感恩的心作文600字-中秋节的来历作文

内部资料
一元一次不等式（组）（一）
一、全章教学内容及要求
１、理解不等式的概念和基本性质
２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集
３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。
二、技能要求
1、会在数轴上表示不等式的解集。
2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。
3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。
三、重要的数学思想：
1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。
2、通过在数轴上表 示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会
数形结合的思想。
四、主要数学能力
1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。
2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。
3、在一元一 次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等
式的基本性质，寻 求合理、简捷的解法，培养运算能力。
五、类比思想：
把两个（或两类）不同 的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推
断它们在其他方面也可能有 相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间
存在内部联系”的唯物辩证 观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。
在本章中，类比思想的突出运用有：
1、不等式与等式的性质类比。
对于等式 （例如a=b）的性质，我们比较熟悉。不等式（例如a>b或a表达 的也是不同的数量关系，但它们在形式上显然有某些相同或类似的地方，于是可推断在性质上两者也
可能 有某些相同或类似之处。这就是“类比”思想的运用之一，它也是我们探索不等式性质的基本途径。
等式有两个基本性质：
1、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等号不变。（即两边仍然相等）。
2、等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等号不变（即两边仍然相等）。
按“类比 ”思想考虑问题，自然会问：不等式是否也具有这样相类似的性质，通过实例的反复检验得
到的回答是对 的，即有。
不等式的性质；1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变（即原
来大的一边仍然大，原来较小的一边仍然较小）。2、不等式两边都乘以（或除以）同一 个正数，不等号
方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较 大的一边反而较
小，原来较小的一边反而较大）。
例如：-x>20, 两边都乘以-5，得，
x<-100，（变形根据是不等式基本性质3）。
等式的基本性质是等式变形的根据，与此类似，不等式的基本性质是不等式变形的根据。
2、不等式的解与方程的解的类比
从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的。按“类比 ”思想来考虑问题，同样可以仿效方程
解的意义来理解不等式的解的意义。
例如：当x =3时，方程x+4=7两边的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而当x=2时，方程x+4=7两边值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

1

内部资料
类似地当x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一个解。若x=2不等式 x+4>7不成立，
那么x=2不是不等式x+4>7的解。
注意：1、不等式与方程 的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。一般地说，
一元方程只有一个或几个解； 而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。
例如：x+6=5只有一个解x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图，
而不等式x+6>5则有无数多个解----- 大于-1的任何一个数都是它的解。它的解集是x>-1，在数轴
上表示出来是一个区间，如图


2、符号“≥”读作“大于或等于”或也可以理解为“不小于”；符号“≤” 读作“小于或等于”或
可以理解为“不大于”。
例如；在数轴上表示出下列各式：
（1）x≥2 （2）x<-2 （3）x>1 （4）x≤-1
解：
x≥2 x<-2 x>1 x≤-1
3、不等式解法与方程的解法类比。
从形式上看，一元一次不等式与 一元一次方程是类似的。在学习一元一次方程时利用等式的两个基本
性质求得一元一次方程解，按“类比 ”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性质，采用与解
一元一次方程相类似的步骤去解一元 一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。
例如：解下列方程和不等式：







=+1 ≥+1
解：3(2+x)=2(2x-1)+6 1、去分母： 解：3(2+x)≥2(2x-1)+6
6+3x=4x-2+6 2、去括号： 6+3x≥4x-2+6
3x-4x=-2+6-6 3、移项： 3x-4x≥-2+6-6
-x=-2 4、合并同类项： -x≥-2
x=2 5、系数化为1： x≤2
∴ x=2是原方程的解 ∴ x≤2是原不等式的解集。

注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数
或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。
六、带有附加条件的不等式：
例1，求不等式(3x+4)-3≤7的最大整数解。
分析：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的
解。
解： (3x+4)-3≤7
去分母： 3x+4-6≤14

2

内部资料
移项： 3x≤14-4+6
合并同类项： 3x≤16
系数化为1： x≤5
∴ x≤5的最大整数解为x=5
例2，x取哪些正整数时，代数式3-的值不小于代数式的值？
解：依题意需求不等式3-














≥的解集。
解这个不等式：
去分母：24-2(x-1)≥3(x+2)
去括号： 24-2x+2≥3x+6
移项： -2x-3x≥6-24-2
合并同类项： -5x≥-20
系数化为1： x≤4
∴ x≤4的正整数为x=1, 2, 3, 4.
答：当x取1, 2, 3, 4时，代数式3-的值不小于代数式的值。
例3，当k取何值时，方程x-2k=3(x-k)+1的解为负数。
分析：应先解关于x的字母系数方程，即找到x的表达式，再解带有附加条件的不等式。
解：解关于x的方程：








x-2k=3(x-k)+1
去分母： x-4k=6(x-k)+2
去括号： x-4k=6x-6k+2
移项： x-6x=-6k+2+4k
合并同类项： -5x=2-2k
系数化为1： x==.
要使x为负数，即x=<0，
∵ 分母>0，∴ 2k-2<0, ∴ k<1，
∴ 当k<1时，方程x-2k=3(x-k)+1的解是负数。
2
例4，若|3x-6|+(2x-y-m)=0，求m为何值时y为正数。

3

内部资料
分析：目前我们学习过的两个非负数问题，一个是绝对值为非负 数，另一个是完全平方数是非负数。
由非负数的概念可知，两个非负数的和等于0，则这两个非负数只能 为零。由这个性质此题可转化为方程
组来解。由此求出y的表达式再解关于m的不等式。
2
解：∵ |3x-6|+(2x-y-m)=0,
∴ ∴
解方程组得
要使y为正数，即4-m>0, ∴ m<4.
∴ 当m<4时，y为正数。
注意：要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超 过”、“至多”、“至少”、
“非负数”、“正数”、“负数”、“负整数”……这些描述不等关系的语 言所对应的不等号各是什么。
求带有附加条件的不等式时需要先求这个不等式的所有的解，即这个不等式 的解集，然后再从中筛选出符
合要求的解。
七、字母系数的不等式：
例：解关于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3
分析：由于x是未知数，所以应把a 看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理
时，要区别情况，进行分类讨论。
解：移项，得3(a+1)x-2ax≥3-3a
合并同类项： (a+3)x≥3-3a
(1)当a+3>0，即a>-3时，x≥,
(2)当a+3=0，即a=-3时，0x≥12，不等式无解。
(3)当a+3<0，即a<-3时，x≤。
注意：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪 一个字母是未知数，而把其他字母看作已知数，在
运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分 类，逐一讨论，例题中只有分为a+3>0, a+3=0, a+3<0,
三种情况进行研究，才有完整地解出不等式，这种处理问题的方法叫做“分类讨论”。
八、有关大小比较的问题
例1．根据给定条件，分别求出a的取值范围。
2
（1）若a>a，则a的取值范围是____________；
（2）若a>, 则a的取值范围是____________。
2
解：（1）∵ a>a,
2
∴ a－a>0, 即a(a－1)>0,
∴ 或
解得a>1或a<0。
答：a的取值范围是a<0或a>1。

4

内部资料
（2）∵ a>,∴ a－>0, 即>0.
∴ 或
或
解得a>1或－1 答：a的取值范围是－11.
例2．（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想：
______; _______; ______;
______; _______; _____.
从上面的各式发现：一个正分数的分子和分母_____________，所得分数的值比原分数 的值要
_________。
猜想：设a>b>0, m>0, 则_______。
（2）试证明你的猜想：
分析：1.易知：前面的各个空都填 “< ”.
一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大。
2.欲证<，只要证－<0.
即证 <0,
即证 <0,
证明：∵ a>b>0, b－a<0,
又∵ m>0, ∴ m(b－a)<0,
∵ －=
==<0,
∴

<。
5

内部资料
上面这个不等式有很多有意义的应用。
例如，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的
比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。若同时增加相等的窗户面积和地板面积 ，
住宅的采光条件变好了。
设窗户面积为a，地板面积为b，若同时增加相等的窗户面积和地板面积m，由
的采光条件变好了。
中考解析
一元一次不等式和一元一次不等式组
不等式和它的基本性质
<可知，住宅
考点扫描：
1．了解不等式的意义。
2．掌握不等式的三条基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。
名师精讲：
1．不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整 式，不等号的方向不变。用式子表示：如
果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b，且 c>0，
那么ac>bc(或>)
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变。用式子表示：如果a>b，且c<0，
那么ac 3． 不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论
是“仍是 等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要
特别注 意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改
变。
中考典例：
1．（天津市）若a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A、<1 B、>1 C、–a>–b D、a–b>0
考点：不等式的性质
评析：不等式的性质是：不等式两边同时加上或减去同一个数（或整式）不 等号不变；不等式两边同
时乘以或除以正数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的 方向改变。因此a＞b，所
以a、b均可为负数也可为正数，所以A、B选项都不对，C选项不等号的方 向没改变，所以也不对，因a
＞b，（a、b代表的是任意数）所以根据不等式的性质运用排除法，可知 正确选项为D。
真题专练
1．（北京海淀区）比较大小：当实数a<0时，1+a 1–a(填“<”或“>”)
2．（广东省）已知实数a、b满足ab＞0，a+b＜0，则满足条件的实数a、b可分别为 (写出满足
条件的两个数即可)。
3．（北京西城区）如果a＞b，那么下列结论中错误的是（ ）

6

内部资料
A、a–3＞b–3 B、3a＞3b C、＞ D、–a＞–b
4．（北京海淀区）若a–b＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）








A、a＞b B、ab＞0 C、 D、–a＞–b
5．（天津市）若a＞b，且c为实数则下列各式正确的是（ ）
2222
A、ac＞bc B、ac＜bc C、ac＞bc D、ac≥bc
6．（荆门市）已知a、b、c是有理数，且a＞b＞c，那么下列式子正确的是（ ）
A、a+b＞b+c B、a–b＞b–c C、ab＞bc D、
答案：
1、< 2、–1，–2 3、D 4、D
5、D（提示：按c＞0、c=0、c＜0三种情况讨论）
6、A（提示：a、b、c是任意有 理数，所以C、D不对，当C是负数或0时B不对，因a＞c故a+b＞
b+c）
不等式的解集
考点扫描：
1．了解不等式的解和解集的概念。
2．会在数轴上表示不等式的解集。
名师精讲：
1．不等式的解：能 使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。一般地，一个一元一次不等式有
无数多个解。 < br>2．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式< br>的解集。
“不等式的解”与“不等式的解集”是两个不同的概念，前者是指能使不等式成 立的每一个未知数的
值，后者是指能使不等式成立的所有未知数的值的集合。但二者之间也有着密切联系 ，即所有解组成了解
集，解集中包括了每一个解。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3．不等式解集的表示方法。
（1） 用不等式表示：如5x>10的解集是x>2，它的解集仍是一个不等式，这种表示法简单明了，容易
知 道哪些数不是原不等式的解。
（2）用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解 较复杂的不等式或解不等式组时，
易于找到正确的答案。在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集 包括端点时，在端点处画实心圆圈，
否则，画空心圆圈。
中考典例：
（龙岩市、宁德市）不等式2x+10＞3的解集是 。
考点：不等式的解集
评析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合。该题可用不等式的性质两边同时
减10，然后两边再除以2，求得解集为x>。
真题专练
1．（石家庄市）不等式–6x＞4的解集是（ ）
A、x＞ B、x＜ C、x＞ D、x＜
2．（宜昌市）如果不等式（a–1）x＞a–1的解集是x＜1，则a的取值范围是（ ）

7

内部资料
3．（徐州市）不等式5x–4＜6x的解集是 。
4．（西安市）若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（ ）






A、x＜ B、x≥ C、x≤- D、x＜–
答案：
1、B；
2、a＜1（提示：因为不等号的方向改变了，所以a–1＜0，即a＜1）；
3、x＞–4；
4、C（提示：3x+4的值不大于0，即得不等式3x+4≤0）
课外拓展
解不等式的通法与技巧
同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五 个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、
简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。
一、凑整法






例1．解不等式








。
分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。
解：两边同乘以-4，得x+30<-2-x.
∴ x<-16.
二、化分母为整数
例2．解不等式








。
分析：根据分数基本性质，将两边分母化成整数。
解：原不等式变形，得 8x-3-(25x-4)>15-10x.
∴ -7x>14. 即x<-2.
三、裂项法
例3．解不等式。
分析：本题若采用去分母法，步骤较多，由除法意义，裂项相合并，过程简洁。
解：原不等式变形，得。
移项、合并，得
四、整体处理法
。
例4．解不等式
解：视“3x-2”为一个整体，
。
变形，得

，
8

内部资料
移项合并，将，
∴ 。
在线测试
选择题
1．若a>b则下列不等式一定成立的是（ ）
A、 ac>bc B、 > C、 a|c|>b|c| D、 a+c>b+c
2．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列式子中正确的是（ ）


A、 b+c>0
C、 ac>bc
B、 a+bD、 ab>ac

3．下列各题的解法中，正确的是（ ）




A、-x<-5, 两边都乘以-1，得x>5
B、-x≥-5,两边都乘以-1，得x≥5
C、-x≤-5,两边都乘以-1，得x≤5
D、-x>-5, 两边都乘以-1，得x>5
4．在数轴上表示不等式x≥-2的解集正确的是（ ）



A、 B、 C、 D、
5．若代数式3
x
+4的值不大于0，则
x
的取值范围是（ ）
A、
x
<- B、
x
≤- C、
x
< D、
x
≥
6．如果不等式(a-1)x>a-1的解集是x<1, 那么a的取值范围是（ ）
A、a≤1 B、a>1 C、a<1 D、a<0

9

内部资料
7．设a、b是已知数，不等式ax+b<0(a<0)的解集是（ ）
A、 x< B、 x<- C、 x> D、 x>-
8．不等式组
A、 解集是
x
>2
的解集的情况为（ ）
B、 解集是
x
<-1 C、 解集是-1<
x
<2 D、 无解
9．不等式组
A、 1个
的整数解的个数是（ ）
B、 2个 C、 3个 D、 4个
10．不等式组的解集表示在数轴上应为图中的（ ）

A、 B、 C、 D、
答案与解析
答案：1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.B
解析：
1.评析：根据不等式性质可以排除A、B、C，在D中无论C为任何实数，总有a+c>b+c成立。
答案：D。
2. 评析：由图可知：a>b>0>c, |c|>|b|，很明显 ，A、B都是错的，对于C也是错的，因为c<0，不
等式两边乘以同一个负数，不等号的方向要改变， D正确，因为b>c, a>0, ∴ ab>ac.
答案：D。
3. 评析：主要考察不等式的性质3，在不等号的两边同时乘上一个负数，不等号的方向要改变。
答案：A。
4.评析：x≥-2，方向应向右，且包含x=-2，故选C。
答案：C。
5. 答案：B
评析：注意“不小于零”与“大于零”的区别，由语言叙述写成不等式并解不等式即可。
6. 评析：通过观原不等式与解集发现，不等号方向发生了改变，说明未知数前的系数是负数，即a-1<0。
解答：由题意可知a-1<0, ∴ a<1，故选C。
注意：从不等号方向的改变 这一重要线索入手，推断出未知数系数的符号是解含有未知字母系数的不等
式的一个重要方法。

10

内部资料
7.评析：移项得ax<-b, 然后把系数化为1。因为a<0，∴ x>-















答案：D
8.评析：直接求即可。
答案：D
注：
（1）解每一个不等式时，如果要利用不等式性质3，注意不等号改变方向问题；
（2）找不等式的公共解时，借助数轴更直观；
9. 评析：求（1）（2）中公共部分，且x要为整数，由(1)得
x>-，由(2)得x<2，∴ - 因为x为整数，所以x可以为0或1或2。
答案：C
10. 解答： 由x-5≤-2, 得x≤3； 由3-x<4, 得x>-1.
∴ 不等式组解集是-1 故选择B。
注意：在数轴上表示时空心圈和实心点应该注意加以区别：避免出现全部画成实心圆点，或空心圆圈。
说明：在不等式作为一种命题点时，其考察形式在各地中考试题中各具一格。但是此类题目一般可采
用直接法求解，即直接求出正确答案与各选择支对照，也可采用排除法，即分别用两个不等式的解集一一
排除不合理的选择项
一元一次不等式（组）（二）
一、重点难点提示
重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。
难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。
二、学习指导：
1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个 一元一次不等式”
必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。
2、前面 学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存
在的（代入法 和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不
等式组的不等 式的个数可以是三个或多个。（我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。
3、在 不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的
解集。（注 意借助于数轴找公共解）
4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）
类型（设a>b）不等式组的解集 数轴表示
1.（同大型，同大取大）x>a
2.（同小型，同小取小） x 3.（一大一小型，小大之间） b

11

内部资料
4.（比大的大，比小的小空集）无解
三、一元一次不等式组的解法
例1.解不等式组，并将解集标在数轴上
分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的 各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中
各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的 解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”
的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解 决问题。
步骤：

（1）分别解不等式组的
解：解不等式(1)得x>
每一个不等式
解不等式(2)得x≤4

（2）求组的解集

∴
（借助数轴找公共部分）
（利用数轴确定不等式组的解集）

（3）写出不等式组解集



（4）将解集标在数轴上
∴ 原不等式组的解集为 ∴
例2.解不等式组
解：解不等式(1)得x>-1,

解不等式(2)得x≤1,
解不等式(3)得x<2,


12

内部资料
∴ ∵在数轴上表示出各个解为：
∴原不等式组解集为-1 注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小 于号连接，由小到大排列，解集不包括
-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图 （2）来画。
例3.解不等式组
解：解不等式(1)得x>-1,
解不等式(2), ∵|x|≤5, ∴-5≤x≤5,
∴
将(3)(4)解在数轴上表示出来如图，

∴ 原不等式组解集为-1 ∴
四、一元一次不等式组的应用。
例4.求不等式组的正整数解。
步骤：
解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3，
1、先求出不等式组的解集。

解不等式≤1得x≤2，
2、在解集中找出它所要求的特殊解，
正整数解。
∴

∴原不等式组解集为x≤2，
∴这个不等式组的正整数解为x=1或
x=2
例5，m为何整数时，方程组的解是非负数？

13

内部资料
分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数
式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，
最后切 勿忘记确定m的整数值。
解：解方程组得
∵方程组的解是非负数，∴
即
解不等式组 ∴此不等式组解集为≤m≤,
又∵m为整数，∴m=3或m=4。
例6，解不等式<0。
分析：由“”这部 分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数
这两个数异号，进行分类讨论 ，可有两种情况。(1)
个不等式组。
或(2)因此，本题可转化为解两
解：∵<0, ∴(1) 或(2)
由(1) ∴无解，

14

内部资料
由(2) ∴- ∴原不等式的解为- 例7.解不等式-3≤3x-1<5。
解法（1）:原不等式相当于不等式组
解不等式组得-≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。
解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,
将这个不等式的两边和中间都除以3得，
-≤x<2, ∴原不等式解集为-≤x<2。
例8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。
分析：(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，
解：由题意可得，6≤-<8,
将不等式转化为不等式组，
∴
∴解不等式(1)得x≤6,

解不等式(2)得x>-,
∴ ∴原不等式组解集为- ∴- ∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。

15

内部资料
例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这 个两位数大于20并且小于40，求这个
两位数。
分析：这题是一个数字应用题，题目 中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解
决。题目中有两个主要未知数 ------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的
数+2,一个不等关系 ：20<原两位数<40。
解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),
由题意可得：20<10x+(x+2)<40,
解这个不等式得，1 ∵x为正整数，∴1








∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,
当x=3时，∴10x+(x+2)=35,
答：这个两位数为24或35。
解法（2）:设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y,
由题 意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也
不是不等式组，通常叫做“混合组” ）。
将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,
解不等式得：1 ∵x为正整数，1 ∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,
当x=3时，y=5, ∴10x+y=35。
答：这个两位数为24或35。
解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下 ：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上
的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4 ，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为
24或35。
例10.解下列不等式：
(1)||≤4； (2)<0； (3)(3x-6)(2x-1)>0。
（1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此， 不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝
对值的知识|x|0)可知-aa, (a>0)则x>a或x<-a。
解：||≤4, -4≤≤4,
∴由绝对值的定义可转化为：

