中国男孩-共青团员申请书

第五章 相似矩阵及二次型


1．试用施密特法把下列向量组正交化：

1


111

0

(1)
(a
1
,a
2
,a
3
)

12 4

； (2)
(a
1
,a
2
,a
3
)


1

139


1


解 (1) 根据施密特正交化方法:
1
1
0
1
1


1


1

0



1

1

1< br>

b
1
,a
3

b
2
,a
3


b
1
,a
2

1
b
1


0

，
b< br>3
a
3
b
1
b
2


2

，令
b
1
a
1


1

，
b
2
a
2


 
b,bb,bb,b3

1

1

1
111122

1


11

3

2
故正交化后得:
(b
1
,b
2
,b
3
)

10

．

3


1

11

3

(2 ) 根据施密特正交化方法:

1

1

1



b,ab,a
0

3
b,a
11

,
ba
13
b
23
b

3

令
b
1
a
1


;
b
2
a
2

12
b
1


33
1


b
1
,b
1


b
1
,b
1

1

b
2
,b
2

2
5

3

3

2


1

1

4

 
11



1
35

< br>01
3

故正交化后得
(b,b,b)

5


123

23

1

35

14


1

35


2．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由: 84

11


1




1

99

23


9

814
1

; (2)

(1)


1
1


．

99
2
9

2


4

1
1
47

1



299


3


9
解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．
(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．

3 设x为n维列向量 x
T
x1 令HE2xx
T
 证明H是对称的正交阵
证明 因为
H
T
(E2xx
T< br>)
T
E2(xx
T
)
T
E2(xx
T
)
T
E2(x
T
)
T
x
T
E2xx
T

.

所以H是对称矩阵
因为
H
T
HHH(E2xx
T
)(E2xx
T
)
E2xx
T
2xx
T
(2xxT
)(2xx
T
)
E4xx
T
4x(x
T
x)x
T

E4xx
T
4xx
T

E
所以H是正交矩阵

4．设
A
与
B
都是
n
阶正交阵，证明
AB
也是正交阵．
证明 因为
A,B
是
n
阶正交阵，故
A
1

A
T
，B
1

B
T

(
AB
)
T
(AB)
B
T
A
T
ABB
1
A1
ABE

故
AB
也是正交阵．

5．求下列矩阵的特征值和特征向量:

a
1


123




11

(1)
 
; (2)

213

; (3)

a
2


a
1
a
2





24


336


< br>a


n
a
n

,(a
1
0)
.

并问它们的特征向量是否两两正交?
解 (1) ① A

E
1

1
(

2) (

3)
. 故
A
的特征值为

12,

2
3
．
24

② 当

1
2
时,解方程
(A2E)x0
,由

11

11

1

(A2E)< br>
~

得基础解系
P
1




22
00

1

所以
k
1
P
1
(k
1
0)
是对应于

1
2
的全部特征值向量 ．
当

2
3
时,解方程
(A3E)x0
,由

1


21

21



(A3E)

~

得基础解系
P
2


2



2 100


1

所以
k
2
P
2
(k
2
0)
是对应于

3
3
的全 部特征向量．

1

3



0
③ < br>[P,P]P(1,1)
P
122

2

2< br>
1

故
P
1
,P
2
不正交． < br>1

23
3

(

1)(

9)
. (2) ①
A

E21

3 36

T
1
故
A
的特征值为

1
0,

2
1,

3
9
．
② 当

1
0
时，解方程
Ax0
，由
.


1 23

123

1


A
213

~

011

得基础解系
P
1


1



336

000

1


故
k
1
P
1
(k
1
0)
是对应于
1
0
的全部特征值向量.
当

2
1
时,解方程
(AE)x0
，由

223

223

1

 
AE

223

~

001
< br> 得基础解系
P
2


1



337

000

0


故
k
2
P
2
(k
2
0)
是对应于

2
1
的全部特征值向量
当

3
9
时，解方程
(A9E)x0
，由

1



111

2


823


1
1

A9E< br>
283

~

01

得基础解系
P
3




2

2


333





000



1


故
k
3
P
3
(k
3
0)
是对应于

3
9
的全部特征值向量．

1



2


1


T

1

0
，
P
2
(1,1,1)

