合肥公务员局-美术教学总结

6.3 基本内容
6.3.1 二次型及其矩阵形式
(1) 定义 n变量的二次齐次函数
2

f(x
1
,x
2
,,x
n
)

11
x
1
2

12
x
1
x
2
2

13
x
1
x
3
2

1n
x
1
x
n< br>



22
x
2

2

23
x
2
x
3
2

2n
x
2< br>x
n




2



nn
x
n

2




i1j1
nn
ij
x
ix
j
(其中

ij


ji

ij

R)，
称为n个变量
x
1
,x
2
,,x
n
的二次型。
注 若

ij
0
（< br>ij,i,j1,2,,n
）则称f为标准型。
(1) 矩阵形式

f(x)xAx

其中
x

x
1
,x
2
,,x
n

,A(

ij
)
nn
，这里

ij


ji
，即A为实对称矩 阵。
T
T
注1 实对阵矩阵A成为二次型f的矩阵，而A的秩称为该二次型的秩。
注2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实
对称矩阵 均可看做是某一二次型的矩阵。
注3标准型的矩阵是对角阵。
6.3.2 与二次型的标准型有关的概念
(1) 满秩线形变换
设
x

x
1
,x
2
,,x
n

,y

y
1
,y
2
,,y
n

,P(p
ij
)
nn
可逆，则称x=Py为由
TT
x
1
,x< br>2
,,x
n
到
y
1
,y
2
,, y
n
的满秩线形变换。
注 若P为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。
(2) 合同矩阵
设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C，使

CACB

T

则A合同与B，C为合同变换阵。
注1 若C为正交阵，满足
CACB
，A与B既合同，又相似。
注2 合同矩阵秩相等。
注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。
(3) 对任一个二次型
fxAx
，总可以通过满秩线形变换x=Py化为

fyPAyd
1
y
1
d
2
y
2d
r
y
r

成为f的标准型。其中r=r(A)，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。
注1 f的标准型矩阵D=
P
T
AP
与f的矩阵A合同。
注2 将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。
注3 当
d
1
d
p
1,d
p1
d
r
1
时的标准型成为f的规范型。其形式为
222
y
1
2
y
2
y
2
p
y
p1
y
r
，二次型的规范形是唯一的。
TT222
T
T
(4) 惯性律
对一个二次型
fxAx
，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方< br>项前正系数个数p和负系数个数r-p都是唯一确定的，称p为二次型的正惯性指数，r-p为
负 惯性指数（其中r为A的秩），而p-
（
r-p）称为符号差。
注 两个n个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。
6.3.3 化二次型为标准型的方法
(1) 配方法
对二次型

f(x
1
,x
2
,,x
n
)
2
T


i1
n
ii
x
i
2
 2
1ijn


ij
x
i
x
j
从左边先找出一个系数不为零的平方项
x
q
，把所有包含
x< br>q
的项集中在一起，配成完全平方
的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项
x
k
，同样把所有包含
x
k
的项集中到一起，配
成完全平方 的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。
注 若二次型，但

ij
0(ij)
，则可先做满秩变换
2

x
i
y
i
y
j

x
j
y
i
y
j
x
k
xk
(ki,j,k1,2,,n)
化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配 方。
(2) 正交变换法
对二次型
fxAx
，由于A是对 称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交
阵Q，使
T
Q
T
AQ
=diag（

1
,

2
,,

n
)

所以由正交变换x=Qy，可得
22
fx< br>T
Axy
T
y

1
y
1
2< br>

2
y
2


n
y
n

注 用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A的特征值，但若用其他满秩变换 化
为标准型，则平方项前系数A的特征值无关。
6.3.4 正定二次形和正定矩阵的概念
对于任意n维非零向量x，若恒有
fxAx0
，则称f为正定二次型，f的 矩阵A称
为正定矩阵，记作A>0。
注1 正定矩阵必是对称阵
T
T
n
注2 若对任意
xR
，有
fxA x0
，且存在
x
0
0
，使
fx
0
A x0
，则称f
T
或A为半正定，记作A