16

内部资料
即
解不等式(1)，去分母：3x-1≥-8, 解不等式(2)去分母：3x-1≤8,
移项：3x≥-8+1, 移项：3x≤8+1,
合并同类项：3x≥-7 合并同类项：3x≤9,
系数化为1，∴x≥-, 系数化为1：∴x≤3,
∴， ∴原不等式的解集为-≤x≤3。
（2）分析：不等式的左边为是两个一次 式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是
零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的 商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与
除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题 ，可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵ <0， ∴3x-6与2x+1异号，
即：I 或II
解I的不等式组得, ∴不等式组无解，
解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为- ∴原不等式的解集为- （3）分析：不等式的左边是(3x-6)(2x+1)为两个一次式的积的形式，右边是零。它可 以理解为“当x
取何值时，两个一次式的积是正数？”由乘法的符号法则可知只要两个因式同号，积就为 正值。因此这个
不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。
解：∵ (3x-6)(2x+1)>0, ∴(3x-6)与(2x+1)同号，
即I或II

17

内部资料
解I的不等式组得, ∴不等式组的解集为x>2,
解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为x<-,
∴原不等式的解集为x>2或x<-。
说明：ab>0(或>0)与ab<0（或<0）这两类 不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。
这类问题一般转化如下：
（1）ab>0(或>0), ∴a、b同号，
即I或II , 再分别解不等式组I和II，
如例10的（3）题。
（2）ab<0（或<0）,
∵ab<0(或<0), ∴a、b异号，
即I或II,
再分别解不等式组I和不等式组II。
例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式-1<, 并且满足方程3(x+a)=5a-2试
求代数式5a-
3
的值。
分 析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中
的整数 为x值。再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a-
可。
3
即
解：∵整数x满足3x-4≤6x-2和

-1<
18
,

内部资料
∴x为，解集的整数值，
解不等式(1)，得x≥-, 解不等式(2)得，x<1,
∴的解集为-≤x<1。
∴-≤x<1的整数x为x=0,
又∵x=0满足方程3(x+a)=5a-2,
∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中, ∴3(0+a)=5a-2, ∴a=1,
当a=1时，5a-
3
=5×1-
3
=4,
答：代数式5a-
中考解析
3
的值为4。
一元一次不等式和它的解法
考点扫描:
1．了解一元一次不等式的概念。
2．会用不等式的基本性质解一元一次不等式。
名师精讲:
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式， 叫一元一次不
等式。其标准形式是：ax+b>0或ax+b<0（a≠0）。
1．一 元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax>b或ax是 未知数，a、b是已知数且a≠0。
2．一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程类似，基 本思想是化为最简形式（ax>b或ax后，再把系数化为1。应特别注意的是，当不等 式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须
改变。
中考典例:
1．（ 安徽省）解不等式–(x–1)<1，并把它的解集在数轴上表示出来。
考点：一元一次不等式的解法
评析：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要 注意不等式性质3的运用。该题可
先去分母（不要漏乘），再去括号，然后化成ax＞b或ax 解：原不等式化为：x–2–2(x–1)<2
x–2–2x+2<2
即：-ｘ＜2

19

内部资料
∴ x>–2。
它在数轴上表示为：
2．（ 河北省）在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每道题都给出4个答案 ,其中
只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分。如果 一个学生
在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了________________道 题。
考点：一元一次不等式的应用
评析：可设选对了x道，那么选错或不选的 共有（25–x）道题。根据题意，可以列不等式为
4x–2(25–x)≥60，解不等式得ｘ≥18 ，取解集中的最小整数为19。
说明：列不等式解的应用题，一般所求问题有至少、或最多、或 不低于等词的要求，要正确理解这几
个词的含义。
3．（ 北京东城区）商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每
台售价虽比A型冰箱高出10%，但 每日耗电量却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原
价的），问商场至少打几折， 消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计
算）？
考点：一元一次不等式的应用
评析：列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意，设出适当的未 知数。消费者要买A型冰箱，10年
的花费用比B型少才行，设打x折，那么A型10年的费用为219 0×+365×10×1×0.40，B型10年的
费用为2190×（1+10%）+365×10× 0.55×0.40，根据题意得不等式2190×
+365×10×1×0.40≤2190×(1+ 10%)+365×10×0.55×0.40，解得x8，所以至少打八折，解题过程如下：
解：设商场将A型冰箱打x折出售，消费者购买才合算
依题意，有
2190×










+365×10×1×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
即 219ｘ＋1460≤2409＋803
解这个不等式，得 x≤8
答：商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。
真题专练:
1．（ 上海市）不等式7–2x>1的正整数解是____________。
2．（ 荆门市）若代数式+2x的值不大于代数式8–的值，那么x的正整数解是__________。
3．（ 安徽省）恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实
际 生活水平，各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示：
家庭类型 贫困家庭 温饱家庭 小康家庭 发达国家家庭 最富裕国家家庭
20%—39% 不到20% 思格尔系数(n) 75%以上 50%—75% 40%—49%
则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为____________。
4．（ 杭州市）x的2倍减3的差不大于1，列出的不等式是（ ）
A、2x–3≤1 B、2x–3≥1 C、2x–3＜1 D、2x–3＞1

20

内部资料
5．（ 内江市）解不等式≥
6．（ 安徽省）解不等式3x–2(1–2x)≥1，并把解集在数轴上表示出来。
7．（ 陕西省） 乘某城市的一种出租汽车起价是10元（即行驶路程在5km以内都需付10元车费），
达到或超过5k m后，每增加1km加价1．2元（不足1km部分按1km计）。现在某人乘这种出租汽车从甲
地到乙 地，支付车费17．2元，从甲地到乙地的路大约是多少？
答案：1、1，2；














2、1，2，3（提示：根据题意得不等式+2x≤8–
3、40%≤n≤49% 4、A；
5、解：去分母得8x–4–20x–2≥15x–60
移项合并同类项得–27x≥–54
解得x≤2
6、解：3x–2+4x≥1，
7x≥3，
。
。
，解不等式得x≤，∴正整数解为1，2，3）；
x≥
所以原不等式的解集为x≥
在数轴上表示为：











7、解：设从甲地到乙地的路程大约是xkm，根据题意，得
16<10+1.2(x–5)≤17.2
解此不等式组，得
10答：从甲地到乙地的路程大于10km，小于或等于11km。
一元一次不等式组和它的解法
考点扫描:
1．了解一元一次不等式组及其解集的概念。
2．掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。
名师精讲:
1．一元一次不等式组及其解集：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一 起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次
不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元 一次不等式组的解集。
2．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组
3．解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
中考典例:
1．（天津市）不等式组
考点：一元一次不等式组的解法。
的解集是____________。

21

内部资料
评析：分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，解不等式(1)得x<4，解不等式(2)得x <5，公共
部分是x<4，即为不等式组的解集，所以结果为x＜4。
2．（ 重庆市）若不等式组的解集为–1 考点：不等式组解集的应用
评析：此题类型是；已知不等式组的解集，求其中字母 系数，进而求关于字母系数的代数式的值。这
类问题解法是：先解不等式组，求得其解集，再与给出的解 集相联系，求出字母系数的值，进而代入所给
代数式，求出代数式的值，具体解法如下：
解：由2ｘ-ａ＜1得x＜
因为方程组有解，所以，
；由ｘ-2b＞3得x＞3+2b，
＞3+2b，方程组的解是3＋2b<ｘ＜，
又已知方程组的解是：-1<ｘ＜1，∴
∴ａ=1，ｂ= - 2。∴(a+1)(b-1)=-6。

3．（ 北京东城区）不等式组
A、–1 B、0 C、1 D、4
考点：不等式组的整数解
的最小整数解为（ ）
评析：解不等式(2)得x≤4，所以不等式组的解集为＜x≤ 4，在此不等式中最小整数为0，所以选
B。
说明：解此类问题是先求出不等式组的解集，然后在解集中，求整数值。
真题专练:
1．（ 北京海淀区）不等式组
________。
的解集是________，这个不等式组的最小整数解是
2．（ 北京宣武区）不等式组的解集是________。
3．（ 福建福州）不等式组的解集是________。
4．（ 河南省）不等式组的解集是________。
5．（ 南充市）不等式组

的解集是________。
22

内部资料
6．（ 仙桃市）若不等式组有三个整数解则a的取值范围是________。
7．（ 河北省）不等式组的解集是 （ ）
A、x>1 B、x<6 C、16
8．（ 杭州市）不等式组的解在数轴上可表示为 （ ）

9．（ 北京燕山）不等式组的解集（ ）
A、x≥1 B、x＜2 C、1＜x＜2 D、1≤x＜2
10．（ 北京朝阳区）不等式组的整数解是（ ）
A、–1，0，1 B、–1，1 C、–1，0 D、0，1
11．（ 黑龙江省哈尔滨市）不等式组成的整数解的个数是( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个。
12．（ 湖南长沙）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（
A、
B、
C、
D、
13．（ 陕西省）不等式组的解集是（ ）
A、–2–2 D、无解

23
）

内部资料
14．（ 云南昆明）不等式组的解集是（ ）
A、–4 15．（ 山西省）不等式组的整数解的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
16．（ 深圳市）有解集为2 A、 B、 C、 D、
17．（ 北京西城区）解不等式组
18．（ 北京朝阳区）解不等式组
19．（ 北京崇文区）求不等式组的整数解。
20．（ 北京海淀区）解不等式组
21．（ 江苏南京）解不等式组并写出不等式组的整数解。
22．（ 广东省）解不等式组并把解集在数轴上表示出来。
23．（ 四川省）解不等式组并把解集在数轴上表示出来。
24．（ 江苏苏州）解不等式组
25．（ 黄石市）解不等式组

，并在数轴上表示解集。
24

内部资料
26．（ 宿迂市）求不等式组














的整数解。
答案：1、–46、07、C； 8、A； 9、D； 10、C； 11、D； 12、C； 13、A； 14、A； 15、C； 16、C；
17、解：解不等式(1)，得x<3
解不等式(2)，得x+8＞–3x
x＞–2。
在数轴上表示不等式(1)，(2)的解集。

∴不等式组的解集为-2＜ｘ＜3。
18、解：解10–4(x–3)≥2(x–1)，得x≤4。
解x–1＞，得x＞。
∴不等式组的解集为 19、解：解3x+7<5(x+2)，得x＞
解，得x＜2。
＜x＜2 ∴不等式组的解集为










在＜x＜2中的整数有–1、0、1
∴不等式组的整数解是：–1、0、1。
20、解：解不等式①得x<2。
解不等式②得x≥–1。
所以不等式组的解集是–1≤x<2。
21、解：解不等式2x+5≤3(x+2),得x≥– 1。解不等式
∴原不等式组的解集是–1≤x＜3。
∴不等式组的整数解是–1,0,1,2。
22、解：由不等式x－4（x－5）＞8。得x＜4。
由不等式。
得x<3
∴不等式组的解集是
这个不等式组的解集在数轴上表示如下：

25

内部资料

23、提示：原不等式变为
解集为– 1≤x＜9在数轴上表示如图所示
，解得

24、提示：解不等式①得x＜，解不等式②得x≥0，所以不等式组解集为0≤x＜。
25、提示：解不等式①得x＞1，解不等式②得x＜4，所以不等式组的解集为1＜x＜4。
在数轴上表示如图所示
26、解：由①得ｘ＞-，由②得ｘ≤1

∴原不等式组的解集为：-＜ｘ≤1
∵ｘ为整数，∴ｘ＝-1，0，1。即不等式组的整数解为-1，0，1。
专题辅导
中考不等式问题归类分析
中考试卷里的不等式问题，大概有如下几类：
一、考查不等式的基本性质
例1．（天津）若a>b，且c为实数，则
2222
A、ab>bc B、acbc D、ac≥bc
222
解析：尽管a>b，但c的正负性不确定，因此ac与bc的大小不可比较，而c≥ 0，又a>b，所以ac≥bc,
选D。
例2．（北京西城）如果a>b，那么下列结论中错误的是：
A、a-3>b-3 B、3a>3b C、 D、-a>-b
解析：据不等式性质，两边都乘以一个负数，不等号方向要改变，因此，错误的是D。
二、用数轴表示不等式的解集问题
例3 (湘潭)下列四个不等式组中，其解集用数轴表示为下图的是

A、 B、 C、 D、

26

内部资料
例4．（长沙）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是：

解析 以上两例较为简单，例3选(C)，例4解得-3 三、直接求解不等式(组)
例5.(泉州)解不等式：。
例6.解不等式组








（2001四川）
解析：以上两例主要考查解不等式的基本功。
四、关于不等式的整数解
例7．(吉林)不等式：3(x+1)≥5x-3的正整数解是_______.
解析 解这个不等式得x≤3，所以x＝1、2、3。
例8．(山西)不等式组的整数解的个数是：
A、1 B、2 C、3 D、4
解析 解这个不等式组得，因为x是整数，所以x＝-1、0、1，选(C)。
五、根据不等式的解集的情况，确定字母的取值范围
例9．(威海)若不等式组的解集为x>3，则m的取值范围是：
A、m≥3 B、m=3 C、m<3 D、m≤3
解析 首先将不等式组化为依据“同大取大”的确定方法，可知m≤3，选(D)。
例10 (重庆)若不等式组的解集为-1 解析 由原不等式组得而该不等式组的解集为-1
27

内部资料
因此有2b+3＝-1，
六、综合应用类
(a+1)＝1，即a=1，b＝-2，所以，(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)＝-6。
例11．(聊城)若方程组的解为x、y，且2 A、 B、0 解析：不等式中的未知数k隐含在方程组中，因此应从解方程组入手；同时，考虑要确定x- y的取值
范围，故不能简单地求出k值，而需采用整体的方法来解。
两方程相减，得2 x-2y=k-2，即k=2(x-y+1)，由2 例12．(安徽)恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占有家庭经济总收入的比 例，它反映了居民家庭的实
际生活水平，各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示：
家庭类型 贫困家庭 温饱家庭 小康家庭 发达国家家庭 最富裕国家家庭
20%—39% 不到20% 思格尔系数(n) 75%以上 50%—75% 40%—49%
则用含n的不等式表示小康家庭的思格尔系数为_____。
解析 思格尔系数对考生来说应该是新名词，但只要观察表中“小康家庭”一栏，即可表示出：
40％≤n≤49％。
例13．(陕西)乘某城市的一种出租车起价是10元(即行驶 路程在5km以内都需付费10元)，达到或超
过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部 分按1km计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付
车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约 是多少?
解析 本题属于列不等式解应用题。
设甲地到乙地的路程大约是xkm，据题意，得
16<10+1.2(x-5)≤17.2, 解之，得10 即从甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km。
课外拓展
一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧
已知一次不等式（组） 的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中
参变量（参数）取值范围， 近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不
少的技能技巧。下面举例介 绍常用的五种技巧方法。
一、化简不等式（组），比较列式求解
例1．若不等式的解集为，求k值。
解：化简不等式，得x≤5k，比较已知解集，得，∴。
例2．（2001年山东威海市中考题）若不等式组
A、m≥3 B、m=3 C、m<3 D、m≤3
的解集是x>3，则m的取值范围是（ ）。
解：化简不等式组，得

，比较已知解集x>3，得3≥m, ∴选D。
28

内部资料
例3．（2001年重庆市中考题）若不等式组
_____。
的解集是-1 解：化简不等式组，得
∵ 它的解集是-1
∴ 也为其解集，比较得

∴(a+1)(b-1)=-6.
评述 ：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）
或列方程 组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。
二、结合性质、对照求解
例4．（2000年江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为
围是（ ）。
A、a>0 B、a>1 C、a<0 D、a<1
解：对照已知解集，结合不等式性质3得：1-a<0, 即a>1，选B。
，则a的取值范
例5．（2001年湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是（）。
A、a<3 B、a=3 C、a>3 D、a≥3
解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集x>a,得a≥3, ∴选D。
变式（2001年重庆市初数赛题）关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是
ax+b<0的 解集为______。
三、利用性质，分类求解
，则关于x的不等式
例6．已知不等式的解集是，求a的取值范围。
解：由解集得x-2<0,脱去绝对值号，得
。

29

内部资料
当a-1>0时，得解集与已知解集矛盾；
当a-1=0时，化为0·x>0无解；
当a-1<0时，得解集与解集等价。
∴
例7．若不等式组有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。
解：化简不等式组，得
∵它有解，∴ 5a-6<3a

a<3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内。
于是分类求解，当x<-1时，得，
当x>4时，得4<5a-6a>2。故或2 评述：(1)未知数系数含参数 的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨
论求解；对解集不在a≤x式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。
四、借助数轴，分析求解
例8．（2000年山东聊城中考题）已知关于x的不等式组
范围是________。
的整数解共5个，则a的取值
解：化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，
如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4
变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a的范围。
(2)若上不等式组无整数解，求a的范围。(答：(1)-11)

30

内部资料
例9．关于y的不等式组 的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。
解：化简不等式组，得 其解集为
借助数轴图2得
化简得 , ∴ 。

评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点4、B的
位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。
五、运用消元法，求混台组中参数范围
例10. 下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备将三种食 品混合
成100kg，混合后每kg含硒不低于5个单位含量，含锌不低于4.5个单位含量。要想成本 最低，问三种食
品各取多少kg?

硒（单位含量kg）
锌（单位含量kg）
单位（元kg）
A
4
6
9
B
4
2
5
C
6
4
10
解 设A、B、C三种食品各取x，y，z kg，总价S元。依题意列混合组

视S为参数，(1)代入(2)整体消去x+y得：4(100-z)+6z≥500z≥50,
(2)+(3)由不等式性质得：10(x+z)+6y≥950,
由(1)整体消去(x+z)得: 10(100-y)+6y≥950y≤12.5，
再把(1 )与(4)联立消去x得：S=900-4y+z≥900+4×(-12.5)+50,即S≥900。
∴ 当x=37.5kg, y=12.9kg, z=50kg时，S取最小值900元。
评述：由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：由几个方程联立消元，用一个(或多个)未 知
数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一个或几个未知数范围，再用它们 的范
围来放缩(求出)参数的范围。

31

内部资料
涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解。作为变式练习，请同学们解混合组
其中a, n为正整数，x，y为正数。试确定参数n的取值。
在线测试
选择题
1．解下列不等式组,结果正确的是（ ）
A、不等式组 的解集是x>3 B、不等式组的解集是-3 C、不等式组的解集是x<-1 D、不等式组的解集是-4 2．不等式组
A、x>1
的解集是（ ）
B、x<3 C、x<1或x>3 D、1 3．不等式组
A、x<1
的解集是（ ）
B、x>1 C、x<2 D、无解
4．如果不等式组
A、m>8
有解，那么m的取值范围是（ ）
B、m≥8 C、m<8 D、m≤8
5．使两个代数式x-1与x-2的值的符号相同的x取值范围是（ ）











A、x>2 B、x<1 C、x<1或x>2 D、x>1或x<2
答案与解析
答案：1、D 2、D 3、D 4、C 5、C
解析：
2.分析：由（1）得x<3，由（2）得x>1，∴13.分析：先解不等式，看是否有解，由（1）得x<1， 由（2）得x>2，两者无公共部分，所以选D。
5.因x-1与x-2的值的符号相同，所以
或
可求得 x>2或x<1。
注：比较简单，应该全部正确。
一元一次不等式和一元一次不等式组总结
本章的内 容是不等式和它的基本性质，不等式的解集，一元一次不等式和它的解法，一元一次不等式
组和它的解法 ，其中一元一次不等式的解法是本章的主要内容。

32

内部资料
知识结构总结：

思想方法总结：
1．类比法
类比方法是指在不同对象之间，或者在事物与事物之间 ，根据它们某些方面（如特征、属性、关系）
的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点 和不同点，有助于利用已有知识去认识新知识
和加深理解新知识，如学习不等式的基本性质，应将其与等 式的基本性质进行类比，学习一元一次不等式
的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比，类比如下 表：
等式 不等式
两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不
所得结果仍是等式。 等号的方向不变。
两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向
0），所得结果仍是等式。 不变。
两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变。


解法步骤









解一元一次方程：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1。
解一元一次不等式：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1。
在上面的步骤（1）和步骤（5）中，如果
乘数或除数是负数，要把不等号改变方向。
一元一次不等式的解集含有无限多个数。 解的情况 一元一次方程只有一个解。
2．数形结合的思想
在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，在数轴上表示解集比在数轴上 表示数又前进了一步，本
章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地看到不等式有 无数多个解，并易于确定
不等式组的解集。
注意事项总结：
（1）对 不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习，应复习对比等式的性质和解一元一次方程的
内容，以比较 异同。
（2）在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，特别是该数是负数时，一 定不要忘记
改变不等号的方向，如果不对该数加以限制，可有三种可能。以不等式3>2为例，在不等式 3>2两边都乘
以同一个数a时有下面三种情形：
3a>2a(a>0)
3a=2a(a=0)
3a<2a(a<0)

33

内部资料
（3）不等式的解集xa与x≥a)用数轴表示时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别。
（4）如果一个一元一次不等式组的各个一元一次不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解。
本章综合检测题
一、填空题：
1．若-m>5，则m_________-5。
2．若a 3．如果a>-1，那么a-b_______-1-b。
4．如果a
2
x2
y，那么x______y。
5．如果ac>bc(c<0)，那么a_______b。
6．如果>0，那么xy________0。
7．如果a>b，则ac
2
_______bc
2
。
8．不等式3x-2<-1的解集是_________。
9．不等式组的解集是_________。
10．当x________时，代数式的值是非正数。
二、解下列不等式，并在数轴上把解集表示出来。
11．x-7<(9x+)
12．≥-2
13．3[x-2(x-7)]≤4x
14．
三、解下列不等式组
15． 16．
四、
17．已知|3x+18|+(4x-y-2k)
2
=0，求k为何值时，y的值是负数。
答案：
一、1.< 2. < 3. > 4.< 5.< 6.> 7.≥ 8. x<
二、11.x>- 12.x≤ 13.x≥6 14. x<

34
9.-2

内部资料
三、15. 0 四、17. k>-12 （提示：
-2k-24<0 解得k>-12)。
解得
一元一次不等式与一次函数

一、 知识点：
1．一元一次不等式与一次函数间的关系：对于一次函数y=kx+b，它与横轴的交点为( )。
当k>0时,不等式kx+b>0的解为x> ，不等式kx+b<0的解为x< ,
当k<0时,不等式kx+b>0的解为x<
















，不等式kx+b<0的解为x> .
2．函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型：
i. 刻画运动变化的规律要用函数的模型。
ii. 刻画变化过程中同类量之间的大小要用不等式模型。
iii.刻画运动变化过程中的某一瞬间要用方程模型。
解决实际问题时，要合理选用三种重要的数学模型。
二、 例题分析：
1．如图，直线y=kx+b经过点A(-3,-2),B(2,4),根据图形解答下列问题：
（1）求k,b的值；
（2）求不等式1.2x+1.6>0的解集
（3）求不等式1.2x+1.6>4的解集；
（4）求不等式6x+8<-10的解集.


