P点的坐标；
11
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=
2
(-8, 1)=(-4,
2
)

66

4x 1


x3

3

y2
1

y
3

2
∴

2
∴P点坐标为(-1, -
2
)

2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则
AB
2
BC
=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形。
解：∵
AB
=(-2, 3)
DC
=(-4, 6) ∴
AB
=2
DC

∴
AB
∥
DC
且 |
AB
||
DC
| ∴四边形ABCD是梯形
【探究新知】
[展示投影]思考与交流：


< br>







a
b
思考：共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这 个条件如何用坐标来表
示呢？
设
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
)
其中
b0


x

x
2


1

y
1


y
2
由
a

b
得
(x
1
,y
1
) 

(x
2
,y
2
)
消去λ：
x
1
y
2
x
2
y
1
0
∵
b0
∴
x
2
,y
2
中至少有一个不为0


结论：
a
∥
b
(
b0
) 用坐标表示为
x
1
y
2
x
2
y
1
0

注意：
①消去λ时不能两式相除 ∵y1, y2有可能为0.

y
1
y
2

xx
2
∵
x
1
,x
2
有可能为0. ②这个条件不能写成
1


a
③向量共线的两种判定方法：∥
b
(
b0
)

a

b
x
1
y
2
x< br>2
y
1
0

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例5.如果向量
ABi 2j,BCimj,其中i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位

向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线

67



1


m2
得
m2

i2j

(imj)
AB

BC
解法 1.利用可得于是


解法2.易得
AB(1,2).BC (1,m),由AB、BC共线得m20得m2

故当
m2
时，三点共线


例6.若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同，求x


解：∵
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2-x(-x)=0


∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同 ∴x=
2

[学习小结]（学生总结，其它学生补充）
【巩固深化，发展思维】
1.教材P105练习1--5
），b(x,2),c(3,y),且abc,求x,y的值
2.已知
a(2,1
3．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB∥CD
4．证明下列各组点共线：① A (1,2)，B(-3,4)， C(2,3.5)
② P (-1,2)， Q(0.5,0)， R(5,-6)



5．已知向量
a
=(-1,3)
b
=(x,-1)且
a
∥
b
求x .
[学习小结] （学生总结，其它学生补充）
①向量加法运算的坐标表示.
②向量减法运算的坐标表示.
③实数与向量的积的坐标表示.
④向量共线的条件.
五、评价设计
1．作业：习题2--4 A组第1，2，3，7，8题．
2．（备选题）：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量
AB
与
CD
平行吗？直线AB与
平行于直线CD吗？
解：∵
AB
=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)
CD
=(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4-1=0 ∴
AB
∥
CD








68

又∵
AC
=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)
AB
=(2, 4)
2×4-2×60 ∴
AC
与
AB
不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
六、课后反思：




2.5从力做的功到向量的数量积（2课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物 理意义、几何意
义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学 生
逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们认识到向量 的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；
让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理 背景去理解向量的数量积，有助于
激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.
难点: 运算律的理解
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

69




教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）
思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对
一般的向量a和b，如何定义这种运算？
1.力做的功：W = |F|•|s|cos
是F与s的夹角
2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b = |a||b|cos，
并规定0与任何向量的数量积为0。

3.向量夹角的概念：范围0≤≤180




O
A
 = 0
A
B
 = 180
O
B O
A
A

B
O

B
O
A

B
C
O
C
A
B
F


s

[展示投影]
由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
②两个向量的数 量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是
两个数量的积，书写时要严格 区分。
③在实数中，若a0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且 a•b=0，不能
推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.
④已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是a•b = b•c  a = c
如右图：a•b = |a||b|cos = |b||OA|
b•c = |b||c|cos = |b||OA|
a•b=b•c 但a  c
⑤在实数中，有(a•b)c = a(b•c)，但是(a•b)c  a(b•c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a
与c不共线.
[展示投影]思考与交流：

70
a
O


c
b
A

思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.