0，类似地可以定义f或 A为负定或半负定。
6.3.5 正定矩阵的判别方法
设A为n阶实对称阵。
(1) 若A的正惯性指数等于n，则A正定。
(2) 若A的特征值全是正的，则A正定。
(3) 若A的各阶前主子式均大于零，则A正定。
(4) 若A合同于单位阵，即
ACC
（C为可逆阵），则A正定。
(5) 用正定的定义，即
x0,xR,fxAx0
，则A正定。
注1 上述各条均为实对称阵A正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，(5)。
注2 n阶矩阵A=
(a
ij
)
的k阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 < br>nT
T

a
11
D
k
detA
k

a
12
a
1k
a
2k

k(1,2,.n)


a
kk
a
21
a
22


a
k1
a
k2

共有n个。
注3 对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为：
若
(1)D
k
0(k1,2,,n)
，则A负定。
6.3.6 正定矩阵的有关结论
(1) A正定，则
a
ii
0,(i1,2,,n)

注 这是正定的一个必要条件，常用来判定A不是正定的，但不能用来判断A正定。
(2) A正定，则
A,A,A,A
（m为正整数）均为正定矩阵。
(3) A，B为n阶的正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。
6.4 典型例题分析
1）用正交变换化二次型为标准型问题
（1）对实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使
Q AQ
（

为对角阵）。
（2）对二次型
fxAx
， 求正交矩阵Q，使
QAQ
（

为对角阵），则当
xQy
时，有
fyy
为标准型。
方法：关键是求正交矩阵Q，步骤为：
（ 1）求出A的所有特征值

1
,

2
,,
n
；
（2）对重特征值

i
，将
(a
< br>i
I)x0
的基础解系正交化；
（3）将n个正交的特征向量
< br>1
,

2
,,

n
标准化得
< br>1
,

2
,,

n
；
则
Q


1
,

2
,,

n

即为所求，

T
TT
T
T1*m
k

122


例1 设
A244




244


（1）将A对角化。
（2）求一个正交变换
xQy
，使二次型

22
f (x
1
,x
2
,x
3
)x
1
2
4x
1
x
2
4x
1
x
3
4x
2
4x
3
8x
2
x
3

为标准型。
解
（1）求出A的特征值：
1

22
A

I24

4

2
(

9 )

244

特征值为

1

2
0
，

3
9
。
对

1


2
0
，解方程组
(A0I)x0
即


x
1
2x
2
2x
3
 0

2x
1
4x
2
4x
3
0



2x
1
4x
2
4x
30
得线性无关的特征向量为

1


2,1,0< br>
T
，

2


2,0,1
< br>T

将它们正交化得

T
1


1


2,1,0




T
2
,
1

24

2


2



1


,
5
,1
1< br>,

1

5



对

3
9
，解方程组
(A9I)x0
，即


8x
1
2x
2
2x
3
 0

2x
1
5x
2
4x
3
0



2x
1
4x
2
5x
30
得到一个线性无关的特征向量

3


1,2,2

T

由 于

3
必与

1
,

2
正交，故 将

1
,

2
,

3
单位化，得
TT


21
1



,
5
,0



，


245


1
5
2




35
,
35
,
35


，

3


3
,
令
Q


1
,< br>
2
,

3

，则Q为正交阵，且有
Q
T
AQ
，即
AQQ
T


2
,
2

T
33




0


0

。 其中
 


9


（2）
f
的矩阵恰为A ，故由（1）的计算可得正交变换
xQy
，则
2
fx
T
Axy
T
y9y
3

注1 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的，所以本题中属于

3
9
的特
征向量

3
与

1


2
0
的特征向量已正交，只需将其标准化即可。
注2 特征向量（即齐次线性方程组的基础解系）的取法是不唯一的，所以正交矩阵Q
不唯一。
注3 在构成正交矩阵Q时，标准正交向量

1
,

2
,

3
的顺序是可变的，只要

1
,

2
,

3
在
对角阵中的位置与

1
,

2
,

3
在Q中的位置相同即可。
注4 用正交变换将二次型化 为标准型，标准型的平方项系数恰为二次型矩阵的特征值，
但用一般可逆变换时，这个结果不成立。
2）用配方方法化二次型为标准型
例2 用配方法化下列二次型
22
（1）
f(x
1
,x
2
,x
3< br>,x
4
)2x
1
4x
1
x
2
 x
2
4x
2
x
3

（2）
f(x< br>1
,x
2
,x
3
,x
4
)x
1< br>x
2
2x
1
x
3
x
1
x
3

为标准形，并求出所用得非退化线性变换。
解 (1)
f( x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)2(x1
2x
1
x
2
)x
2
4x
2< br>x
3
2(x
1
x
2
)(x
2
4x
2
x
3
)