35

内部资料
分析：用待定系数法求直 线的解析式，利用横轴上的点的纵坐标为0的特点求直线与横轴的交点，再
用一次函数、一元一次不等式 间的关系解其他问题。
解：
(1)将A(-3,-2),B(2,4)分别代入y=kx+b得 解得
(2)直线y=1.2x+1.6与横轴的交点是（- ，0）所以不等式1.2x+1.6>0的解集为x>- .
(3)从图中可以看出，当x>2时，y>4,所以不等式1.2x+1.6>4的解集为x>2
(4) 从图中可以看出，当x<-3时，y<-2,即1.2x+1.6<-2从而6x+8<-10,所以不 等式6x+8<-10的解为
x<-3
例2，如图某博物馆每周都吸引大量游客，如果游 客多，对馆中的珍贵文物产生不利影响。但同时考
虑到文物的修缮和保存费用等问题，还要保证一定的门 票收入，因此，博物馆采取了浮动门票价格的方法
来控制参观人数：每周参观人数与票价的一次函数关系 如图，在这种情况下，如果要确保每周的门票收入
不少于4万元，那么每周应限定的参观人数是多少？门 票价格应是多少元？

分析：从票价-人数图可以看出，当票价为10元时参观人 数为7000人当票价为15元时，参观人数为4500
人，使用待定系数法可以求出这个一次函数的解 析式，再利用确保每周收入4万元来列方程，从而确定参
观人数。
解：设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b
由题意得












所以y=-500x+12000
因为：确保每周收入4万元
设票价为x元，参观人数为y人。
所以xy=40000
即x(-500x+12000)=40000`
36

内部资料

x=20或x=4
把x=20或x=4带入y=-500x+12000得
y=2000或=10000
因为控制参观人数，所以x=20,y=2000
所以，票价定为20元，人数为2000人。
三、 练习题
1．填空题：
1）已知y-3和x成正比例，且当x=2时 ，y=7,则y与x之间的函数关系式是__________.当x_________
时，y>0.
2）等腰三角形的周长为a,腰长为x,底为y，则y与x的函数关系式为_____________ _____,其自变量x的
取值范围是____________________.
2．已知：直线x-2y=-k+6和直线x+3y=4k+1,若他们的交点在第四象限内,求k的取值范围；
3.已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).
(1)m为何值时，y随x的增大而减小？
(2)m为何值时，直线与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m为何值时，直线经过第二、三、四象限？
答案：
1.
1)y=2x+3 x>-1.5
2)y=a-2x 0.25a
2． -4 3．
（1）m<-0.25
(2)m>-1
(3)-1一元一次不等式和一元一次不等式组复习检测题
一、选择题
1.下列各式中是一元一次不等式的是（ ）


A -1 B -1,1,2 C -1,0,1 D 0,1,2
3.不等式mx≤n,(m<0)的解集是（ ）







A -3 二、填空
1.当a<0时，ax-b>0的解集是_____

37

内部资料

3.不等式4x-6≥7x-12的正整数解是_____
4.若a>b，则(1+|c|)a___(1+|c|)b
5.满足不等式|x|≤4的所有整数解的和为____

6.不等式组
三、解答题

2.解不等式组
的解集是x


五、
1.六个单位计划联合修建一所希望小学，三个单位分别捐款41万元，56 万元，48万元，如果修建希
望小学至少需要250万元，那么另外三个单位平均每个单位至少要捐款多 少万元？
2.现有含盐15％的盐水120千克，要用80千克浓度较低的盐水与它混合，使混 合后盐水的浓度在10％
至12％之间，（包括10％和12％）那么这80千克盐水的浓度在什么范围 内？
答案：
一、D C C B
二、1． 2. 3. 1、2 4. > 5.0 6. a≤-2
三、1.x<

2.x≥1


第二章因式分解
因式分解――提公因式法
五、(1)x≥35 (2)
（一）、内容提要
多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极 为密切。因式分解是在
学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方 程组及代数式和三角函
数式的恒等变形提供必要的基础。
因式分解的概念是把一个多项 式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式
法是因式分解的最基本的也是最常 见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对
欲分解的多项式进行考察，提出字 母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。
[知识要点]
1．了解因式分解的意义和要求

38

内部资料
2．理解公因式的概念
3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式
（二）、例题分析
例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
2
1.(x+1)(x-2)=x-x-2 -ay-a=a(x-y)-a
23232
3.6xy=2x·3y 4.x-4=(x+2)(x-2)
322
5.9a-6a+3a=3a(3a-2a)
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
分析：从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式 ；式3中左右两边的均是单项式，原来就
是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整 式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了
“1”这项；只有式4是正确的。
解：B
23322
例2．把-3ab+6abc+3ab分解因式
分析：如果多 项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。
2
此题各 项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是ab.
23322
解：-3ab+6abc+3ab
23322
=-(3ab-6abc-3ab)
22
=-3ab(b-2abc-1)
评注：当公因式和原多项式中 某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。1作为项的系数
通常可以省略，但如果单独成一 项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运
2223322
算的逆 过程的原理来检查。例如，观察-3ab(b-2abc-1)是否等于-3ab+6abc+3ab，从而检查 分解是否正
确以及丢项漏项。
22
例3．分解因式3ab(2x-y)-6ab(y-2x)
分析：因为y-2x=-(2x-y), 就是说y-2x 与2x-y实质上是相同因式，因此本题的公因式是3ab(2x-y).
22
解：3ab(2x-y)-6ab(y-2x)
22
=3ab(2x-y)+6ab(2x-y)
=3ab(2x-y)(a+2b)
评注：本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因式分 解的结
果，单项式写在多项式的前面。
3222
例4．分解因式：2a(a-b)-a(a-b)+ab(b-a)
2222
分析：要 找出这三个项的公因式。因为(b-a)=[-(a-b)]=(a-b)，因此(a-b)就是公因式，分解结 果
有相同的因式要写成幂的形式。
3222
解：2a(a-b)-a(a-b)+ab(b-a)
3222
=2a(a-b)-a(a-b)+ab(a-b)
2
=a(a-b)[2(a-b)-a+b]
2
=a(a-b)(a-b)
3
=a(a-b).
评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些 则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，但不
能生搬硬套。记住下面结论是有益的。
nn
当n为奇数时，(x-y)=-(y-x);
nn
当n为偶数时，(x-y)=(y-x).
例5．不解方程组
2
求7y(x-3y)-2(3y-x)的值。
3
23
分析：先把7y(x-3y)-2(3y-x)进行因式分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。

39

内部资料








解：7y(x-3y)-2(3y-x)
23
=7y(x-3y)+2(x-3y)
2
=(x-3y)[7y+2(x-3y)]
2
=(x-3y)(2x+y)
23
∵ ∴原式=1×6=6
2
评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。
2
例6．求证：3-4×3+10×3能被7整除。
2
分析：先把3-4×3+10×3因式分解
2
证明：∵3-4×3+10×3
19982
=3×(3-4×3+10)
1998
=7×3
2
∴3-4×3+10×3能被7整除。
（三）、练习
一、选择题：
（1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
2322
A、-5xy=-5xy(xy) B、x-4-3x=(x+2)(x-2)-3x
22
C、ab-2ab=ab(b-2) D、(x-3)(x+3)=x-9
3322222
（2）49abc+14abc-21abc在分解因式时，应提取的公因式是（ ）
222 222 33
A、7abc B、7abc C、7abc D、7abc
2
（3）把多项式3m(x-y)-2(y-x)分解因式的结果是（ ）
A、(x-y)(3m-2x-2y) B、(x-y)(3m-2x+2y) C、(x-y)(3m+2x-2y) D、(y-x)(2x-2y+3m)
222233;33
（4）在下列各式中：①a-b=b-a;②(a-b)=(b-a) ;③(a-b)=-(b-a);④(a-b)=(b-a)⑤(a-b)=-(b-a);
⑥(a+b )(a-b)=(-a+b)(-a-b)
正确的等式有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3222
（5）在分解-5x(3a-2b)+(2b-3a)时，提出公因式-(3a-2b)后，另一个因式是（ ）
3333
A、5x B、5x+1 C、5x-1 D、-5x
（6）下列各组代数式中没有公因式的是（ ）
2222
A、5m(a-b)与b-a B、(a+b)与-a-b C、mx+y与x+y D、-a+ab与ab-ab
（7）下列各题因式分解正确的是（ ）
232322
A、3x-5xy+x=x(3x-5y) B、4xy-6xyz=-2xy(2x-yz+3)
322222
C、3ab(a-b)-6a(a-b)=3(a-b)(ab-2a) D、-56xyz+14xyz-21xyz=-7xyz(8x-2xy+3yz)
19992000
（8）把(-2)+(-2)分解因式后是（ ）
19991999
A、2 B、-2 C、-2 D、-1
n+2n-1n
（9）把3a+15a-45a分解因式是（ ）
n+2n-1nn2-1n-13-1n-13
A、3(a+5a-15a) B、3a(a+5a-15) C、3a(a+5-15a) D、3a(a+5-15a)
[答案]: 1.C 2.A 3. B 4. C 5.C 6.C 7.D 8.A 9.D
二、填空题：
22323
1．单项式-4abc，12abc, 8ab的公因式是________。
33
2．多项式9xy-36xy+3xy提取公因式________后，另一个因式是______。
2nn
3．多项式8x-4x提取公因式后，括号内的代数式是______。
4．分解因式：x(m-n)(a-b)-y(n-m)(b-a)=_________.
2
5．分解因式：x(x+y)(x-y)-x(y+x)=________.
6．2y(x-2)-x+2 分解因式________。
2 22n
[答案]：1. 4ab 2. 3xy, 3x-12y+1 3. 2x-1

40

内部资料


















4. (m-n)(a-b)(x-y) 5. -2xy(x+y) 6. (x-2)(2y-1)
三、解答题：
1．把下列各多项式分解因式
52322222
(1) ab-ab+ab (2) -7xy-14xy+49xy
222223
(3) (x+y)(a+a+1)-(x-y)(a+a+1) (4) 18x(x-2y)-24xy(2y-x)-12x(2y-x)
22
(5) x(x+y-z)+y(x+y-z)+z(z-x-y) (6) y(2x-y)-2x(y-2x)
2．计算下列各式
119
(1) 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1 (2) 10-5×10
3．先化简，再求值。
(1)已知2x-y=


































2
, xy=2, 求2xy-xy的值。
2
4334
(2)已知4x+7x+2=4,求-12x-21x的值。
4．求证下列各题
2
(1)证明7-7-7能被41整除
(2)求证：奇数的平方减去1能被8整除
(3)求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。
[答案]：
2322
1．(1)ab(a-b+1) (2)-7xy(x+2y-7xy) (3)2y(a+a+1)
22
(4)6x(2y-x)(5x-8y) (5)(x+y-z)
22
(6)原式=y(2x-y)-2x(2x-y)
2
=(2x-y)(y-2x)
3
=-(2x-y)
2．(1)原式=200.1×(7.6+4.3-1.9)
=200.1×10
=2001
92
(2)原式=10×(10-5)
9
=10×95
10
=9.5×10
3．(1)解：∵2x-y=, xy=2,
∴2xy-xy=xy(2x-y)=2·












4334333
=.











(2)解：∵4x+7x+2=4
2
∴4x+7x=2
22
∴-12x-21x=-3(4x+7x)=-3×2=-6.
299821998
4．(1)证明：∵7-7-7=7(7-7-1)=41×7
2
∴7-7-7能被41整除。
(2)证明：设奇数为2n+1,
2
则(2n+1)-1=(2n+1-1)(2n+1+1)
=2n·(2n+2)
=4n(n+1)
又∵相邻两个整数的积一定是偶数
∴n(n+1)是偶数
41
2

内部资料
即n(n+1)是2的倍数，
∴4n(n+1)是8的倍数，
故原命题成立。
(3)证明：设n为整数，则n, n+1是两个连续整数，
2
∴n·(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1), 故原命题成立。
中考解析
提公因式法
中考考点
1．正确理解因式分解的概念及它与整式乘法的区别与联系。
2．能够用提公因式法把多项式进行因式分解。
考点讲解
1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
注意：①必须是把一个多项式因式 分解。如：-2
ab
=-2
a
·
b
∵-2
ab
不是多项式，∴-2
ab
=-2
a
·
b
不
是因式分解。②因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。
2
如：3
x+6
xy
-12
x
=3
x
(
x
+2< br>y
-4)
22

a
-
b
=(
a
+
b
)(
a
-
b
)
都是正确的，但像
（1）
a
-
b
=(
a
+
b
)·；
2
（2）
x
-4+3
x
=(
x
+2) (
x
-2)+3
x
；
就不是因式分解了。因为（1）中不是 整式；（2）中(
x
+2)(
x
-2)+3
x
不是积的形式 。
2．本节另一个重点是掌握提公因式方法，关键是确定公因式，难点是寻找隐含的公因式。利 用提公
因式法进行因式分解时，可按如下法则进行：
①提出的公因式必须是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
②把确定的公因式提出写在括号外面作为一个因式，而括号里面的每一个因式是多项式除以公因式的
商。
3．利用提公因式法分解因式时，要防止出现以下错误：
①提不“全”或提不“净”现象：
222
如 12
a
-6
a
-18
a
=3
a
(4
a
-2
a
- 6)的错误原因是只注意到字母的指数，而没有提系数的最大公约数。
②出现“丢项”：
2222222
如 3
xy
-9
xy
-3
x< br>=3
x
(
y
-3
y
)的错误原因是丢项（-3
x
），当某一项恰是这个多项式各项的公因式时，
它被提出后不是没有了，而是还有“1”；
2
又如 -
a
+
ab
-
ac
=-a
(
a
+
b
-
c
)的错误原因是提“-
a
”后括号内各项没有变号。
考题例析
1．因式分解：=__________。
222
考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式。
评析思路，先提公因式，然后再用平方差公式进行分解.
说明:分解因式要彻底。
2
答案：x(x-4y)
32
2．分解因式：4q(1-p)+2(p-1)
考点：提公因式法
222
分析：注意到(p-1)=(1-p), 把(1-p)看作一个整体，且最低次幂是(1-p), 系数的最大公约数是2，
2
故提2(1-p).

42

内部资料
解：4q(1-p)+2(p-1)
2
=2(1-p)[2q(1-p)+1]
2
=2(1-p)(2q-2pq+1).
真题实战
2
1．选择：若二次三项式x+ax-1可分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为（）。
A、-1 B、1 C、-2 D、2
2
分析：解此类题关键在于理解因 式分解的概念，根据题意x+ax-1=(x-2)(x+b),把右边展开后，再由
恒等式的性质即可 求解，故选（A）。
2．选择：把ab+a-b-1分解因式的结果为（ ）
A、(a+1)(b+1) B、(a-1)(b-1) C、(a+1)(b-1) D、(a-1)(b+1)
解：ab+a-b-1
=(ab+a)-(b+1)
=a(b+1)-(b+1)
=(b+1)(a-1)
答案：D
3．填空：分解因式2a(b+c)-3(b+c)=________.
解：应填(b+c)(2a-3).
22
4．分解因式：xy-xy.
22
解：xy-xy=xy(x-y).
2
5．分解因式：a-ab=____．
答案：a(1+b)(1-b)
2
6．因式分解：x－xy=______．
答案：x(x-y)
专题辅导
初二学生数学学法指津
初一匆匆过去，初二迎面而来，如果说一个人成才的基础工程在初中，而这个工程的核心则在初二。
所 以高度重视认真探索学习方法、研究学习方法具有重要意义。下面我们一起来就初二学习的内容，学习
内 外部环境,学习方法指导等方面探求、分析。
一、初二学习内、外部环境的变化。
１、学科上的变化：和初一比较，初二开始添设几何和物理，这两个学科都是思维训练要求较强的学
科， 直接为进入高一级学科或就业服务的学科。
２、学科思维训练的变化：初二各学科在概念的演化 、推理的要求、思维的全面性、深刻性、严密性、
创造性方面都提出了比初一更高的要求。
３、思维发展内部的变化：思维发展从思维发展心理学的角度看已进入新的阶段，即已经炽烈地、急
剧地 进入第五个飞跃期的高峰。这个“飞跃”期是否会缩短，“飞跃”的质量是否理想要靠两个条件：1）
教 师精心的指导；２）自己不懈地努力。
４、外部干扰因素的变化：初二正是你性格定型加快节奏 ，幻想重重的年龄期，常常表现出心理状态
和情绪的不稳定，例如逆反情绪发展。这给外部的诱惑和干扰 创造了乘虚而入的条件。不要因为这些妨碍
自己正常地接受教师和家长的指导，破坏了专一学习的正常心 理状态。要学会“冷静”、“自抑”，把充
沛的青春活力投入到学习活动中去。
二、初二学法指导要点。
１、积极培养自己对新添学科的学习兴趣。平面几何是逻辑推理、形象 思维、抽象思维的训练，平几
学习的好坏，直接影响你的思维发展，影响你顺利地完成第五个思维发展飞 跃。理化学科是你将来从事理
工科的基础，语文的快速阅读和写作训练也在为你今后的发展奠定基础。切 记勿偏科，初中阶段的所有学
科都是你和谐完美发展的第一块基石。
32