1

0
，
[P
2
,P
3
]
P
T
③
[P
1
,P
2
]
P
1
P(1,1,0)
2
3

2


0



1



1



2

1
T
[P
1
,P
3
]
P1
P
3
(1,1,1)

0
， 所以
P
1
,P
2
,P
3
两两正交．
< br>2



1


a
1
2


a
1
a
2
a
1
a
n
2
a
2
a
1
a
2


a
2
a
n
nn1222
(3)
A
E
=



(a
1
a
2
a
n
)


2
a
n
a
1
a
n
a
2
a
n


n1 222



(a
1
a
2
a
n
)




1
aaa

a
i
2
,

2


3
< br>
n
0

2
1
n
2
2
2
n
i1
n
当

1


a
i1
2
i
时，
222

a
2
a
3
a
n
a
1
a
2

222
aaaaa
2113n

A

E
< br>




a
n
a
1
a
n
a
2


a
1
a
n

a
2
a
n




22< br>
a
1
2
a
2
a
n1

.

0a
1


初等行变换
0a
2

~



a
n
a
n1


00

取
x
n
为自由未知量，并令
x
n
a
n
，设
x
1
a
1
,x
2
a
2
,x
n1
a
n1
.

a
1



a
2



故基础解系为
P
1




a


n

当

2


3


n
0
时，

a
n


0



0


0
0
a
n

0
0
aa
2
a
n


a
1
2
a
1
a
2
a1
a
n

初等行变换

1

2a
2
a
1
a
2
a
2
a
n< br>

000



~

A0 E









aaaaa
2


000

n
< br>n1n2

a
n


a
2

a
2



0
a0


1

可得基础解系
P
2


0

,P
3


a
1

,,P
n


0












a
00


1


a
1
a
2
 a
n


aa0
1

2

综上所述可知原矩阵的特征向量为

P
1
,P
2
,, P
n






a

n
0a
1


6 设A为n阶矩阵 证明A
T
与A的特征值相同
证明 因为
|A
T< br>

E||(A

E)
T
||A

E|
T
|A

E|
所以A
T
与A的特征多项式相同 从而A
T
与A的特征值相同

7 设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n 证明A与B有公共的特征值 有公
共的特征向量
证明 设R(A)r R(B)t 则rtn
若a
1
 a
2
  a
nr
是齐次方程组Ax0的基础解系 显然它们是A的对应
于特征值

0的线性无关的特征向量
类似地 设b
1
 b
2
  b
nt
是齐次方程组Bx0的基础解系 则它们是B
的对应于特征值

0的线性无关的特征向量
.

由于(nr)(nt)n(nrt)n 故a
1
 a
2
  a
nr
 b
1
 b
2
  b
nt
必线性相
关 于是有不全为0的数k
1
 k
2
  k
nr
 l
1
 l
2
  l
nt
 使
k
1
a
1
k
2
a
2
  k
nr
a
nr
l
1
b
1
l2
b
2
  l
nr
b
nr
0
记

 k
1
a
1
k
2
a
2
  k< br>nr
a
nr
(l
1
b
1
l
2
b
2
  l
nr
b
nr
)
则k
1
 k
2
  k
nr
不全为0 否则l
1
 l
2
  l
nt
不全为0 而
l
1
b
1
l
2
b
2
  l
nr
b
nr
0
与b
1
 b
2
  b
nt
线性无关相矛盾
因此

0

是A的也是B的关于

0的特征向量 所以A与B有公共
的特征值 有公共的特征向量

8 设A
2
3A2EO 证明A的特征值只能取1或2
证明 设

是A的任意一个特征值 x是A的对应于

的特征向量 则
(A
2
3A2E)x

2
x3< br>
x2x(

2
3

2)x0
因为x0 所以

2
3

20 即

是方程

2
3

20的根 也就是说

1或

2

9 设A为正交阵 且|A|1 证明

1是A的特征值
证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为1或1
因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1
即

1是A的特征值

10 设

0是m阶矩阵A
mn
B
nm
的特征值 证明

也是n阶矩阵BA的特征
值
证明 设x是AB的对应于

0的特征向量 则有
(AB)x

x
于是 B(AB)xB(

x)
或 BA(B x)

(Bx)
.

