培华学院-商业管理

2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A卷 ）

一.

填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)

3050


1. 设
A2131
，则矩 阵
A
的秩
r

A


_________ _.



1121


2. 设
A
为3阶方阵，行列式
A2
,则
3A
________.

200

400


3. 设矩阵A031
与
B020
相似，则
x
_________.



01x


002
< br>
4. 设
A
是
n
阶方阵且
AA4E0
, 则

AE

2
1

_________.
5.
f

x,y,z

2x
2
3y
2
3z
2
2ayz
是正定二次型，则
a
的取值 范围是______.
4,0,2

与



2 ,2,1,3

的距离和内积分别为
TT
6. 若向量

1,2,0

与

x,y,0

线性无关，则
x
与
y
的关系应为__________.
7. 向量


1,
_________和___________.


102


，
B
为3阶非零矩阵，且
AB0
，则
6
8. 设
A4a
a
___________.


311



101


9. 设0是矩阵
A020
的特征值，则
a
___________.



10a


10. 在MATLAB软件中，det(
A
) 表示求__________.

二. 选择题
（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有
一个结论是正确的。每小题3分。）
1. 设
A< br>是
n
阶方阵，则下列4个式子中表明
A
是正交矩阵的式子为（ ）
1
(B)
AAE

(A)
AAE

(C)
AA

T1
(D)
A1


2. 已知
A,B
,
C
为
n
阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）
(A)
ABBA

(B)

AB

CA

BC


(C)

AB

CACBC

1
(D)
C

AB

CACB

3. 已知方程组
Axb
对应的齐次方程组为
Ax0
，则下列命题正确的是（ ）
(A) 若
Ax0
只有零解，则
Axb
一定有唯一解。
(B) 若
Ax0
有非零解，则
Axb
一定有无穷多个解。
(C) 若
Axb
有无穷解，则
Ax0
一定有非零解。
(D) 若
Axb
有无穷解，则
Ax0
一定只有零解。

4. 设
A,P
为可逆矩阵，下列矩阵中（ ）必与矩阵
A
具有相同的特征值。
(A)
AE

(C)
AE

(B)
PAP

1
(D)
PAP

T

5. 设
P,Q
均为
n
阶初等矩阵，下列结论错误的是（ ）。
(A)
PQ
为可逆矩阵
(C)
PQ
不一定是初等矩阵

(B)
PQ
必为对称矩阵
(D)
r

P

r

Q



223


三. 设
A

022< br>
,
B
满足
ABAB
, 求
AB
. (本题8分)

002



四. 求下面
n
阶行列式的值。（本题9分）
0
1
1
1
0
1
1
1
0



1
1
1


111

0
五. 求方程组


六. 给定向量组

1


1,0,2,3

，

2


1,1,3,5
，

3


1,1,a2,1

，

x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
的基础解系。(本题9分)

2x
1
2x
2
3x
3
4x
4
x
5
0

4


1,2,4,a8

，



1,1,b3,5

，
(1)将向量方程
x
1

1
x
2

2
x
3< br>
3
x
4

4


写成矩阵方程
Ax

的形式。
(2)判断
a,b
为何值时，

不能由

1
,
2
,
3
,
4
线性表示。
(3)判断
a,b
为何值时，

可由

1
,
2
,
3
,
4
唯一地线性表 示，并写出表示关系式。
（本题13分）
七. 设三元二次型
f2x
1
2x
1
x
2
2x
1
x
3
2 x
2
2x
2
x
3
2x
3
，
（1）写出此二次型的矩阵
A
,并求
A
的特征值。
（2）求正交变换
XPY
化二次型为标准型。 （本题16分）
2
222
T

2005学年第2学期线性代数期末考试A卷参考答案
一、 填空题（每小题3分，共30分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
2 54 3
A
-3y2x
2

2
E

39,0
1
矩阵
A

的行列式
二、 选择题(每小题3分，共15分)
1、C 2、A 3、C 4、D 5、B
三、设
A


223

022


,
B
满足
ABAB
, 求
AB
. (本题8分)

002


123
解：由
ABAB
得

AE

BA
, 而
AE01210
,
001
AE

1


121

所以

AE
< br>可逆，且


012

，

001

B

AE

1

121

221
A


012

A< br>


001



022
< br>,

002


B


22 3

221

404
A


022



022



040

.