43

内部资料
２、用好“读、听、议、练、评”五字学习法， 掌握学习主动权。读：读书预习；听：听课；议：讲
议讨论；练：复读练习，形成技能；评：自我评价掌 握学习内容的水平。
３、在评价中学习，在评价中达标：“在评价中学习”是指给自己提出明确 的学习目标，在目标的指
导和鞭策下学习。“在评价中达标”是指只有进入“自我评价状态的学习”，才 能有效地达到学习目标，
强烈的自我追逐学习目标，才能高质量、高水平的达到目标。
４、听课要诀：（１）在自学预习的基础上听；（２）手脑并用，勤于实践议练，勤于笔记，养成笔
记的 习惯；（３）勇于发言，发问，暴露自己的疑点、弱点；（４）把握重点和难点。对“重点”要“练
而不 厌”，对“难点”要锲而不舍；（５）形散神不散。课堂上，教师的读、讲、议、练、评活动安排从
形式 上可能有些“散”，你要积极参与配合，做到45分钟形散神不散；（６）重视每节课的归纳小结，
把感 性认识上升为理性认识。就数学而言要学会归纳知识结构、题型、数学思想和方法。
５、重视知 识、题型积累，更重视思维训练和能力发展。你要适应21世纪初人才需求的标准，必须
是既有知识，又 有能力，会思考、会运筹的人。怎样培养自己的能力呢？（１）在听懂双基知识点的同时，
着力弄清思路 和方法；（２）学会多方面地思考问题，就是在研究问题的证与解的同时，着力思考多解和
多变，自己编 一些变条件，变解答过程、变结论的问题；（３）有目的地提高自己的动手能力。常言道：
“动脑不动手 ，沙地起高楼”，不可行。新的见解，常出于实践训练之中；（４）有目的地提高自己的特
异思维能力， 不要只满足于教师讲的，书上写的解法和证法。一题多解，胜练十题，特异思维的一次成功，
就是思维发 展的一次飞跃。
暂时介绍这些初二学法要点，祝同学们学习顺利，成功！
在线测试
A组
在下列各式的括号里填上适当的式子，使等式成立。
(1)ab- ac=( )(b-c)
2
(2)2x-10xy=( )(x-5y)
2232
(3)-5ab+10ab-15ab=( )(b-2a+3b)
(4)5a(p-q)+6(q-p)=(p-q)( )
333
(5)2m(m-n)-5n(n-m)=(m-n)( )
B组
计算(1)4.3×199.8+7.6×199.8-1.9×199.8
(2)-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14
答案与解析：
A组、(1)a (2)2x (3)-5ab (4)5a-6 (5)2m+5n B组、(1)1998 (2)31.4
因式分解(二)
一、学习指导
1．代数中常用的乘法公式有：
22
平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b
222
完全平方公式：(a±b)=a±2ab+b
2．因式分解的公式：
将上述乘法公式反过来得到的关于因式分解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：
22
平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)
222
完全平方公式：a±2ab+b=(a±b)
3．①应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公 式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符
号等方面掌握它们的特征。②明确公式中字母可以表示 任何数，单项式或多项式。③同时对相似的公式要
避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。④ 运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符
合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
二、因式分解公式的结构特征。
22
1.平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)的结构特征

44

内部资料
1)公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。
2)公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a是完全相同的，即为左边式子中被减 数
22
a的底数，另一项b和-b是互为相反数，即b是左边式子中减数b的底数。
3)要熟记1——20的数的平方。
222
2、完全平方公式：a±2ab+b=(a±b)的结构特征.
1)公式的左边是一个三项式, 首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为正号(负号)时
右边的两项式中间符号为正( 为负),2ab中的“2”是一个固定的常数。
2)公式的右边是两数和或差的平方形式。
3)要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a和b在这里是什么 ，
然后看中间一项是不是相当于+2ab或-2ab，如果是的，才可以分解为两数和或差的平方形式。 初学时中间
的过渡性步骤不要省掉。
三、例题分析：
222416
例1．分解因式：(1)4a-9b (2)-25ay+16b
2222
分析：①∵4a=(2a),9b=(3b),那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可。
②将两项交换后，这两项式是平方差的形式。
22
解：(1)4a-9b
22
=(2a)-(3b)
=(2a+3b)(2a-3b)
22
注：为保证解题正确要将中间步骤(2a)-(3b)写上，即先化为公式的左边形式。
分析：①这是个两项式，且两项符号相反
1682242282
②∵16b=(4b) 25ay=(5ay)那么可将4b和5ay看作平方差公式中的a和b即可。
2416
解：(2)-25ay+16b
1624
=16b-25ay
8222
=(4b)-(5ay)
8282
=(4b+5ay)(4b-5ay)
8222
注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b)-(5ay)
4861022
例2．分解因式：(1)36bx-9cy (2)(x+2y)-(x-2y)
88 22
(3)81x-y (4)(3a+2b)-(2a+3b)
分析：(1)题 二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。(2)题
44
的两项式符合平方差公式，x+2y和x-2y分别为公式中的a和b。(3)题也是两项式，9x和y是公式中 的a
和b。(4)题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。
48610
解：(1)36bx-9cy
48610
=9(4bx-cy)
242352
=9[(2bx)-(cy)]
24352435
=9(2bx+cy)(2bx-cy)
注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
22
(2)(x+2y)-(x-2y)
=[(x+2y)+(x-2y)][(x+2y)-(x-2y)]
=(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y)
=(2x)(4y)=8xy
注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某
些 情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。
(3)81
4242

=(9x)-(y)
4444
=(9x+y)(9x-y)

45

内部资料
=(9x+y)[(3x)-(y)]
442222
=(9x+y)[(3x+y)(3x-y)]
442222
=(9x+y)(3x+y)(3x-y)
4422
注：①第一次应用平方差公式后的第二个因式9x-y还可以再用平方差公式分解②3x-y在有理数范
围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。
22
(4)(3a+2b)-(2a+3b)
=[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)-(2a+3b)]
=(3a+2b+2a+3b)(3a+2b-2a-3b)
=(5a+5b)(a-b)
=5(a+b)(a-b)
注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。
22 22
例3．分解因式：①(2m-n)-121(m+n) ②-4(m+n)+25(m-2n)
2
分析：(1)题的第二项应写成[11(m+n)]就可以用平方差公式分解，2m-n 和11(m+n)为公式中的a和b，
(2)题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式 就找到公式中的a和b分别为5(m-2n)和
2(m+n)，再应用平方差公式分解。
22
解：(1)(2m-n)-121(m+n)
22
=(2m-n)-[11(m+n)]
=[(2m-n)+11(m+n)][(2m-n)-11(m+n)]
=(2m-n+11m+11n)(2m-n-11m-11n)
=(13m+10n)(-9m-12n)
=-3(13m+10n)(3m+4n)
注：(-9m-12n)这项应提取公因式-3
22
(2)-4(m+n)+25(m-2n)
22
=25(m-2n)-4(m+n)
22
=[5(m-2n)]-[2(m+n)]
=[5(m-2n)+2(m+n)][5(m-2n)-2(m+n)]
=(5m-10n+2m+2n)(5m-10n-2m-2n)
=(7m-8n)(3m-12n)
=3(7m-8n)(m-4n)
注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。例如:
-2(m+n)=-2m-2n≠-2m+2n
例4.分解因式: (1)b-ab (2)a(m+n)-b(m+n)
44
442222






















(3)-
分析：这三道题都有公因式,应先提取公因式再应用平方差公式。注意要分解到不能分解为止。
5
解：(1)ab-ab
4
=ab(a-1)
22
=ab(a+1)(a-1)
2
=ab(a+1)(a+1)(a-1)
22
注：a+1在有理数范围不能分解，a-1可以分解。
44
(2)a(m+n)-b(m+n)
44
=(m+n)(a-b)
2222
=(m+n)(a+b)(a-b)
22
=(m+n)(a+b)(a+b)(a-b)

46

内部资料
(3)-
=-
=-
(a-16)
2

(a+4)(a-4)
注：提取分数公因式-便于后面用公式法分解。
22
例5．计算1.2222×9-1.3333×4
分析:这是数字的计算问题,若按运算顺序一 步步做很繁,我们认真观察,寻求简便算法,发现题中的两
项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再 可以用平方差公式进行因式分解,这样可以使计算简化。
22
解：1.2222×9-1.3333×4
22
=(1.2222×3)-(1.3333×2)
=(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3-1.3333×2)
=(3.6666+2.6666)(3.6666-2.6666)
=6.3332×1=6.3332
2222
例6．分解因式：(1)x(x-1)-x+1 (2)(x+x+2)(x+x+7)-6
222
分析：(1)可看成二项式：将-x+1变形为-(x-1)则可提取公因式(x- 1)再将公因式用平方差公式分解。
22
解：(1)x(x-1)-x+1
222
=x(x-1)-(x-1)=(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
2
=(x+1)(x-1)
分析： (2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x+x+2与x+x+7的平均数为x+x+
222
， 故可用换元法解：
解：设y=
则(x+x+2)(x+x+7)-6
=(y-
=y-
2
2
22
=x+x+
2

)(y+
=(y+
)-6=y-
)(y-
2
2
-6
)
22
=(x+x++)(x+x+-)=(x+x+8)(x+x+1)
222
注：此题也可以展开式子(x+x)+9(x+x)+8再应用十字相乘法进行。
48
例7．若(2-1)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。
484848
分析：首先应分析2-1的特殊形式为平方差，由题意2-1能被两个数整除 说明2-1能分解成哪两
48
个数与其它因式的积，并将2-1进行因式分解。并注意这两个整 数的取值范围是大于60且小于70。
48
解：2-1
24222424
=(2)-1=(2+1)(2-1)
241212
=(2+1)(2+1)(2-1)
241266
=(2+1)(2+1)(2+1)(2-1)
662412
∵2+1=65为整数，2-1=63为整数，2+1和2+1都为整数
∴

=(2+1)(2+1)(2-1)为整数。
47
24126

内部资料

48
=(2+1)(2+1)(2+1)也为整数。
24126
∴2-1被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。
48
说明：此题虽 然题目中没有因式分解的要求，但是2-1是因式分解的平方差公式的基本形式。将其
6663
进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现2+1的因式，2+1=65，及出现2-1=63。因为2+ 1=9，
3
2-1=8，这两个数已经不符合本题的要求了。
例8．求证：任意两个连续整数之积是2的倍数，
证明：设这两个连续整数分别为n和n+1
则这两个连续整数之积为：n(n+1)
(1)如果n为偶数，可设n=2k(k为整数)
则n(n+1)=2k(2k+1)










∴=k(2k+1)
∵k为整数，∴k(2k+1)为整数
∴n(n+1)是2的倍数
(2)如果n为奇数，可设n=2k+1(k为整数)
则n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)
∴=(2k+1)(k+1)
∵k为整数，∴(2k+1)(k+1)也为整数
∴n(n+1)是2的倍数
∴任意两个连续整数之积是2的倍数。
注：本题的证明，主要是明确以下几点：
(1)连续整数的表示法，注意数之间差为1，
(2)2的倍数是什么意思；即被2整除，也就是说除以2所得的商是一个整数。
(3)要进行分类讨论，将n分为偶数和奇数来进行讨论。
22222
例9、分解因式：(1)x+6ax+9a (2)-x-4y+4xy (3)9(a-b)+6(a-b)+1
分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。
2222
(1)题的x=(x)，9a=(3a)，且这两项的符号相同，可写成平方和。 这样x和3a就为公式中的a和b
了。另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这 题就可用和的完全平方公式分解。
22
解：(1)x+6ax+9a
22
=(x)+2(x)(3a)+(3a)
2
=(x+3a)
22
注：再写第一步的三个项的和时实际上先写x和(3a)项，再写固定的“2”常数再 将公式中的a、b
数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。
222222
分析：(2)题中的-x-4y，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和 ，即-x-4y=-[x+(2y)]，4xy
正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用 完全平方公式。注意提取负号时4xy要变号为-4xy。
22
解：(2)-x-4y+4xy
22
=-(x-4xy+4y)
22
=-[x-2(x)(2y)+(2y)]
2
=-(x-2y)
2 22
分析：(3)题9(a-b)+1可写成平方和[3(a- b)]+1，就找到公式中的a和b项为3(a-b)和1，6(a-b)
正好是2×3(a-b)×1 为公式中的2ab项，符合完全平方公式。
2
解：(3)9(a-b)+6(a-b)+1
22
=[3(a-b)]+2×3(a-b)×1+1

48

内部资料








=[3(a-b)+1]
2
=(3a-3b+1)
422222
例10、分解因式：(1)ax-4axy+4xy
22222
(2)(x+y)-12(x+y)z+36z (3)(x+4x)+8(x+4x)+16
2
(4)(x-2y)-2(x-2y)y+2y
242222
2222224
分析：(1)题有公因式x应先提取出来，剩余因式(a-4ay+4y)正好是(a-2y)
422222
解：(1)ax-4axy+4xy
2422
=x(a-4ay+4y)
22222
=x[(a)-2(a)(2y)+(2y)]
222
=x(a-2y)
分析：(2)中可将(x+y)看作一个整体， 那么这个多项式就相当于(x+y)的二次三项式，并且降幂排列，
公式中的a和b分别为(x+y)和 (6z)，中间项-2ab为-2(x+y)(6z)，正好适合完全平方公式。
22
解：(x+y)-12(x+y)z+36z
22
=(x+y)-2(x+y)(6z)+(6z)
2
=(x+y-6z)
注：此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形
式特 点，善于将多项式中的某一项(或一部分)作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。如此题中将
(x +y)代换完全平方公式中的a，6z换公式中的b。
2222
分析：(3)的题型与 (2)题相同，只不过公式中的a和b为x+4x和4，分解为(x+4x+4)后再将x+4x+4
再 用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。
222
解：(x+4x)+8(x+4x)+16
2222
=(x+4x)+2(x+4x)×4+4
22
=(x+4x+4)
224
=[(x+2)]=(x+2)
222222
分析：(4 )题把x-2y和y看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x-2y和y的二次三项式，但
首末两项 不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数
号里边实际上就是一个 完全平方公式。注意分解到不能分解为止。
解：
=
=
=
=
=
(x-2y)-2(x-2y)y+2y
2222224
2222224
提出后，括
[(x-2y)-4(x-2y)y+4y]
[(x-2y)-2(x-2y)(2y)+(2y)]
(x-2y-2y)
(x-4y)
[(x+2y)(x-2y)]
22
2
222
2222
22222222
=(x+2y)(x-2y)
2222
例11、分解因式：(1)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)
42n+1n-1n22222
(2)3a-6a+3 (３)a+a-2a (4)(m+n+1)-4mn

49

内部资料
分析：(1)题中的9(a-b)=[3(a-b)]，
22
4(a+b)=[2(a+b)]而中间项
22
12(a-b)=12(a+b)(a-b)=2×3(a-b)×2(a+b)
正好是公式中的2ab项。
2222
解：(1)9(a-b)+12(a-b)+4(a+ｂ)
22
＝[3(a-b)]+12(a+b)(a-b)+[2(a+b)]
22
=[3(a-b)]+2×3(a-b)×2(a+b)+[2(a+b)]
2
=[3(a-b)+2(a+b)]
2
=(3a-3b+2a+2b)
2
=(5a-b)
2
分析：(2)此题的三项式可看作a的二次三项式,且应先提取公因式3，再用公式进行分解。
42
解：(2)3a-6a+3
42
=3(a-2a+1)
22
=3(a-1)
2
=3[(a+1)(a-1)]
22
=3(a+1)(a-1)
2
注：应用完全平方公式后注意再将因式a-1再用平方差公式分解。注意用积的乘方法则。
n-1
分析：(3)题有公因式a，先提取公因式再用公式。注意先按降幂排列好顺序。
n+1n-1n
解：(3)a+a-2a
n+1nn-1
=a-2a+a
n-12
=a(a-2a+1)
n-12
=a(a-1)
分析：(4)题是一个二项式，符合平方差公式。用平方差公式分解后的两个多 项式的因式都可再用平
方差公式。
22222
解：(4)(m+n-1)-4mn
2222
=(m+n-1+2mn)(m+n-1-2mn)
2222
=[(m+2mn+n)-1][(m-2mn+n)-1]
2222
=[(m+n)-1][(m-n)-1]
=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)
22
例12：分解因式：(m-1)(n-1)+4mn.
22222222222222
分析：将(m-1)(n-1)展开得mn- m-n+1=(mn+1)-(n+m)可将mn+1与n+m均配成完全平方则可用
平方差公式分解。
22
解：(m-1)(n-1)+4mn
2222
=(mn- m-n+1)+4mn
2222
=(mn+1)-(n+m)+4mn
2222
=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)
22
=(mn+1)-(m-n)
=(mn+1+m-n)(mn+1-m+n)
中考解析
运用公式法
中考考点
1．理解因式分解的平方差公式、完全平方公式、立方和（差）公式的意义。
2．掌握每个公式的特点，并能熟练运用公式将多项式进行因式分解。
考点讲解
利用因式分解与整式乘法之间的关系，把乘法公式反过来，就是因式分解的公式。运用公式法分解因
式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式，难点是灵活运用公式进行因式分解。

50
22

内部资料
1．平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)
其特点是：①多项式为二项式。②两项符号相反。③每项都可以化为某数或某式的平方的形式。
222
2．完全平方公式：a±2ab+b=(a±b)。
其特点是： ①多项式为三项式；②两项同号且能写成某数或某式的完全平方的形式；③另一项是这两
项写成的某数或 某式的积的2倍，符号可正可负。
3．考察运用公式法进行因式分解这部分知识，比较简单的题型是直接运用公式，
322
如：①分解因式：x-8，x+4x+4，x-64等；
22322
②填空：x+ x+64=(x+ )， 27x+ =( +2)(9x- + )等。
66
比较复杂的题型是几个公式的混合多次运用，如分解因式：a-b等，这就要求同学们 要掌握每个公式
的特点。在应用时应注意：①各项有公因式时，应先提因式；②熟记1——20的平方数 ；③完全平方公式
有两个，是加是减看中间项符号；④立方和（差）公式的结果中，右边第二个因式的中 间项的符号与第一
个因式第二项的符号相反。
考题例析
22
1．（贵阳市）．因式分解：x-4y= .
考点：公式法因式分解
2222
评析：要正确使用公式，注意先将多项式转化为公式并分解，即x-4y=x-( 2y)=(x+2y)(x-2y)。
2
2．（长沙市）分解因式：ma+2ma+m= .
考点：提公因式，公式法分解因式。
评析：对于三项式的因式分解，首先观察有无公因式，提 出公因式后，再观察是否符合完全平方公式
或十字相乘法，直至不能再分解为止。
2
答案：m(a+1)
3．（河北省）分解因式：=_____________________。
22
考点：提公因式、公式法因式分解
评析：思路先提出公因式2xy，剩下的是符合完全平方公 式的二次三项式，然后利用完全平方公式可
分解彻底。
2
答案：2xy(x+2y)
3223
4．（北京市东城区）分解因式：2ab+8ab+8ab=_________________;
考点：公式法分解因式
评析：因多项式是三项多项式，所以若有公因式先提公因 式，剩余的三项可用完全平方公式或十字相
乘法分解，此题用完全平方公式法分解。
2
答案： 2ab(a+2b)
5.（辽宁）方程2x(x-3)=5(x-3)的根为（ ）
A、x=; B、x=3; C、x
1
=3,x
2
=; D、x=-
考点：因式分解，解方程
评析：此题是一道解一元二次方程的问题，在解方程的 过程中，如果用因式分解来解的话，会很容易
求出解的。具体步骤如下：
解：因为2x(x-3)=5(x-3)
所以2x(x-3)-5(x-3)=0
即(x-3)(2x-5)=0
解得：x
1
=3，x
2
=
答案：C
真题实战
2
1．（苏州市）分解因式：ma-4ma+4m= 。

51

内部资料
答案：m(a-2)
2．（扬州市）分解因式：
答案：x(x+1)(x-1)
3．（石家庄市）等式成立的条件是 。
3
2
。
答案：a=0或b=0
4．（山西省）下列各式中，正确的是（ ）
A．a+2ab+4b=(a+2b) B．(0.1)+(0.1)
C．
答案：C
5．（昆明）x-x+_________=(x-
答案：
6．（石家庄）分解因式：a+4b-4ab-c=______.
22222
解：a+4b-4ab-c=(a-2b)-c=(a-2b+c)(a-2b-c)
答：应填(a-2b+c)(a-2b-c)
4
7．（河北省）选择题：分解因式x-1的结果为（ ）
2222
A、(x-1)(x+1) B、(x+1)(x-1)
23
C、(x-1)(x+1)(x+1) D、(x-1)(x+1)
答：应选C
2
8．（安徽）分解因式：x-4=____．
答案：(x+2)(x-2)
22
9．（福州）分解因式：x-4y=____．
答案：(x-2y)(x+2y)
专题辅导
初学因式分解的几个问题
因式分解是初二代数中的重要内容，并且它的内容贯穿在整个中学数学教材之中，学习它，既可以培
养同学们的观察能力、运算能力，又可以提高同学们综合分析问题、解决问题的能力。转化是本章最重要
的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积。这种转化通常要通过观察、分析 、
尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的。本专题重要讲解两个内容，一是因式 分
解的几点注意事项，二是因式分解的应用。
一、注意事项：
1、因式分解与整式乘法互为逆运算
222
2
332
222 -10

