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第五章 相似矩阵及二次型
一、判断题
1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )
2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( )
3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )
4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( )
5.若
n
阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( )
6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( )
7. 相似矩阵的行列式必相同.( )
8.若
n
阶矩阵
A
和
B
相似，则它们一定有相同的 特征值.( )
9．
n
阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( )
10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( )
二、单项选择题

001


1. 设
A

010

,则
A
的特征值是( ).

100


(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2
2. 若
x
1
,x2
分别是方阵
A
的两个不同的特征值对应的特征向量,则
k
1< br>x
1
k
2
x
2
也
是
A
的 特征向量的充分条件是( ).
(A)
k
1
0且k
2
0
(B)
k
1
0且k
2
0
(C)
k
1
k
2
0
(D)
k
1
0且k
2
0

3. 若
n
阶方阵
A,B
的特征值相同,则( ).
(A)
AB
(B)
|A||B|
(C)
A
与
B
相似 (D)
A
与
B
合同
4. 设
A
为
n
阶可逆矩阵,

是
A
的特征值,则
A
*
的特征根之一是( ).
(A)

1
|A|
n
(B)

1
|A|
(C)

|A|
(D)

|A|
n

5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）.
(A)线性相关 (B)线性无关
(C)两两相交 (D)其和仍是特征向量
6.
|A||B|
是
n
阶矩阵
A
与
B
相似的( ).
(A)充要条件 (B)充分而非必要条件

(C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件
7. 若
n
阶方阵
A
与某对角阵相似,则( ).
(A)
r(A)n
(B)
A
有
n
个不同的特征值
(C)
A
有
n
个线性无关的特征向量 (D)
A
必为对称阵
8.
n
阶对称矩阵
A
正定的充分必要条件是（ ）.
(A)
A0
(B)存在矩阵C，使
AC
T
C

(C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正
9．设
A
为n阶方阵，则下列结论正确的是（ ）.
(A)A必与一对角阵合同
(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定
(C)若A与正定阵B合同，则A正定
(D) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同
10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.
(A)A可逆 (B)
A
1
正定
(C)A的所有元素为正 (D)任给
X(x
1
,x
2
,,x
n
)
T
0, 均有
X
T
AX0

二、填空题
1. n阶零矩阵的全部特征值为_______.
2. 若
A
2
A
，则
A
的全部特征值为_______.
3. 设三阶矩阵
A
的特征值分别为-1,0,2,则行列式
A
2< br>AI
.
4. 特征值全为1的正交阵必是 阵.

2231

12

5. 若
A

相似与

B
，则
x
，
y
= .
yx34

2
6.二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
,)x
1
x
2
2x
2
x
3
x
3
的秩为 .
22
7.若
f(x
1
,x
2
,x
3< br>)2x
1
2
x
2
x
3
2x
1
x
2
tx
2
x
3
正定，则t的取值范围是 .

110


8.设
A

1a0

是正定矩阵，则
a
满足条件 .

00a
2


9．二次型
f(x
1
,x
2)x
1
x
2
的负惯性指数是__________.
13


x
1

10．二次型
(x
1
,x
2
)


x

的矩阵为 .

12

2

三、计算与证明题

1 试用施密特法把下列向量组正交化

111

(1)
(a
1
, a
2
, a
3
)

124

 
139



111


0 11

(2)
(a
1
, a
2
, a
3
)


101


110


2 下列矩阵是不是正交阵:

1
11


23


1

1
(1)

1

;
2

2
111


32



1

8

4


999


814< br>
(2)




99
< br>9
447



999

3 设x为n维列向量 x
T
x1 令HE2xx
T
 证明H是对称的正
交阵
4 设A与B都是n阶正交阵 证明AB也是正交阵
5 求下列矩阵的特征值和特征向量:

212

(1)

533

;

102



123

(2)

213

;

336

 


0

0
(3)

0< br>
1

0
0
1
0
0
1
0< br>0
1

0

.
0

0


6 设A为n阶矩阵 证明A
T
与A的特征值相同
7 设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n 证明A与B有公共的特
征值 有公共的特征向量
8 设A
2
3A2EO 证明A的特征值只能取1或2
9 设A为正交阵 且|A|1 证明