定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。
注意：①射影也是一个数量，不是向量。
②当为锐角时射影为正值；
当为钝角时射影为负值；
当为直角时射影为0；
当 = 0时射影为 |b|；
当 = 180时射影为 |b|.
思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向
量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.
几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
①e•a = a•e =|a|cos
②ab  a•b = 0
③当a与b同向时，a•b = |a||b|；当a与b反向时，a•b = |a||b|。
特别的a•a = |a|2或
|a|aa

O
O

a
B
1
O
A
B
1
O
b
B
O
B
O
b

O
a
O
A
B
O
b

O
(B)
1
O
O
a
A
ab
④cos =
|a||b|
（|a||b|≠0）
⑤ |ab|≤|a||b|
【巩固深化，发展思维】
判断下列各题正确与否：
①若a = 0，则对任一向量b，有a•b = 0. ( √ )
②若a  0，则对任一非零向量b，有a•b  0. ( × )

71

③若a  0，a•b = 0，则b = 0. ( × )
④若a•b = 0，则a 、b至少有一个为零. ( × )
⑤ 若a  0，a•b = a•c，则b = c. ( × )
⑥若a•b = a•c，则b = c当且仅当a  0时成立. ( × )
⑦对任意向量a、b、c，有(a•b) •c  a• (b•c). ( × )
⑧对任意向量a，有a2 = |a|2. ( √ )
[展示投影]思考与交流：
思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义 ，你能否验证下列向量的数量积是否满
足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
1.交换律：a•b = b•a
证：设a，b夹角为，则a•b = |a||b|cos，b•a = |b||a|cos
∴a•b = b•a
2.数乘结合律：(

a) •b =

(a•b) = a• (

b)
证：若

= 0， 此式显然成立.
若

> 0， (

a) •b =

|a||b|cos，


(a•b) =

|a||b|cos，
a• (

b) =

|a||b|cos，
所以(

a) •b =

(a•b) = a• (

b).
若

< 0， (

a) •b =|

a||b|cos() = 

|a||b|(cos) =

|a||b|cos，


(a•b) =

|a||b|cos，
a• (

b) =|a||

b|cos() = 

|a||b|(cos) =

|a||b|cos。
所以(

a) •b =

(a•b) = a• (

b).
综上可知(

a) •b =

(a•b) = a• (

b)成立.
3.分配律：(a + b) •c = a•c + b•c
证：在平面内取一点O，作
OA
= a,
AB
= b，
OC
= c，


A


2
b
B
a

1
O

A
c
B

72
C

∵a + b （即
OB
）在c方向上的投影
等于a、b在c方向上的投影和，
即：|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2
∴c• (a + b) = c•a + c•b 即：(a + b) •c = a•c + b•c.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.已知：
2

a2,b3,a与b的夹角为120,求(1)ab.(2)ab.
2 22
0
22

abab495
解：（1）
2
2

2
ab(ab)a2abb
（2）
a2abcos

b 7

22
b
都是非零向量，且
a3b与7a5b
垂直， 例2.已知
a、
a4b与7a2b
垂直，求
a、b
的夹角。
解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16a•b 15b2 = 0 ①
(a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30a•b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2设a、b的夹角为，
abb
2
1

2
|a||b|2
∴ = 60
2|b|
则cos =
例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设
AB
=
DC
= a ,
AD
=
BC
= b
∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b|
∴
AC
•
BD
= (b + a)(b  a) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0
∴
AC

BD

即菱形对角线互相垂直。
【巩固深化，发展思维】
1.教材P109练习1、2题
2. 教材P111练习1、2、3、4、5题



D



A
a
b
C



73

[学习小结] （学生总结，其它学生补充）
①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.
②向量数量积的几何意义和物理意义.
③向量数量积的五条性质.
④向量数量积的运算律.
五、评价设计
1．作业：习题2.5 A组第3、4、5、6、7题．
2．（备选题）：
①在ΔABC中，设边BC，CA，A B的长度分别为a，b，c，用向量方法证明：
a
2
b
2
c2
2bccosA