2
D．a+b=(a+b)(a+ab+b)
)。
2

2．在提公因式时，若各项系数都是整数，所提的 公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的字
母的最低次幂的积。
3．如果多项式 的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”
号时，多项式 的各项都要变号。

52

内部资料
4．有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，例如：-a-b+c=-(a+b-c)；
2n2n2n-12n-1
又如：当n为自然数时，(a-b)=(b-a); (a-b)=-(b-a)，都是在因式分解过程中常用到的因式
变换。
22
5．能运用平方差公式a-b=(a+b)(a-b)分解的多项式，必须是二项式或视作二项式的多项式，且这 二
项的符号相反，
a、b可表示数，亦可表示字母或代数式，每项都能写成数（或式）的完全平方的形式。
222
5．能运用完全平方公式a±2ab+b=(a±b)分解的多项式，必须是三项式 或视作三项式的多项式，且
其中两项符号相同并都能写成数（或式）的完全平方形式，而余下的一项是这 两个数（或式）的乘积的2
倍。如果三项中的两个完全平方项都带有负号，则应先提出负号，再运用完全 平方公式分解因式。
22
例1、把-a-b+2ab+4分解因式。
22
解：-a-b+2ab+4
22
=-(a－2ab+b-4)
22
=-[(a-2ab+b)-4]
2
=-[(a-b)-4]
=-(a－b+2)(a－b－2)
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的，以免出错。
n+2n+1n
例2、分解因式（a+b）-2(a+b)+(a+b)
n+2n+1n
解：（a+b）-2(a+b)+(a+b)
n2
=（a+b）[(a+b)-2(a+b)+1]
n2
=(a+b)(a+b-1)
本题先运用提取公因式，然后运用完全平方公式
42
例3、分解因式：x－8x+16
42
解：x-8x+16
22
=(x-4)
2
=[(x+2)(x-2)]
22
=(x+2)(x-2)
本题注意分解彻底，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
二、因式分解的应用：
将式子化为若干个因式的乘积，这种转换往往能使复杂的运 算展开，转换为一次因式中的简单加减运
算，从而大大减化运算过程，这是等价转换的数学思想方法。
例1．计算：
(1)
22
; (2)
2
;
2
(3)202-54+256×352; (4)621-769×373-148.
222222222222
分析：此题中有181-61，319-209；17.5-9.5, 131.5-3.5; 202-54; 621-148.使我们考虑到多
项式的乘法公式：
22
(a+b)(a-b)=a-b.
22
它的逆变形是 a-b=(a+b)(a-b)
应用上述变形式，我们就可以将较为复杂的平方运算，降阶转化为简单的加、减运算和乘法运算。
解：(1)===.
(2)

=
53
==.

内部资料
(3) 202-54+256×352
=(202+54)×(202-54)+256×352
=256×148+256×352
=256×(148+352)
=256×500=128000.
22
(4)621-769×373-148.
=(621+148)×(621-148)-769×373
=769×473-769×373
=769×(473-373)
=769×100=76900.
通过例1，我们不难得出解此类题目的方法：（1）逆用平方差公式，化平方运算为乘法运算；
（ 2）约分化简或提取因数结合运算求值。同时，例1也反映出分解因式的方法，在简化运算时的重
要性。
1
例2．求证：(1) 7-7-7=7×41; (2) 10+10+10=5×10×222; (3) 25-5能被120整除；
7913
(4)81-27-9能被45整除
分析：根据乘法的分配律、对多项式运算有 m(a+b+c)=ma+mb+mc,
反过来，我们可以得到 ma+mb+mc=m(a+b+c).
应用上述结论，能够恰到好处的达到降低次数，解决本例问题的目的。
109882
解：∵(1) 7-7-7=7×(7-7-1)
88
=7×(49-8)=7×41,
10988
∴7-7-7=7×41.
98772
(2)∵ 10+10+10=10×(10+10+1)
76
=10×(100+11)=10×10×111
6
=5×10×222
9876
∴10+10+10=5×10×222.
7122712
(3)∵25-5=(5)-5
1412113
=5-5=5×(5-5)
1111
=5×(125-5)=5×120,
712
∴25-5能被120整除；
79134739213
(4)∵81-27-9=(3)-(3)-(3)
28272624432
=3-3-3=3×(3-3-3)
2424
=3×(81-27-9)=3×45,
7913
∴81-27-9能被45整除.
通过例2，我们可以看出，解决此类整除问题的主要思路是：（1）提取适当的因数；
（2）将提取因数后的其他数的代数和化简，得到我们能够说明问题的结论，从而解决问题。
22
例3．已知a=
2
, b=
2
, 求(a+b)-(a-b)的值。
22
解：(a+b)-(a-b)
=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
=2a·2b=4ab,
∴(a+b)-(a-b)=4×
22
×=.
例4．解方程：
22
(1)(65x+63)-(65x-63)=260; (2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78).

54

内部资料
解：(1)逆用平方差公式，把原方程化为其等价形式
[(65x+63)-(65x-63)][(65x+63)+(65x-63)]=260,
即126×130x=260, ∴ x=.
(2)原方程可化为 (78x+77)(77x-78)-(78x+77)(77x+78)=0,
即-78×2×(78x+77)=0,
78x+77=0, ∴ x=-.
通过例4可见，应用等价转化思想来因式分解，往往可以将较高次的方程，巧妙转化为最简方程，从
而求 出方程的根。
48
例5．（2-1）可以被60与70之间的两个数整除，这两个数是（ ）
A、61,63 B、61,65 C、63,65 D、63,67
482424
解：2-1=(2+1)(2-1)
241212
=(2+1)(2+1)(2-1)
241266
=(2+1)(2+1)(2+1)(2-1),
66
∵ 2+1=65, 2-1=63.
∴ 应选C。
课外拓展
立方和立方差公式
立方和立方差公式是旧教材中的必学内容，但新教材已经将这两个公式删去，现我们做简单的讲解，
让同 学们对立方和差公式有所了解！
内容：立方和与立方差公式：
2233
(a＋b)(a－ab＋b)＝a+b
2233
(a－b)(a＋ab＋b)＝a-b
把这两式反过来，就得到
3322
a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)
3322
a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)
其特点是：等号左边是两数 的立方和（或差），等号右边是二数和（或差）与一个三项式的积，三项
式中有两项为这两数的平方，另 一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号相反。
运用这两个公式，可以把形式是立方和（或差）的多项式分解因式。
例1 把下列多项式分解因式
33
（1）a＋8； （2）27－8y
333222
解：（1）a＋8=a+2=（a+2）(a-2a+2)=(a+2)( a-2a+4)
333222
（2）27－8y=3-(2y)=(3-2y)[(3+6y+(2y ))]=(3-2y)(9+6y+4y)
43
例2.（1999福建）x-xy=________.
433322
答案： x-xy=x(x-y)=x(x-y)(x+xy+y)
评析思路：先观察多项式的特征，主要 看它的项数、次数，然后尝试选择因式分解的方法，此题根据
题目的特点，首先要采用提公因式法，然后 利用公式法进行最后分解。
小结：运用立方和公式与立方差公式分解因式，一定要记住公式的结构 特点和应用条件，不要把因式
中的符号和系数搞错了。
在线测试
选择题
A组
1、下列各式从左到右的变形错误的是（ ）。

55

内部资料
(A)(y-x)=(x-y)
22
(B)-a-b=-(a+b) (C)(a-b)=-(b-a)
33
D)-m+n=-(m+n)
2、下列各式是完全平方式的是（ ）。
（A）x+2xy+4y （B）25a+10ab+b
2
3、(x+y)+6(x+y)+9的分解结果为
（A）、(x+y-3)
2
2 2
2222
（C）p+pq+q
22
（D）m-2mn+
2
n
2
（B）、(x+y+3) （C）、(x-y+3)
2
（D）、(x-y-3)
2
4、-1+0.09x分解因式的结果是（ ）。
（A）（-1+0.3x）
2
（B）(0.3x+1)(0.3x-1) (C)不能进行 （D）
(0.09x+1)(0.09x-1).
224
5、49a-112ab+64b因式分解为（ ）
（A）(7a-8b)
2
（B）(7a-8b)(7a+8b)
22
（C）(7a-8b)
2 2
（D）(7a+8b)
22
B组
20001999
1、（-2）+（-2）分解因式后是（ ）
（A）-2
2
（B） （-2）
1999
（C）（-2）
2000
（D）2
1999

2、已知多项式x-2x+k中有因式x-1,则k值为（ ）
（A）-3 （B）1 （C）-1 （D）不能确定
A组答案：1、D 2、B 3、B． 4、B 5、C
B组答案：1、（D） 2、（B）
解：（1）用直接法
20001999
∵（-2）+（-2）
1999
=（-2）[（-2）+1]
19991999
=（-1）·2·（-1）
20001999
=（-1）·2
1999
=2
故本题应选（D）。
因式分解——分组分解法
一、分组分解法分解因式的意义
我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取 公因式法和运用公式法进行分解，然
后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解 出最后结果。这种分解因式的方法叫
做分组分解法。
二、学习指导：
如 果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组
的方法 分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以
应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进
行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能 够分解，从而达到整个多项式因式分解
的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时 要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，
分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习 ，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

56

内部资料
三、例题分析
222
例1、分解因式：（1）2x+2xy-3x-3y (2)a-b+4a-4b
22232
(3)4x-9y-24yz-16z (4)x-x-x+1
分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3， 分别把它们提出来，剩下的是相同因式
（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y 的项分在一组。如下面法（二）解法。
2
解(一)2x+2xy-3x-3y
2
=(2x+2xy)-(3x+3y)
=2x(x+y)-3(x+y)
=(x+y) (2x-3)
2
解(二)2x+2xy-3x-3y
2
=(2x-3x)+(2xy-3y)
=x(2x-3)+y(2x-3)
=(2x-3)(x+y)
说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成
比例，分别为1：1和2：（-3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。
2
(2)分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即a+4a=a(a+4)，含有b的项
222
一组即-b-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可 提，不可再分解下去。可先将a-b一组应用
平方差公式，再提出因式。
22
解：a-b+4a-4b
22
=(a-b)+(4a-4b)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b) (a+b+4)
2222
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x-9y一组应用平方差公式，或者将 4x-16z一组应用平方差公
式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方 公式，将此题二、三、四项分组
先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
222
解：4x-9y-24yz-16z
222
=4x-(9y+24yz+16z)
22
=(2x)-(3y+4z)
=(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)
(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
32
法（一）x-x-x+1
32
=(x-x)-(x-1)
2
=x(x-1)-(x-1)
2
=(x-1)(x-1)
=(x-1)(x+1)(x-1)
2
=(x+1)(x-1)
32
法（二）原式=(x-x)-(x-1)
22
=x(x-1)-(x-1)
2
=(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
2
=(x+1)(x-1)
说明：分组时，不仅要注意各项 的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步
分解的预测，如下一步是提公因式还 是应用公式等。
说明：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取 公因式，一般将四项式两项两项分成两
组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组 之间仍有公因式可提，如例1（1）题的
两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之 间的公因式。如例1的（2）题、（4）题。

57

内部资料 若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例1中的（3）题。
22
例2、分解因式：（1）m+n-2mn+n-m
22
分析：此题还是一个五项式，其中m-2mn +n是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提
取，因而可采用三项、二项分组。
22
解：m+n-2mn+n-m
22
=(m-2mn+n)-(m-n)
2
=(m-n)-(m-n)
=(m-n)(m-n-1)
22222
例3．分解因式:(1)x-y-z-2yz+1-2x (2)x-6xy+9y-10x+30y+25
2222
(3)a-ab+ab-a+b-b
222
分析：此题是一个六项式，经过分析可采用三项，三项分组，x-2x+1一组，-y-2yz- z一组，分别用
完全平方公式后再用平方差公式分解。
222
解：x-y-z-2yz+1-2x
222
=(x-2x+1)-(y+2yz+z)
22
=(x-1)-(y+z)
=(x-1+y+z)(x-1-y-z)
22
分析(2)：此题也是 六项式，前三项是(x-3y)，而最后一项是5，中间两项恰巧能分解成-2·5(x-3y)，
所以 可以用完全平方公式来分解。
22
解：x-6xy+9y-10x+30y+25
222
=(x-6xy+9y)-10x+30y+5
22
=(x-3y)-2·(x-3y)·5+5
2
=(x-3y-5)
（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，
各 自提取公因式，再提取三组间的公因式。
2222
解：a-ab+ab-a+b-b
2222
=(a-b)-(ab-ab)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a+b-ab-1)
=(a-b)[(b-1)-a(b-1)]
=(a-b)(b-1)(1-a)
说明：此题分解到(a-b)(a+b-ab-1)时要用 观察提取公因式的剩余因式(a+b-ab-1)是否能再分解因式。
因为它又是四项式，不能应用公式 和提取公因式可再考虑分组分解法采用二项二项分组法再提取公因式。
3222222
例4．分解因式：（1）3x+6xy-3xz-6xyz (2)ab(c+d)+cd(a+b)
22222
(3)(ax+by)+(bx-ay) (4)a-4ab+3b+2bc-c
分析：此题是四项式，这四项中有公因式3x应先提取公因式再将剩余因式进行二、二分组。
322
解: 3x+6xy-3xz-6xyz
2
=3x(x+2xy-xz-2yz)
2
=3x[(x+2xy)-(xz+2yz)]
=3x[x(x+2y)-z(x+2y)]
=3x[(x+2y) (x-z)]
=3x(x+2y)(x-z)
(2)分析：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。
2222
解：ab(c+d)+cd(a+b)
2222
=abc+abd+acd+bcd
2222
=(abc+acd)+(abd+bcd)

58

内部资料
=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
=(bc+ad)(ac+bd)
(3)先将括号部分分别用完全平方公式打开再分组分解。
22
解：(ax+by)+(bx-ay)
22222222
=ax+2abxy+by+bx-2abxy+ay
22222222
=ax+by+bx+ay
22222222
=(ax+bx)+(by+ay)
222222
=x(a+b)+y(a+b)
2222
=(a+b)(x+y)
222
（4）分析：将3b变形为4b-b再分组进行。
222
解：a-4ab+3b+2bc-c
2222
=a-4ab+4b-b+2bc-c
2222
=(a-4ab+4b)-(b-2bc+c)
22
=(a-2b)-(b-c)
=(a-2b+b-c)(a-2b-b+c)
=(a-b-c)(a-3b+c)
说明：（4）题在分组前先采用了拆项后再重新分组，达到提取公因式的目的。
四．注意问题提示：
分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解。
对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项结组都可达到目的，分组要注意合理
性， 四项式中的另一种三项，一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而剩下的一项必须能
写成 代数式的平方，且又与完全平方公式符号相反，则得到的形式，再用平方差
公式分解。
五项式一般采用三项、两项分组；六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组。
原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解。
中考解析
分组分解法
考点讲解
分组分解法即把这个多项式分成几组，先对各组 分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分
解。运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后 能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）
来分解，难点是恰当地分组。
分组 分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌握分组的原
则：1． 分组后有公因式可提，且每组之间又有公因式可提；2．分组后能用公式分解，且以后每组之间又
能应用 公式或提公因式分解。
运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：
方法一：分组后能提取公因式
1．按字母分组
例如：分解因式：ax+ay+ bx+by可以按某一字母为准分组，若按含有字母a的分为一组，含有字母b
的分为一组，即ax+a y+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+ y)。
2．按系数分组
2
例如：分解因式：a-ab+3b-3a，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即
22
1:(-1)=3:(-3)，则a- ab+3b-3a=(a-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。
3．按次数分组

59

内部资料
例如：分解因式：x+x+x-y-y-y，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数3322
分组为：(x-y)+(x-y)+(x-y)
方法二：分组后能运用公式
222
例如：x-2xy+y-z
222
可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)。而(x-y )-z又是平方差形式的多
项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组
2
例如：分解因式4x+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。
222
4x+3y-x(3y+4)=4x+3y-3xy-4x=(4x-4x)+(3 y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。
考题例析
1．（福州市）分解因式：am+an-bm-bn= .
考点：分组分解法。
评析：用分组法可直接提公因式法分解因式，注意括号法则的应用。
答案：(a-b)(m+n)
2．（上海市）分解因式：
考点：用分组分解法分解因式
= .
3232
评析：因此题是四项多项式，所以用分组分解法，而分组分解法有

通过认真观察不难看出运用分组后，提公因式法即可解决此题。
答案：(x-y)(x+y-1)
3．（北京市海淀区）分解因式：

两种方法，
。
考点：因式分解中的分组分解法。
评析：因为 多项式是四项，一般方法是分组提公因式（两项结合）或分组用公式（三项结合），本题
是三项结合后再 用平方差公式。
答案：(x-3+y)(x-3-y)
22
4．（四川省）把多项式2xy-x-y+1分解因式的结果是
（A）(x-y+1)(y-x+1) （B）(x+y-1)(y-x-1) （C）(x+y-1)(x-y+1) （D）(x-y+1)(x-y-1)
答案：A
考点：分组分解法。
22
评析：首先根据四项式决定分组分解法，其次由 于含有x，y和xy项（另一个为常数项），想到分
组后用公式法，即三项与一项分组。
注：因式分解后，将因式各项符号与选项因式对比，若提取负号后，能与选项因式完全相同，其结果
不变 的，该选项为答案或将每一个选项展开转化为多项式判断也可。
2
5.（河北省）分解因式:x-xy+xz-yz= .
考点：分组提公因式法分解因式
评析：对于四项多项式的因式分解一般采用分组提公因式或分组 运用公式进行分解。解题前要认真观
察选择正确的方法，该题运用分组提公因式法。
答案：(x-y)(x+z)
6．（安徽省）将mn-m-n+1分解因式的结果是 .
考点：分组分解法分解因式
评析：可以前两项、后两项结合或是一三项结合、二四项结合，可以达到分解的目的。
答案：(m-1)(n-1)

60

内部资料
注 意：从历年来各地中考试题中不难发现，因式分解都是一个出现频率很高的考点，进行因式分解的
关键是 根据多项式的形式特点迅速恰当地选择分解方法。一般地，二项式的分解方法有两种：提公因式法
和公式 法；二次三项式可采用公式法。四项式、五项式基本上采用分组分解法。掌握上述规律，可准确、
迅速地 选择分解方法，提高解题速度。
7．（天津市）分解因式：am+bm+a+b= .
考点：分组提公因式法分解因式
评析：该题可以一二两项一组然后提公因式 也可，一三项、二四项结合提公因式即可分解，对于四项
多项式一般有分组提公因式和分组运用公式两种 方法，要具体问题具体分析选择正确的方法。
答案：(a+b)(m+1)
3223
8.（荆州）分解因式：x-xy-xy+y
考点：分组分解法
22
分析：注意到一、二项有公因式x，三、四项有因式y, 提取后，又产生公因式(x-y)
3223
解：x-xy-xy+y
3223
=(x-xy)-(xy-y)
22
=x(x-y)-y(x-y)
22
=(x-y)(x-y)
2
=(x-y)(x+y).
课外拓展
十字相乘法












一、十字相乘法分解因式的意义：
利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
2
(1)∵(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
2
∴x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 如图(1)
2
( 2)又∵(a
1
x+c
1
)(a
2
x+c
2
)=a
1
a
2
x+(a
1
c
2
+a2
c
1
)x+c
1
c
2

2
∴a
1
a
2
x+(a
1
c
2
+a
2
c
1
)x+c
1
c
2
=(a
1
x+c
1
)(a
2
x+c
2
) 如图(2)