从而

是BA的特征值 且Bx是BA的对应于

的特征向量

11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A
3
5A
2
7A|
解 令
(

)

3
5

2
7

 则

(1)3

(2)2

(3)3是

(A)的特征值 故
|A< br>3
5A
2
7A||

(A)|

( 1)

(2)

(3)32318

12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E|
解 因为|A|12(3)60 所以A可逆 故
A*|A|A
1
6A
1

A*3A2E6A
1
3A2E
令

(

)6

1
3

2
2 则

(1)1

(2)5

(3)5是

(A)的特征值
故
|A*3A2E||6A
1
3A2E||

(A)|


(1)

(2)< br>
(3)15(5)25


13．设
A, B
都是
n
阶方阵，且
A0
，证明
AB
与
BA
相似．
证明
A0
则
A
可逆
A
1
(AB)A(A
1
A)(BA)BA
则
AB
与
BA
相似．


201

14 设矩阵
A

31x

可相似对角化 求x

405


解 由
2

01
|A

E|31

x(

1)
2
(

6)

405

得A的特征值为

1
6

2


3
1
因为A可相似对角化 所以对于

2


3
1 齐次线性方程组(AE)x0有
两个线性无关的解 因此R(AE)1 由
< br>101

r

101

(AE)
30x

~

00x3



404

000


.

知当x3时R(AE)1 即x3为所求

212

15 已知p(1 1 1)
是矩阵
A

5a3

的一个特征向量

1b2


T
(1)求参数a b及特征向量p所对应的特征值
解 设

是特征向量p所对应的特征值 则
2

1
< br>0

2

1
(A

E)p0 即

5a

3
1



0



1b2


1

0


解之得

1 a3 b0
(2)问A能不能相似对角化？并说明理由
解 由
2

12
|A

E|53

3(

1 )
3

102

得A的特征值为

1

2


3
1
由

112

r

101

AE

523

~

011



1b1

000


知R(AE)2 所以齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量
因此A不能相似对角化


16．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:
22
220

2

54

． (1)

212

; (2)

2
< br>020

245


2

20
解 (1)
A

E21

2
(1

)(

4)(

2)

0 2

故得特征值为

1
2,

2
1,

3
4
．
当

1
2
时，由

420
< br>x
1


232

x
2
0
. 解得

022

x


3

当

2
1
时,由 
x
1

1

13

 
xk2P23
. 单位特征向量可取:
211



x

2

23


3
.


1 20

x
1

x
1

2

23


202x0xk1P13
. 解得. 单位特征向量可取:
2222

< br>
021

x

x

2

23


3

3

当

3
4
时,由

220

x
1

x
1

2


232x0xk
. 解得
3

2

． 单位特征向量可取:

2

2


02 4

x

x

1


3

3


122

20
1

1
,P,P)P212PAP01
得正交阵
(P
.
123

3

00

221

22

2

 
5

4

(

1)
2
(

10)
， (2)
A

E
2

245



故得特征值为
< br>1


2
1,

3
10

当

1


2
1
时，由
< br>23


P
3


23


13


0


0


4


22

x
1
< br>0

1

244

x
2



0

. 解得

244

x

0


3


x
1

2

2

< br>xk1k
1

2

2

0



x

0

1

3

此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量

2

2

2

25

2 5

1

45


P
1
1P1145P45
; 单位化得
22
 
53
5

0

0

0

1

1


当

3
10
时,由

822

x
1

0

x
1

1


254x0xk
. 解得
3

2

. 单位化
P
3
 
2

2


245

x

0

x

2


3

3


2251




3

5
15

10

1
452



.
P1
AP

01
得正交阵
(P
1
,P
2
,P
3
)


153


0 0

5


52


0

33


1

1



2

.
3


2

0
< br>
0

．
1



500


124



1
17．设矩阵< br>A

2x2

与


040
相似，求
x,y
；并求一个正交阵P，使
PAP
. 
421


00y



解 方阵
A
与

相似，则
A
与

的特征 多项式相同，即
1

245

00

x 4
y

0



．
A 

E

E
2x

20
y5

421

004


18 设3阶方阵A的特征值为

1
2

2
2

3
1 对应的特征向量依次为
p
1
(0 1 1)
T
 p
2
(1 1 1)
T
 p
3
(1 1 0)
T
 求A.
.

