武汉军事经济学院-新公司组建方案

线性代数复习题
一：判断题
1. 任何一个非零向量组均可以进行施密特正交化
2. n个n+1维向量组一定线性相关
3. 若 n元线性方程组的系数矩阵的秩小于n, 则此方程组有无穷多解.
4. 若 n元齐线性方程组有非零解，则这个方程组有无穷多个解。
5. 任何一个n阶矩阵都相似于一个n阶对角矩阵.
6. k重特征值必有k个线性无关的特征向量.
7. 如果n阶行列式中有
n
2
n
个（以上的）元素为0，
则该行列式的值为0。
8. 秩为r的矩阵的所有r阶子式都不为零.
9. 向量组线性无关当且仅当其中任一向量均不能被其他向量线性表出.
10. 如果两个同阶矩阵有相同的特征值，则他们相似。

二：选择题

aa
12
a
13

1. 如果D =

11

a

2a
11
2a
12
2a
13

21
aa


2223
< br> ，且
D
= M, D
1
=

2a2a
22
2a

23

, 则D

a
31
a
32
a
33



21

2a
31
2a
32

1
= (
2a
33

A. 2 M B.2 M C. 8 M D. 8 M
2．设A, B为2个n阶矩阵，则关于矩阵的秩，下列式子不正确的是： （ ）
A.
r(AB)min{r(A),r(B)}
B.
r(AB)r(A)r(B)

C.
r(AB)r(A)r(B)
D.
r(A
*
)r(A)

3.设A为四(三，二)阶矩阵且|A|=a, 则其伴随矩阵A

的行列式|A

|为: ( )
A. a B.a
2
C.a
3
D.a
4

4.下列结论中不正确的是: ( )
A.若向量与正交,则对任意实数a,b, a与b也正交.
B若向量与向量
1
, 
2
正交,则与
1
, 
2
的任一线性组合也正交.
C.若向量与正交,则与中至少有一个是零向量.
D.若向量与任意同维向量正交,则是零向量.
5.

1
,

2
都是n阶距阵A的特征值且

1
,

2
，
X
1
,X
2
分别是对应于

1,

2

的特征向量，下面哪个条件使得
Xk
1X
1
k
2
X
2

)

必是A的特征向量 （ ）
A.
k
1
k
2
0
B.
k
1
0且k
2
0
C.
k
1
k
2
0
D.
k
1
0且k
2
0

6.下面是n阶矩阵A与B相似的充分条件的是: ( )
A. |A|=|B| B. r(A)=r(B) C. A与B有相同的特征多项式
D. A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同
7.设矩阵A= (a
ij
)
mxn
, 则AX=0仅有零解当且仅当 ( )
A. A的行向量组线性无关 B. A的行向量组线性相关
C. A的列向量组线性无关 D. A的列向量组线性相关
8．设向量组

1
,

2
,,

n
的秩为r， 则下列说法不对的是 （ ）
A. 与

1
,

2
,,

n
等价的任意一个线性无关的向量组均 含r 个向量
B.

1
,

2
, ,

n
中任意r个向量都是这个向量组的极大无关组
C. < br>
1
,

2
,,

n
中任意 r个线性无关的向量都是这个向量组的极大无关组
D.

1
,

2
,,

n
中任意极大无关组均含r 个向量
三．计算证明题

x
1
x
2
x3
a

1. a取何值时线性方程组

ax
1
x
2
x
3
1
有唯一解？并求其解。


xxax1
123

232


的特征值并 写出每个特征值的所有特征向量.
142
2. 求矩阵A=




131



111


3. 设矩阵A=
111
，求一正交矩阵Q使得Q
-1
AQ 为对角矩阵



111


4．已知1326,2743 ,5005,3874都能被13整除,不计算行列式的值,

1
2
试 证D=
5
3
3
7
0
8
2
4
07
6
3
能被13整除.
5
4
5．设
A(a
ij
)
mxn
，
B(b
ij
)
nxs< br>且
AB0
。证明
r(A)r(B)n
.