2

二、十字相乘法能把某些二次三项式ax+bx+c(a≠0)分解因式 。这种方法的关健是把二次项的系数a
分解成两个因数a
1
,a
2
的 积a
1
·a
2
，把常数项c分解成两个因数c
1
,c
2
的积c
1
·c
2
，并使a
1
c
2+a
2
c
1
正好是一次
2
项系数b，那么可以直接写成 结果：ax+bx+c=(a
1
x+c
1
)(a
2
x+c< br>2
),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，
尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆 过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系
数的符号。
三、例题分析：
例1．把下列各式分解因式：
22
(1)x+2x-15 (2)x-6x+8
(1)分析：常数项(-15)<0，可分 解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，
或(1)(-15)或(3)
(-5)或( -3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。在分解时，可用下面
的式子进行验算。

61

内部资料


说明：在 竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1时，会出
现错误的。
(2)分析:常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，
8=(-1)(- 8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)。其中只有(-2)与-4的和为-6。
2
解：x-6x+8
=(x-2)(x-4)
22
例2．把下列式子分解因式：a-5ab-24b
222
分析：把原式变形为式 a-(5b)a-24b，即把-5b看作a的系数，把-24b看作
常数项，这样可将原式看成a的二 次三项式，用十字相乘法试算。
22
解：a-5ab-24b
22
=a-(5b)a-24b
=(a+3b)(a-8b)
2222
说明：要注意避免a-5ab -24b=(a+3)(a-8)这类的错误，也要避免a-5ab-24b=(a+8b)(a-3b)的错误 。
2
例3．分解因式：(1)(x+y)+2(x+y)-24
分析 ：把(x+y)看成一个整体，这样，这个多项式就是关于(x+y)的二次
三项式，很容易依照前面的 方法分解：
2
解：(x+y)+2(x+y)-24
=[(x+y)+6][(x+y)-4]
=(x+y+6)(x+y-4)
424224
例4．分解因式：(1)x-3x-4 (2)x-10xy+9y
2222
(1)分析：把原式写成(x)-3(x)-4，它仍旧是x的二次三项式，
可以用十字相乘法分解。-4=(-4) ×1而-3=-4+1。
42
解：x-3x-4
222
=(x)-3(x)-4
22
=(x-4)(x+1)
2
=(x+1)(x+2)(x-2)
2222222
(2)分析：原式可变形为(x)-10y(x)+9(y)即可看成x的二次
三项式，再采用十字相乘法分解因式。
4224
解：x-10xy+9y
222222 2222
=(x)-10y(x)+9(y) =(x-y)(x-9y)
=(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)
2222
说明：十字相乘法应用后原式为(x-y)(x-9y)要再对它进行分
解；两个因式都分别应用平方差公式即可。
22
例5．分解因式：(1)2x-5x-3 (2)5x-21x+18
(1)分析：我们要 把这个多项式分解成形如(a
1
x+c
1
)·(a
2
x+c
2
)的形式，这里的
a
1
a
2
= 2,c
1
c
2
=-3,

62

内部资料
a
1
c
2
+a
2
c
1
=-5, 由十字相乘法竖式可知关健问题在于确定二次项系数2的两个因数a
1
和a
2
和常数项
-3的两个因数c
1
,c
2
。二次项系数2可分解为2×1 ，常数项-3<0可分解两个异号整数的积即为(-3)×(1)，
3×(-1), 最后考虑一次项系 数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关健，因为-5<0，所以a
1
c
2
+a
2
c
1
<0而
a
1
>0,a
2
>o,所以c
1
,c
2
的寻找就相对容易了。
2
解：2x-5x-3
=(x-3)(2x+1)
说明： 通过十字相乘的验算竖式后写结果时要横向写，不要对角写结论，注意避免出现
2
2x-5x- 3=(x+1)(2x-3)这样的错误。
(2)分析：因为二次项系数为质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，再分解常数项18，18>0
∴18=(1)(18),18=(-1)(-18),18=2×9,18=(-2)(-9), 18=3×6, 18=(-3)(-6).
根据一次项系数为-21，所以只可选用(-3)(-6)
2
解：5x-21x+18
=(x-3)(5x-6)
22
例9．分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3
22
分析：此题是一个六项式， 可采用三、二、一分组法，分成三大项,将齐次项x+3xy+2y分为一组，
先进行十字相乘为(x+ y)(x+2y)，再与4x+5y+3用十字相乘法再分解一次，这样的分解也可称为“双十字
相乘法 ”。
22
解：x+3xy+2y+4x+5y+3
=(x+y)(x+2y)+4x+5y+3
=(x+y+1)(x+2y+3)
四．注意问题提示：
1．对所给的多项式应先整理，包括去括号，按某一字母的降
幂排列等。
2．因式分解时首先考虑公因式的提取。
3．使用十字相乘法分解因式时，务必注意各项系数的 符号，掌握同号、异号两数相乘相加的法则，
符号规律。
4．要能灵活地运用提取公因 式、公式法、分组分解法、十字相乘法进行多项式的因式分解，有时，
各种方法交替进行，反复使用。
因式分解——分组分解法
一、分组分解法分解因式的意义
我们把被分 解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然
后，综合起来， 再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫
做分组分解法。
二、学习指导：
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式 ，那么这个多项式就可以用分组
的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不 是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以
应用基本方法分解的 结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进
行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解
的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性 ，
分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧 。
三、例题分析

63

内部资料
例1、分解因式：（1）2x+2xy-3x-3y (2)a-b+4a-4b
22232
(3)4x-9y-24yz-16z (4)x-x-x+1
分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因 式
（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法 。
2
解(一)2x+2xy-3x-3y
2
=(2x+2xy)-(3x+3y)
=2x(x+y)-3(x+y)
=(x+y) (2x-3)
2
解(二)2x+2xy-3x-3y
2
=(2x-3x)+(2xy-3y)
=x(2x-3)+y(2x-3)
=(2x-3)(x+y)
说明：解 法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成
比例，分别为 1：1和2：（-3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。
2
(2)分析：若将此题 按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即a+4a=a(a+4)，含有b的项
222
一组即-b-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。 可先将a-b一组应用
平方差公式，再提出因式。
22
解：a-b+4a-4b
22
=(a-b)+(4a-4b)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b) (a+b+4)
2222
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x-9y一组应用平方差公式，或者将 4x-16z一组应用平方差公
式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方 公式，将此题二、三、四项分组
先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
222
解：4x-9y-24yz-16z
222
=4x-(9y+24yz+16z)
22
=(2x)-(3y+4z)
=(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)
(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
32
法（一）x-x-x+1
32
=(x-x)-(x-1)
2
=x(x-1)-(x-1)
2
=(x-1)(x-1)
=(x-1)(x+1)(x-1)
2
=(x+1)(x-1)
32
法（二）原式=(x-x)-(x-1)
22
=x(x-1)-(x-1)
2
=(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
2
=(x+1)(x-1)
说明：分组时，不仅要注意各项 的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步
分解的预测，如下一步是提公因式还 是应用公式等。
说明：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取 公因式，一般将四项式两项两项分成两
组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组 之间仍有公因式可提，如例1（1）题的
两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之 间的公因式。如例1的（2）题、（4）题。
222

64

内部资料
若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平 方公式再应用平方差公式。如例1中
的（3）题。
22
例2、分解因式：（1）m+n-2mn+n-m
22
分析：此题还是一个五项式，其中m-2mn +n是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提
取，因而可采用三项、二项分组。
22
解：m+n-2mn+n-m
22
=(m-2mn+n)-(m-n)
2
=(m-n)-(m-n)
=(m-n)(m-n-1)
22222
例3．分解因式:(1)x-y-z-2yz+1-2x (2)x-6xy+9y-10x+30y+25
2222
(3)a-ab+ab-a+b-b
222
分析：此题是一个六项式，经过分析可采用三项，三项分组，x-2x+1一组，-y-2yz- z一组，分别用
完全平方公式后再用平方差公式分解。
222
解：x-y-z-2yz+1-2x
222
=(x-2x+1)-(y+2yz+z)
22
=(x-1)-(y+z)
=(x-1+y+z)(x-1-y-z)
22
分析(2)：此题也是 六项式，前三项是(x-3y)，而最后一项是5，中间两项恰巧能分解成-2·5(x-3y)，
所以 可以用完全平方公式来分解。
22
解：x-6xy+9y-10x+30y+25
222
=(x-6xy+9y)-10x+30y+5
22
=(x-3y)-2·(x-3y)·5+5
2
=(x-3y-5)
（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，
各 自提取公因式，再提取三组间的公因式。
2222
解：a-ab+ab-a+b-b
2222
=(a-b)-(ab-ab)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a+b-ab-1)
=(a-b)[(b-1)-a(b-1)]
=(a-b)(b-1)(1-a)
说明：此题分解到(a-b)(a+b-ab-1)时要用 观察提取公因式的剩余因式(a+b-ab-1)是否能再分解因式。
因为它又是四项式，不能应用公式 和提取公因式可再考虑分组分解法采用二项二项分组法再提取公因式。
3222222
例4．分解因式：（1）3x+6xy-3xz-6xyz (2)ab(c+d)+cd(a+b)
22222
(3)(ax+by)+(bx-ay) (4)a-4ab+3b+2bc-c
分析：此题是四项式，这四项中有公因式3x应先提取公因式再将剩余因式进行二、二分组。
322
解: 3x+6xy-3xz-6xyz
2
=3x(x+2xy-xz-2yz)
2
=3x[(x+2xy)-(xz+2yz)]
=3x[x(x+2y)-z(x+2y)]
=3x[(x+2y) (x-z)]
=3x(x+2y)(x-z)
(2)分析：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。
2222
解：ab(c+d)+cd(a+b)
2222
=abc+abd+acd+bcd
2222
=(abc+acd)+(abd+bcd)

65

内部资料
=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
=(bc+ad)(ac+bd)
(3)先将括号部分分别用完全平方公式打开再分组分解。
22
解：(ax+by)+(bx-ay)
22222222
=ax+2abxy+by+bx-2abxy+ay
22222222
=ax+by+bx+ay
22222222
=(ax+bx)+(by+ay)
222222
=x(a+b)+y(a+b)
2222
=(a+b)(x+y)
222
（4）分析：将3b变形为4b-b再分组进行。
222
解：a-4ab+3b+2bc-c
2222
=a-4ab+4b-b+2bc-c
2222
=(a-4ab+4b)-(b-2bc+c)
22
=(a-2b)-(b-c)
=(a-2b+b-c)(a-2b-b+c)
=(a-b-c)(a-3b+c)
说明：（4）题在分组前先采用了拆项后再重新分组，达到提取公因式的目的。
四．注意问题提示：
分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解。
对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项结组都可达到目的，分组要注意合理
性， 四项式中的另一种三项，一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而剩下的一项必须能
写成 代数式的平方，且又与完全平方公式符号相反，则得到的形式，再用平方差
公式分解。
五项式一般采用三项、两项分组；六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组。
原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解。
中考解析
分组分解法
考点讲解
分组分解法即把这个多项式分成几组，先对各组 分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分
解。运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后 能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）
来分解，难点是恰当地分组。
分组 分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌握分组的原
则：1． 分组后有公因式可提，且每组之间又有公因式可提；2．分组后能用公式分解，且以后每组之间又
能应用 公式或提公因式分解。
运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：
方法一：分组后能提取公因式
1．按字母分组
例如：分解因式：ax+ay+ bx+by可以按某一字母为准分组，若按含有字母a的分为一组，含有字母b
的分为一组，即ax+a y+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+ y)。
2．按系数分组
2
例如：分解因式：a-ab+3b-3a，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即
22
1:(-1)=3:(-3)，则a- ab+3b-3a=(a-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。
3．按次数分组

66

内部资料
例如：分解因式：x+x+x-y-y-y，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数3322
分组为：(x-y)+(x-y)+(x-y)
方法二：分组后能运用公式
222
例如：x-2xy+y-z
222
可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)。而(x-y )-z又是平方差形式的多
项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组
2
例如：分解因式4x+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。
222
4x+3y-x(3y+4)=4x+3y-3xy-4x=(4x-4x)+(3 y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。
考题例析
1．（福州市）分解因式：am+an-bm-bn= .
考点：分组分解法。
评析：用分组法可直接提公因式法分解因式，注意括号法则的应用。
答案：(a-b)(m+n)
2．（上海市）分解因式：
考点：用分组分解法分解因式
= .
3232
评析：因此题是四项多项式，所以用分组分解法，而分组分解法有

通过认真观察不难看出运用分组后，提公因式法即可解决此题。
答案：(x-y)(x+y-1)
3．（北京市海淀区）分解因式：

两种方法，
。
考点：因式分解中的分组分解法。
评析：因为 多项式是四项，一般方法是分组提公因式（两项结合）或分组用公式（三项结合），本题
是三项结合后再 用平方差公式。
答案：(x-3+y)(x-3-y)
22
4．（四川省）把多项式2xy-x-y+1分解因式的结果是
（A）(x-y+1)(y-x+1) （B）(x+y-1)(y-x-1)
（C）(x+y-1)(x-y+1) （D）(x-y+1)(x-y-1)
答案：A
考点：分组分解法。
22
评析：首先根据四项式决定分组分 解法，其次由于含有x，y和xy项（另一个为常数项），想到分
组后用公式法，即三项与一项分组。
注：因式分解后，将因式各项符号与选项因式对比，若提取负号后，能与选项因式完全相同，其结果
不变的，该选项为答案或将每一个选项展开转化为多项式判断也可。
2
5.（河北省）分解因式:x-xy+xz-yz= .
考点：分组提公因式法分解因式
评析：对于四项多项式的因式分解一般采用分组提公因式或分组 运用公式进行分解。解题前要认真观
察选择正确的方法，该题运用分组提公因式法。
答案：(x-y)(x+z)
6．（安徽省）将mn-m-n+1分解因式的结果是 .
考点：分组分解法分解因式
评析：可以前两项、后两项结合或是一三项结合、二四项结合，可以达到分解的目的。
答案：(m-1)(n-1)

67

内部资料
注 意：从历年来各地中考试题中不难发现，因式分解都是一个出现频率很高的考点，进行因式分解的
关键是 根据多项式的形式特点迅速恰当地选择分解方法。一般地，二项式的分解方法有两种：提公因式法
和公式 法；二次三项式可采用公式法。四项式、五项式基本上采用分组分解法。掌握上述规律，可准确、
迅速地 选择分解方法，提高解题速度。
7．（天津市）分解因式：am+bm+a+b= .
考点：分组提公因式法分解因式
评析：该题可以一二两项一组然后提公因式 也可，一三项、二四项结合提公因式即可分解，对于四项
多项式一般有分组提公因式和分组运用公式两种 方法，要具体问题具体分析选择正确的方法。
答案：(a+b)(m+1)
3223
8.（荆州）分解因式：x-xy-xy+y
考点：分组分解法
22
分析：注意到一、二项有公因式x，三、四项有因式y, 提取后，又产生公因式(x-y)
3223
解：x-xy-xy+y
3223
=(x-xy)-(xy-y)
22
=x(x-y)-y(x-y)
22
=(x-y)(x-y)
2
=(x-y)(x+y).
课外拓展
十字相乘法












一、十字相乘法分解因式的意义：
利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
2
(1)∵(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
2
∴x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 如图(1)
2
( 2)又∵(a
1
x+c
1
)(a
2
x+c
2
)=a
1
a
2
x+(a
1
c
2
+a2
c
1
)x+c
1
c
2

2
∴a
1
a
2
x+(a
1
c
2
+a
2
c
1
)x+c
1
c
2
=(a
1
x+c
1
)(a
2
x+c
2
) 如图(2)

2

二、十字相乘法能把某些二次三项式ax+bx+c(a≠0)分解因式 。这种方法的关健是把二次项的系数a
分解成两个因数a
1
,a
2
的 积a
1
·a
2
，把常数项c分解成两个因数c
1
,c
2
的积c
1
·c
2
，并使a
1
c
2+a
2
c
1
正好是一次
2
项系数b，那么可以直接写成 结果：ax+bx+c=(a
1
x+c
1
)(a
2
x+c< br>2
),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，
尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆 过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系
数的符号。
三、例题分析：
例1．把下列各式分解因式：
22
(1)x+2x-15 (2)x-6x+8
(1)分析：常数项(-15)<0，可分 解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)( 5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。在分解时，可用下面的式子进行验算。

68

内部资料


说明：在竖式验算后 写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1时，会出
现错误的。
(2)分析:常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4， 8=(-2)(-4)。
其中只有(-2)与-4的和为-6。
2
解：x-6x+8
=(x-2)(x-4)
22
例2．把下列式子分解因式：a-5ab-24b
222
分析：把原式变形为式 a-(5b)a-24b，即把-5b看作a的系数，把-24b
看作常数项，这样可将原式看成a的二 次三项式，用十字相乘法试算。
22
解：a-5ab-24b
22
=a-(5b)a-24b
=(a+3b)(a-8b)
2222
说明：要注意避免a-5ab -24b=(a+3)(a-8)这类的错误，也要避免a-5ab-24b=(a+8b)(a-3b)的错误 。
2
例3．分解因式：(1)(x+y)+2(x+y)-24
分析 ：把(x+y)看成一个整体，这样，这个多项式就是关于(x+y)的二次三项式，很
容易依照前面的 方法分解：
2
解：(x+y)+2(x+y)-24
=[(x+y)+6][(x+y)-4]
=(x+y+6)(x+y-4)
424224
例4．分解因式：(1)x-3x-4 (2)x-10xy+9y
2222
(1)分析：把原式写成(x)-3(x)-4，它仍旧是x的二次三项式，
可以用十字相乘法分解。-4=(-4) ×1而-3=-4+1。
42
解：x-3x-4
222
=(x)-3(x)-4
22
=(x-4)(x+1)
2
=(x+1)(x+2)(x-2)
2222222
(2)分析：原式可变形为(x)-10y(x)+9(y)即可看成x的二次
三项式，再采用十字相乘法分解因式。
4224
解：x-10xy+9y
222222 2222
=(x)-10y(x)+9(y) =(x-y)(x-9y)
=(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)
2222
说明：十字相乘法应用后原式为(x-y)(x-9y)要再对它进行分
解；两个因式都分别应用平方差公式即可。
22
例5．分解因式：(1)2x-5x-3 (2)5x-21x+18
(1)分析：我们要 把这个多项式分解成形如(a
1
x+c
1
)·(a
2
x+c
2
)的形
式，这里的a
1
a
2
= 2,c
1
c
2
=-3,

69

内部资料
a
1
c
2
+a
2
c
1
=-5, 由十字相乘法竖式可知关健问题在于确定二次项系数2
的两个因数a
1
和a
2
和常数项-3的两个因数c
1
,c
2
。二次项系数2可分解为2×1 ，
常数项-3<0可分解两个异号整数的积即为(-3)×(1)，3×(-1), 最后考虑一次项系数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关健，因为-5<0，所以a
1
c
2
+a
2
c
1
<0
而a
1
>0,a
2
>o,所以c
1
,c
2
的寻找就相对容易了。
2
解：2x-5x-3
=(x-3)(2x+1)
说明：通过十字相乘的验算竖式后写结果时要横向写，不要对角写结论，
2
注意避 免出现2x-5x-3=(x+1)(2x-3)这样的错误。
(2)分析：因为二次项系数为 质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，
再分解常数项18，18>0
∴18=(1)(18),18=(-1)(-18),18=2×9,18=(-2)(-9), 18=3×6, 18=(-3)(-6).
根据一次项系数为-21，所以只可选用(-3)(-6)
2
解：5x-21x+18
=(x-3)(5x-6)
22
例9．分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3
22
分析：此题是一个六项式， 可采用三、二、一分组法，分成三大项,将齐次项x+3xy+2y分为一组，
先进行十字相乘为(x+ y)(x+2y)，再与4x+5y+3用十字相乘
法再分解一次，这样的分解也可称为“双十字相乘法 ”。
22
解：x+3xy+2y+4x+5y+3
=(x+y)(x+2y)+4x+5y+3
=(x+y+1)(x+2y+3)
四．注意问题提示：
1．对所给的多项式应先整理，包括去括号，按某一字母的降幂排列等。
2．因式分解时首先考虑公因式的提取。
3．使用十字相乘法分解因式时，务必注意各项系数的 符号，掌握同号、异号两数相乘相加的法则，
符号规律。
4．要能灵活地运用提取公因 式、公式法、分组分解法、十字相乘法进行多项式的因式分解，有时，
各种方法交替进行，反复使用。
在线测试
A组选择题（每小题１４分）
2
1．用分组分解法分解多项式x-mx-nx+mn分组正确的是（ ）