解 令P(p
1
 p
2
 p
3
) 则P
1
APdiag(2 2 1) APP
1

因为

011

110

P
1


111



111


110

011


1< br>
011

20
所以
APP
111

02

110

00
< br>1
0

110

133

0< br>
111



453

 
1


011

442



19 设3阶对称阵A的特征值为

1
1

2
1

3
0 对应

1< br>、

2
的特征向量
依次为p
1
(1 2 2)
T
 p
2
(2 1 2)
T
 求A

x
1
x
2
x
3

解 设
A

x
2
x
4
x
5

 则Ap
1
2p
1
 Ap
2
2p
2
 即

xxx

356



x
1
2x
2
2x
3
1

x
2
2x
4
2x
5
2
 ①


x
3
2x
5
2x
6
2


2x
1
x
2
2x
3
2

2x
2
x
4
2x< br>5
1
 ②


2x
3
x< br>5
2x
6
2
再由特征值的性质 有
x
1x
4
x
6


1


2


3
0 ③
由①②③解得

x
1

1

1
x
6

x
2

1
x
6

x
3

2

1
x
6

32234

x
4

1

1
x
6

x
5

2

1
x
6

3234
令x
6
0 得
x
1

1
 x
2
0
x
3

2

x
4

1

x
5

2

3333

102

1
因此
A

012



3

220



20．设3阶对称矩阵
A
的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为
P
1

(1 ,1,1
)
,求
A
.
.
T


x
1
x
2
x
3

1

1

x
1
x
2
x
3
6


解 设
A

x
2
x
4
x
5

. 由
A

1

6

1

， 知①

x
2
x
4
x
5
6

xxx

1

1



356

x
3
x
5
x
6
6
3是
A
的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知
A3E
的 秩为1，
x
3

111

x
1
3 x
2

x
4
3x
5

~

x
2
x
4
3x
5

秩为1. 故利用 ① 可推出

x
2

x

x< br>5
x
6
3

x
5
x
6
 3


3

x
3


(1,1 ,1)a(x
2
,x
4
3,x
5
)
成立． < br>(1,1,1)b(x,x,x3)
356

由①②解得
x
2
x
3
1,x
1
x
4
x
64,x
5
1
．
则存在实的
a,b
使得②


411


得
A

141

．

114




21 设a(a
1
 a
2
  a
n
)
T
 a
1
0 Aaa
T

(1)证明

0是A的n1重特征值
证明 设

是A的任意一个特征值 x是A的对应于

的特征向量 则有
Ax

x


2
xA
2
xaa
T
aa
T
xa
TaAx

a
T
ax
于是可得

2


a
T
a 从而

0或

a
T
a
设

1


2
   

n
是A的所有特征值 因为Aaa
T
的主对角线性上的元素
为a
1
2
 a
2
2
    a
n
2
 所以
a
1
2
a
2
2
    a
n
2
a
T
a

1


2
    

n

这说明在

1


2
   

n
中有且只有一个等于a
T
a 而其余n1个全为0 即

0是A的n1重特征值
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量
解 设

1
a
T
a

2
    

n
0
因为Aaaa
T
a(a
T
a)a

1
a 所以p
1
a是对应于

1
a
T
a的特征向量
对于

2
    

n
0 解方程Ax0 即aa
T
x0 因为a0 所以a
T
x0 即
a
1
x
1
a
2
x
2
    a
n
x
n
0 其线性无关解为
p
2
(a
2
 a
1
 0 
p
3
(a
3
 0 a
1
 
.
 0)
T

 0)
T


  
p
n
(a
n
 0 0  a
1
)
T

因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为

a
1

a
(p
1
, p
2
, ,p
n
)

2



a
n
a
2
a
1

0



a
n

0





a
1


1 42

22 设
A

034

 求A
100


043


解 由
1

42

|A

E|0 3

4(

1)(

5)(

5)