222

2(x
1
x
2
)(x
2
2x
3< br>)4x
3

2222

y
1
x
1
x
2

y
1

110

x
1



令

y
2x
2
2x
3
，则
y
2
012x
2
，即


yx

33

y
3




001


< br>
x
3



112


110




x012

y012y
，使





001



001

< br>222

f2y
1
y
2
4y
3

1


x
1
y
1
y
2

110



(2) 令

x
2
y
1
y
2
，即
x110y
，则

xy

3

3

001


2222

fy
1
y
2
2(y1
y
2
)y
3
(y
1
y
2)y
3
y
1
y
3
y
1
y
2
3y
2
y
3


11
2
13
22

y
3
)
2(y
2
3y
2
y
3
y
3
)( y
1
y
3
)
2
(y
2
y
3
)
2
2y
3
2422
111

y yzyzz10
113

1
2
3

1< br>
22


333


令

y
2
y
3
z
2
，即

y2
z
2
z
3
，即
y

01< br>
z
，于是
222



001

y
3
z
3

y
3
z
3




(y
1
1

10

2


110
< br>

111




01
3< br>
z

112

z
，使
x

110



2


1


001



001


0 0



222

fz
1
z
2
2z
3

3)与二次型的标准形有关的问题
例3 已知二次型
f(x,y,z)5x2x y6xz5y6yzcz
的秩为2，求参数c，并指
出
f(x,y,z)1
表示何种曲面。
解
222
f(x,y,z)

x
故对应的矩阵为
y

513

x

z


153

y





33c




z



513

A

153





33c


由已知得r（A）=2，所以
5
A1
3
故c=3。
1
5
3
3
324c720

c

下面求A的特征值。
5

由
A
I1
1
5

3
3
3

(

4)(

9)0
，得A的特征值为0，4，9 ，则
3

3
必有正交变换

x

u


y

Q

v





z


w


22
将二次型化为标准形
f4v9w
，故
f(x,y,z)1
，即为
4v9w1
表示椭圆柱面。
22
例4 对二次型
f2 x
1
x
2
4x
1
x
2
4x
2
x
3
分别作下列三个可逆线性变换，求新二次型
22

x
1

112

y
1

 
(1)
x
2
012y
2
,
< br>

x
3




001




y
3




x
1

(2)

x
2






x
3





1
2
0
0

11

y

1
11

y
2

,
1
 

0

y
3


2



x
1

110

y
1


(3)
x
2
012y
2
< br>


x
3



< br>001




y
3


解 (1)解法一 将线性关系直接代入
f2(y
1
y
2
2 y
3
)
2
(y
2
2y
3
)
2
4(y
1
y
2
2y
3
)(y
22y
3
)4(y
2
2y
3
)y
3
2yy4y
2
1
2
2
2
3


220


2

，设线性变换矩阵为P，则 解法二 f的矩阵为
A22



020


00

220

112

1
fx
T
Axy
T
P
T
APyy
T

110

212

012

y



221




020




001



2

22
y
T

1

y2y1
2
y
2
4y
3

4



1

2
T
(2)
PAP

1


1


222故
fy
1
y
2
y
3
。
< br>0

220

10

212
 

1


1

020


2


0
1
2
0
0

11

1

11



1



1

1

0< br>
2



100

220

110

244

T

2
012



474

(3)
PAP11021



021
< br>


020




001< br>



444


222
故
f2y
1
7y
2
y
3
8y
1y
2
8y
1
y
3
8y
2
y
3
。
注1 可以对一个二次型作不同的可逆线性变换，但如(3)那样并不是任意一个不可 逆变换都
可使二次型化为标准形。
注2 二次型经可逆变换化为标准形，相当于二次型矩阵经合同变换化为对角阵。
注3 二次型的标准形不是 唯一的，如(1)与(2)的结果都是f的标准形，但标准形中具有的非
零系数及正系数的平方项的项数 是分别相同的，这需要特别注意。
222
例5 设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)x
1
x
2
x
3
2x
1
x
2
2x
1
x
3
2ax
2
x
3
通过正交变换化为标
222
T
准形
f2y
1
by
2
2y
3
。(1)求常数a, b；(2)若
xx3
，证明f的值不超过6；(3)求f
的规范形及正，负惯性指数 。
解 (1) 二次型及其对应的标准形的矩阵分别为

111

2

A

11a

,B

b



1

2


1a

因为A与B相似，所以A，B有相同的特征值，可得
tr(A)tr(B)

