运城师范-办税服务厅工作总结

2.3.2 空间两点间的距离
明目标、知重点 1.了解由特殊到一般推导空间两点 间的距离公式的过程；2.会应用空间两
点间的距离公式求空间中的两点间的距离．

1．空间两点间的距离公式
(1)平面直角坐标系中，两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)间距离P
1
P
2
＝x
2
－x
1
< br>2
＋y
2
－y
1

2
，特别
地， 点A(x，y)到原点距离为OA＝x
2
＋y
2
.
(2)空间两点 A(x
1
，y
1
，z
1
)，B(x
2
，y
2
，z
2
)的距离公式是AB＝x
2
－x
1
2
＋y
2
－y
1

2
＋z2
－z
1

2
.
特别地，点A(x，y，z)到原点的 距离公式为OA＝x
2
＋y
2
＋z
2
.
2．空间两点的中点坐标公式
连结空间两点P
1
(x
1
， y
1
，z
1
)、P
2
(x
2
，y
2
，z
2
)的线段P
1
P
2
的中点M的坐标为
x
1
＋x
2
，
y
1
＋y
2
，
z
1
＋z
2

.
22

2

[情境导学] 我们已经学习了平面上任意两点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)之间的距 离公式AB＝
x
1
－x
2

2
＋y
1
－y
2

2
.那么空间中任意两点A(x
1
，y< br>1
，z
1
)，B(x
2
，y
2
，z
2
)之间距离的公式是怎
样的？本节我们就来探讨这个问题．
探究点一 空间中点P与坐标原点的距离
公式
思考1 根据平面上两点间的距离公式，你能猜想出空 间中任意两点A(x
1
，y
1
，z
1
)，B(x
2
，
y
2
，z
2
)之间的距离公式吗？
答 AB ＝x
1
－x
2

2
＋y
1
－y
2

2
＋z
1
－z
2

2
.
思考2 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z) ，与坐标原点O
的距离分别是什么？
答 OA＝|x|，OB＝|y|，OC＝|z|.
思考3 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z )，与坐标
原点O的距离分别是什么？
答 OA＝x
2
＋y
2，OB＝y
2
＋z
2
，OC＝x
2
＋z
2.

思考4 如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的 射影为M，则点M的
坐标是什么？PM，OM的值分别是什么？

答 M(x，y,0)，PM＝|z|，OM＝x
2
＋y
2
.
思考5 基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？
答 如图，在Rt△OMP中，根据勾股定理
OP＝OM
2
＋PM
2
＝ x
2
＋y
2
＋z
2
.

探究点二 空间两点间的距离
问题 在空间中，设点P
1
(x
1
，y1
，z
1
)，P
2
(x
2
，y
2，z
2
)，在xOy平面上的射影分别为M、N.

思考1 M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？
答 M(x
1
，y
1,< br>0)，N(x
2
，y
2,
0)；
MN＝x
1－x
2

2
＋y
1
－y
2

2
.
思考2 若直线P
1
P
2
垂直于xOy平面，则点 P
1
、P
2
之间的距离如何？
答 P
1
P
2
＝|z
1
－z
2
|.
思考3 若直线P
1
P
2
平行于xOy平面，则点P
1、P
2
之间的距离如何？
答 P
1
P
2
＝M N＝x
1
－x
2

2
＋y
1
－y2

2
.
思考4 若直线P
1
P
2
是xOy平面的一条斜线，则点P
1
、P
2
的距离如何计算？
答 在Rt△P
1
HP
2
中，根据勾股定理，
得P
1
P
2
＝P
1
H
2
＋HP
2
2
< br>＝x
1
－x
2

2
＋y
1
－y
2

2
＋z
1
－z
2

2.
小结 空间中点P
1
(x
1
，y
1
，z< br>1
)，P
2
(x
2
，y
2
，z
2< br>)之间的距离P
1
P
2
＝x
1
－x
2
2
＋y
1
－y
2

2
＋z1
－z
2

2
.
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2


2
，
2

，思考5 连结平面上两点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)的线段AB的中点M的坐标为

那么，已知空间中两点A (x
1
，y
1
，z
1
)，B(x
2
，y< br>2
，z
2
)，线段AB的中点M的坐标是什么呢？
答 坐标为

x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
z< br>1
＋z
2


2
，
2
，
2


例1 求空间两点P
1
(3，－2,5)，P< br>2
(6,0，－1)间的距离P
1
P
2
.
解 利用两点间距离公式，
得P
1
P
2
＝
＝
6－3 
2
＋[0－－2]
2
＋－1－5
2