043

得A的特征值为

1
1

2
5

3
5
对于

1
1 解方程(AE)x0 得特征向量p
1
(1 0 0)
T

对于

1
5 解方程(A5E)x0 得特征向量p
2
(2 1 2)
T

对于

1
5 解方程(A5E)x0 得特征向量p
3
(1 2 1)
T

令P(p
1
 p
2
 p
3
) 则
P
1
APdiag(1 5 5)
APP
1

A
100
P
100
P
1

因为

100
diag(1 5
100
 5
100
)

121

505

1

P
1


012



01 2



021

5

021

1
所以


505
121


1
1


012


A
100


012
< br>
5
100
5

021


100


021

5



< br>
.


105
100
1




05
100
0



005
100


23 在某国 每年有比例为p的农村居民移居城镇 有比例为q的城镇居民
移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口迁移的规律也不变 把n年
后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x
n< br>和y
n
(x
n
y
n
1)
x
n1

x
n

(1)求关系式

y

A

y

中的矩阵A

n1

n

解 由题意知
x
n1
x
n
qy
n
px
n
(1 p)x
n
qy
n

y
n1
y
n
px
n
qy
n
 px
n
(1q)y
n

可用矩阵表示为
x
n1


1pq


x
n




y



p1q

y




n

n1

1pq

因此
A


p1q



x
0


0.5


x
n



(2)设目前农村人口与城镇人口相等 即

 求
 

y

0.5

y


0


n

x
n1

x
n

x
n

A
n

x
0< br>
 由
A
解 由

可知

y

y

y

y


n 1

n

n

0

|A

E|
1p

q
(

1)(

1pq)

p1q

得A的特征值为

1
1

2
r 其中r1pq
对于

1
1 解方程(AE)x0 得特征向量p
1
(q p)
T

对于

1
r 解方程(ArE)x0 得特征向量p
2
(1 1)
T

q1

令
P(p
1
, p
2
)


p1

 则

P
1
APdiag(1 r)
APP
1

A
n
P
n
P
1

.

q1


10

于是
A
n


p1


0r


 

n

q1



p1
< br>
1
q1


10

11



1


p1


0r
n

pq


pq




qpr
n
qqr
n

1




ppr
n
pqr
n

 pq

x
n

qpr
n
qqr
n


0.5

1





nn


0.5

< br>
y
n

pq

pprpqr

2q(pq)r
n

1






2(pq)

2p(qp)r
n


24．(1) 设
A


32

109

，求

(A)A5A
；

23

212


1098
(2) 设
A
< br>122

,求

(A)A6A5A
．
221



32


是实对称矩阵.
23

解 (1)
A



故可找到正交相似变换矩阵
P




1kk1从而
APP,APP

因此

(A)A5AP P
10910
11



10

22< br>
. 使得
P
1
AP




11

05


22

1

10

1

50

1
5P
9
P
1
P

PP

1010

P

0505

1

11

40

1

11

40

1
P

P


00110011
2
 
2


22

11




2

．
2211

(2) 同(1)求得正交相似变换矩阵

611






6
23
< br>
100


611


P



. 使得
P
1
AP

010

,APP
1

23


005


6


61

0

3
3


(A)A
10
6A
9
5A
8
A
8
(A
2
6A5E)A
8
(AE)(A5E)

12

112
312

1

P
8
P
1


112

132

2

112

．

220

224
224


.

25．用矩阵记号表示下列二次型:
(1)
fx4xy4y2xzz4yz
;
(2)
fxy7z2xy4xz4yz;

2222
(3)
fx
1
x
2
x
3
x
4
2x1
x
2
4x
1
x
3
2x
1
x
4
6x
2
x
3
4x
2
x
4
.