即
34b
，所以
b1
。
111
由
A2I0,即11a(a1)
2
0
，所以
a1< br>。故
11a
ab1

T
(2)若
xx3
，则必有
yy3
，从而
2222
f 2y
1
2
y
2
2y
3
2(y
12
y
2
y
3
)2y
T
y6

T



y
1



(3)作线性变换

y
2



y
3



22
fz
1
2
z
2
z
3

1
z
1
2
z
3
，则得f的规范形为
1< br>z
2
2
其正惯性指数为2，负惯性指数为1，符号差为
211。
例6 若实对称矩阵A的秩为
r
，符号差为
s
，证明：r
与
s
奇偶性相同，且
sr
。
证 设A的正惯性指数为
p
，则符号差
s2pr
，即
rs2p

因为
2p
为偶数，故
r
与
s
同奇偶。又
0pr
，所以
0sr2r

于是有
rsr
，即
sr

4)正定矩阵的判别与证明
例7 判别下列二次型是否正定。
22
(1)
f
1
(x
1
,x
2
,x
3
)3 x
1
x
2
6x
1
x
2
6x
1
x
3
2x
2
x
3
;
222
(2)
f
2
(x
1
,x
2
,x
3
)tx
1
2x
1
x
2
tx
2
2x
2
x
3
x
3

(3)
f
3(x
1
,x
2
,,x
n
)

x

xx
2
ii
i1i1
nn1
i1

解 (1)因为
a
33
0
，故
f
1
不是正定二次型。
0

t1

t1

(2)
f
2
对应的矩阵为
A1



011


A的各阶顺序主子式
D
1
t,D
2
< br>t1
1t
t
2
1,D
3
At
2t1

只有
D
1
0,D
2
0,D3
0
同时成立时，
f
2
正定，否则不正定。解上述不等式组， 得到
t
1515
，即当
t
时，
f
2
正定。
22



1

1

2

(3)
f
3
对应的矩阵为
A








1
2
1
1
2
1
2
1

1
2



1
1
2









1


2

1



k
经计算，A的任意k阶顺序主子式
D
k< br>()(k1)0(k2,3,,n)
，所以
f
3
正定。
1
2

101

2

例8 设
A020,B(kIA)
，其中
k
为实数。求对角阵

，使< br>B
与
A
相似，并



101


问
k
为何值时，
B
为正定阵。
解 因为
A
是实对称阵，所以
B
T
(kIA)
2

T
(kI
T
A
T
)
2
(kI A)
2
B

即
B
也为实对称矩阵，从而
B
一定相似于对角阵。
易求得
A
的特征值为
2,2,0
，从而
B
的特征值为
(k 2),(k2),k
。
取对角阵
222

(k2)
2





(k2)
2




k
2


则
B
与
A
相似。 实对称阵当且仅当特征值全为正数时为正定阵，所以，当
k0
且
k2
时，
B
正定。
例9 已知A为n阶实对称阵，且满足
A6A11A6IO
，证明A为正定矩阵。
证 设

是A的特征值，因为
A6A11A6IO
，所以有

6

11

60
即
3232< br>32
(

1)(

2)(

3)0
，故
或

2
或

3

即A的特征值都大于零，故A正定。
例10 （1）设A为n阶正定阵，Ｂ为n阶半正定阵，试证A＋B为正定阵。

1

（2）设A，B分别为m和n阶正定阵，试证


A0

为正定阵。


0B

证 （1）
x0
，因为A正定，B半正定，所以有

x
T
Ax0,x
T
Bx0

从而
x
T
(AB)xx
T
Axx
T
Bx0

得证 A＋B正定。
（2）证法一 （利用顺序主子式）
设 A、B的各阶前主子式为
detA
1
,detA
2
,,detA< br>m
;detB
1
,detB
2
,,detB
n，则

A0

的各阶顺序主子式为
C


0B

detC
1
detA
1
,,detC
m
detA
m
detA,detC
m1
detAd etB
1
,detC
m2
detAdetB
2
,,< br>etC
mn
detCdetAdetB
因为A、B皆正定，故由
detA
i
0(i1,2,,m),detB
j
0(j1,2, ,n)
。于是
detC
k
0(k1,2,,mn)
，友显然 C为实对称阵，故C正定。
证法二 （利用特征值）
设
C