②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
解：如图： ABCD中：ABDC
，
ADBC
，
AC
=
AB
+AD

D C

 
∴|
AC
|2=|
AB
+
AD
| 2=
AB
2+
AD
2+2
AB
•
AD

而
BD
=
AB
-
AD

∴|
BD
|2=|
AB
-
AD
|2=
AB
2+
AD
2-2
AB
•
AD

∴|
AC
|2 + |
BD
|2 = 2
AB
2+2
AD
2= |
AB
|2+|
AD
|2+|
BC
|2+|
DC
|2
六、课后反思：












74

 





A B


2.6平面向量数量积的坐标表示（1课时）
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
（3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.
2.过程与方法
通过 本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用
帮助学生掌握几个 公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节 的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁
移知识的能力.
二.教学重、难点
重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.
难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想

75

【创设情境】
[展示投影]引入：
请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】
平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？
1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，
则：i•i = 1，j•j = 1，i•j = j•i = 0.
∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j
∴a•b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i•j + x2y1i•j + y1y2j2
= x1x2 + y1y2
从而获得公式：a•b = x1x2 + y1y2
2.长度、角度、垂直的坐标表示
①a = (x, y)  |a|2 = x2 + y2  |a| =
x
2
y
2


(x
2
②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则
AB
=
1
x
2
)(y
1
y
2
)
2

ab

x
1x
2
y
1
y
2
22
③cos =
|a||b|
x
22
1
y
1
x
2
y
2

④∵ab  a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
【巩固深化，发展思维】
1.设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求a•b
2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.
3.教材P114练习1、2题.
4.已知a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足x•a = 9与x•b = 4的向量x.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1. 教材P113例1.
例2. 教材P113例2.
[展示投影]思考：
1.什么是方向向量？
2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例3. 教材P114例3.
76

【巩固深化，发展思维】
教材P115习题A第1、2、3、4、5、6题.
[学习小结]
①a = (x, y)  |a|2 = x2 + y2  |a| =

x
2
y
2

(x
1< br>x
2
)
2
(y
1
y
2
)2
AB
②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则||=
ab

③cos =
|a||b|
x
1
x
2
y
1
y
2
x
1
y
122
x
2
y
2
22

④∵ab  a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0
五、评价设计
1．作业：习题2.6 B组第1,2,3，4题．
2．（备选题）：
① 如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，
B
求点B和向量
AB
的坐标。
解：设B点坐标(x, y)，则
OB
= (x, y)，
AB
= (x5, y2)


A


O
∵
OB

AB
∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x  2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29



73

xx

xy5x2y0


2
2

1
2


或

37
10x4y29


y
1


y
2


2

2


由
22
37
73377 3

(,)(,)
(,)
(,)

∴B点坐标
22
或
22
；
AB
=
22
或< br>22

②在△ABC中，
AB
=(2, 3)，
AC
=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值。


3
解：当A = 90时，
AB
•
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
2




当B = 90时，
AB
•
BC
= 0，
BC
=
AC

AB
= (12, k3) = (1, k3)




77

11
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
3

313
2
当C = 90时，
AC
•
BC
= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =

六、课后反思：





2.7平面向量应用举例（2课时）
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题的过
程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题
的能力.
2.过程与方法
通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与 其它一些实际
问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步 的认识；提高学生
迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与
其 它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法 解决某些简单的平面几何问题、力学问题与
其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习法+探究式学习法

78

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】
[展示投影]
同学们阅读教材P116---118的相关内容思考：
1.直线的向量方程是怎么来的？
2.什么是直线的法向量？
【巩固深化，发展思维】
教材P118练习1、2、3题
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，