222
222

121

x

解 (1)
f(x,y,z)

242

y

．

121

z



112

x


(2)
f(x,y,z)

112

y

． < br>
227

z



11

11
(3)
f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)


23

12




21


x
1



32


x
2

．
10


x
3


01


x
4

26 写出下列二次型的矩阵
2
(1)
f(x)x
T


3

1

x

1


2
解 二次型的矩阵为
A


3


123
(2)
f(x)x
T

456

x


789


1



1



123

解 二次型的矩阵为
A

456



789



27．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
222
(1)
f2x
1
3x
2
3x
3
4x
2
x
3
;
2222
(2)
fx
1
x
2
x
3
x
4
2x
1
x
2
2x
1
x
4
2x
2
x
3
2x
3
x
4
．

200


解 (1) 二次型的矩阵为
A

032



023


2

00
A

E03

2
(2

)(5

)(1

)< br>
023

故
A
的特征值为

1
2,

2
5,

3
1
．
当

1
2
时, 解方程
(A2E)x0
，由
.


000

012< br>
1

1


A2E

012

~

001

. 得基础解系

1


0

. 取
P
1


0



021

000

0

0

< br>当

2
5
时，解方程
(A5E)x0
，由 < br>0

100


0


30< br>
0



A5E

0 22

~

011

得基础解系

2


1

. 取
P
2


12

．

022

000

1


12

 

当

3
1
时，解方程
(AE) x0
，由

0


100

100

0



AE

0 22

~

011

得基础解系

3


1

. 取
P
3


12

，

022

000

1


12

 

于是正交变换为

x
1

10



x
2



0 12

x


012

3

< br>
1

1
(2) 二次型矩阵为
A


0

1

0


y
1



22
y
3
．
12


y
2

. 且有 f2y
1
2
5y
2

12



y
3

1
1
1
0
0
1
1
1
1


0


1
1


1

101
11
< br>10
A

E
(

1)(

3)(

1)
2
，
011

1
1011

故
A
的特征值为

1
1,< br>
2
3,

3


4
1


1

1



2
2


11





2< br>
，当

3
时，可得单位特征向量
P

2

，

当

1
1
时，可得单位特 征向量
P
2
1
2

1


1





2
2




1



1


2


2


1


0



1


2


0
2

，
P

． 当

3


4
1
时，可得单位特征向量
P
3


4
1


0


2


1



0

2


.

1

1

2

2

x
1


11



x
22
于是正交变换为

2



1

x
3


1


x

2

4


2

11


22

2222
且有
fy
1
3y
2
y
3
y
4
．
1
2
0
1
2
0

0


1


y
1


2


y
2



y

0

3



y
4

1

2


28 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x
2
5y
2
5z
2
4xy4xz10yz 1
化成标准方程

322

解 二次型的矩阵为
A

255



255


3

22
由
|A

E|25

5

(

2)(

11)
 得A的特征值为

1
2
255


2
11

3
0 
对于

1
2 解方程(A2E)x0 得特征向量(4 1 1)
T
 单位化得
p
1
(
4
, 
1
,
1
)

323232
对于

2
11 解方程(A11E)x0 得特征向量(1 2 2)
T
 单位化得
p
2
(
1
,
2
, 
2
)

333
对于

3
0 解方程Ax0 得特征向量(0 1 1)
T
 单位化得
p
3
(0,
1
,
1
)

22
于是有正交矩阵P(p
1
 p
2
 p
3
) 使P
1
APdiag(2 11 0) 从而有正交变
换
.


4

2

x


3
1

y





z


32

1



32


29．证明：二次 型
f
1
0


3

u

21



v


3
2


w


21



3
2

使原二次方程变为标准方程2u
2
11v
2
1

x
T
Ax
在
x1
时的最大值为矩阵
A
的最大特征值.
证明
A
为实对称矩阵，则有一正交矩阵
T
，使得


1



1
2

B
成立．
TAT





n


其中

1
,

2
,,

n
为
A
的特征值，不妨设

1
最大，
T
为正交矩阵， 则
T
1

T
T
且
T1
，故
A T
1
B
T

T
T
B
T
222
则
f
x
T
Ax

x
T
T
T
BTx
y
By


1
y
1


2
y
2


n
yn
． 其中
yTx

T
当
yTxTxx1
时，
即
22
22
y
n
1

y
1
2
y
2
y
n
1
即
y
1
2
y
2
2
f
最大
(

1< br>y
1
2


n
y
n
)
最大
y
1
1


1
． 故得证．

30 用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵
(1) f(x
1
 x
2
 x
3
) x
1
2
3x
2
2
5x
3
2
 2x
1
x
2
4x
1
x
3