1是A的特征值
10 设

0是m阶矩阵A
mn
B
nm
的特征值 证明

也是n阶矩阵
BA的特征值
11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A
3
5A
2
7A|
12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E|
13 设A、B都是n阶矩阵 且A可逆 证明AB与BA相
似

201

14 设矩阵
A

31x

可相似对角化 求x

405



212

15 已知p(1 1 1)
是矩阵
A

5a3

的一个特征向量

1b2


T
(1)求参数a b及特征向量p所对应的特征值
(2)问A能不能相似对角化？并说明理由
16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

220

(1)

212

;

020



222

(2)

254



245




5


124

< br>17 设矩阵
A

2x2

与
4
相似 求x y 并求一

421


y


个正交阵P 使P
1
AP
18 设3阶方阵A的特征值为

1
2

2
2

3
1 对应的特征向量
依次为p
1
(0 1 1)
T
 p
2
(1 1 1)
T
 p
3
(1 1 0)
T
 求A.
19 设3阶对称阵A的特征值为

1
1

2
1

3
0 对应

1
、

2
的
特征向量依次为p
1
(1 2 2)
T
 p
2
(2 1 2)
T
 求A
20 设3阶对称矩阵A的特征值

1
6

2
3

3
3 与特征值

1
6
对应的特征向量为p
1
(1 1 1)
T
 求A.
21 设a(a
1
 a
2
  a
n
)
T
 a
1
0 Aaa
T

(1)证明

0是A的n1重特征值
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量


142

22 设
A

034

 求A
100


043


23 在某国 每年有比例为p的农村居民移居城镇 有比例为q
的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口迁移
的规律也不变 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依
次记为xn
和y
n
(x
n
y
n
1)
x
n1

x
n

(1)求关系式

y

A

y

中的矩阵A

n1

n

x
0

0.5

(2)设目前农村人口与城镇人口相等 即


y



0.5

 求

0



x
n



y


n

32
 求

(A)A
10
5A
9
 24 (1)设A


23




< br>212

(2)设
A

122

, 求

(A)A
10
6A
9
5A
8


221


25 用矩阵记号表示下列二次型:
(1) fx
2
4xy4y
2
2xzz
2
4yz
(2) fx
2
y
2
7z
2
2xy4xz4yz
(3) fx
1
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
2x
1
x
2
 4x
1
x
3
2x
1
x
4
6x
2
x
3
4x
2
x
4

26 写出下列二次型的矩阵
2
(1)
f(x)x
T
< br>
3

1

x

1



123

(2)
f(x)x
T

456

x


789


27 求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
(1) f2x
1
2
3x
2
2
3x
3
3
4x
2
x
3


(2) fx
1
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
2x
1
x
2
 2x
1
x
4
2x
2
x
3
2x
3
x
4


28 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x
2
5y
2
5z
2
4xy4xz10 yz1
化成标准方程
29 明 二次型fx
T
Ax在||x||1时的最大值为矩阵A的最大特征
值.
30 用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵
(1) f(x
1
 x
2
 x
3
)x
1
2< br>3x
2
2
5x
3
2
2x
1
x
2
4x
1
x
3

(2) f(x
1
 x
2
 x
3
)x
1
2< br>2x
3
2
2x
1
x
3
2x
2
x
3

(3) f(x
1
 x
2
 x
3
)2x
1
2
x
2
2
4x
3
2
2x
1
x
2
2x2
x
3


31 设
fx
1
2
x
2
2
5x
3
2
2a x
1
x
2
2x
1
x
3
4x
2
x
3

为正定二次型 求a
32 判别下列二次型的正定性
(1) f2x
1
2
6x2
2
4x
3
2
2x
1
x
2
2x
1
x
3

(2) fx
1
2
3x
2
2
9x
3
2
19x
42
2x
1
x
2
4x
1
x
3
2x
1
x
4
6x
2
x
4
12x< br>3
x
4

33 证明对称阵A为正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵U
使AU
T
U 即A与单位阵E合同