A
E
F

AB
= a,
AC
= b,
AH
= h,



则
BH
= h  a ,
CH
= h  b ,
BC
= b  a
∵
BH

AC
,
CH

AB



H
C


B
D
(ha)b0


(ha)b(hb)a h(ba)0
(ha)a0

∴
∴
AH

BC

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点
[展示投影]预备知识：
1.设P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，使
P
1
P
=
2
，λ叫做点P分
P
1
P2
所成的比， λ
PP




有三种情况：


λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
注意几个问题：

79
P
1
P
P
2

P
1

P
2

P P
P
1

P
2

①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ-1
若P与P1重合，λ=0 P与P2重合 λ不存在
1

1
P
2
的定比λ=
2
则P分
P
2
P
1
的定比λ=2 ②始点终点很重要，如P分
P

2．线段定比分点坐标公式的获得：
2
点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2) 设P
1
P
=λ
PP

P
2

P
1

P
由向量的坐标运算
P
1
P
=(x-x1,y-y1)
PP
2
=( x2-x1, y2-y1)
2
即(x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1) ∵
P
1
P
=λ
PP


O


x 

xx
1


(x
2
x)



y

yy

(yy)
12

∴


x
1


x
2
1

y
1


y
2
1
定比分点坐标公式
x
x
1
x
2
2yy
2

y
1
2

1
P
2
中点时，λ=1 3.中点坐标公式：若P是
P
中点公式是定比分点公式的特例。
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
,5).P
2
(2,4).
①
求点P分P
1
P
2
的比

1
及 x的值

1
(1
例2.已知点
P(x,1).P
1
分P
2
P的比

2
的值。
②求点
P
< br>

y
解：①由
x

1
x2
y
1


1
y
2
54

1
1
得1解得

1
2
x
1< br>1

1
1

1
1

1

y
②由
x
1


2
x
2< br>2

2
3
得1解得

2

1

2
1

2
2

A（x
1
,y).B(x.y).C(x,y),D是边AB的中点，G是CD
例3.
AB C的三个顶点分别为
CG
2
GD
上的一点，且求点G的坐标。

80

x
1
x
2
y
1
y
2
,),又CG2GD
22
解：由D是AB的中点，所以D的 坐标为
(
x
x
3
2
x
1
x< br>2
yy
2
y
3
2
1
xx
2
x
3
yy
2
y
3
22

1
y
1
123123

(
x
1
 x
2
x
3
y
1
y
2
y
3< br>,)
33
即G的坐标为 ————.重心坐标公式
例4.过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点P，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标
1
P
2
时

3
解：当P内分
P1
P
2
时

3
当

3
得P(5,0) 当P外分
P


P
1

•

•

P
P
2

•

•

P’
O
当

3
得P(8,-3)
例5.如图，在平面内任取一点O，设
P
OP
1
a,OP2
b
，
P
1
POPa,PP
2
b OP,P
1
P

PP
2

P
1



P
2

1



(OPa)

(bOP),O Pab
1

1



O
这就是线段的定比分点向量公式。
1

OP(ab)
2
特别当，当P为线段P1P2的中点时，有

例6.教材P119例2.
例7.教材P119例3.
例8.某 人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，
感到风从东北方向 吹来，试求实际风速和方向。
解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，
那么此时人感到的风速为v  a，
设
OA
= a，
OB
= 2a
∵
PO
+
OA
=
PA
∴
PA
= v  a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵
PO
+
OB
=
PB
∴
PB
= v 2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向


P
v

2a
B
A
v
O




81

吹来的风速就是
PB
，
由题意：PBO = 45, PABO, BA = AO
从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =
2
a 即：|v | =
2
a
∴实际风速是
2
a的西北风
【巩固深化，发展思维】
1.教材P119练习1、2、3题.