解 f(x
1
 x
2
 x
3
)x
1
2
3x
2
2
5x
3
2
2x
1x
2
4x
1
x
3

(x
1
x
2
2x
3
)
2
4x
2
x
3
2x
2
2
x
3
2

(x
1
x
2
2x
3
)2
2x
2
2
(2x
2
x
3
)< br>2


xy
5
y2y
1123

2

y
1
x
1
x
2
2x< br>3


令

y
2
2x
2
 即

x
2

1
y
2

2y2xx


323


x
3
 2y
2
y
3

二次型化为规范形
fy
1< br>2
y
2
2
y
3
2

所用的变换矩阵为
.


1 
5
2


2

1
C
< br>00


2


021



(2) f(x
1
 x
2
 x
3
)x
12
2x
3
2
2x
1
x
3
2x< br>2
x
3

解 f(x
1
 x
2
 x
3
)x
1
2
2x
3
2
2x
1
x
3
2x
2
x
3

(x
1
x
3
)
2
x
3
2
2x
2
x
3

(x
1
x
3
)
2
x
2
2
(x< br>2
x
3
)
2



y1
x
1
x
3

x
1
y
1
y
2
y
3
令

y
2
x
2
 即

x
2
y
2



y
3
x
2
x
3

x
3
y< br>2
y
3
二次型化为规范形
fy
1
2
 y
2
2
y
3
2

所用的变换矩阵为

111

C

010



011


(3) f(x
1
 x
2
 x
3
)2x
1
2
x
2
2
4x
3
2
2x
1
x
2
2x2
x
3

解 f(x
1
 x
2
 x
3
)2x
1
2
x
2
2
4x
3
2
2x
1
x
2
2x2
x
3

22
4x
3
2x
2
x
3

2(x
1

1
x
2
)
2
1
x
2
22
2

2(x
1< br>
1
x
2
)
2

1
(x
2
2x
3
)
2
2x
3

22

y

1

令
y
2



y
3


x
2(x
1

1
x
2
)

1
2
1
(x2x)
 即

x

2< br>3
2
2

2x
3

x
3


1
y
1
y
1
y
2
1
2
2
2
3
2y
2

2
y
3
2
1
y
2
3
二次型化为规范形
fy
1
2
y
2
2
y
3
2

所用的变换矩阵为
.


1 11

1
C

022


2

001


31 设
fx
1
2
x
2
2
5x
3
2
2ax
1
x
2
2x
1
x
3
4x
2
x
3

为正定二次型 求a

1a1

解 二次型的矩阵为
A

a12

 其主子式为

125


1a1
1a
2
a
11
1
1a

a12a(5a4)

a1
125
因为f为正主二次型 所以必有1a
2
0且a(5a4)0 解之得

4
a0


5


32．判别下列二次型的正定性：
222
(1)
f2x
16x
2
4x
3
2x
1
x
2
2 x
1
x
3
;
2222
(2)
fx
1< br>3x
2
9x
3
19x
4
2x
1x
2
4x
1
x
3
2x
1
x
4
6x
2
x
4
12x
3
x
4

1

21

解 (1)
A

160

,

104
< br>
211
21
110
，
160380， 故
f
为负定．
a
11
20
，
16
104

1121


1303

， (2)
A


2096


13619


112
11
40
,
13060
,
A240
． 故
f
为正定．
a
11
10
，
13
209

33． 证明对称阵
A
为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵
U
，使
A< br>U
T
U
，即
A
与单位阵
E
合同．
证明
A
正定，则矩阵
A
满秩，且其特征值全为正．
不 妨设

1
,,

n
为其特征值，

i< br>0i1,,n

由定理8知，存在一正交矩阵
P

.

使
P
T

1


1



 

2



AP


 




n




1

2



1








n


2








n

又因
P
为正交矩阵，则
P
可逆，
P
所以
APQ
Q
T
P
T
PQ
PQ
令
PQ

P
T
．
()
T
．
()
T
U
，
U
可逆,则
A
U
T
U
.
.