9＋4＋36＝7.
反思与感悟 空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两点间的 距离类似，只是多
了一个z坐标的差的平方．公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根．
跟踪训练1 求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角 形是等腰直角三
角形．
证明 根据空间两点间距离公式，
得AB＝
BC＝
AC＝
10－4
2
＋－1－1
2
＋6－92
＝7，
4－2
2
＋1－4
2
＋9－3
2
＝7，
10－2
2
＋－1－4
2
＋ 6－3
2
＝98.
因为AB
2
＋BC
2
＝AC
2
，且AB＝BC，
所以△ABC是等腰直角三角形．
例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆， 其方程为x
2
＋y
2
＝1.在空间中，
到坐标原点的距离为1的点的 轨迹是什么？试写出它的方程．
解 与坐标原点的距离为1的点P(x，y，z)的轨迹是一个球面，满足OP＝1，即
＝1.
因 此x
2
＋y
2
＋z
2
＝1，就是所求的球面方程．
反思与感悟 求空间点的轨迹方程和求平面内的点的轨迹方程类似，关键是寻找动点满足的
等量 关系，然后用坐标表示等量关系，化简等式即为所求的轨迹方程．
跟踪训练2 若点P(x，y，z) 到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为
____________．
答案 x
2
＋z
2
－y
2
＝0
解析 由 题意得|y|＝x
2
＋z
2
，即x
2
＋z
2
－y
2
＝0.
x
2
＋y
2
＋z
2
探究点三 空间两点间距离公式的应用
例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥ 平面ABEF，点M在AC上

移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ 2)．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB、BC、BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G、H，连结NG，易证NG⊥AB.
∵CM＝BN＝a，
∴CH＝MH＝BG＝GN＝
2
a，
2∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角
坐标 系B－xyz，

则M

22

2
a，
2
a，0

.
a，0，1－a
，N
2

2

2

2

(1)MN＝

2
a－
2
a

2
＋

0－
2
a< br>
2
＋

1－
2
a－0

2

2

2

2

2

< br>a－
2

2
＋
1
，
2

2

2
时，MN最短，
2
＝a2
－2a＋1＝
(2)由(1)得，当a＝
最短为
2
，这时M、 N恰好为AC、BF的中点．
2
反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问 题中，还是在实际问题中，都
会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的 距离；(2)判断几何
图形的形状；(3)利用距离公式求最值．

跟踪训练3 在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，
使△MA B为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解 假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．
设坐标原点为O，A、B都在平面 xOz上，而y轴垂直于平面xOz，所以OA⊥OM，OB⊥
＝OA
2
＋OM
2
，MB＝OB
2
＋OM
2
，又因OA＝OB＝10，所以y轴上 的所有点都能使MA
＝MB成立，所以只要再满足MA＝AB，就可以使△MAB为等边三角形． 因为MA＝
于是
3
2
＋－y
2
＋1
2＝10＋y
2
，AB＝25.
10＋y
2
＝25，解得y＝±10.
故y轴上存在点M，使△MAB为等 边三角形，此时点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，
0)．



1．点P(1，2，3)到原点O的距离是________．
答案 6
解析 d＝1＋2
2
＋3
2
＝6.
2．点P (1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为
_______ _．
答案 25
解析 点P(1,2,2)关于y轴的对称点Q的坐标为(－1,2，－2 )，所以PQ＝
1＋1
2
＋2－2
2
＋2＋2
2
＝4＋16＝25.
3．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，AB＝11，则z＝________.
答案 －5或7
解析 ∵AB＝11，∴(6－4)
2
＋(2＋7)
2
＋(z－1)
2
＝11
2
，化简得(z－1)
2
＝36，即|z－1|＝6，
∴z＝－5或z＝7.
4．已知三点A(1,3,2)、B (－2,0,4)、C(－8，－6,8)，证明：A，B，C三点在同一直线上．
解 利用两点间距离公式，

得AB＝22、BC＝222、AC＝322，
所以AB＋BC＝AC，所以A，B，C三点在同一直线上．
[呈重点、现规律]
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任
意两点间的距 离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可； 若已知两点间距离求参数或点的坐标时，
应利用公式建立相应方程求解.