A、(x-mx-nx)+mn
B、(x-mx)-(nx+mn)
C、(x+mn)-(mx+nx)
D、(x-nx)-(mx-mn)
2
2
2
2

70

内部资料
2．用分组分解法分解多项式a
2
-b
2
+b-，分组正确的是（ ）
A、(a
2
-b
2
)+(b-) B、(a
2
-)-(b
2
-b)
C、a
2
-(b
2
-b+) D、a
2
-(b
2
+b-)
3．将多项式a
2b
2
-a
2
-b
2
+1分解因式，其中正确的是（ ）
A、(ab+1)(ab-1)
B、(a
2
-1)(b
2
-1)
C、(a
2
+1)(b
2
+1)
D、(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)
4．在多项式 1. x
2
+2xy-y
2
+z
2
2. x
2
-y
2
+2x+1 3. 1-x
2
-2xy-y
2

用一项一组和三项一组分组方法分解因式的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5．下列因式分解中，不正确的是（ ）
A、x< br>4
-16y
4
=(x-2y)(x+2y)(x
2
+4y2
) B、ax+ay-bx-by=(a-b)(x+y)
C、1-a
2
-b
2
+2ab=(1+a-b)(1-a+b) D、1-x
2
-2xy-y
2
=(x+y+1)(x+y-1)
B组选择题（每小题１５分）
1、把9-x
2
+12xy-36y
2
分解因式为：
A、(x-6y+3)(x-6y-3) B、-(x-6y+3)(x-6y-3)
C、-(x-6y+3)(x+6y-3) D、-(x-6y+3)(x-6y+3)
2、若 a
2
+a=-1,则a
4
+2a
3
-3a
2
-4a+3的值为（ ）
A、7 B、8 C、10 D、－11
答案与解析
A组答案：1.D 2.C 3.D 4.B 5.D B组答案：1.B 2.B
B组解析：
1、原式=9-(x
2
-12xy+36y
2
)
=9-(x-6y)
2

=(3+x-6y)(3-x+6y)
答案中无此选项，将上式变形为-(x-6y+3)(x-6y-3)
2、方法一：拆项法
a
4
+2a
3
-3a
2
-4a+3
=a< br>4
+a
3
+a
3
+a
2
-4a
2< br>-4a+3
=a
2
(a
2
+a)+a(a
2
+a)-4(a
2
+a)+3
=-a
2
-a+4+3
=-(a
2
+a)+7

71
4. 4x
2
-2xy+y
2
-z
2
中，能

内部资料










=8
方法二：降次法
22
因为a+a=-1，所以a=-a-1
432
a+2a-3a-4a+3
2222
=(a)+2a·a-3a-4a+3
2
=(-a-1)+2a(-a-1)-3(-a-1)-4a+3
22
=a+2a+1-2a-2a+3a+3-4a+3
2
=-a-a+7
2
=-(a+a)+7
=8
因式分解总复习
一、知识结构
因式分解
二、注意事项：
1.因式分解与整式乘法
（1）因式分解与整式乘法互为逆运算。如


又如：


（2）什么时候用整式乘法，什么时候用因式分解，是根据需要而决 定的。如把(x-1)(x-2)-6分解因
式，必须先做乘法，得
22
(x-1)(x-2)-6=(x-3x+2)-6=x-3x-4=(x-4)(x+1)
22
又如，计算(x+y)-(x-y), 一般不是按照运算顺序先做整式乘法，而是先因式分解，得
22
(x+y)-(x-y)
=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]
=2x·2y
=4xy
2.关于因式分解的要求：
422
（1）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。例如x-1=(x +1)(x-1)，就不符合
2
因式分解的要求，因为(x-1)还能分解成(x+1)(x- 1)。
（2）在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。
3.因式分解的一般步骤：
可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。
（1）一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。
（2）二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或按

72

内部资料
x+(p+q)x+pq型分解。
（3）三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，
使 之分组后能“提”或能“套”。
（4）四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。
只有养成良好的思维习惯，解题时才能少走弯路。
因式分解综合测试
一、填空题
2
(1)x+2x-15=(x-3)( _____)
22
(2)6xy-x-5y=-(x-y)( _____).
(3) _____=(x+2)(x-3).
2
(4) 分解因式x+6x-7=_____.
2
(5)若多项式x+bx+c可分解为(x+3)(x-4), 则b=_____, c=_____.
2
(6)若x+7x=18成立，则x值为_____。
22
(7) 若x-3xy-4y=0，且x+y≠0，则x=_____.
2
(8) (x-y)+15(x-y)+14=(_____+1)(x-y+_____).
222
(9)多项式 x+3x+2, x-2x-8, x+x-2的公因式为_____。
2
(10) 已知a, b为整数，且m-5m-6=(m+a)(m+b), 则a=_____,b=_____.
二、选择题
22
(1)若x+2x+y-6y+10=0，则下列结果正确的是（ ）。
A、x=1, y=3 B、x=-1,y=-3 C、x=-1,y=3 D、x=1,y=-3
2
(2)若x- ax-15=(x+1)(x-15)，则a的值是（ ）。
A、15 B、-15 C、14 D、-14
22
(3)如果3a-b=2,那么9a-6ab+b等于（ ）。
A、2 B、4 C、6 D、8
22
(4)若x+y=4, x+y=6，则xy的值是（ ）。
A、10 B、5 C、8 D、4
222
(5)分解因式(x+2x)+2(x+2x)+1的正确结果是（ ）。
222244
A、(x+2x+1) B、(x-2x+1) C、(x+1) D、(x-1)
(6) -(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果（ ）。
22222222
A、4x-y B、4x+y C、-4x-y D、-4x+y
2
(7)若x+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值应为（ ）。
A、-5 B、7 C、-1 D、7或-1
3
(8) 已知x-12x+16有一个因式为x+4, 把它分解因式后应当是（ ）。
2222
A、(x+4)(x-2) B、(x+4)(x+x+1) C、(x+4)(x+2) D、(x+4)(x-x+1)
三、因式分解
2
(1)x(x+y+z)+yz (2) x+









2m
x+
4
m
(3) ab-a-b-4ab+1
4242
2222








(4) a(x-y)-2a(x-y)+(x-y) (5) x-6x+5 (6) x-7x+1
88222
(7)3a-48b (8) x+4y+9z-4xy-6xz+12yz
四、解答题
22
1.已知a+9b-2a+6b+2=0，求a,b的值。
432
2.求证：不论x取什么有理数，多项式-2x+12x-18x的值都不会是正数。
22
3.已知n为正整数，试证明(n+5)-(n-1)的值一定被12整除。
222
4.已知x+y=4, xy=3，求(1) 3x+3y; (2) (x-y).
222
5.设a>0, b>0, c>0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数，求证：a-b-c-2bc<0.
73
223

内部资料
五、利用因式分解计算：
22
(1) 已知长方形的周长是16cm, 它的两边长a、b是整数，满足a- b-a+2ab-b+2=0，求长方形面积。
(2)如图1，一条水渠，其横断面为梯形，根 据图中的长度，求出横断面面积的代数式，并计算出当
a=2, b=0.8时的面积。

(3) 如图2，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R=7.8cm,
r=1.1cm时剩余部分的面积（p取3.14，结果保留三位有效数字）。
答案：
一、
2
(1) x+5 (2) x-5y (3) x-x-6 (4) (x+7)(x-1) (5) -1, -12
(6) -9或2 (7) 4y (8) x-y, 14 (9) x+2 (10) -6或1，
1或-6
二、
(1) C (2) C (3) B (4) B (5) C (6) D (7) D (8) A
三、
(1) (x+y)(x+z) (2) (x+
2
m
) (3) (ab-1-a-b)(ab-1+a+b) (4) (x-y)(a-x+y)
22442222
222
(5) (x+1)(x-1)(x-5) (6) (x+3x+1)(x-3x+1) (7) 3(a+4b)(a+2b)(a-2b)
2
(8) (x-2y-3z)
四、
1、 a=1, b=-




























4

322222
2、证明： -2x+12x-18x=-2x(x-6x+9)=-2x(x-3)≤0.
22
3、证 明：(n+5)-(n-1)=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+2).
22
∴ (n+5)-(n-1)能被12整除。
4、 (1) 30 (2) 4
5、提示：将求证左边分组分解成四个整式乘积，然后利用已知条件对每个因式的符号进行讨论。
五、
(1) 由题意得
a+b=8, (a-b+1)(a-b-2)=0,
∴ a-b=-1或a-b=2.
∵ a与b是整数， ∴ a-b=-1不合题意。
∵ a-b=2, ∴ a=5, b=3.
2
∴ ab=15，即长方形的面积为15cm。
(2) 3.36
2
(3) 176cm
因式分解综合检测
1．填空（每题2分，共10分）：

74

内部资料




























(1) 用简便方法计算：565×24-435×24=( )
22
(2) 0.25x-( )y=(0.5x+4y)(0.5x-4y)
2
(3) x+ x+16=(x+ )(x+8)
22
(4) a+ab+ =( )
4488
(5) ( )( )( )(a+b)=a-b
2．判断正误（每小题2分，共14分）：
(1)因式分解：
①5m+5n-7=5(m+n)-7; ( )
22
②3x(x+y)(x-y)-6x=3x(x-y-2). ( )
(2)把2ax+10ay+5by+bx分解因式，按下列方法分组，进行分解：
①原式=(2ax+10ay)+(5by+bx); ( )
②原式=(2ax+5by)+(10ay+bx); ( )
③原式=(2ax+bx)+(10ay+5by). ( )
222
( 3)a+b-2ab+4a-4b+3=(a-b)+4(a-b)+3=(a-b+1)(a-b+3). ( )
, xy=5,求9x+9y的值。
, xy=5,
, x+y=(x+y)-2xy=
22
222
22
22
(4)已知x+y=
解：∵ x+y=
∴ (x+y)=






















22
2
-2×5=.
则9x+9y=9(x+y)=9×=106. ( )
3．选择（每题3分，共12分）：
2
(1)若(x-4)(x+7)是二次三项式x+ax-28，那么a的值是（ ）。
A、3 B、-3 C、11 D、-11
42
(2)代数式x-81, x-6x+9的公因式（ ）。
22
A、(x+3) B、(x+3) C、x-3 D、x+9
k2
(3)81-x=(9+x)(3+x)(3-x)，那么k的值是（ ）。
A、k=2; B、k=3； C、k=4； D、k=6
22
(4)9x+mxy+16y是一个完全平方式，那么m的值是（ ）。
A、12 B、-12 C、±12 D、±24
4．把下列各式分解因式（每题5分，共25分）：
(1) 8a-2b (2) a-2ab+ab (3)4xy-4xy-y (4)x-x-12 (5)1+
223222232

5．分解下列各式（每题5分，共20分）
22222
(1)（x-y)-5(x-y)-14; (2)a-b+2(ax-by)+x-y
222222
(3)x+6xy+9y-4m+4mn-n (4)(x+3x-2)(x+3x+4)-16
6.（本题4分）已知: x+y=








,x+3y=1, 求3x+12xy+9y的值。
22
22
（本题5分）已知: x=, y=, 求(x+y)-(x-y)的值。
22
（本题5分）已知: xy=5, a-b=6, 求xya+xyb-2abxy的值。(共14分)
2321
7.（本题5分）试证明5-5能被120整除。
[本章综合检测题答案]

75

内部资料
1.(1)3120000 (2)16 (3)10， 2 (4),a+ (5)a+b, a-b, a+b.
22
2.(1)①× ②√ (2)①√ ②× ③√ (3)√ (4)√
3.(1)A; (2)C; (3)C; (4)D.
22
4.(1)2(2a-b)(2a+b) (2)a(a-b) (3)-y(2x-y)
(4)(x-4)(x+3) (5)(1-








)
2
5.(1)(x-y-7)(x-y+2)
2222
(2)(a+x+b+y)(a+x-b-y) 提示：按照（a+2ax+x）-(b+2by+y)分组
(3)(x+3y+2m-n)(x+3y-2m+n) 提示：前后三项各按照完全平方分解，再利用平方差公式。
22
(4)(x+3x+6)(x+4)(x-1) 提示：将（x+3x）看成一个整体，先乘开，再分解。
6.（1）， （2）， （3）180
2321212120
7.5-5=5(25-1)=24×5=120×5.
北师大初二数学期中测试题
一、热身锻炼
1．若-2a>-2b，则a_______b.
22
2．若a>b，则ac>bc成立的条件是__________。
3．由xay，a应满足的条件是：（ ）。
A、a≥0 B、a≤0 C、a>0 D、a<0
4．不等式2x-1<3的非负整数解是_______________。
5．两个相似三角 形对应角平分线之比为4∶9，它们的周长比为________，面积比为________，相似
比 为_________。
二、选择
1．如图1，ΔABC中，P为AB上一点 ，在下列四个条件中，①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP·AB；
④AB·CP=AP·CB，能满足ΔAPC与ΔACB相似的条件是：（ ）。
A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③











2．如图2，ΔABC中，EDAC，EFAB，则图中相似三角形共有：（ ）。
A、4对 B、3对 C、2对 D、1对
3．如图3，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则图中相似三角形共有：（ ）。
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对
4．下列图形是位似图形的有：（ ）。


76

内部资料














A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5．以下两个图形必定相似的是（ ）。
A、有一个角是50度的两个等腰三角形 B、底角为40度的两个等腰梯形
C、矩形一组对边的中点连线分成的两个矩形 D、邻边之比为2∶3的两个矩形
三、计算
42222
1．25x+10x+1 2．-x-4y+4xy 3．(x+y)-10(x+y)+25
四、解答：
1．求不等式组的所有整数解的和。
2．一个三角形三边的长分别为2，3，2.5，另一个三 角形三边的长分别为8，12，10，这两个三角形
相似吗？为什么？
3．甲、乙两家 体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价为20元，乒乓球每盒
定价5元，现在两 家商店搞促销活动，甲店每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店按定价9折优惠，初二（1）
班需购买球拍4 付，乒乓球若干盒（不少于4盒）
（1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买付款y甲（ 元），在乙店购买付款y乙（元），分别
写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数之间的函数关系式。
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算,试确定x取何值时y
2
不小于y< br>1
?
4.解分式方程
通分得，

根据“如果两个分式分子相等，则它们也有相等的分母”，得7-x=13-x
即 7=13
当然，这是错误的，但是究竟错在哪里呢？同学们，你们知道吗？你能写出正确的过程吗？
答案：
一、
1. < 2. c≠0 3.D 4. 0,1 5. 4∶9,16∶81, 4∶9
二、 1.D 2.B 3.D 4.C 5.D
2222
三、 1.(5x+1) 2. -(x-2y) 3. (x+y-5)
四、
1. 解得3≤x<5，所以所有整数解的和是7。
2．相似。理由：三边对应成比例的两个三角形相似。
3．(1)y
甲
=80+5(x-4)=60+5x； y
乙
=80×0.9+5x×0.9=4.5x+72. (2)当x>24时，到乙店合算；当x<24
时，到甲店合算；当x=24时，到甲、乙两店一样。
4．“如果两个分式相等而且有相等的分子，则它们也有相等的分母”这一根据是错误的。比如虽然等式成立。而且分子相等，但是分母不相等。正确的过程为：
，

77

内部资料

解这个方程得，x=10.

(4x-40)(13-x)=(4x-40)(7-x)

第三章分式
北 京 四 中
撰 稿：史卫红 审 稿：谷 丹 责 编：姚一民
分式的意义和性质
一、分式的概念
1、用A、B表示两个整式，A÷B 可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，
如果除式B中含有字母，式子就叫做分 式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分 式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以
取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B 不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在
一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中 的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：
（2）分式：
，当B=0时，分式无意义。
，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当 时， 分式的值为零。
（4）分式：，当 时， 分式的值为1。
（5）分式：，当 时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：
1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以 或同除以同一个不等于零的
整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

78

内部资料
2、这个性质可用式子表示为：












（M为不等于零的整式）
3、学习基本性质应注意几点：
（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；
（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；
（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：
，。
四、约分：
1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和 分母的公因式去除分子和分母，使分式
化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：
（1）如果分式的 分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，
当分子和分母的系数是 整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）
（5）a-
2
a（6）。
解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。
说明： 判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为
==a+b，而认为是 整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这
两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母 中有π，但π不是字母而是无理数，是无限不
循环小数，因此的除式中不含字母。
例2，在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？
解：（1）在中，当x=2时，使得分母x-2=0，∴ x≠2,
（2）在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, ∴ x≠-2,

79

内部资料
（3）在
∴ x≠-2且x≠3。
中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0，
例3，x为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。
解：（1）∵ 当分母2x+3=0时分式无意义，∴ x=-时，分式无意义。
（2）∵ 当时，分式值为零。∴ ，∴ x=1时分式值为零。
（3）∵ 当时，分式值为1，∴ x=-4时分式值为1。
（4）∵ 当或 时，分式值为非负数。
∴ 或∴ x≥1或x<-时分式值为非负数。
例4，当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。
解：（1）∵ 当(x+3)(x-1)≠0时，分式有意义，∴ 当x≠-3且x≠1时分式有意义。
又∵ 6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, ∴ |x|=3, ∴ x=±3。
∴ ， ∴ x=3时分式值为零。
（2）∵ (x+3)(x-1)=0分式无意义，
即x+3=0或x-1=0，∴ x=-3或x=1时分式无意义。
说明：对于（ 1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入分母验证是否
为零，不为零者 即为所求。
对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。
解：（3）∵ (x+3)(x-1)≠0时分式有意义。
即x+3≠0且x-1≠0时，∴ x≠-3且x≠1时分式有意义，
说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时， 分式有意义，而(x+3)(x-1)≠0，当x+3=0或x-1=0
都会使(x+3)(x-1)= 0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x≠-3且x≠1，用“且”字，而不用“或”
字。 意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)
都会为0，而使分式都会无意义。
例5，写出等式中未知的分子或分母：
（1）；（2）；（3）；
（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母

80

内部资料
x-y是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。
22
解：
2
，∴ 未知的分子是(x-y),
2
（2）分析：左边分子a-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。
解：=，未知的分母是b。

2
（3）∵ a+ab=a(a+b)（将分子因式分解）
∴ （比较分子，发现分子、分母同乘以a）
=，2ab即为所求的分母。
例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。
（1）；（2）；
（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母
同 乘以15。
解：=。
（2）解：==
注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)×10=2a+3b这样的错误。
例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-
解：根据分式的符号法则得：
；（2）-。
（1）-=；（2）-=-。
注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分
母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。
例8，不改变分式的值，依照x的降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。
（1）

；（2）-。
81

内部资料
解：（1）===；
（2）-=-=-
=-。
说明：解题可 分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按x的降幂排列，这步只是运用加法交换律，
不改变符号。（ 2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可，提取时注意每项都要
变号。（3） 运用符号法则进行变号。
注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再 使用符号法则，要注意避免下
列的错误：
=。
例9，约分：（1）（2）。
解：（1）===-3yz。
10
注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。若化简分式时千万不要犯下列错误：
==0。
（2）===-。
注意：分母的负号一般要移去。
（2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。
例10、约分：（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）。
解：（1）=。
注意：不要把

约成=，也不要将最后结果写成
82
，因为分式的横线表示

内部资料
括号，再写括号就多余了。
（2）=。
注：不要将约做，因为这样是分子分母都减a，不是同除以相同的整式。
2
（3）===x+1。
2
注：不要犯下面的错误：=x-x。
32
（4）==
==-。
33
注意：这里应用到了(2-x)=-(x-2)的变形。
（5）=（分子按x的降幂排列）
=（分子提取公因式-1）
=（分子、分母都分解因式）
=（约去公因式：x-1）
=-（应用分式的符号法则）
说明：此题的解法， 一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的
算理，平日的化简是不写 这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。
分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除 法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，
它能使运算的结果化为最简分式。同分数的 约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、
分母同除以它们的公因式，把分式化简， 因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。
附录：
一、本讲教学内容及要求
单元
分式
分

