赞美老师的名言名句-领导人讲话

高等代数第九章单元测试

一、选择题
1. 设A是欧氏空间V的正交变换，A是A在V的一组标准基下的矩阵，则
( )
A.
A
1 B. A
的特征值是1 C. 秩
(A)
=

1 D. A的迹是1
2.
设A是n 维欧氏空间V的对称变换
，

1
,

2
,

,

s
是A的所有不同特征值，
V

i
是A的特征子空间，则 ( )
A.

i1
s
s
维
(V

i
)n
B.

维
(V

i
)n

i1
s
s
C.

i1
维
(V

i
)n
D.

维
(V

i
)n

i1
3.
设A是欧氏空间V中的一组基

1
,

2
,

,

n
的度量矩阵，向量
与

在
这组基下的坐标分别为
X(x
1
,x
2
,,x
n
)
,
Y(y
1
,y
2,,y
n
)
,则
( )
A.
(

,

)YAX
B.
(

,

)XAY

C.
(

,

)YX
D.
(

,

)XY



4. 设

1
,

2
,,

n
与
1
,

2
,,

n
是欧氏空间V 的两组基，A与B分别是这两
组基的度量矩阵，则A与B的关系是 ( )
A.相似 B.合同 C.相等 D.不等价
5.

(a
1
,a
2
),

(b
1
,b
2
)
是实数域上线性空间
R
2
中任意向量，如下定义的
二元函数，使
R
2
作成欧氏空间的是 ( )
- 1 - 1

A.
(

,< br>
)a
1
b
2
a
2
b
1
B.
(

,

)(a
1
a
2
)b
1
(a
1
2a
2
)b
2
C.
(

,

)a
1
b
1
a
2
b
2
D.
(

,
)a
1
b
1
a
2
b
2
1

6
.如下定义的
R
的线性变换中是正交变换的为 ( )
A.A
(x
1
,x
2
,x
3< br>)(x
1
x
2
,x
2
,x
3
)
B. A
(x
1
,x
2
,x
3
)(x
1
,x
2
x
3
,x
3
)

C. A
(x
1
,x
2
,x
3
) (x
1
,x
2
,x
2
x
3
)
D.A
(x
1
,x
2
,x
3
)(x
1< br>,x
2
,x
3
)
1
3
7.若A,B是欧氏空间V的对称变换，以下变换
1．A+B 2. AB 3. A
2
4. AB+BA
中对称变换的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设A是n维欧氏空间的对称变换，则 ( )
A. A关于V的任意基的矩阵是对称矩阵
. B . A关于V的任意基的矩阵是对角矩阵
.C. A关于V的任一组标准正交基的矩阵是对称矩阵
. D. A关于V的任一组标准正交基的矩阵是对角矩阵
二、判断题
1． 设V是欧氏空间，
0

V
,
如果向量

 V
满足
(

,

)0
,则

 0
.

（ ）
2．在n维欧氏空间V中，一组基

1
,
< br>2
,…..,

n
的度量矩阵必定是正定矩
阵. （ ）
3．在R
3
中，对于任意向量

=(a
1
,
a
2
),

=(b
1
,b
2
),定义
(

,

)=a
1
b
2
+a
2
b
1
，那么R
2
对于定义的内积构成欧氏 空间.（ ）
4．在欧氏空间V中，如果向量

与向量组

1
,

2
,…..,

s
中的每一个正交，
那么

与

1
,

2
,…..,

s
的任意一个线性组合也正交. （ ）
5．正交向量组是线性无关的. （ ）
6．正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵. （ ）
7．实对称矩阵都相似于对角形矩阵. （ ）
- 2 - 2

8．定义R
3
上线性变换< br>
:

(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
3
,x
2
,x
1
)，则

是对 称变换.
（ ）
三、计算题
1．设A是欧氏空间V的线性变换，A在V的一组标准正交基

1
,

2
,

3
下的

022


矩阵为
A

231
,

213


（1） 求A的特征值及相应的一组线性无关的特征向量.
（2） 求正交矩阵T，使
T
1
AT
为对角矩阵.
（3） 写出V的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵.
0

1


2．求矩阵

0cos

0sin




sin


在复数域上的特征值与特征向量
（



cos




0
k

）.
3.

1
=(1, 1, 0, 1),

2
=(-1, 0, 0, 1)是R
4
的一组向量,V< br>1
=L(

1
,

2
),求
V1
的一
组基.
四、证明题
1．设R[x]
3
是次数 小于3的多项式函数及零多项式构成的线性空间.验证:
内积(f(x),g(x))=
f(x)g(x)dx
,
f(x),g(x)R[x]
3
使得R[x ]
3
成为一个欧
1
1
氏空间.
2．设欧氏空间V中
,

,

(

0)
线性相关且< br>
与

正交，

与

正交，证
明：

与

线性相关.
3．两对称变换之积是对称变换的充要条件是它们的乘法可交换.
4．设A是反对称矩阵，那 么A+E可逆，且
U(EA)(EA)
1
是正交阵.
- 3 - 3