A0

，则C的特征多项式为


0B

0

A

I
m
B

I
n
。
B

I
n


A

I
m
C

I 


0
可见A的特征值

1
,

2
,,

m
，B的特征值

1
,
< br>2
,,

n
均为C的特征值，所以C的全部
特征值为

1
,

2
,,

m
，
< br>1
,

2
,,

n
。
由A，B 的正定性知

i
0(i1,2,,m),

j
0( j1,2,,n)
，故C的所有特征知皆正，
又C为实对称阵，所以C正定。
证法三 （用定义）
设
zx,y
T

TT
< br>R
mn
,其中x
T
R
m
，y
T
R
n
，若
z0
，则有
x0
或
y0
，于是

A0

x

z
T
Czx
T
,y
T

x
T
Axy
T
B y0



0B

y

且C为实对称阵，故C正定。
注1 要证明某个矩阵正定，首先要说明该矩阵是是对称阵。
注2 本例（2）中列举方法是证明矩阵正定的几种基本方法。
注3 若直接证明一个矩阵是 正定矩阵又困难时，可以转化为证明对应的二次型时正定二次
型，此时往往可用定义，某些情况下这时较 为简单的方法，本例（1）就是。

例11 设n阶实矩阵A满足
A4A3 I0
，试证

A2I

2
T

A2 I

为正定矩阵。
证 设
B

A2I
T

A2I

，则
B
T

A2I

A2I

B

T
故B是实对称阵。
对任一非零向量
xR
，有
nx
T
Bxx
T

A2I

A2I
x


A2I

x

T
2
T


A2I

x


2
由
A4A3I0
，即

A2I

I，可得
A2I
可逆，故
(A2I)x0
。所以有
xT
Bx


A2I

x

故B即

A2I

T
T


A2I

x

0


A2I

正定。
2
注 本题也可用特征值
A2I
可逆，证法如下：
设

是A的一个特征知，则

必满足



A3I 0
，于是

1,或

3
，可知2不是
A的特征 值，故有
A2I0
，所以
A2I
可逆。
例12 证明：n阶 矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在n各线性无关的列向量