002




002




004


四、求下面
n
阶行列式的值。（本题9分）
011

1
101

1110

1


111

0
011

1111

101

1101

解：
110

1
c
1
(c
2
c
3
c
n
)

n1



110


111

0111

r
r
2
r
1
3
r

1
111

1
r
n
r
1
010

0< br>

n1

001

0
1


n1

n1


000

1
3
1
1
1
0
< br>


x
1
x
2
x
3x
4
x
5
0
五、求方程组

的基础解系 。(本题9分)
2x2x3x4xx0
2345

1
解 ：首先用初等行变换把原方程组的系数矩阵化为行阶梯形：
11111

r< br>2
2r
1

11012

，
A

r
2


1


2234100121

r
1
r
2
 

x
1
x
2
x
4
2x
5

x
2
x
2

x
1
x2
x
4
2x
5
0

得原方程组的同解方 程组

，即

x
3
2x
4
x
5
，
x2xx0
45

3
x
4
x
4


x
5
x
5

x< br>1


1

1

2

x
2


1

0

0

写成向量方程的形式为

x
3

x
2

0

x
4

2

x5

1

，

x


0< br>
1

0

4


00
x

1


5

得到原方 程组的一个基础解系：

1

1

2


1

0

0


1


0

,

2


2
,

3


1

.

0

1

0



0

0

1

六、给定向量组
1


1,0,2,3

，

2
< br>
1,1,3,5

，

3


1 ,1,a2,1

，

4


1,2,4,a 8

，



1,1,b3,5

，
(1)将向量方程
x
1

1
x
2
2
x
3

3
x
4

4


写成矩阵方程
Ax

T
的形式.
(2) 判 断
a,b
为何值时，

不能由

1
,
2
,
3
,
4
线性表示。

可由
1
,
2
,
3
,
4
唯一地线性表示，(3 ) 判断
a,b
为何值时，并写出表示关系式。
（本题13分）
11

x
1


11

x
2< br>

0112

解：（1）令
A

,x 

x

,
则向量方程
23a24

3


35

1a8

x


4

x
1

1
x
2

2
x
3

3
x
4

4
< br>
可表示为矩阵方程
Ax

T
.

1

0
T
（2）

A



2

3

1111

1
r
3
2r
1
1121

r
43r
1

0


3
r
2< br>3a24b3

r
0
r
4
2r
2
051a85


111
112
0a10< br>00a1
1

1


b

0


4


100 02b(a1)
1


01001b(a1)
1

若a10


，


 1


0010b(a1)

0

0001
当
a1,b0
时，

不能由

1,
2
,
3
,
4
线性表示。
（3）当< br>a1
时，

可由

1
,
2
, 
3
,
4
唯一地线性表示，表示关系式为
2bab1b< br>
1

2

3
0
.


4
a1a1a1
222
七、设三元二次型
f2x
1
，
2x
1
x
2
2x
1
x
3
2x
2
2x
2
x
3
2 x
3
（1）写出此二次型的矩阵
A
,并求
A
的特征值。
（2）求正交变换
XPY
化二次型为标准型。 （本题16分）

211


解：（1）此二次型的矩阵
A121
,



112



A
的特征多项式

EA


1

2< br>

4

T
,
A
的特征值为
T< br>
1


2
1,

3
4.
解方程组


1
EA

x0
得 其基础解系

1


1,0,

< br>1


1


1,
1

,

2


0,1,1

.

由Schmidt正交化方法，得到如下两个正交的特征向量


2
,

1



1
1,

1< br>
,

2

11

T
解方程组

3
EA

x0
得其基础解系

3


1,1,1

,
0,1

,

2


2

T
2,1
.

T
将正交向量组

1
,

2,

3
单位化得

1

1


1


6

2


3

2

1
p
1

0

,p
2


,p
3

 
，取
P

p
1
p
2

< br>6

3

1




1

1





2


6

3

222
则正交变换
XPY
化二次型为标准型
fy
1
y
2
4y
3
.


p
3

，
5