3
9
M（3，），< br>A(,7),B(2,6),对角线的交
2
2
2.已知平行四边形ABCD 的两个顶点为点为则
21
，10），（4，3）
2
另外两个顶点的坐标为 . （
3.△ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分线交BC边于D,
41
求D点坐标 . (1,
5
)
[学习小结]：略
五、评价设计
1．作业：习题2.7 A组第1、2、3、4题．
2．（备选题）：①若直线
l :mxy20
与线段AB有交点，其中A（-2，3），B(3,2),求m
的取值范围 .
AP


(

0，当

0时直线 过A点）
PB
解：设l交有向线段AB于点P（x,y）且
23

x

1

因P点在l上，故可得

< br>2m5
0,得m
5
或m
4

32

3m423

y
1

则可得


由于设

时，无形中排除了P,B重合的情形，要将B点坐标代入直线方程得
454
m,故m或m
323

②已知O为△ABC所在平面内一点，且满足|
OA
|2 + |
BC
|2 = |
OB
|2 + |
CA
|2 = |
OC
|2
A

+ |
AB
|2，求证：
AB

OC
．


O
B

82
C


证：设
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,


则
BC
= c  b,
CA
= a  c,
AB
= b  a


由题设：
OA
2 +
BC
2 =
OB
2 +
CA
2 =
OC
2 +
AB
2，
化简：a2 + (c  b)2 = b2 + (a  c)2 = c2 + (b  a)2
得： c•b = a•c = b•a


从而
AB
•
OC
= (b  a)•c = b•c  a•c = 0

 
∴
AB

OC
同理：
BC

OA
,
CA

OB

六、课后反思：
第二章 平面向量复习课（2课时）
[第一部分：知识归纳]
1.知识结构
向量的加法、减法
平面向量向量地运算数乘向量
向量的内积< br>用坐标表示向量的运算
两向量平行与垂直的条件
向量长度公式
基本公式
夹角公式
距离公式
向量在平面几
何中的应用
向量在几何
中的应用向量在解析几
何中的应用
向量的应用
力向量
向量在物理
速度向量
中的应用
2.重要公式、定理
83

①.平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平 面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

aa
内的任一向量，有且只有一对实数 λ1，λ2使=λ1
e
1
+λ2
e
2
.
a
b



x
1
y
2
x< br>2
y
1
0

a
②. 向量共线的两种判定方法：∥
b
(
b0
)
③. a = (x, y)  |a|2 = x2 + y2  |a| =
④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则
AB
=

x
2
y
2


(x
1
x
2
)
2
(y
1< br>y
2
)
2
ab

⑤.cos =
|a||b|
x
1
x
2
y
1
y
2< br>x
1
y
1
22
x
2
y
2
22

⑥.ab  a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
3.学习本章应注意的问题及高考展望
①.在平面向量 的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素
和几何关系用向量表示，然后 选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，
把问题转化为基向量的运算问题，最后将运 算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言
和方法来表述和解决物理问题。
②.向量是数 形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运
算；另一方面，我们又以向 量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.
同时向量的坐标表示为我们用代数方法 研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范
围和手段。
③.以选择、填空题型考查本 章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长
度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题
为主 .在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键.
[第二部分：基础测试]（供选用）
教材P125—126第1、2、3题
[第三部分：应用举例]（供选用）
例1.如图△ABC中，
AB
= c，
BC
= a，
CA
= b，则下列推导
不正确的是……………（ ）
A．若a•b < 0，则△ABC为钝角三角形。
A

C

b
a
c

84

B．若a•b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a•b = bc，则△ABC为等腰三角形。
D．若c• (a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．a•b = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角
B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
例2.设非零向量a、b、c、d，满足d = (a•c) b  (a•b)c，求证：ad
证：内积a•c与a•b均为实数，
∴a•d = a• [(a•c) b  (a•b)c] = a• [(a•c) b]  a• [(a•b)c]
= (a•b)(a•c)  (a•c)(a•b) = 0
∴ad
例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a∥b，求a的坐标。
解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴
x
2
y
2
3
…①
又：∵a∥b ∴1•y  2•x = 0 …②

x



< br>y

解之：


35
35
x


5
5

65

y
65
5
或

5


3565
3565
,
,
5
) 或a = (
55
) 即：a = (
5
例4.已知a、b都是非零向量， a + 3b与7a  5b垂直，且a  4b与7a  2b垂直，求a
与b的夹角。
解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16a•b 15b2 = 0 ①
(a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30a•b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
abb
2
1