1
,

2
,,

n
，
TTT
使
A

1

1


2

2

n

n
。
证 必要型
T
若A正定，则存在n阶可逆 阵P，使
APP
，设P的n个列向量为

1
,

2
,,

n
，则
由P的可逆性知

1
,

2
,,

n
线性无关，且

< br>1
T


T


2

T TT
APP


1
,

2
,,
n




1

1
T< br>

2

2


n

n



T



n


充分性


1
T


T


2

TT
A

1

1
T


2

2


n
< br>n



1
,

2
,,

n







T



n



n
记
P [

1
,

2
,,

n
]，则由

1
,

2
,,

n
线性无关知P可逆，故对任一
xR
，
x0
，
有
Px 0
。从而
x
T
Axx
T
PP
T
xP
T
x
所以A正定。

Px

0

T
T
例13设A为m阶实对称正定矩阵，B为
mn
实矩阵，证明：
B
T
AB
为正定矩阵的充要条
件是
r

B

n
。
证 必要性
证法一 因为
B
T
AB
正定，所以对任意
xR
，
x0
有
n
x
T
(B
T
AB)x

Bx

A

Bx

0

T
据A的正定性可知
Bx0，所以齐次线性方程组
Bx0
只有零解，故
r

B

n
。
T
证法二 因为
BAB
正定。故
rBABn
，又

T
< br>rB
T
ABr

B

n

故
r

B

n
。
T
证法三 因为
BAB
正定，故
B
T
AB0
，于是齐次线性方程组< br>(BAB)x0
只有零解，
T

又齐次线性方程组
Bx 0
的解都是
(BAB)x0
的解，从而
Bx0
只有零解，故< br>T
r

B

n
。
充分性
T< br>由于
(BAB)BABBAB
，故
BAB
为实对称阵。
TTTTT
若
r

B

n
，则齐次线性方程组< br>Bx0
只有零解，所以对任意非零n维向量
x
，有
Bx0
，
则有A的正定性知

Bx

T
A

B x

0,即x
T

B
T
AB

x0

由定义知
BAB
正定。
5）利用二次型的知识解决其他问题
例14 设A是n阶正定阵，证明：
AI1
。
证 设

1
,< br>
2
,,

n
是A的特征值，则由A正定知
i
0

i1,2,,n

。
T

证法一 因为
AI
的特征值为

11,

2
1,,

n
1
。由

i
0
，知

i
11(i1,2,,n)
，所以
AI


1
1


2
1




n
1

1。
证法二 由A正定知A必对称，故存在正交阵Q，使得


1
T
AQQQ




因此，

2




Q
T




n

AIQQ
T
IQQ
T
QQ
T
QIQ
T
I


1
1


2
1




n
1

1
例15 设A、B均为n阶实对称阵，且A的特征值均大a ，B的特征值均大于b，试证A＋
B的特征值全大于
ab
。
证 设A的特 征值是

1
,

2
,,

n
， 则
AaI
的特征值为，由

i
a

i1,2 ,,n

得

i
a0

i1,2,,n

。又
(AaI)
T
A
T
aIAaI< br>，故
AaI
对称，所以
AaI
为正定矩阵。
同理可证明
BbI
为正定矩阵。
由正定矩阵的和仍正定，得
(A aI)(BbI)AB

ab

I
为正定矩阵，设< br>AB
的
特征值为

i

i1,2,,n

。则
AB

ab

I
的特征值为

i


ab

i1,2,,n
，故

i


ab

0
，即< br>
i
ab

i1,2,,n

。
T
例16 设
f

x
1
,x
2
, ,x
n

xAx
是一实二次型，

1
,

2
,,

n
是A的特征值，且

1


2


n
。证明：对任一实n维向量
x< br>，有

1
x
T
xx
T
Ax
< br>n
x
T
x
。
T
证 对实二次型
f

x
1
,x
2
,,x
n

xAx，总存在正交变换
xQy
，使
22
f

1
y
1
2


2
y
2

< br>n
y
n

由题设知

22

1< br>y
T
yf

1
y
1
2


2
y
2


n
y
n
< br>
n
y
T
y

又因Q为正交阵，故有
xxyy
。所以
TT

1
x
T
xx
T
Ax

n
x
T
x

例17设A为n阶实对称阵，试证：如果A是正定阵又是正交矩阵，则AI
。
证 证法一
因为A为n阶实对称阵，故存在可逆阵P，使
P
1
APdiag


1
,

2,,

n

，其中

1
,

2
,,

n
是A的特征值。因为A正定，所以

i0

i1,2,,n

，且
1

i为
A
1
也即
A
T
的特征值，由于
A
1
的属于
1

i
的特征向量与A
的属于

i
的特征向量相同，故有
P
1
A
1
Pdiag(
又由
P
1
A
1
PP
1
A
T
PP
1
AP
可得
1

1

2
,
1
,,
1

n
)

di ag(

1
,

2
,,

n
) diag(
1
1

1

2
,
1
,,
1

n
)

所以

i
< br>
i

i1,2,,n

，由

i0
得

i
1

i1,2,,n
。即
P
1
API
，故
APIP
1
I

2
证法二 由
AAI及A A
,得
AI
，即

AI

AI

0
，因为A正定，所以－1不
TT
是A的特征值，即
AI0
，所以
AI
可逆，从而
AI0
，即
AI
。
T
n
例18 设A为n阶正定矩阵，

1
,
2
,,

n
为
R
中非零向量，当
ij时，有

i
A

j
0
，
证明

1
,

2
,,

n
线性无关。
证 证法一
T
设
t
1

1
t
2

2
t
n

n
0
，两边左乘< br>
i
A

i1,2,,n

，得到
t
1

i
T
A

1
t
i
i
T

i
t
n

i
T

n
0

当
ij
时，有

i
A

j
0
，故上式即为
T
t
i
i
T
A

i
0

T
因为 A正定，

i
0
，所以

i
A

i
0
。故
t
i
0

i1,2,,n
，所以

1
,

2
,,

n
线性
无关。
证法二



1
T


T



2

。考察 < br>T
令
B


1
,

2
, ,

n

，则
B




T



n




1
T


1
T


T

T


2


2


A
,A

,,A


B
T
AB 

A

,

,,


12n 12n






TT
< br>

n



n



TTT


1
A

1

1
A

2


1
A

n


d
1
00


T


T T
0d0

A

A



A< br>
2
1222n




2










T


TT
00d

A

A



A


n

1n2nn


n


T
由于

i
0
，且A正定，所以

i
A

i
d
i
0

i1,2,,n

，从而
B
T
ABd
1
d
2
d
n
0

即
B

2
A0
，故
B0
。所以

1
,

2
,,

n
线性无关。