一、基础过关
1．点P(x，y，z)满足x－1
2
＋y －1
2
＋z－1
2
＝2，则点P运动的轨迹是___________ ______．
答案 以点(1,1,1)为球心，以2为半径的球面
解析 x－1< br>2
＋y－1
2
＋z－1
2
＝2表示的是空间直角坐标 系中的动点P(x，y，z)到定点
(1,1,1)的距离为2，所以P点满足球面的定义，所以点P运 动的轨迹是以点(1,1,1)为球心，
以2为半径的球面．
2．在长方体ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
中，若D(0,0,0)、A (4，0,0)、B(4,2,0)、A
1
(4,0,3)，则对角线
AC
1
的长为___________________________________________ _______________________．
答案 29
解析 由已知求得C
1
(0,2,3)，∴AC
1
＝29.
3．已知点A (3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM等于_______ _．
答案
53

2
353
2－0
2
＋－1
2
＋3－0
2
＝.
22
3
解析 AB的中点M(2，，3)，它到点C的距离d＝
2
15
4．已知△ABC顶点坐标分 别为A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(，，3)，则△ABC为________
22< br>三角形．
答案 直角

31010
解析 ∵AB＝5，BC＝，AC＝，
22
∴AB
2
＝BC
2
＋AC
2
，
∴△ABC为直角三角形．
5．点P(－3,2,1)关于Q(1,2，－3)的对称点M的坐标是________．
答案 (5,2，－7)
解析 设M坐标为(x，y，z)，
x－32＋y1＋z
则有1＝，2＝，－3＝，
222
解得x＝5，y＝2，z＝－7，∴M(5,2，－7)．
6．点P在x轴上 ，它到点P
1
(0，2，3)的距离是到点P
2
(0,1，－1)的距离的2 倍，则点P
的坐标是________．
答案 (1,0,0)或(－1,0,0)
解析 因为点P在x轴上，设P(x,0,0)，则PP
1
＝
PP
2
＝x
2
＋－1
2
＋1
2
＝x
2
＋2.
x
2
＋－2
2
＋－3
2
＝x< br>2
＋11，
∵PP
1
＝2PP
2
，
x
2
＋11＝2x
2
＋2，解得x＝±1.
∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
在正方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，P为平面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，求证：AP⊥PB
1
.(用坐标法)

证明 如右图所示，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD
1
为x、y、z轴建立空间直角坐
标系如图，不妨设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，D
1
(0,0,1)，
B
1
(1,1,1)
11
由中点坐标公式可得P(，，1)，
22

根据空间两点间的距离公式
可得AP＝
PB
1
＝
AB
1
＝
116
1－
2
＋0－
2
＋0－1
2
＝，
222
112
－1< br>2
＋－1
2
＋1－1
2
＝，
222
1－1
2
＋0－1
2
＋0－1
2
＝2， < br>2
所以AP
2
＋PB
1
＝AB
2
1
，
∴AP⊥PB
1
.
二、能力提升
8．已知A(x,5－x, 2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当AB取最小值时，x的值为________．
8
答案
7
解析 AB＝x－1
2
＋3－2x< br>2
＋3x－3
2
＝14x
2
－32x＋19，
8
∴当x＝－＝时，AB最小．
2×14
7
9．已知正方体不在同 一平面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是
________ ．
答案 64
解析 AB＝－1－3
2
＋2＋2
2＋－1－3
2
＝43.
－32
又因为A(－1,2，－1)，B( 3，－2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的
体对角线长．设正方体的边长为 a，则3a＝43，即a＝4，所以正方体的体积为64.

如图，在空间直角坐标系中，B C＝2，原点O是BC中点，点A(
31
，，0)，点D在平
22
面yOz上 ，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.则三棱锥D－ABC的体积为________．
1
答案
4
解析 因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2.
所以BD＝1，CD＝BCcos 30°＝3，

13
所以S
△
BCD
＝×BD·CD＝.
22
因为A(
313
，，0)，即点A到BC的距离为，
222
1331
所以三棱锥D－ABC的体积为V＝××＝.
322411．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中
点，求PQ的长．

解 以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴 ，z轴建立空间直角坐标
系，由题意得，B(a，a,0)，D′(0,0，a)，
aaa
所以P(，，)．
222
又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，
aa
所以Q(，a，)．
22
所以PQ＝
aaaaaa
 －
2
＋－a
2
＋－
2
＝.
222222



在长方体ABCD—A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，AB＝AD＝3，AA
1
＝ 2，点M在A
1
C
1
上，MC
1
＝2A
1
M，N在
D
1
C上且为D
1
C的中点，求M、N两点间的距离．
解 如图分别以AB、AD、AA
1
所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，

D(0,3,0)，∵DD
1
＝CC
1
＝2，
∴C
1
(3,3,2)，D
1
(0,3,2)，
∵N为CD
1
的中点，
3

∴N


2
，3，1

.
M是A
1
C
1
的三等分点且靠近A
1
点，∴M(1 ,1,2)．
由两点间距离公式，得
MN＝

3
－1

2
＋3－1
2
＋1－2
2
＝
21
.

2

2
三、探究与拓展
13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
解 ∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，
∴可设M(x,1－x,0)．
∴MN＝
＝
x－6
2
＋1－x－5
2
＋0－1 
2

2x－1
2
＋51≥51，当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M的坐标为(1,0,0)时，MN
min
＝51.