节次 知识要点
（1）分式概念
（2）有理式概念
83
教学要求
A（了解）
A

内部资料
式 分式的基本性质
分式的约分
（1）分式的基本性质
（2）分式的符号法则
（1）约分和最简分式
（2）约分的根据
（3）分式的约分
D（灵活运用）
C（掌握）
B（理解）
C
D
二、本讲技能要求
1、了解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念，会利用这些概念进行判断。
2、掌握分 式有意义的条件，分式为零的条件及分式的基本性质，掌握分式的变号法则，能熟练地进
行约分。
3、重要数学思想
通过本讲中分式性质及分式约分进一步理解转化思想；
对本章中数、式通性的理解，进一步掌握类比归纳的思维方法。
课外拓展北 京 四 中
一条逻辑锁链：定义——公理——定理
几何学创建的初期，内容还是繁杂和混乱的 ，有必要将这些杂乱无章的几何命题整理一下。用什么方
法来整理呢？人们找到了一种非常好的方法，就 是用逻辑做为锁链，把已有的几何命题穿连起来，形成一
个有序的整体。第一个完成这个工作的是古希腊 数学家欧几里得(Euclid约公元前400～前347年)。
有关欧几里得的生平人们知道 的很少。他早年可能在雅典受过教育，大约在公元前3百多年左右，在
托勒密王的邀请下，来到亚历山大 城教书，他是一位出色的教育家。传说一个不爱学习的青年学生，在开
始学习几何学的第一个命题时就问 欧几里得：“我学习几何学之后将得到什么？”欧几里得对旁边的学生
说：“给他三个钱币叫他走，因为 他想在学习中捞得实利。”
欧几里得写过不少数学和物理著作，但是最有名的是《几何原本》。 这本书统御几何学两千多年，仅
从15世纪到19世纪末，就用各种文字出版了1000多版。《几何原 本》大概是为学生写的一本教科书。
这本书把古希腊数学家提出的非常丰富的几何知识，用一条逻辑的锁 链穿了起来，它是用公理法建立起演
绎的数学体系的最早典范。
《几何原本》有13卷 ，共467个命题。在每一卷中都有一系列的命题和定理，其数目从10～100不
等。命题和定理的前 面是定义。最著名的是第一卷，在第一卷中，有23个定义，在定义之后是5条公设
和5条公理。比如， 在定义部分，欧几里得指出了什么是点、线、面。
（1）点是没有部分的那种东西（也就是我们平常说的点是没有大小的。）
（2）线是没有宽度的那种东西。
（3）面是只有长度和宽度的那种东西。
欧几里得把公设做为应用于几何学的真理。5条公设是：
（1）从任一点到任一点作直线是可能的。
（2）把有限直线不断循直线延长是可能的。
（3）以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。
（4）所有直角彼此相等。
（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直 角，则两直线无限延长后必相交
与该侧的一点。
欧几里得又把适用于一切科学的真理叫公理。5条公理是：
（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
（2）等量加等量，总量仍相等。
（3）等量减等量，余量仍相等。
（4）彼此重合的东西是相等的。
（5）整体大于部分。
其余各卷虽然不如第一卷那么出名，在数学上却更高深一些。第二卷是第一卷的继续。第三、第四卷

84

内部资料
是讨论圆与圆、圆与直线的关系。第五、第六卷是讲 比例论和相似三角形的。第七、八、九卷主要是论述
正整数的性质。第十卷讲的是无理数。第十一、十二 、十三卷讲空间图形，也就是立体几何。
《几何原本》几乎包括了我们初中所学平面几何的全部 的内容。从古到今的数学家都认真钻研过这本
书。这里要特别提一下欧几里得的作图工具。欧几里得的直 尺没有刻度，使用它只能过任意两点作一条直
线。欧几里得的圆规两条腿不能活动，一离开纸就散架了。 它只能以一点为圆心，过另一点作圆。它也不
能截一条线段到别处。
刚开始学习几何， 由于还没有掌握几何论证的方法，会感到几何很难学。传说，有一次托勒密王召见
欧几里得，询问如何解 决学习几何的困难。
托勒密王问：“学习几何学，除了你的《几何原本》外，还有没有其他捷径？”
欧几里得回答：“在几何学中没有专给国王铺设的大道。”
欧几里得尊重科学，不畏权势的精神被后世传颂。
中考解析分式的意义和性质
考题例析
1．（福州市）当
x
时，分式有意义。
评析：使分式有意义，即分母不等于零，解不等式即可。求出字母取值为x≠1。
2．（徐州市）当x= 时，分式
答案：1，-6
无意义；当x= 时，分式的值为零。
3．（柳州）要使分式的值为零，则x=_____.
解：由
答：应填-2。
4. （广州市）化简：
答案：
得∴ x=-2.
得______．
5．（山西）若将分式
值（ ）
（a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则公式的
A、扩大为原来的2倍 B、缩小为原来的 C、不变 D、缩小原来的
==

分析：分析中a、b的值分别扩大为原来的2倍，则原分式变形为
于分子扩大了2倍，分母扩大了4倍。
故选（B）。
6．（石家庄市）下列各式中正确的是（ ）
A．
答案：C
2
，这样相当
B． C． D．
7．（吉林）若x+x-2=0, 则x+x-=_____.
222
分析：由条件x+x-2=0得x+x=2, 用整体代入法求值较方便。如果考虑解方程x+x-2=0得出x，再代

85
2

内部资料
入求值，难度就大了。
22
解：由x+x-2=0得x+x=2
∴ x+x-
答：应填：1
2
=(x+x)-
。
2
=2-=1.
8．（天津）若4y-3x=0, 则=____。
解：由条件得：y=x,
原式=+1=+1=
答：应填
选择题
。
在线测试
1．当a=-2时，分式的值（ ）。
A．等于零 B．不存在 C．等于 D．等于-
2．下列说法中，错误的是（ ）




A．分式的分子与分母同时改变符号，分式的值不变
B．分式的分子与分母同除以一个非零常数m，分式的值不变
C．分式本身的符号、分子与分母的符号，同时改变其中任何两个，分式的值不变
D．分式的分子与分母同时平方，分式的值不变
3． 把分式

中的a, b都扩大5倍，则分式的值（ ）
B．缩小5倍 C．扩大8倍 D．不改变 A．扩大5倍
4． 要使
A．(a+b)
2
成立，则未知分子x应等于（ ）
B．(a-b)
2
C．(a+b)(a-b) D．a+b

86

内部资料
5．不改变分式的值，把-
应该等于（ ）
的分子、分母都按a的降幂排列，并且使最高次项的系数为正，
A．- B． C． D．
6．给出下述变形：
①； ②；
③； ④
其中正确的变形是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
7．给出下述变形：
①； ②-；
③-； ④
其中正确的变形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．当式子
A．5
的值为零时，x的值是（ ）
B．－5 C．－1或5 D．－5或5
答案与解析
答案： 1、B 2、D 3、D 4、A 5、B 6、B 7、D 8、B
解析：
2
1、解：∵ 当a=-2时，a+2=0，∴ a-4=(a-2)(a+2)=0.
因此当a=-2时，分式的值不存在。
[说明]“分式没有意义”和“分式的值等 于零”是两个根本不同的概念，所谓“分式没有意义”是指
分式的分母的值为零；而“分式的值等于零” 是指在分式有意义的前提下，分子的值为零。
6、解：①根据分式的基本性质，从左到右的变形 是分子、分母同时除以一个整式a，a是分母的因式，
所以a≠0，所以分子、分母同时除以的整式a是 不等于零的整式，故①是正确的变形（由于给定的的分子
是有意义的，显然有a≠0，b≠0）.

87

内部资料
②由于的分子、分母同乘以整式c，但c是否为零是无法确定的，故②不正确。
③由的分子、分母同除以a-2b，且a-2b≠0，故③是正确的变形。
④由于分子除以ab，而分母只有第一项除以ab，这种变形不符合分式的基本性质，故④不正
确。
∴ 只有①和③是正确的变形，应选B。
7、解：根据分式的基本性质，分式的分 子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值
不改变，所以上述变形都是正确的，应选D。
北 京 四 中
编 稿：史卫红 审 稿：谷 丹 责 编：姚一民
分式的运算
一.通分的方法:
1.分式通分的涵义和分数通分的涵义有类似的地方;
(1)把异分母分式化为同分母分式;
(2)同时必须使化得的分式和原来的分式分别相等;
(3)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母,否则使运算变得烦琐.
2.求最简公分母是通分的关键,其法则是:
(1)取各分母系数的最小公倍数;
(2)凡出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取;
(3)相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最高的.
这样取出的因式的积,就是最简公分母.
例1.通分:
332
解:∵ 8,12,20的最小公倍数为120,字母因式x、y、z的最高次幂分别为x、y、z,所以最简公分母332
是120xyz.
∴ .


通分过程中,如果字母的系数是负数,一般先把负号提到分式的前面.
例2.通分:
解:将分母分解因式:
22
a-b=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b)
2
∴ 最简公分母为(a+b)(a-b)


88

内部资料
∴ [分子,分母同乘以(a-b)]
=[分子作整式乘法]
∴ [分子,分母同乘以(a+b)]
=[分子作整式乘法]
∴ [分子,分母同乘以(a+b)(a-b)]
=-[分子作整式乘法]
说明: (1)分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项 式时,必须先分解因式,分子是多项式
时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中 某一项相乘。
(2)通分是和约分相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去.将 分式化为较简单的形式;
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变 成分母相同的较复杂的形
式。约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的。
二.分式的乘除法:
1.同分数乘除法类似,分式乘除法的法则用式子表示是：
其中a、b、c、d可以代表数也可以代表含有字母的整式.
2.分式乘除法的运 算.归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再
约分。
3.整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式。
4.做分式乘除混合运算时,要 注意运算顺序,乘除法是同级运算,要严格按照由左到右的顺序进行运算.
切不可打乱这个运算顺序。
例如:a÷b·=a··=切不可以: a÷b·= a÷1=a
例1、计算：（1）（2）÷(-)
解: (1)法(一)分子、分母分别相乘得一个分式再进行约分:
=
法(二)先约分,再相乘

89

内部资料
=
(2)÷(-)
=·（-）=-
说明①分式的除法,只要将除式 的分子和分母颠倒位置,就可以转化为乘法来做,并注意符号法则,一
般先确定符号,然后演算. ②根 据乘法法则,应先化成一个分式后再进行约分,如(1)题中的法(一)计算,但
在实际演算中,这样的 做法就显得繁琐,因此往往在运算过程中,先约分,再相乘,所得的结果是相同的.
如(1)题中的法(二)计算.
例2.计算:÷(x+3)·
解: ÷(x+3)·
=÷(x+3)·(各分子,分母按x降幂排列)
=··（统一为乘法运算）
=
=-
··（分子，分母因式分解）
（约分）
说明:①整式(x+3)可以写成分式形式:颠倒除式后为.②上例的右侧说 明就是乘除混合运
算的步骤。③要注意运算顺序,在同级运算中,如果没有括号,就应按照由左到右的顺 序进行计算.④当分式
的分子分母是多项式时,应先进行因式分解,分解时,应先把含有同一个字母的多 项式按降幂(或升幂)排列
好,再进行分解因式,化成最简分式后再进行运算,这样就容易看出相同的因 式,便于约分。
三.分式的乘方:
1.分式乘方法则用式子表示是：()=
n
(n是正整数,b≠0)
2.带有 负号的分式乘方,其结果的符号与负数的乘方的规律相同,即负数的偶次方为正,奇次方为负.
在演算带 有负号的分式乘方时,应先决定结果的符号,再做其它的运算。
3.分式乘除,乘方混合运算时,要先乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。
例1.计算: (-

)·(-
2
)÷(-
3
)
90
4

内部资料
解: (-)·(-
2
)÷(-
3
)
4
=(分式乘方法则)
=(统一为乘法运算)
=-
5
(分式乘法及分式变号法则)
=-a(约分)
说明:上例的右侧说明就是乘方,乘除混合运算的步骤。
例2.计算:()·(
2
)÷
3

解: ()·(
2
)÷
3

=÷(分式乘方法则)
=·(统一为乘法运算)
=·(分子,分母因式分解及分式变号法则)
=(约分)
=(分子作整式乘法运算)
33
说明:①运算时特别注意 符号,在做题时,先判断符号,如负数的奇次方为负,如(-a)=-a,负数的偶次
方为正,同号相乘 除为正,如，异号相乘除为负.②注意(b-a)=-(a-b)的变形。
33
四.分式的加减法:
1.分式的加减法,可以依照分数加减法的法则来进行。分为同分母的加减 法和异分母的加减法。而异
分母的加减法是通过通分转化为同分母的加减法进行运算的。
2.分母相同的分式的加减法,用式子表示为:
3.分母不相同的分式的加减法,用式子表示为:

91

.

内部资料
4.当一个分式和一个整式相加减时,要把这个整式看作分母为1的式子进行通分。
例1.计算:
解:三个分式的分母相同,只要对分子进行加减:

=（分母不变，分子相加减）
=（应用去括号法则）
=（分子合并同类项）
=（约分）
说明:注意分子相加减是指把各个分式的分子的整体相加减.如上例的三个分子相加减为:
(4x+6y)+(2y-3x)-(x+2y),尤其是-(x+2y)注意括号的作用.
例2.计算: (1)（2）a--b
解:（1）
=（按x的降幂排列）
=（把分母进行分解因式）
=（通分）
=（分母不变，分子相加减）
=（用去括号法则，去掉括号）
=（分子合并同类项）
=

（分子再进行分解因式）
92

内部资料
=（约分）
（2）法（一）
a--b
=（分别通分）
=（分别进行加减法运算）
=（分子部分去括号）
=（分子合并同类项）
=（再通分）
=（用分式加法法则运算）
（2）法（二）：
原式=
=
=
=
五.分式的混合运算:
1.分式混合运算 的顺序是:第一级运算是加法和减法;第二级运算是乘法和除法;第三级运算是乘方.
如果一个式子里含 有几级运算,那么先做第三级运算,再作第二级运算,最后再做第一级运算;如果有括号
先做括号里面的 运算.如顺口溜:先三后二再做一,有了括号先做里.当有多层括号时,先算括号内的运算,
从里向外{ [(«)]}.
2.运算中不要出现以下错误:；

93

内部资料
()=
3
;=0
例1.计算:(
解：()÷
)÷


=[]÷(括号内分母分解因式)
=÷(通分)
=·（去括号及颠倒分子，分母）
=·（分子合并同类项）
=（约分）
例2．计算：[(1+
解：[(1+)(a-4+
)(a-4+)-3]÷(
-1）
-1)
)-3]÷（
=[-3]÷（）（通分）
=[-3]÷（合并同类项及分解因式）
=[-3]÷（约分）
=·（通分及颠倒分子和分母）
=·（分解因式）
=-（a+1）（约分）
=-a-1（去括号）
说明:对含有加,减,乘,除及带括号的混合运算,要先弄 清运算顺序,有括号的按括号法则由里向外运
算.

94

内部资料
例3.计算:（
解: （）÷
）÷


=[]÷（对分母进行分解因式）
=[]·（除法变乘法）
=（利用乘法分配律）
=（分别约分）
=（同分母减法法则）
=（合并同类项）
=（分子分解因式）
=-1
说明:如果本题先计算括号内异分母减法后再计算除法就显得比较繁琐,本题运用了分配 律去计算显
得灵巧,简单.计算中注意应用技巧.
例4.计算:-(--)÷
解:-(--)÷
=-[-]·（部分通分及除变乘）
=-[-]·（部分加法运算）
=-·（同分母相减）
=

-·（合并同类项）
95

内部资料
=-（分式乘法运算）
=（通分及减法运算）
=（合并同类项）
=（分子进行分解因式）
=（约分）
说明:本题括号内的分式运算,若采用一 次通分的方法,会给计算带来不便,而采用逐步合并的方法,较
为简捷;分式的四则混合运算往往计算量 较大,因此要先分析好方法,再按步计算,切不可急于求成.
一.本讲教学内容及要求:
单元
分式
节次 知识要点 教学要求
C
D
A
D
C
D
C
D
D
分式的乘除法 (4)分式的乘法,除法,乘方法则
(5)分式的乘法,除法,乘方运算
分式的加减法 (1)通分和最简公分母概念
(2)分式的通分.
(3)同分母分式加减法法则
(4)同分母分式加减法运算
(5)异分母分式加减法法则
(6)异分母分式加减法运算
(7)分式的混合运算.
二.本讲技能要求: 注:A.了解. B.理解. C.掌握 D.灵活运用
1.熟练地进行通分.
2.掌握分式的乘除、乘方法则及加减运算法则,会进行简单的分式运算。
三.重要数学思想.
通过分式运算,进一步理解转化的数学思想,类比的思想。
四.主要数学能力.
1.在运用法则公式,性质进行分式化简计算中,注意寻求合理,简捷的运算途径,培养运算能力.
2.在分式运算中,注意培养逻辑思维能力.
课外拓展北 京 四 中
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口， 另一端是封闭的六角菱锥形的底，由
三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所 有的锐角为70度32分，这样既坚固又
省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表 明
“人”字形夹角的一半———即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角 度正
好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘

96

内部资料
蛛网那样匀称的图案。
冬天， 猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散
发的热量也 最少。
真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己 的体壁上“刻
画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前 的珊瑚虫每年“画”
出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不 是365天，而是400天。
中考解析北 京 四 中
考题例析
1．（四川省）化简-的结果是 .
评析：注意分式本身的化简，首先将各分式的分母与 分子分解因式，不是最简分式的要约分化成最简
分式，其次找到最简公分母并通分计算，最后结果要化成 最简分式或整式。
答案：x+4
2．（上海市） 计算：
评 析：分式的加减运算，关键是通分，而通分的关键是确定公分母，当公分母确定后，再用分式的基
本性质 ，化异分母分式为同分母分式进行加减运算。
答案：
3．（北京市海淀区）计算：
评析：方法是先通分（对分式的基本性质要扎实，熟练）再加减，最后还要约分，化成最简分式。
解：
=
=
=
=
=.
4．（四川省）下列运算中，正确的是
（A）(-
a
)=
a
（B）
a
÷
a
=
a
（C）

97
2362-13
=1 （D）

内部资料
答案：B
评析：掌握运算法则，并用法则逐一计算或用法则的某一部分判定其正确性，如：
23
A、(－a)结果必有“一”号而判断为错误。
B、
a÷
a
=
a
÷
2-12
=
a
·
a
=
a
，结果正确。
23
C、将
D、
，变形有-a-b=a+b，判断为错误。
的公分母是2a，分子为常数，故运算错误。
5．（福州市）化简：(-)·(
x
-).
解：原式=[-]·
=(-)·
=·
=
x
+2.
评析：注意分 式本身的化简，首先将各分式的分子与分母分别分解因式，不是最简分式的要化成最简
分式，然后需加减 运算的要找到最高公分母通分进行加减运算，需乘除运算的要约分，最后把结果化成最
简分式或整式。
6．（江西省）化简：÷（2+）.
解：原式=(
a
+
b
)÷
=(
a
+
b
)·
=.
评析：分式的混合运算主要是通分和约分，约分的关键是因式分解，掌握上述法则非常重要。
在线测试
选择题
A组：
1．化简(4x-y)÷
A. 3x-y B. 2x+y
22
=__________
C. 2x-y D. 2

98

内部资料
2．化简-+=_____________
A. 1 B. 0 C. D. -1
3．化简(1-)(-1)=__________
A. B. C. - D. x-1
4．化简·-÷=________
A. B. C. - D.
5．化简(1+-)÷=_________
A. -1 B. C. D.1
B组：
1．计算---+=___________
A.1 B. 0 C. -1 D. 2
2．已知x+=5，不求x的值，计算x
4
+的值_________
A.425 B.72 C.625 D.527
3．已知ab=1，a≠-1，求+的值_________.
A.-1 B.1 C.0 D.2
答案与解析
答案： A组：1.B 2.B 3.C 4.C 5.A B组：1.B 2.D
解析：
A组： 1．解：
(4x
2
-y
2
)÷=(4x
2
-y
2
) ·==2x+y.
2．解：-+

99
3.B

内部资料
=+-
=+-
=
3．解：
==0.
(1-)(-1)=·
=·=-.
4．解：
·-÷
=·-·
=-==-.
5．解：
(1+-)÷
=÷
=·=-1
B组：
1．解：如果使用一次通分的方法，则运算比较麻烦。若采用逐步合并法， 则计算要简便的多，凡分
式分母中依次能用平方差公式的基本上都可采用。
原式=--+
=-+=+=0
2．解：分析：由于

都是互为倒数的关系，因此，利用乘法公式进行恒等变形。
100