2
|a||b|2
∴ = 60
2|b|
设a、b的夹角为，则cos =
例5.已知：|a| =
2
，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+

b与
< br>a+b夹角为锐角的

的

85

取值范围。
2
解：由题设：a•b = |a||b|cos = 3×
2
×
2
= 3
(a+

b)(

a+b) =

|a|2 +

|b|2 + (

2 + 1)a•b = 3

2 + 11

+ 3
∵夹角为锐角 ∴必得3

2 + 11

+ 3 > 0

∴
11851185

66
或
例6.a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + tb
垂直
解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|
2abab

2
|b|
时, |a + tb|最小
2|b|
∴当t =

|b|
2
② ∵b• (a + tb) = a•b 
ab
|b|
= 0 ∴b与a + tb垂直
例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
11

证：设
AC
= b，
CB
= a，则
AD
=
AC
+
CD
= b+
2
a,
EBECCB
=a +
2
b



A
∵A, G, D共线，B, G, E共线
∴可设
AG
=λ
AD
，
EG
= μ
EB
,




F
G
B
E
11
则
AG
=λ
AD
=λ(b+
2
a)=λb+
2
λa,


D
C

11
EG
= μ
EB
= μ(
2
b+a)=
2
μb+μa,

111
∵
AEEGAG
即：
2
b + (
2
μb+μa) =λb+
2
λa

111
∴(μ
2
λ)a + (
2
μλ+
2
)b = 0 ∵a, b不平行，

86

2
1



< br>


0


3

2


1

11
2




0





23

AG
=
3
AD


∴

2
2

例8.设
AB
=
2
(a+5b)，
BC
=2a + 8b，
CD
=3(a b)，求证：A,B,D三点共线。

2
证：
AD
=
AB
+
BC
+
CD
=
2
(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)


222
= (1+
2
)a + (5 + 5
2
)b = (1+
2
)(a + 5b)
2

而
AB
=
2
(a+5b) ∴
AD
= (
2
+ 1)
AB


又∵
AD
,
AB
有公共点 ∴A,B,D三点共线
例9.已知：A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3) ，①求证：A，B，C三点不共线
②以
AB
、
AC
为一组基底来表 示
AD
+
BD
+
CD

解：①∵
AB
=(1,3),
AC
=(2,4) ∵1×43×20 ∴
AB

AC

∴A，B，C三点不共线
②
AD
+
BD
+
CD
=(3,5)+(4,2)+(5,1) = (12,8)
设：
AD
+
BD
+
CD
= m
AB
+ n
AC

即：(12,8) = (m + 2n, 3m + 4n) 




< br>





 

12m2n

m32







83m4n

n 22
∴
AD
+
BD
+
CD
= 32
AB
22
AC
∴

例10.求证：|a + b |≤|a| + |b|
证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos
≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2
即：|a + b |≤|a| + |b|
例11.设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果| F1|=1，|F2|= 2，F1
2

与F2的夹角为
3
.求①.F3的大小；②.∠F3O F2的大小.

87

解：①F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3= -（F1+F2）.
∴| F3|=| F1+F2|=
(F
1
F
2
)
2
F
1
F
2
2F
1
F
2
22

14212cos

2

3
3

y
②如图：以F2所在直线为x轴， 合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系.将向量F1、F3
正交分解，设∠F3OM=

由受力平衡知
F
1
M
N
Q
F
2< br>x
P
2


|F|cos

|F|cos (

)|F
2
|
1

3
3

2


|F
3
|sin

|F
1
|cos()
32


解之得
F
3



6

于是



∠F3OF2
作业设计：

6

5

6

1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.
2、完成教材P126--- 127中A组习题第4---14题.
3、（选做）复习题2的B、C组试题.
[课后反思]










88